矢量分析课件2

§1 场
M (2,1,1) 1
C1 2
y C1x x2 y2 z2 C2
C2 6
所以过点 M (2,的1,1矢) 量线方程为:
y1x 2
x2 y2 z2 6
第二章 场论
§2 数量场的方向导数和梯度
一、方向导数
考虑标量场中两个等值面 u,u u 定义数量函数 u(x, y, z) 沿给定方向 l 的变化率
第二章 场论
§1 场
例2
求矢量场
A
xy 2i
x2的yj矢 量zy线2k方程。
解: 矢量场满足的微分方程为
dx dy dz Ax Ay Az
dx xy 2
dy x2 y
dz y2z
从而有
dx
xy
2
dy x2 y
dx xy2
dz y2z
z C1x
解之即得矢量方程
x
2
y2
C2
C1和C2是积分常数。
§1 场
讨论 矢量线的方程
M (x, y, z)
Leabharlann Baidu
设 M (x, 为y, z矢) 量线上任意一点，其矢径为
r
xi
yj
zk
则微分
dr
dxi
dyj
dzk
r
0
（在M处与矢量线相切的矢量）
与在M处的场矢量A
Axi
Ay
共j 线Az。k
因此有： dx dy dz Ax Ay Az
矢量线的微分方程
u
l2
u l1
u u cos u cos u cosl3
l x
y
z
u
Gl 0
G cos(G,l 0 )
l
l0
cosi cos j
cos k
G
u
i
u
j
u
k
x y z
当 cos(G,l 0 ) 1 ,即 l 方向与 G 方向一致.
u
G
l max
结论: ① 矢量 G的方向就是数量函数
x y z
u u M l
u M0
lim u u u lim u(M ) u(M0 ) u
M M0 M 0M
M M0
M0M
l M0
为数量场函数 u(M ) 在点 M 0 处沿 l 方向的方 向导数.其大小与方向 l 有关
20度
10度
第二章 场论
§2 数量场的方向导数和梯度
在直角坐标系中,方向导数有如下计算公式:
的l 方向余弦为: cos 1 , cos 2 , cos 2
3
3
3
则 u u cos u cos u cos
l x
y
z
u
x
1
y
2
z
2
l x2 y2 z2 3 x2 y2 z2 3 x2 y2 z2 3
u 1
l M 2
第二章 场论
§2 数量场的方向导数和梯度
二、梯度 u
如果函数 u(x, y, z) 在点 M 0 (x0, y0, z0 )处可微;cos, cos , cos为
l 方向的方向余弦,则函数 u 在点 M 0 处沿 l 方向的方向导数为:
z
u u cos u cos u cos
l x
y
z
其中 u , u , u x y z
偏导数.
是在点 M 0 处的
第二章 场论
§1 场 二、数量场的等值面
如果数量场确定了,则场中各点处的场点值 u就确定了,对于静态
场,它是只是空间坐标的函数.
u u(x, y, z)
例如,在直角坐标系下,
u(x, y, z) [( x 1)2
5xyz ( y 2)2
z2
]
如温度场,电位场,高度场等.
第二章 场论
§1 场
例如,在直角坐标系下,
A( x,
y,
z)
xy
2
i
x2
yj
zy 2k
如力场,速度场等.
第二章 场论
§1 场
矢量线 在曲线上每一点处,曲线都和对应该点的矢量 相A切.
I
+
XB
如:静电场中的电力线、磁场中的磁力线等等。 矢量线研究的意义: 能够了解矢量场中各点矢量方向以及整个矢 量场的分布.
第二章 场论
第二章 场论
§1 场 §2 数量场的方向导数和梯度 §3 矢量场的通量及散度 §4 矢量场的环量及旋度 §5 几种重要的矢量场
第二章 场论
§1 场 一、概念
如果在某一空间区域内的每一点，都对应着某个物理量的一个 确定的值，则称在此区域内确定了该物理量的一个场。如在教 室中温度的分布确定了一个温度场，在空间电位的分布确定了 一个电位场。如果这物理量是数量,就称这个场为数量场;如果是 矢量,就称这个场为矢量场。若该物理量与时间无关，则该场称 为稳定场(静态场)； 若该物理量与时间有关，则该场称为不稳 定场(时变场)。
(x0 y0 )2 z0 0 .其等值面方程为:
(x y)2 z 0
或
z (x y)2
第二章 场论
§1 场
三、矢量场的矢量线
如果矢量场确定了,则场中各点处的矢量 A就 确定了,对于静态场,
它是只是空间坐标的函数.
A A(x, y, z)
或
A Ax (x, y, z)i Ay (x, y, z) j Az (x, y, z)k
第二章 场论
§1 场
例3 求矢量场
A
xzi
yzj
(x2
y2
)k
通过点 M (2,的1,1矢) 量线方程。
解: 矢量场满足的微分方程为
dx xz
dy yz
dz (x2
y2)
由 dx dy xz yz
y C1x
dy
dz
由 yz (x2 y2 )
x2 y2 z2 C2
第二章 场论
等值面 数量场中量值相等的点构成的面. u(x, y, z) c(c为常数） u c1 u c2 u c3
等值面研究的意义:数量场中所发生的物理过程在不同的等值面 上是不同的.
第二章 场论
§1 场
例1 求数量场 (x 通y)过2 点z
的等M值(1面,0,方1) 程。
解: 点M的坐标是x0 1, y0 0,则, z该0 点1的数量场值为
lz l
lx o
l
ly
y
cos lx , cos ly , cos lz
x
l
l
l
第二章 场论
§2 数量场的方向导数和梯度
例4 求函数 u x2 在y2点 z2 处沿M (1,0,1)
l i 2 j 2k
方向的方向导数.
解: u
x
, u
y
, u
z
x x2 y2 z2 y x2 y2 z2 z x2 y2 z2
u(M )变化率最大的方向.
② 矢量 的G模正好是这个最大变化率的数值.
第二章 场论
§2 数量场的方向导数和梯度
定义梯度
大小:最大方向导数 G
数量场 u(M ) 在M点的梯度是一个矢量
gradu G
方的向方:向最(大即方G向的导方数向所)在
在直角坐标系里有:
gradu
G
u
i
u
j
u
k