极坐标教案(绝对经典)

极坐标
一、极坐标系的概念
在平面内取一个定点O ，叫做极点，从极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴，再选一个长度单位和一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个平面极坐标系，简称极坐标系。

对于平面内的任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长度，θ表示从Ox 到OM 的角度，ρ叫做点M 的极径，θ叫做点M 的极角，有序数对(ρ, θ)就叫做点M 的极坐标。

记作M(ρ, θ)。

当M 在极点时，它的极径ρ=0，极角任意。

极坐标有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向．极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数ρ、θ对应惟一点P (ρ，θ)，但平面内任一个点P 的极坐标不惟一．一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，P (ρ，θ)（极点除外）的全部坐标为(ρ,θ＋πk 2)或（ρ-，θ＋π)12(+k ），(∈k Z )．极点的极径为0，而极角任意取．若对ρ、
θ的取值范围加以限制．则除极点外，平面上点的极坐标就惟一了，如限定ρ>0，0≤θ＜π2或
ρ<0，π
-＜θ≤π等．
极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的．即一个点的极坐标是不惟一的．
即：1、极坐标⇒直角坐标 cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩ 2、直角坐标⇒极坐标2
2
2
tan (0)x y y x x ρθ⎧=+⎪
⎨=≠⎪⎩
图1
x ⎩（直极互化 图）
三、简单曲线的极坐标方程
在极坐标系中，曲线可以用含有ρ，θ这两个变量的方程f(ρ,θ)=0来表示，如果曲线C 上的点与一个一元二次方程f(ρ,θ)=0建立了如下的关系：
1、曲线C 上的每个点的极坐标中至少有一组(ρ,θ)满足方程f(ρ,θ)=0；
2、极坐标满足f(ρ,θ)=0的点都在曲线上。

那么方程f(ρ,θ)=0叫做曲线C 的极坐标方程，曲线C 叫做极坐标方程f(ρ,θ)=0的曲线。

常见曲线的极坐标方程
例1、在极坐标系中描出下列个点： （1）A （4,0） （2）B （3，
2π） （3）C （5，-2π） （4）D （-3，3
4π）
例2、将下列点的极坐标化为直角坐标： （1）A （2,
43π） （2）B （1，2） （3）C （-5，6
π
） （4）D （-3，-π） 2
ρ-
答案： （1）A （-2,2） （2）B （cos2，sin2） （3）C （-
235，-2
5
） （4）D （3，0） 例3、将下列点的直角坐标化为极径为正值，极角在0到2π之间的极坐标：
（1）A （-3,-1） （2）B （2，-6） 答案： （1）A （2,
67π） （2）B （22，3
5π） 例4、将下列曲线的极坐标方程化为直角坐标方程：
(1)02sin cos =--θρθρ (2)0cos 2
=-θρρ (3)162cos 2
=θρ
(4)）
（
θπ
ρ-4
cos =
(5)1=ρ
(6)4
πθ=
答案： (1)x -y -2=0 (2)022=-+x y x (3)16-2
2=y x (4)0y 2
2-222
2
=-
+x y x
(5)1
2
2=+y x
(6)x y =
例5、将下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程：
（1）x+y -3=0 （2）022
2
=-+x y x （3）
19252
2=+y x
（4）x y 3= 答案： （1）03sin cos =-+θρθρ （2）θρcos 2= （3）0225sin 1692
22=-+θρρ
（4）3
πθ=
例6、在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为，直线C 2的方程为 y=33
x ，
以O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 1和直线C 2的极坐标方程；
（2）若直线C 2与曲线C 1交于P ，Q 两点，求|OP|•|OQ|的值． 【解答】解：（1）化为一般方程为，， 则C 1的极坐标方程为，…（3分）
∵直线C 2的方程为
， ∴直线C 2的极坐标方程
．…
（2）设P （ρ1，θ1），Q （ρ2，θ2），
将代入， 得：ρ2
﹣5ρ+3=0，
∴ρ1•ρ2=3， ∴|OP|•|OQ|=ρ1ρ2=3．…（10分）
例7、坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程
112
2
=+-y x ）（．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求圆C 的极坐标方程；（Ⅰ）直线的极坐标方程是，射线与
圆C 的交点为O 、P ，与直线的交点为Q ，求线段PQ 的长．
课堂练习
1、
2、
3、
4、
答案：A 5、
6、
7、
8、
9、
10、已知曲线的极坐标方程为，则其直角坐标方程是 。

答案：y 2=4x
11、 直角坐标系xOy 中,曲线1C 的方程为4)2(2
2
=-+y x ,M 是1C 上的动点,P 点满足OP =2OM ,P
点的轨迹为2C . (Ⅰ)求2C 的方程; (Ⅱ)在以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线
3
πθ=
与1C 的异于极点的交点为A ,与2C 的异于极点的交点为B ,求||AB .
【解析】(Ⅰ)设P (x ,y ),则由条件知M (
2x ,2
y ),由于M 在1C 上, 16)4(22
=-+y x
(Ⅱ)曲线1C 的极坐标方程为ρ=4sin θ,曲线2C 的极坐标方程为ρ=8sin θ,
∴射线3
π
θ
=
与1C 的交点
A 的极径为1ρ=4sin
3
π,射线3
π
θ=
与2C 的交点B 的极径为2ρ=8sin
3
π, ∴||AB =
21||ρρ-=
12、在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩
⎨⎧x ＝t cos α，
y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π.在以O 为
极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ. (1)求C 2与C 3交点的直角坐标；
(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值.
解 (1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.
联立⎩
⎨⎧x 2
＋y 2
－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，
y ＝32.
所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0，0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫
32，32.
(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)， 其中0≤α＜π.
因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α). 所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫α－π3.
当α＝5π6
时，|AB |取得最大值，最大值为4.。