3-2一维单原子链
3.1 一维单原子链
一维无限原子链 —— 每个原子质量m，平衡时原子间距a —— 原子之间的作用力 第n个原子离开 平衡位置的位移 第n个原子和第n＋1 个原子间的相对位移
第n个原子和第n＋1个原子间的距离
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
平衡位置时，两个原子间的互作用势能
发生相对位移
后，相互作用势能
a
a
—— 只研究清楚第一布里渊区的晶格振动问题 —— 其它区域不能提供新的物理内容
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
玻恩－卡门（Born-Karman）周期性边界条件 —— 一维单原子晶格看作无限长，所有原子是等价的，每个 原子的振动形式都一样 —— 实际的晶体为有限，形成的链不是无穷长，链两头的 原子不能用中间原子的运动方程来描述
2 4 sin 2 ( aq )
m
2
格波的波速
—— 波长的函数
—— 一维简单晶格中格波的色散关系，即振动频谱
格波的意义
连续介质波
波数 q 2
—— 格波和连续介质波具有完全类似的形式
—— 一个格波表示的是所有原子同时做频率为的振动
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
n Aei(tnaq) —— 简谐近似下，格波是简谐平面波
§3.1 一维单原子链
绝热近似 —— 用一个均匀分布的负电荷产生的常量势场来 描述电子对离子运动的影响 —— 将电子的运动和离子的运动分开 晶格具有周期性，晶格的振动具有波的形式 —— 格波 格波的研究 —— 先计算原子之间的相互作用力 —— 根据牛顿定律写出原子运动方程，最后求解方程
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
03-02一维单原子链--(1)幻灯片
22
a / m q VEla q stic VElastic a /m
—— 格波的色散关系与连续介质中弹性波的一致
§3-2 一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
格波 —— 短波极限情况
q
a
2 /msin(aq)
2
max 2 /m
—— 格波的色散关系与连续介质中弹性波的不一致 —— 不同频率的格波传播速度不同
—— 格波的波形图 —— 向上的箭头代表 原子沿X轴向右振动 —— 向下的箭头代表 原子沿X轴向左振动
§3-2 一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
格波方程 格波波长
n Aei(tna)q
2 q
格波波矢 qv 2 nv
格波相速度
vp
q
不同原子间相位差 n'a qna (n q'n)aq
m2
a
频率极小值 min0
频率极大值 max 2 /m
0 q 02 /m
a
只有频率在 02 /m 之间的格波才能在晶体中传播，
其它频率的格波被强烈衰减 —— 低通滤波器
ωmax称为截止频率
§3-2 一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
格波 —— 长波极限情况 q0, a
2 sin(aq)
—— 实际的晶体为有限，形成的链不是无穷长，链两头 的原子不能用中间原子的运动方程来描述
§3-2 一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
—— N个原子头尾相接形成环链，保持所有原子等价特点 —— N很大，原子运动近似为直线运动 —— 处理问题时考虑
到环链的循环性
设第n个原子的位移 n
再增加N个原子之后
一维单原子链色散关系
一维单原子链色散关系
一维单原子链色散关系：
1、什么是一维单原子链色散关系？
一维单原子链色散关系是在一维晶体中，由相互连接的单原子链构成的量子力学模型。
它是一种解释物理现象的理论模型。
这种模型通过一维的单原子链的局部性，分析描述物理事件的过程变化，并对单原子链的扩散作用建立一种零级理论。
2、一维单原子链色散关系的用途
一维单原子链色散关系可以帮助我们研究一维晶体中的物质传输。
它能够揭示物理现象当中的各种动力学特性，比如材料的热阻和黏度，分析能帮助我们更好的理解物质的变化和性质，对材料的制备和应用都有一定的帮助作用。
3、一维单原子链色散关系的应用
一维单原子链色散关系可以应用于电子传导、载波传导、热传导、磁学和开关器件等领域。
例如，在芯片出现故障时，可以利用这种模型来分析发生故障的原因，借助这种模型来实现对电路板的修复和测
试。
同样，磁记录器也可以利用一维单原子链色散关系来调整自身的工作性能，提高记录的质量和效率。
4、一维单原子链色散关系的局限性
一维单原子链色散关系的局限性主要在于它只适用于一维晶体结构，无法用于模拟多原子晶体中的复杂物理现象。
另外，由于晶体表面厚度的影响，从某些特定角度来看，色散关系也有限制性，不能描述表面效应的精细结构。
固体物理基础第3章-晶格振动与晶体的热学性质
3-2 一维单原子链模型
格波的色散关系 4 2 2 aq sin ( )
m 2 • ω取正值，则有 (3)
(q)
aq 2 sin( ) m 2 • 频率是波数的偶函数
• 色散关系曲线具有周期性， 仅取简约布里渊区的结果即可 • 由正弦函数的性质可知，只有满足 0 2 / m 的格波 才能在一维单原子链晶体中传播，其它频率的格波将被强
原子n和原子n+1间的距离
非平衡位置
原子n和原子n+1间相对位移
a n1 n
n1 n
3-2 一维单原子链模型
• 忽略高阶项，简谐近似考虑原子 振动，相邻原子间相互作用势能 1 d 2v v(a ) ( 2 ) a 2 2 dr • 相邻原子间作用力 dv d 2v f , ( 2 )a d dr • 只考虑相邻原子的作用，第n个原 子受到的作用力
• 连续介质中的波（如声波）可表示为 Ae ，则可看出 • 格波和连续介质波具有完全类似的形式 • 一个格波表示的是所有原子同时做频率为ω的振动 • 格波与连续介质波的主要区别在于(2)式中，aq取值任意加减 2π的整数倍对所有原子的振动没有影响，所以可将波数q取值 限制为 q a a
V
O
a
r
• 第n个原子的运动方程
(n1 n ) (n n1 ) (n1 n1 2n )
(1)
平衡位置
d 2 n m 2 ( n1 n 1 2n ) dt
非平衡位置
——牛顿第二定律F=ma
3-2 一维单原子链模型
• 上述(1)式的解（原子振动位移）具有平面波的形式
a
)
一维单原子链推导
一维单原子链推导
一维单原子链是指一维无限长的单原子链，其中原子质量为m，原子间距为a。
热运动使得原子离开平衡位置，假设第n个原子离开平衡位置的位移为μn，它相对于a是一个很小的量，第n个原子到第n+1个原子间相对位移为δ，则：$\delta=μn+1-μn$。
当原子m在平衡位置时，两个原子相互作用势为$V(a)$；相对位移为$\delta$时，两个原子相互作用势为$V(a+\delta)$。
将$V(a+\delta)$在平衡位置用泰勒级数展开，可得：$\cdots(21)(222=+++=aaδaδdrdVaVdrVddrdVaVaVrVδ$。
由于考虑的是微振动，即$\delta$很小，展开式可以近似保留到$\delta^2$项，可得：$10(\cdots)!(\cdots)!2)(\cdots)('\theta'\theta'\theta'\theta'\theta'\approx++++ +++2222\delta\delta\delta$。
只考虑最近邻原子间的相对位移的二次项对系统总势能的贡献，则总势能写为：$\cdots212)(μ221−−=≈∑nnnVμββδ$。
第n个原子所受的力为：$\cdots2(11+−−−−=−≈∂δ∂−=nnnnVfμμμββδβ$，其中β是相邻原子间准弹性力的力常数，它直接由两个原子间的相互作用势能所决定，$a$是两个原子间的平衡间距。
若只考虑最近邻原子间的相互作用，则作用在第n个原子上的力为来自左边弹簧的张力β$(μn-μn-1)$与来自右边弹簧的张力β$(μn+1-μn)$之和。
Ch3-2 一维单原子链
HUBEI UNIVERSITYCh3.2 一维单原子链31D monatomic chain 个原子的平衡位置为n x 个原子间的距离相对位移后，相互作用势能——平衡条件——振动很微弱很小，势能展式中只保留到——恢复力常数相邻原子间的作用力是正比于相对位移的弹性恢复力最近邻第n个原子的运动方程——每一个原子运动方程类似Ch3.2 一维单原子链5个原子的运动方程设方程组的解为：naq—第n个原子振动相位因子将试探解代入振动方程：Ch3.2 一维单原子链7无关，表明N 个方程都归结为同一个方程。
通连续介质中的机械波波数格波和连续介质波具有完全类似的形式, X-na 取值不同同原子之间有位相差，相邻原子位相差为aq 。
晶体中的格波波长Ch3.2 一维单原子链99⁄波矢的格波中，原子的振动完全相同的整数倍，所有原子的振动完全相同，这表可以限制在只需研究清楚第一布里渊区的晶格振动问题——其它区域不能提供新的物理内容4.玻恩－卡曼（Born-Karman ）周期性边界条件一维单原子晶格看作无限长，所有原子是等价的，每个原子的振动形式都一样实际的晶体为有限，形成的链不是无穷长，链两头的原子不能用中间原子的运动方程来描述——N 个原子头尾相接形成环链，保持所有原子等价特点——处理问题时考虑到环链的循环周期性——N 很大，原子运动近似为直线运动Ch3.2 一维单原子链11——第一布里渊区包含状态数,就有一个Ch3.2 一维单原子链13——频率是波数的偶函数色散关系——q 空间的周期——一维单原子晶体可以做低通滤波器只有频率在之间的格波才能在晶体中传播，其它频率的格波被强烈衰减）长波极限情况 , ——连续介质的弹性模量和介质密度格波传播速度晶格可以看成是连续介质色散曲线开始偏离直线向下弯曲。
时，色散曲线变得平坦，格波的色散关系与连续介质中弹性波的不一致不同频率的格波传播速度不同Ch3.2 一维单原子链15——晶格可看作是连续介质个原子位移个原子总的位移Ch3.2 一维单原子链17原子坐标和简正坐标的变换线性变换系数——线性变换为么正变换为实数————N项独立的模式Ch3.2 一维单原子链19——哈密顿量代入得到晶格振动的总能量可以表示为N 个独立简谐振子的能量之和Ch3.2 一维单原子链21晶格振动的能量量子；或格波的能量量子的谐振模式对应不同种类的声子Ch3.2 一维单原子链23一维无限长原子链，m ，a ，β一维单原子晶格振动波矢的数目＝晶体的原胞数，原子链自由度。
J-3.2一维单原子链的振动-30
相速和群速： 相速度是单色波单位时间内一定的振动位相所传播的距离。群 速度是平均频率为ω，平均波矢为q 的波包的传播速度，它是合成波 能量和动量的传播速度。 vp f q
d dq
vq
1 1 sin aq aq 2 2
随着q的增长，ω数值逐渐偏离线性关系，变得平缓，在布里渊 区边界，格波频率达到极大值。
a
q
a
2a
这就避免了某一频率的格波有很多波长与之对应的问题
1 4a
1 2a 4 2 5 2 a q2 5 2 2a
q1
2
由蓝线所代表的波不能给出比黑
线更多的信息，为了表示这个运动，
只需要大于2a的波长。
q=/2a 是1BZ， q=5/2a在1BZ外。 由图明显看出两个不同波长的格波只表示晶体原子的一种振动状态，q 只需要在第一布里渊区内取值即可，这是与连续介质弹性波的重大区别。
周期性边界条件并没有改变方程解的形式只是对解提出一定的条aeae引入周期性边界条件后波矢q不能任意取值只能取分立的轴上相邻两个q的取值相距即在q轴上每一个q的取值所占的空间为
3.2 一维单原子链振动
一、运动方程及其解 单原子链看作是一个最简单的晶格! ① 计算相邻原子间作用力
(a) N 个质量为m 的原子组成一维布拉菲格子； 设：
(q)
Na L 2 2
L＝Na 为晶体链的长度。
第一布里渊区中波矢q 的取值总数等于晶体链的原胞个数，即：
晶格振动格波的总数=N· 1= 晶体链的总自由度数。
2 2 Na (q) N a a 2
总结：玻恩-卡曼边界条件
3.1 简正模和格波 3.1 简正模和格波
§3-2 一维双原子链的晶格振动
允许的波矢数＝晶体的初基原胞数 格波总数＝晶体振动的总自由度数
以后可以看到，此结论对三维晶体也是适用的。
(二) .长波极限
当|q∣→0, λ→∞时, 相邻原胞间的振动相位差qa→0。 利用 cosqa ≈1 －（1/2）（qa）2 （1－x）1/2 ≈1－(x/2) （x为小量） 式（3－23）中 ωA2=（β1＋β2）/m- (β12＋β22＋2β1β2cosqa)1/2 /m 可简化为
2 1 A＝ m
12
(3-33)
即在第一布里渊区边界上，存在格波频率“间隙” 在第一布里渊区边界上，由式（3－30）
A2 1e 2 iqd e iqa A 1e 2 1
iqa
可得 对光学支 A2＝－A1 e iqd 当d＜＜a , A2≈－A1 对声学支 A2＝A1 e iqd 当d＜＜a , A2≈A1 由于q→π/a，相邻原胞运动的相位差 qa→π。
(3-30)自推
正号对应声学支，负号对应光学支。当q→0时 A 2＝A 1 声学支 A2＝－A1 光学支 在长波极限情况下，
声学格波描写原胞内原子的同相运动， 光学格波描写原胞内原子的反相运动。
两支格波最重要的差别：
分别描述了原子不同的运动状态。
参见FD动画
45
（三）. q趋近第一布里渊区边界
三维晶体：原胞的总自由度数为3S,则 晶体中原子振动可能存在的运动形式 就有3S种，用3S支格波来描述。其中 在三维空间定性地描述原胞质心运动 的格波应有3支，也就是说应有3支声 学格波，其余3（S-1）支则为光学格 波。例如硅晶体属于金刚石结构，每 个初基原胞含两个原子，即S=2 , 它有 3支声学格波和3支光学格波。
hezm
连续介质波： Ae
Aei ( t qx)
格波：
n Aei ( t naq)
晶格中格波和连续介质波具有完全类似的形式 一个格波表示的是所有的原子同时振动，振动频率为
格波描述的是所以原子的集体运动，不是某一个原子的运动 相邻原子间的位相差 aq 格波的波长：
n1,n n n1
第（n+1)个原子与第n个原子的相对位移：
n1,n n1 n
三、原子间的相互作用力
1. 势能：
（只考虑最近邻原子间的相互作用）
1）. 假设在平衡位置时，两个原子间的相互 作用势能是 v( a ) 2）. 产生相对位移 后，相互作用势能变 为 v( a )
九、色散关系
2
4 aq sin 2 m 2
由于频率是波数的偶函数，所以有
2
aq sin m 2
(6)
q 0,
min 0
q
a
,
max 2
m
图5 一维单原子链 的 ω-q 函数关系
当0 q
a
， 与其相应频率的变化范围： 0 2
一维单原子链晶格振动
一、知识点回顾
1. 格点：原子的平衡位置 2. 晶格振动：原子在格点附近的振动 3. 格波：晶格具有周期性，因而，晶格振动模 具有波的形式，称为格波 一维单原子链是学习格波的典型例子！ ▲关于格波的研究：先计算原子之间的相互作用力， 再根据牛顿第二定律列出原子的微分运动方程， 最后求解方程。
2 q
2 格波的波矢： q n
七、格波波矢的取值和布里渊区
高二物理竞赛课件：一维单原子链模型
20赫兹---20000赫兹，高于20000赫兹的叫超声波
能量(eV)
0.01
0.1
1
100
10000
声子
• 离子实比电子重103~105倍，离子实振动速度比电子慢很多
• 将电子的运动和离子实的运动分开
V
O
• 电子对离子振动的影响，可用一个稳定的势场来替代
简谐近似：保留2次项，忽略高阶项 2
v
1 v
v(a ) v(a) ( ) a ( 2 ) a 2 ...
r
2 r
所有原子的振动没有影响
• 红线：q=π/2a
• 绿线：q=5π/2a
• 将波数q取值限制为 q
a
a
• 即波数q取值在简约布里渊区
（第一布里渊区）中
• 第一章内容：
简约布里渊区内的全部波矢代
表了晶体中所有的状态，区外
的波矢都可通过平移倒格矢在
该区内找到等价状态点；讨论
固体性质时，可以只考虑第一
ℏ被称为声子（Phonon）。这是晶格振动量子理论最重
要的结论！
3-2 一维单原子链模型
声子
1
振动能量的本征值为 n (nq 2 )q
q
其中nq为声子
数
➢ 声子是晶格振动的能量量子ℏ
➢ 声子具有能量ℏ，也具有准动量ℏ ，它的行为类似于电子或光子，具
有粒子的性质。但声子与电子或光子具有本质区别，声子只是反映晶体
获得ℏ的能量，则称晶格发射一个声子
➢ 声子与声子相互作用，或声子与其他粒子（电子或光子）相互作用时，
声子数目并不守恒。声子可以产生，也可以湮灭。其作用过程遵从能量
一维单原子链
第n-2个原子第n-1个原子第n+1个原子第n+2个原子第n个原子maµn-2µn-1µnµn+1µn+2第n-2个原子第n-1个原子第n+1个原子第n+2个原子第n个原子maµn-2µn-1µnµn+1µn+2a一维晶格仅考虑最近邻原子间相互作用时的色散关系qv p ω=2.21∑=qqQ 221∑⎟⎠⎞⎜⎝⎛=•n n m T μ∑••=qiqna q n t Q Nmt ,)e (1)(μ∑∑∑′−′−′=nq qinaq q .q ina q .,t Q t QN T )e ()e (21∑∑∑′+′−′=q nq q ina qq .q .,Nt Q t Q)(e1)()(21∑∑′−′′=q qqq qq t Qt Q,)()(21,..δ∑−=qqqt Qt Q)()(21..∑=qqqt Qt Q)()(21.*.)()(*t Q t Q q q =−动能的正则坐标表示：势能∑−=qinaqq n eQ Nm 1μ∑−−−='')1('11q aq n i q n e QNm μ∑−−=nn n U 21)(21μμβ1(')'(')','1{[1]}()2N ia q q iaq iaq ina q q q q q q n U Q Q e e e emNβ−++==+−−∑∑}2{2∑−−−−=qiaq iaq qq e e Q Q mβ{1cos()}q qqQ Qaq mβ−=−∑代入上式，得：*{1cos()}qqqU Q Q aq mβ=−∑利用)}cos(1{22aq mq −=βω2*12q q q qU Q Q ω=∑2221∑=qq q Q U ω系统势能所以2221∑=qq q Q U ω哈密顿量2221()2q q qqH T U Q Q ω=+=+∑ ——系统复数形式的简正坐标ti q q q eA Nm Q ω=势能动能∑=qq Q T 221 1()[()()]2Q q a q ib q =+)]()([21)(*q ib q a q Q −=∑=qq Q T 2212221∑=qq q Q U ω∑>+=22)]()([21q q b q a T 实数形式的简正坐标令∑>+=222)]()([21q q q b q a U ω能量本征值qq n n qωε=)21(+=2()/exp()()2qq n q q n Q H ξϕωξ=−=本征态函数一个简正坐标对应一个谐振子方程，波函数是以简正坐标为宗量的谐振子波函数。
一维单原子链费米半径
一维单原子链费米半径费米半径是描述一维单原子链中费米子行为的一个重要概念。
在固体物理学中，费米子是具有半整数自旋的粒子，如电子，中子等。
费米子遵循费米-狄拉克统计，根据泡利不相容原理，同一量子态最多只能容纳一个费米子。
费米半径则是描述费米子在动量空间中占据态密度的临界值，低于费米半径的态密度被称为占据态密度，高于费米半径的态密度被称为非占据态密度。
一维单原子链是一种理想化的模型系统，在实际物理体系中也具有一定的现实意义。
研究一维单原子链费米半径可以揭示费米子在一维结构中的特殊行为，对于理解低维系统的物理性质具有重要意义。
为了理解一维单原子链费米半径的概念和其物理意义，首先需要了解费米子的本质和费米-狄拉克统计方法。
费米子是半整数自旋粒子，其运动状态由哈密顿量描述。
费米子具有泡利不相容原理，该原理指出相同自旋的费米子之间不能处于同一量子态。
因此，费米子分布在动量空间中的态密度被分为占据态密度和非占据态密度。
费米子的动量分布由费米-狄拉克分布函数给出。
一维单原子链是一种理想化的模型系统，其由无限长的原子线依次排列而成。
在一维单原子链中，费米子受限于维度的约束，其态密度的形态将会与三维情况有所不同。
费米-狄拉克分布函数可以用来描述一维单原子链费米子的动量分布。
费米-狄拉克分布函数给出了费米子在不同动量处占据态密度的概率分布。
在一维单原子链中，费米子的能量和动量之间的关系由能带结构决定。
在低温下，费米子的动量分布将呈现两个尖峰，分别对应于占据态密度和非占据态密度。
费米半径的确定通过占据态密度和非占据态密度尖峰之间的交叉点得到。
费米半径对于理解一维单原子链中费米子的行为至关重要。
由于一维结构的约束，费米半径相较于三维情况更加复杂。
一维单原子链中费米半径的计算可以通过数值方法或理论推导得到。
在具体的一维单原子链模型中，费米半径可能会受到外界因素的影响，如温度、相互作用等。
研究一维单原子链费米半径的物理意义在于理解低维系统中的费米子行为。
03-02一维单原子链讲解
Solid State Physics
固
体
物
能量本征值
理
本征态函数
—— 将电子的运动和离子的运动分开
晶格具有周期性，晶格的振动具有波的形式 —— 格波
西 格波的研究
南 科
—— 先计算原子之间的相互作用力
技 大
—— 根据牛顿定律写出原子运动方程，最后求解方程
学
Solid State Physics
固
体 物
一维无限原子链 —— 每个原子质量m，平衡时原
理 子间距a
—— 原子之间的作用力
Solid State Physics
固 体 物 理
玻恩－卡曼（Born-Karman）周期性边界条件
一维单原子晶格看作无限长，所有原子是等 价的，每个原子的振动形式都一样
实际的晶体为有限，形成的链不是无穷长， 西 链两头的原子不能用中间原子的运动方程来描述
南 科 技 大 学
Solid State Physics
格波
格波2的波矢
aq1 / 2
相邻原子的位相差
西
南 科
—— 两种波矢q1和q2的格波中，原子的振动完全相同
技
大
学
Solid State Physics
固 体 物 理
—— 相邻原子的相位差取值
波矢的取值
—— 第一布里渊区
西
南
科 技
—— 只研究清楚第一布里渊区的晶格振动问题
大 学
—— 其它区域不能提供新的物理内容
固 体 物 理
简谐近似 —— 振动很微弱，势能展式中只保留到二阶项
相邻原子间的作用力
西
南
科
技
大
一维单原子链
一维单原子链
一维单原子链，是由单个原子组成的一条直线结构。
这样的结构
具有稳定性和强的原子间作用力，因此一维单原子链在纳米科学领域
中被广泛应用。
一维单原子链的材料种类多样，通常包括金属、半导体和氧化物等。
在制备一维单原子链时，需要使用类似于扫描隧道显微镜等高技
术仪器，将原子逐个逐个地排列在一起，制成精细的结构。
利用一维单原子链，可以制作出具有独特性能的纳米器件。
例如，在光学应用方面，可以通过改变单原子链的排列方式，来控制其吸收、反射和透射等特性，进而实现光学信息存储、光伏电池和量子计算等
方面的研究。
在电子学应用方面，一维单原子链可以用于制作高性能
电子器件，例如纳米电缆、纳米场效应晶体管和纳米传感器等。
此外，一维单原子链的制备也为物理学和化学学科的发展带来了
新的思想和方法。
例如，在材料科学和固体物理学领域，研究人员可
以利用单原子链构建的新型组织结构，来探索材料的独特性能和物理
行为；在化学领域，通过单原子链的构建，可以实现对反应过程的控
制和调节，从而开发新型化学反应催化剂等。
总的来说，一维单原子链的制备和应用具有非常广泛的前景和重
要的意义，对于人类社会的发展和科学技术的进步都将发挥重要的作用。
3.2 一维双原子链
2β ω ≈ (aq) 2 m+M
2 −
或
2β ω− ≈ a q m+M
表明对于声学波频率正比于波数, 长声学波就是把 一维链看作连续介质时的弹性波, 这也就是为什么 称 ω－ 支为声学波的原因 对于长声学波, 当 q→0 时, ω－→0. 当 q 很小时, 因此
B →1 A −
−mω 2 A = β (e −iaq + eiaq ) B − 2β A 2 − iaq iaq −mω B = β (e + e ) A − 2β B
方程与 n 无关, 表明所有联立方程对 于格波形式的解都归结为同一对方程
可以看作是以 A、B 为未知数的线性齐次方程
( mω 2 − 2 β ) A + 2β cos aqB = 0 2β cos aqA + ( M ω 2 − 2β ) B = 0
β
iaq '
1 − ina ( q + q ') ) N ∑ e n
β
2m
Q(q ) (1 − eiaq ) Q(−q ) (1 − e − iaq ) ∑
q *
= ∑ Q(q)Q (q)
q
β
2m
( 2 − 2 cos aq )
1 1 2 2 * 2 = ∑ ωq Q(q )Q (q) = ∑ ωq Q(q) 2 q 2 q
势能
1 1 − inaq iaq − inaq ' iaq ' = β∑ (1 − e ) ∑ Q(q ')e (1 − e ) ∑ Q ( q )e 2 n Nm q q'
=
=
∑ Q(q) (1 − e ) Q(q ') (1 − e 2m
第9讲晶格振动一维单原子链
第九讲：晶体振动上一维单原子链简谐近似和简正坐标布拉伐晶格晶体中的格点表示原子的平衡位置，原子在格点附近作热振动，由于晶体内原子之间存在相互作用力，各个原子的振动不是孤立的，而是相互联系在一起的，因此在晶体中形成各种模式的波，称为格波。
只有当振动非常微弱时，原子间的相互作用可以认为是简谐的，非简谐的相互作用可以忽略，在简谐近似下，振动模式才是独立的。
由于晶体的平移对称性，振动模式所取的能量值不是连续的，而是分立的。
通常用一系列独立的简谐振子来描述这些独立的振动模，它们的能量量子称为声子。
势能和动能函数设简单晶格晶体包含N 个原子，平衡位置为R n ，偏离平衡位置的位移矢量为µn (t )，则原子的位置为()()R R n n n t t '=+µ。
将位移矢量µn (t )用分量表示，写成µi ( i = 1, 2, ..., 3N )。
N 个原子体系的势能函数可以在平衡位置附近展开成泰勒级数：⋅⋅⋅++ +=∑∑==j i N i N j i j i i i V V V V µµ∂µ∂µ∂µ∂µ∂03131,20021 (3-1) 下标0表示为在平衡位置时所具有的值。
可以设V 0 = 0，而且在平衡位置相互作用力为零：0 0=i V ∂µ∂ (3-2) 忽略二阶以上的非简谐项可得：j i N j i ji V V µµ∂µ∂µ∂031,221∑==(3-3) N 个原子体系的动能函数为：∑==Ni ii m T 31221µ(3-4)简正坐标 为了使问题简化，引入简正坐标N Q Q Q 321 , , ,⋅⋅⋅简正坐标和原子的位移坐标 µi 之间通过正交变换相互联系：∑==Nj jij i i Qa m 31µ (3-5)引入简正坐标后体系的势能函数和动能函数为：∑==Ni iQT 31221(3-6)∑==N i ii QV 312221ω (3-7)由于动能函数T 是正定的，根据线性代数的理论，总可以找到这样的正交变换，使势能函数和动能函数同时化为平方项之和。
一维单原子链和一维双原子链的色散关系
一维单原子链和一维双原子链的色散关系下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章
So lid S ta te Phy si cs
1 简正模 2 经典一维单原子链：格波 3 量子一维单原子链：声子 4 一维双原子链 5 三维晶格 6 离子晶体的长光学波 7 晶格振动谱的实验方法 8 非完整晶格振动：局域模 9 晶格的比热容 10 晶格状态方程和热膨胀
各个振子 un 的振动不独立
29
我们的目标
找到独立的振动模式 Qq
Q1 d1 0 0 Q 2 0 d2 0 d 2 Q3 0 0 d 3 m 2 dt QN 1 0 0 0 Q N 0 0 0 0 0 0 d N 1 0 0 Q1 0 Q2 0 Q3 0 QN 1 d N QN
7
波动方程的时间和空间离散化
连续介质波动方程
如果 ?
(1) 时间不离散化 (2) 把这里的 h 当作晶格间距 a
8
问题一：q = ？→ 什么边界条件？
N 个格点的体系：
开放边界，open boundary condition (OBC) 周期边界，periodic boundary condition (PBC) 猜的解是否成立？近似成立？
—— 晶格振动的问题 声子系统问题的研究 —— 每个振动模式在简谐近似条件下都是独立的 —— 声子系综是无相互作用的声子气组成的系统
39
2 (q ) (1 cos qa) M
2
进一步：… 哈密顿正则运动方程…
32
回忆
33
格波图像
un un un
34
短波极限
长波
Normal modes of vibration progression through a crystal. The amplitude of the motion has been exaggerated for ease of viewing; in an actual crystal, it is typically much smaller than the lattice spacing. 35
q q
—— 一个简正坐标对应一个谐振子方程，波函数是以简正 坐标为宗量的谐振子波函数 声子 —— 晶格振动的能量量子；或格波的能量量子 一个格波是一种振动模，称为一种声子，能量为 当这种振动模处于 时，说明有 个声子
38
格波的量子化 —— 声子
—— 声子是一种元激发，可与电子或光子发生作用
—— 声子具有能量、准动量，看作是准粒子（quasiparticle）
晶体结构 晶体的结合 晶格的热振动 能带论 金属电子论 半导体电子论 固体磁性 固体超导
1
经典一维单原子链 ：格波
经典视角：一维单原子链的格波解
出发点：力学运动方程 尝试解：格波 等价的能量观点 从有限到无限的过渡 能带：1st BZ 格波与连续介质波的关系 傅里叶（级数）变换 逆傅里叶变换
用两个耦合振子来理解 N → ∞？
36
Two coupled oscillators
• 这个问题的解是不是傅里叶变换？
37
最后，来憧憬一点‘谐振子量子力学’
能量本征值
1 nq (nq )h q 2
本征态函数
q 2 n (Qq ) exp( ) H n ( ) h么猜的解？
第一眼：像一个简谐振动 其次，这是一个波动方程：时间连续，空间不连续
所以猜“格波”解组
发现一个需要满足的条件 问题一： q
2
4 aq sin 2 ( ) m 2
=？
6
问题二：求解过程能否不用猜？
理解：连续方程的离散化
• 变成为一个线性代数+迭代求解问题！《计算物理》
20
—— 两种波矢的格波中， 原子的物理振动完全相同
相邻原子的位相差
—— 恰好是晶格的第一布里渊区 波矢的取值 q a a
巧合？
—— 只需研究清楚第一布里渊区的晶格振动问题 —— 其它区域不能提供新的物理内容
21
考察结果
q1 =/= q2 1 =/= 2
but
玻恩-卡门周期性边界条件
长波极限及短波极限的物理
格波解
格波的实空间图像
简正模
不要忘了“两个耦合谐振子”实例
2
重要性
在上一小节，我们似乎没学到实质的东西！
在物理探索研究中，原型 (Prototype/paradigm) 显得非常重要，原型（雏形）思想：最小模型 本节内容似乎只是一道习题，但是重要得需要用 一节来描述，在下下节我们还会做一道习题 本节的内容或结论将会以各种改头换面的形式出 现在更进一步的现代物理 (包括实验物理和理论物 理) 的各个角落 —— 场论、量子场论
连续介质波
色散关系
cs q cs
— 声速
2 波数 q
16
为何说这是个能带？
退耦
N
0
m
N/2 N/2
aq 低通滤波器 q 20 sin( ) 2
• 回想塞曼效应、斯塔克效应 • 书上没这么说？是因为在经典物理中， 不是能量
17
波动的方式：格波
纵波
• 向上的箭头代表原 子沿 x 轴向右振动 向下的箭头代表原 子沿 x 轴向左振动
长波极限下
相邻两个原子振动位相差
短波极限下
• 短波反映微观结构
27
问题二：求解过程能否不用猜？
倒格子 傅里叶（级数）变换 牛顿力学观点 vs. 能量观点
28
观察牛顿力学运动方程的结构
写成矢量、矩阵形式：三对角
u1 2 1 0 u 2 1 2 1 0 1 2 d 2 u3 m 2 dt u N 1 0 0 0 1 0 0 u N 1 u1 0 0 u2 0 0 u3 2 1 u N 1 1 2 u N 0
un(q1) = un(q2) (q1) = (q2)
q1 = 2 / na + q2
只需挑出第一布里渊区（1st BZ）进行计算
22
两个重要的极限情况
长波极限 短波极限
23
长波极限
当
cq
—— 回到连续介质中弹性波的色散关系
24
相邻原子之间的作用力 长波极限情况
格波传播速度 连续介质弹性波的速度
解：Qq (t ) Qqeit
引入“格点傅里叶变换”能实现这个目标！
Qq Qq*
q 取哪些值？
1st-BZ !《固体理论》-第一章 周期性结构 (李正中)
30
把格点傅里叶变换写成矩阵？
自己动手，丰衣足食！
31
从哈密顿力学来看
二次型！
格点傅里叶变换使之对角化
1 * * H T V QqQq 2 (q)QqQq , 2 q1stBZ
14
频率极小值 频率极大值
min 0
max 2 / m
只有频率在 其它频率的格波被强烈衰减
之间的格波才能在晶体中传播，
—— 一维单原子晶格看作成低通滤波器
15
对比：连续介质波
un q, t Aei ( q )t naq
q
4 aq sin( ) m 2
•
如何确定波长？最长是多长？最短是多短？
注意指标 n
18
格波方程 格波波长
格波波矢
格波相速度
不同原子间位相差
相邻原子的位相差
19
格波 波矢的取值和布里渊区 相邻原子位相差 —— 原子的振动状态相同 格波1(Red)波矢 相邻原子位相差 格波2(Green)波矢 相邻原子的位相差
当 q2 = n 2 /a + q1 会出现什么情况？
2 q m Na
—— h 为整数
波矢的取值范围
N = even/odd ？
11
12
点要一个一个描
aq q 20 sin( ) 2
N/2 N/2
态密度？
13
色散关系 = 振动频谱 = 能谱 = 能带
• 准连续，N ∞ • 具有第一布里渊区的周期性
4 aq q sin( ) m 2
c
a
m/a
K
—— 伸长模量
VElastic K /
—— 连续介质的弹性模量和介质密度 —— 长波极限下，一维单原子晶格格波可以看作是弹性波 —— 晶格可以看成是连续介质
25
短波极限
短波极限下 —— 相邻两个原子振动的位相相反 而长波极限下 ，相邻两个原子之间的位相差
—— 一个波长内包含许多原子，晶格看作是连续介质 26
3
第一出发点
牛顿力学模型
d 2un m 2 (un1 un1 2un ) dt
位移前
晶格间距 (晶格常数): a
位移后
4
尝试解方法
设方程组的尝试解 naq — 第n个原子振动位相因子
代入得到
un q, t Ae
i ( q )t naq
4 2 aq sin ( ) m 2
为何要提出这个问题？
实际体系是怎样的？ limit (N infinity) 的计算意义
9
玻恩-卡门周期性边界条件
Born-Karman
N 个原子头尾相接形成一个环链，保持了所有原 子等价的特点
N 很大，原子运动近似为直线运动