选修4-5学案§4.1.1数学归纳法证明不等式
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选修4-5学案 §4.1.1数学归纳法证明不等式 姓名
☆学习目标：1. 理解数学归纳法的定义、数学归纳法证明基本步骤;
2. 会运用数学归纳法证明不等式 重点：应用数学归纳法证明不等式.
☻知识情景：
关于正整数n 的命题(相当于多米诺骨牌),我们可以采用下面方法来证明其正确性：
10. 验证n 取 时命题 ( 即n ＝n 时命题成立) (归纳奠基） ； 20. 假设当 时命题成立，证明当n=k ＋1时命题 (归纳递推）. 30. 由10、20知，对于一切n ≥n 的自然数n 命题 ！(结论）
要诀: 递推基础 , 归纳假设 , 结论写明 .
☆ 数学归纳法的应用：
例1. 用数学归纳法证明不等式sin sin n n θθ≤.
例2已知x > -1，且x ≠0，n ∈N*，n ≥2．求证：(1+x )n >1+nx .
例3 证明: 如果(n n 为正整数)个正数12,,,n a a a 的乘积121n a a a = , 那么它们的和12n a a a n +++ ≥.
例4 证明:2
2
2
111112(,2).2
3
≥n N n n
n
+
+
+⋯+
<-
∈
例5.当2n ≥时,求证:1
+
+++
>
选修4-5练习 §4.1.1数学归纳法证明不等式（1） 姓名 1、已知f(n)=(2n+7)·3n +9,存在自然数m,使得对任意n ∈N,都能使m 整除f(n)，则最大的m 的
值为( ) A.30
B.26
C.36
D.6 2、.观察下列式子：2
2
2
2
2
1311511171,
1,
1222
3
32
3
4
4
+
<
+
+<
+
++<
…则可归纳出____ _____.
3、已知112
a =
, 133
n n n a a a +=
+, 则2345,,,a a a a 的值分别为_____ ____，由此猜想
n a =_________.
4、用数学归纳法证明: 1*5231()n n n A n N -=+⋅+∈能被8整除.
5、用数学归纳法证明 n n n n
n 212
11
1211
214131211+
+++
+=
--+
+-+-
6、.用数学归纳法证明4
12+n
+3n+2能被13整除，其中n ∈N
7、求证：1115(2,)
1
2
36
n n N n n n
*
+
++
>≥∈++
8、已知，1111,23n S n N n
*
=+
+++
∈ ， 用数学归纳法证明：
21(2,)
2
n n S n n N *
>+
≥∈
9、.求证：用数学归纳法证明 2
*
22()n
n
n N +>∈．
答案:
1. 关于正整数n 的命题(相当于多米诺骨牌),我们可以采用下面方法来证明其正确性： 10. 验证n 取第一个值时命题成立( 即n ＝n 时命题成立) (归纳奠基） ； 20. 假设当n=k 时命题成立，证明当n=k ＋1时命题也成立(归纳递推）. 30. 由10、20知，对于一切n ≥n 的自然数n 命题都成立！(结论）
要诀: 递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉.
例1 ⑴当1n =时,上式左边sin θ
=右边,不等式成立.
⑵设当(1)n k k =≥时,不等式成立,即有sin sin k k θθ≤.
那么,当1n k =+时, sin(1)k θ+=
例2 证明:(1)当n =2时，左＝(1＋x )2=1+2x +x 2
∵ x ≠0，∴ 1+2x +x 2>1+2x =右,∴n =2时不等式成立
（2）假设n =k (k ≥2)时，不等式成立，即 (1+x )k
>1+kx 当n =k +1时，因为x > -1 ，所以1+x >0，于是 左边=(1+x )k +1 右边=1+(k +1)x ．
因为kx 2＞0，所以左边＞右边，即(1+x )k +1
>1+(k +1)x ． 这就是说，原不等式当n =k +1时也成立．
根据(1)和(2)，原不等式对任何不小于2的自然数n 都成立.
例3 证明:⑴当1n =时,有11a =，命题成立.
⑵设当n k =(1)k ≥时，命题成立，即若k 个正数12,,,k a a a 的乘积121k a a a = , 那么它们的和12k a a a k +++ ≥.
那么当1n k =+时,已知1k +个正数121,,,,k k a a a a + 满足1211k k a a a a += .
若1k +个正数121,,,,k k a a a a + 都相等,则它们都是1.其和为1k +,命题成立.
若这1k +个正数121,,,,k k a a a a + 不全相等,则其中必有大于1的数,也有小于1的数 (否则与1211k k a a a a += 矛盾).不妨设121,1a a ><.
例4证:(1)当n =1时,左边=2
1512
4
+
=
,右边=1322
2
-
=
,由于
534
2<
故不等式成立.
(2)假设n =k ( ,2≥k N k ∈)时命题成立,即2
2
2
111112.2
3
k
k
+
+
+⋯+<-
则当n =k +1时, 2
2
2
2
2
111111122
3
(1)
(1)k
k k
k ++
+⋯+
+
<-
+
++
2
111111
11
222
()2.(1)
(1)
1
1
k
k k
k k k k
k k -
+
<-
+
=-+-=
-++
++ 即当n =k +1时,命题成立.
由(1)、(2)原不等式对一切,2≥n N n ∈都成立.
例5（1）当时，左式
右式n ==+=+>>
=2112
122
172. ∴=当时，不等式成立n 2