用表格法解线性规划问题

x1
x2
4
x3
1 0 0
x4
0 1 0
b
250 100
x3 x4
3 2 5
1
4
新知
（3）确定换出变量 将b所在列的数除以变量x1所在列中对应的数 将较小商数对应的除数“2”所 在行的人工变量x4定为换出变量。
250 100 3 2
x1
x2
4
x3
1 0
x4
0 1 0
b
250 100
x3 x4
3 2 5
x1 x2 x3 2 x1 4 x2 x4 5 x , x , x , x 0 1 2 3 4
因为≥,所以减去人工 变量。
练习
1
max z 3x1 x2 0x3 0x4
x1 4 x2 x3 8 5 x1 3 x2 x4 12 x , x , x , x 0 1 2 3 4
max z c1x1 c2 x2 ... cn xn
bi 0(i 1,2,...,m)
新知
线性规划问题的标准形式的特点：
（1）目标函数为最大值形式；
（2）约束条件用等式表示，且等式右端的常 数为非负数；
（3）决策变量非负。
新知
线性规划问题化为标准形式的方法：
（1）对于目标函数，如果是
因为≤,所以加上 人工变量。
例题解析
例2 将下列线性规划问题化为标准形式：
min z x1 4 x2
x1 x2 2 x1 4 x2 5 x , x 0 1 2
例题解析
解 令z’=-z，则标准形式为：
max z x1 4x2 0x3 0 x4
18.3 用表格法解线性规划问题
新知
一、线性规划问题的标准形式：
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1 a x a x ... a x b 2n n 2 21 1 22 2 ... a x a x ... a x b m1 1 m2 2 mn n m x1 , x2 ,..., xn 0
（3）对于约束条件中的不等式，如果是≤， 则在左端加上一个变量使其成为等式； 如果是≥，则在左端减去一个变量使其成为等式。
添加的变量称为人工变量。 人工变量不产生效益，所以规定其在目标函数中 系数为0
例题解析
例1 将18.1例1中的线性规划问题化为标准形式：
max z 5x 4 y
3x 4 y 250 2 x y 100 x0 y 0
例题解析
例1 将18.1例1中的线性规划问题化为标准形式：
解 用x1,x2分别取代x,y,则标准形式为：
max z 5x1 4x2 0x3 0x4
3 x1 4 x2 x3 250 2 x1 x2 x4 100 x , x , x , x 0 1 2 3 4
2 5 1 0 5 3 05
x4
3 5 1 4 2 5 5 8 2 5
b
40 30 50
x2 x1
0
1 0
1 3) ( ( 2 ) 2
-310 -250
新知
（5）重复操作，得出最优解 此时 第4行不再有正数 第2,3行中行与列的同一决策变量交叉处为1 决策变量x1和x2所在行的最后一个数就是最优解
1 2 3 2
1 2
5 2
0
-250
新知
（5）重复操作，得出最优解
进行变换，消元
变量x2所在行和列的交叉点的数是 将“
5 2 5 2
，为了方便消元，
5 . 2
”变成“1”。所以这行的数都除以
x1
x2
5 1 2
x3
2 1 5
x4
1 2
3 2 5
b
100 40 50
x2 x1
0
1 0
1 2 3 2
解: (1)建表 把目标函数和约束方程转换成表格：
新知
第2,3行是约束方程的系数和常数项，第4 行的数是目标函数的系数，第一列是人工 变量。
x1
x2
4
x3
1 0 0
x4
0 1 0
b
250 100
x3 x4
3 2 5
1
4
新知
（2）确定换入变量 考虑第4行中的正数，因为5>4，将”5” 所在列的决策变量x1定位换入变量。
x1
x2
1 0
x3
2 5 1 5 3 5
x4
3 5 4 5 8 5
b
40 30
x2 x1
0
1 0
0
-310
新知
（5）重复操作，得出最优解
即 x1 30, x2 30
max z 5 30 4 40 310
x1
x2
1 0
x3
2 5 1 5 3 5
x4
3 5 4 5 8 5
b
40 30
x2 x1
0
1 0
0
-310
练习
用表格法求解线性规划问题：
max z 8x1 10x2
2 x1 x2 11 x1 2 x2 10 x , x 0 1 2
小结
1、求解线性规划问题的标准形式的方法。 2、用表格法求解线性规划问题的步骤
x1
+
x2
5 4 2
x3
1 0
x4
3 0 2
b
100 250 50
(3) (5)
x3 x1
0 3 1 5 0
1 2
3 4 2
1 2
5 02
+
0
-250
新知
（5）重复操作，得出最优解 因第4行中还有正数 3 ,故重复（2）~（5）步骤。
2
直到第4行中不再有正数为止。
x1
x2
5 2
x3
练习
2
max z 7 x1 5x2 0x3 0x4
4 x1 x2 x3 10 x1 x2 x4 2 x , x , x , x 0 1 2 3 4
新知
表格法解线性规划问题
max z 5x1 4x2 0x3 0x4 3 x1 4 x2 x3 250 2 x1 x2 x4 100 x , x , x , x 0 1 2 3 4
min z c1x1 c2 x2 ... cn xn 则令 z z max z (c1 x1 c2 x2 ... cn xn )
就得到
新知
线性规划问题化为标准形式的方法：
（2）对于约束条件，如果有
bi 0
则在不等式（或等式）两边同乘以“-1”
新知
线性规划问题化为标准形式的方法：
1 2 3 2
1 2
5 2
0
-250
新知
（5）重复操作，得出最优解
确定换出变量
将b所在列的数除以变量x1所在列中对应的数
5 1 100 50 2 2
5 将较小商数对应的除数“2
”所在行 的人工变量x3定为换出变量。
x1
x2
5 2
x3
1 0
x4
3 2
b
100 50
x3 x1
0
1 0
1 0
x4
3 2
b
100 50
x3 x1
0
1 0
1 2 3 2
1 2
5 2
0
-250
新知
（5）重复操作，得出最优解
确定换入变量 3 3 考虑第4行中的正数，因为 0 ，将” ”所在列的 2 2 决策变量x2定位换入变量。
x1
x2
5 2
x3
1 0
x4
3 2
b
100 50
x3 x1
0
1 0
Leabharlann Baidu
0
0
5 2
-250
新知
（5）重复操作，得出最优解
将第3,4行中x2所在列的数都化为0 1 将第2行的所有数乘以“ ”，分别与第3行中对应的数 2 相加，所得结果替换第3行。 将第3行的所有数乘以“
相加，所得结果替换第4行。
3 2
”，分别与第4行中对应的数
x1
+
+
x2
1
1 0 2 3 0 2
x3
1
4
0
新知
（4）进行变换，消元 变量x1所在行和列的交叉点的数是2，为了方便 消元，将“2”变成“1”。所以这行的数都除以 “2”.
x1
x2
4
1 1 2
x3
1 0
x4
0
1 1 2
b
250 100 50
x3 x1
3 1 2 5
4
0
0
新知
（4）进行变换，消元 将第2,4行中x1所在列的数都化为0
将第3行的所有数乘以“-3”，分别与第2行中对应的数相加， 所得结果替换第2行。 将第3行的所有数乘以“-5”，分别与第4行中对应的数相加， 所得结果替换第4行。