3-2一维单原子链

长波极限下
相邻两个原子振动位相差
短波极限下
• 短波反映微观结构
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问题二：求解过程能否不用猜？
倒格子 傅里叶（级数）变换 牛顿力学观点 vs. 能量观点
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观察牛顿力学运动方程的结构
写成矢量、矩阵形式：三对角
u1 2 1 0 u 2 1 2 1 0 1 2 d 2 u3 m 2 dt u N 1 0 0 0 1 0 0 u N 1 u1 0 0 u2 0 0 u3 2 1 u N 1 1 2 u N 0
q q
—— 一个简正坐标对应一个谐振子方程，波函数是以简正 坐标为宗量的谐振子波函数 声子 —— 晶格振动的能量量子；或格波的能量量子 一个格波是一种振动模，称为一种声子，能量为 当这种振动模处于 时，说明有 个声子
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格波的量子化 —— 声子
—— 声子是一种元激发，可与电子或光子发生作用
—— 声子具有能量、准动量，看作是准粒子（quasiparticle）
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—— 两种波矢的格波中， 原子的物理振动完全相同
相邻原子的位相差
—— 恰好是晶格的第一布里渊区 波矢的取值 q a a
巧合？
—— 只需研究清楚第一布里渊区的晶格振动问题 —— 其它区域不能提供新的物理内容
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考察结果

q1 =/= q2 1 =/= 2
but

2 q m Na
—— h 为整数
波矢的取值范围
N = even/odd ？
11
12
点要一个一个描
aq q 20 sin( ) 2
N/2 N/2
态密度？
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色散关系 = 振动频谱 = 能谱 = 能带
• 准连续，N ∞ • 具有第一布里渊区的周期性
4 aq q sin( ) m 2
—— 晶格振动的问题 声子系统问题的研究 —— 每个振动模式在简谐近似条件下都是独立的 —— 声子系综是无相互作用的声子气组成的系统
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玻恩-卡门周期性边界条件

长波极限及短波极限的物理

格波解

格波的实空间图像

简正模

不要忘了“两个耦合谐振子”实例
2
重要性
在上一小节，我们似乎没学到实质的东西！
在物理探索研究中，原型 (Prototype/paradigm) 显得非常重要，原型（雏形）思想：最小模型 本节内容似乎只是一道习题，但是重要得需要用 一节来描述，在下下节我们还会做一道习题 本节的内容或结论将会以各种改头换面的形式出 现在更进一步的现代物理 (包括实验物理和理论物 理) 的各个角落 —— 场论、量子场论
解：Qq (t ) Qqeit
引入“格点傅里叶变换”能实现这个目标！
Qq Qq*
q 取哪些值？
1st-BZ !《固体理论》wenku.baidu.com第一章 周期性结构 (李正中)
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把格点傅里叶变换写成矩阵？
自己动手，丰衣足食！
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从哈密顿力学来看
二次型！
格点傅里叶变换使之对角化
1 * * H T V QqQq 2 (q)QqQq , 2 q1stBZ
各个振子 un 的振动不独立
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我们的目标
找到独立的振动模式 Qq
Q1 d1 0 0 Q 2 0 d2 0 d 2 Q3 0 0 d 3 m 2 dt QN 1 0 0 0 Q N 0 0 0 0 0 0 d N 1 0 0 Q1 0 Q2 0 Q3 0 QN 1 d N QN
晶体结构 晶体的结合 晶格的热振动 能带论 金属电子论 半导体电子论 固体磁性 固体超导
1
经典一维单原子链 ：格波
经典视角：一维单原子链的格波解

出发点：力学运动方程 尝试解：格波 等价的能量观点 从有限到无限的过渡 能带：1st BZ 格波与连续介质波的关系 傅里叶（级数）变换 逆傅里叶变换
c
a
m/a

K

—— 伸长模量
VElastic K /
—— 连续介质的弹性模量和介质密度 —— 长波极限下，一维单原子晶格格波可以看作是弹性波 —— 晶格可以看成是连续介质
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短波极限
短波极限下 —— 相邻两个原子振动的位相相反 而长波极限下 ，相邻两个原子之间的位相差
—— 一个波长内包含许多原子，晶格看作是连续介质 26
为何要提出这个问题？

实际体系是怎样的？ limit (N infinity) 的计算意义
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玻恩-卡门周期性边界条件
Born-Karman
N 个原子头尾相接形成一个环链，保持了所有原 子等价的特点
N 很大，原子运动近似为直线运动
10
设第n个原子的位移 再增加N个原子之后，第N + n个原子的位移 则有 要求
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频率极小值 频率极大值
min 0
max 2 / m
只有频率在 其它频率的格波被强烈衰减
之间的格波才能在晶体中传播，
—— 一维单原子晶格看作成低通滤波器
15
对比：连续介质波
un q, t Aei ( q )t naq
q
4 aq sin( ) m 2


2 (q ) (1 cos qa) M
2

进一步：… 哈密顿正则运动方程…
32
回忆
33
格波图像
un un un
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短波极限
长波
Normal modes of vibration progression through a crystal. The amplitude of the motion has been exaggerated for ease of viewing; in an actual crystal, it is typically much smaller than the lattice spacing. 35
用两个耦合振子来理解 N → ∞？
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Two coupled oscillators
• 这个问题的解是不是傅里叶变换？
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最后，来憧憬一点‘谐振子量子力学’
能量本征值
1 nq (nq )h q 2
本征态函数
q 2 n (Qq ) exp( ) H n ( ) h 2
7
波动方程的时间和空间离散化
连续介质波动方程
如果 ?
(1) 时间不离散化 (2) 把这里的 h 当作晶格间距 a
8
问题一：q = ？→ 什么边界条件？
N 个格点的体系：


开放边界，open boundary condition (OBC) 周期边界，periodic boundary condition (PBC) 猜的解是否成立？近似成立？
2
5
再看一眼：怎么猜的解？
第一眼：像一个简谐振动 其次，这是一个波动方程：时间连续，空间不连续
所以猜“格波”解组
发现一个需要满足的条件 问题一： q
2
4 aq sin 2 ( ) m 2
=？
6
问题二：求解过程能否不用猜？
理解：连续方程的离散化
• 变成为一个线性代数+迭代求解问题！《计算物理》
固体物理
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章
So lid S ta te Phy si cs
1 简正模 2 经典一维单原子链：格波 3 量子一维单原子链：声子 4 一维双原子链 5 三维晶格 6 离子晶体的长光学波 7 晶格振动谱的实验方法 8 非完整晶格振动：局域模 9 晶格的比热容 10 晶格状态方程和热膨胀
连续介质波
色散关系
cs q cs
— 声速
2 波数 q
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为何说这是个能带？
退耦
N
0
m
N/2 N/2
aq 低通滤波器 q 20 sin( ) 2
• 回想塞曼效应、斯塔克效应 • 书上没这么说？是因为在经典物理中， 不是能量
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波动的方式：格波
纵波
• 向上的箭头代表原 子沿 x 轴向右振动 向下的箭头代表原 子沿 x 轴向左振动
3
第一出发点
牛顿力学模型
d 2un m 2 (un1 un1 2un ) dt
位移前
晶格间距 (晶格常数): a
位移后
4
尝试解方法
设方程组的尝试解 naq — 第n个原子振动位相因子
代入得到
un q, t Ae
i ( q )t naq
4 2 aq sin ( ) m 2
•
如何确定波长？最长是多长？最短是多短？
注意指标 n
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格波方程 格波波长
格波波矢
格波相速度
不同原子间位相差
相邻原子的位相差
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格波 波矢的取值和布里渊区 相邻原子位相差 —— 原子的振动状态相同 格波1(Red)波矢 相邻原子位相差 格波2(Green)波矢 相邻原子的位相差
当 q2 = n 2 /a + q1 会出现什么情况？
un(q1) = un(q2) (q1) = (q2)
q1 = 2 / na + q2
只需挑出第一布里渊区（1st BZ）进行计算
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两个重要的极限情况
长波极限 短波极限
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长波极限
当
cq
—— 回到连续介质中弹性波的色散关系
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相邻原子之间的作用力 长波极限情况
格波传播速度 连续介质弹性波的速度