平面向量坐标表示 公开课ppt
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《平面向量的坐标表示》课件
解析
首先计算$overrightarrow{AC}$和$overrightarrow{BC}$ 的坐标。根据向量的坐标表示，$overrightarrow{AC} = C - A = (-1-1, -2-2) = (-2,-4)$，$overrightarrow{BC} = C - B = (-1-3, -2-4) = (-4,-6)$。然后计算 $overrightarrow{AB} + overrightarrow{AC}$的坐标。 根据向量加法的性质，$overrightarrow{AB} + overrightarrow{AC} = (2+(-2), 2+(-4)) = (0,-2)$。
向量加法
设向量$overset{longrightarrow}{AB} = (x_{1},y_{1})$，向量$overset{longrightarrow}{BC} = (x_{2},y_{2})$，则$overset{longrightarrow}{AC} = overset{longrightarrow}{AB} + overset{longrightarrow}{BC} = (x_{1} + x_{2},y_{1} + y_{2})$。
b坐o标ve求rse解t{longrightarrow}{ j}$。
通过向量的起点和终点坐标，可以求出$a$和$b$的值， 从而得到向量的坐标。
03
起点坐标法
如果知道起点$A$和终点$B$的坐标，则向量 $overset{longrightarrow}{AB}$的坐标为$(B_x - A_x, B_y - A_y)$。
向量积：设向量 $overset{longrightarrow}{AB} = (x_{1},y_{1})$，向量 $overset{longrightarrow}{BC} = (x_{2},y_{2})$，则 $overset{longrightarrow}{AB} times overset{longrightarrow}{BC}$的大 小为 $|overset{longrightarrow}{AB}| cdot |overset{longrightarrow}{BC}| cdot sintheta$，其中$theta$为两
首先计算$overrightarrow{AC}$和$overrightarrow{BC}$ 的坐标。根据向量的坐标表示，$overrightarrow{AC} = C - A = (-1-1, -2-2) = (-2,-4)$，$overrightarrow{BC} = C - B = (-1-3, -2-4) = (-4,-6)$。然后计算 $overrightarrow{AB} + overrightarrow{AC}$的坐标。 根据向量加法的性质，$overrightarrow{AB} + overrightarrow{AC} = (2+(-2), 2+(-4)) = (0,-2)$。
向量加法
设向量$overset{longrightarrow}{AB} = (x_{1},y_{1})$，向量$overset{longrightarrow}{BC} = (x_{2},y_{2})$，则$overset{longrightarrow}{AC} = overset{longrightarrow}{AB} + overset{longrightarrow}{BC} = (x_{1} + x_{2},y_{1} + y_{2})$。
b坐o标ve求rse解t{longrightarrow}{ j}$。
通过向量的起点和终点坐标，可以求出$a$和$b$的值， 从而得到向量的坐标。
03
起点坐标法
如果知道起点$A$和终点$B$的坐标，则向量 $overset{longrightarrow}{AB}$的坐标为$(B_x - A_x, B_y - A_y)$。
向量积：设向量 $overset{longrightarrow}{AB} = (x_{1},y_{1})$，向量 $overset{longrightarrow}{BC} = (x_{2},y_{2})$，则 $overset{longrightarrow}{AB} times overset{longrightarrow}{BC}$的大 小为 $|overset{longrightarrow}{AB}| cdot |overset{longrightarrow}{BC}| cdot sintheta$，其中$theta$为两
《平面向量基本定理及坐标表示》课件14(17张PPT)(人教A版必修4)
a b
即a // b a b
a // b x1y2 x2 y1 0
注:（1）消去λ时不能两式相除 （2）充要条件不能写成
y1 y 2
x1
x2
例1已知 a=(4，2)， b =(6， y)，且
a∥ b ，求 y.
解:
a // b
4y 26 0
y3
面内的任何一个向量 a ， 有且只有一对实数 1和2 使
a 1e1 2 e2
几何画板演示
注意：①不共线的向量 e1, e2 叫做表示这一平面内所有向
量 的一组基底。 ② 这种表示是唯一的， 即若 1e1 1e2 2 e1 2 e2,则1 2且1 2 ③基底不惟一，关键是不共线
b 2i 3 j (2,3) c 2i 3 j (2,3)
d 2i 3 j (2,3)
练习：
已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为 （－2，1）、（ －1，3）、（3，4），求顶点D的坐标．
解：设顶点D的坐标为（x，y） AB (1 （ 2），3 1）（1，2）
2.3平面向量பைடு நூலகம்基本定理及坐标 表示（第1课时）
学习目标：
（1）了解平面向量基本定理
（2）能够在具体问题中适当地选取基底， 使其他向量都能够用基底来表达
（3）两平面向量的夹角 （4）平面向量的正交分解和坐标表示及运算
一、平面向量的基本定理
设 e1 和 e 2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平
a=（x,y）
j
Oi
那么i =（ 1 ，0 ）j （ 0 ，1 ） 0 =（ 0 ，0）
a x
平面向量的坐标运算
即a // b a b
a // b x1y2 x2 y1 0
注:（1）消去λ时不能两式相除 （2）充要条件不能写成
y1 y 2
x1
x2
例1已知 a=(4，2)， b =(6， y)，且
a∥ b ，求 y.
解:
a // b
4y 26 0
y3
面内的任何一个向量 a ， 有且只有一对实数 1和2 使
a 1e1 2 e2
几何画板演示
注意：①不共线的向量 e1, e2 叫做表示这一平面内所有向
量 的一组基底。 ② 这种表示是唯一的， 即若 1e1 1e2 2 e1 2 e2,则1 2且1 2 ③基底不惟一，关键是不共线
b 2i 3 j (2,3) c 2i 3 j (2,3)
d 2i 3 j (2,3)
练习：
已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为 （－2，1）、（ －1，3）、（3，4），求顶点D的坐标．
解：设顶点D的坐标为（x，y） AB (1 （ 2），3 1）（1，2）
2.3平面向量பைடு நூலகம்基本定理及坐标 表示（第1课时）
学习目标：
（1）了解平面向量基本定理
（2）能够在具体问题中适当地选取基底， 使其他向量都能够用基底来表达
（3）两平面向量的夹角 （4）平面向量的正交分解和坐标表示及运算
一、平面向量的基本定理
设 e1 和 e 2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平
a=（x,y）
j
Oi
那么i =（ 1 ，0 ）j （ 0 ，1 ） 0 =（ 0 ，0）
a x
平面向量的坐标运算
第六章第二节平面向量的基本定理及坐标表示课件共49张PPT
设正方形的边长为
1
，
则
→ AM
＝ 1，12
，
→ BN
＝
－12，1 ，A→C ＝(1，1)，
∵A→C ＝λA→M ＋μB→N
＝λ－12μ，λ2 ＋μ ，
λ－12μ＝1， ∴λ2 ＋μ＝1，
解得λμ＝ ＝6525， ．
∴λ＋μ＝85 .
法二：由A→M
＝A→B
＋12
→ AD
，B→N
＝－12
→ AB
＋A→D
栏目一 知识·分步落实 栏目二 考点·分类突破 栏目三 微专题系列
栏目导引
课程标准
考向预测
1.理解平面向量的基本定理及其意义． 考情分析： 平面向量基本定理及
2．借助平面直角坐标系掌握平面向量 其应用，平面向量的坐标运算，向
的正交分解及其坐标表示．
量共线的坐标表示及其应用仍是
3．会用坐标表示平面向量的加法、减 高考考查的热点，题型仍将是选择
A．(－2，3)
B．(2，－3)
C．(－2，1)
D．(2，－1)
D [设 D(x，y)，则C→D ＝(x，y－1)，2A→B ＝(2，－2)，根据C→D ＝2A→B ， 得(x，y－1)＝(2，－2)，
即xy＝ －21， ＝－2， 解得xy＝ ＝2－，1， 故选 D.]
2．(2020·福建三明第一中学月考)已知 a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若
解析： ∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)， ∴2mm－＋2nn＝＝9－，8， ∴mn＝＝52.， ∴m－n＝2－5＝－3. 答案： －3
考点·分类突破
⊲学生用书 P93
平面向量基本定理及其应用
(1)(多选)(2020·文登区期中)四边形 ABCD 中，AB∥CD，∠A＝90°，
平面向量的坐标表示课件
CHAPTER 04
平面向量坐标表示的几何意义
向量的长度和方向
总结词
向量的长度表示向量的大小，方向表示向量的指向。
详细描述
在平面上，一个向量可以用坐标表示为起点和终点的坐标差值。向量的长度可 以通过勾股定理计算，方向可以通过起点和终点的位置确定。
向量的夹角和向量的数量积
总结词
向量的夹角表示两个向量之间的 角度，向量的数量积表示两个向 量之间的相似度。
应用
在物理和工程中，数乘运算常用于描述力的合成与分解、速度和加速度 的计算等。
CHAPTER 03
平面向量坐标表示的应用
向量模的计算
总结词
详细描述
总结词
详细描述
向量模是衡量向量大小的一 个重要指标，通过坐标表示 可以方便地计算向量的模。
向量模的计算公式为 $sqrt{x^2 + y^2}$，其中 $x$和$y$分别为向量在x轴和 y轴上的分量。通过坐标表示 ，我们可以直接使用这个公
总结词
详细描述
总结词
详细描述
向量的投影是向量在某个方向 上的分量，通过坐标表示可以 方便地计算向量的投影。
向量的投影公式为 $frac{xcostheta + ysintheta}{sqrt{x^2 + y^2}}$，其中$(x, y)$为向量 的坐标，$theta$为投影方向 与x轴的夹角。使用这个公式 可以计算出向量在任意方向上 的投影。
overset{longrightarrow}{F_{1}} + overset{longrightarrow}{F_{2}}$。
速度和加速度的合成与分解
速度的合成
当物体同时参与两个方向上的运动时，其合 速度可以通过平面向量的加法运算得到。例 如，向量 $overset{longrightarrow}{v_{1}}$和 $overset{longrightarrow}{v_{2}}$分别表 示两个方向上的速度，合速度 $overset{longrightarrow}{v}$可以通过向 量加法$overset{longrightarrow}{v} = overset{longrightarrow}{v_{1}} + overset{longrightarrow}{v_{2}}$得到。
平面向量的坐标表示与运算PPT优秀课件
b 2 i 3 j ( 2 ,3 ) c 2 i 3 j ( 2 , 3 )
A A1
d 2 i 3 j (2 , 3 )
2.3.3平面向量的坐标运算
平面向量的坐标运算
1.已知a (x1,y1)， b (x2,y2)，求a+b，a-b．
解：a+b=( x 1 i + y1 j ) + ( x 2 i + y 2 j ) =（ x 1 + x 2 )i+（ y 1+ y 2 )j
a j
向量a 一 一 对 应 坐标（x ，y） O i
x
3．两个向量相等的充要条件，利用坐标如何表示？ a b x 1 x 2 且 y 1 y 2
2.3.2 平面向量的坐标表示
例1．如图，用基底i ，j 分别表示向量a、b 、c 、d ，并
求它们的坐标．
A2
解：由图可知
a A 1 A A 2 A 2 i 3 j a(2,3) 同理，
97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔·普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉·彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔·卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰·罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳·厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝·C·科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔·卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟·倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克·佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根·皮沙尔·史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。
A A1
d 2 i 3 j (2 , 3 )
2.3.3平面向量的坐标运算
平面向量的坐标运算
1.已知a (x1,y1)， b (x2,y2)，求a+b，a-b．
解：a+b=( x 1 i + y1 j ) + ( x 2 i + y 2 j ) =（ x 1 + x 2 )i+（ y 1+ y 2 )j
a j
向量a 一 一 对 应 坐标（x ，y） O i
x
3．两个向量相等的充要条件，利用坐标如何表示？ a b x 1 x 2 且 y 1 y 2
2.3.2 平面向量的坐标表示
例1．如图，用基底i ，j 分别表示向量a、b 、c 、d ，并
求它们的坐标．
A2
解：由图可知
a A 1 A A 2 A 2 i 3 j a(2,3) 同理，
97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔·普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉·彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔·卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰·罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳·厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝·C·科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔·卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟·倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克·佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根·皮沙尔·史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。
平面向量的正交分解及坐标表示 公开课一等奖课件
【答案】 B
2．已知 a＋b＝(－1,5)，a－b＝(5，－3)，则 b＝( A．(4,2) B．(－6,8) C．(2,1) D．(－3,4)
)
【答案】D
知识点 3 平面向量坐标的应用 【例 3】 已知点 A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，若第三象限的点 P → → → 使得AP＝AB＋λAC，求实数 λ 的取值范围． 思路点拨：设出 P 点的坐标，把向量式转化为坐标表示，再 根据向量相等的条件列出方程组，解出 P 点的坐标，由 P 在第三 象限确定 λ 的取值范围．
典例剖析 知识点 1 平面向量的坐标运算 【例 1】 已知 a＝(2,3)，b＝(－4，－1)，求： (1)3a－2b；(2)－2a－5b. 思路点拨：向量的加减和数乘运算都可以用坐标表示来进行．
解： (1)3a－2b＝3(2,3)－2(－4，－1)＝(6,9)－(－8，－2)＝(6＋8,9 ＋2)＝(14,11)； (2)－2a－5b＝－2(2,3)－5(－4，－1)＝(－4，－6)－(－20，－ 5)＝(－4＋20，－6＋5)＝(16，－1)．
【答案】D
预习测评 1. (2014 年湛江调研)向量 a=(-1,-2),b=(0,1),则 a+b=( A.(-1,-1) B.(-1,-3) C.(1,-3) D.(0,-2) )
【答案】A
→ → 2．已知平行四边形 ABCD 中，AD＝(3,7)，AB＝(－2,3)，对角 → 线 AC 与 BD 相交于 O，则CO＝( ) 1 1 A.－ ，5 B.－ ，－5 2 2 1 1 C.2，－5 D.2，5
5λ＋5<0， 在第三象限，所以 7λ＋4<0，
解得 λ<－1.
平面向量的坐标ppt课件
A
A1
c 2i 3 j (2,3)
d 2i 3 j (2,3)
练习:已知O是坐标原点,点A在 第一象限,| OA | 4 3, xOA 60,求向量OA的坐标.
二、平面向量的坐标运算
1.已知a (x1, y1 )，b (x2 , y2 ) ，求a+b，a-b．
解：a+b=( x1i + y1 j ) + ( x2 i + y2j ) =（ x1 + x2 )i+（ y1+ y2 )j
1．若M(3, -2)
N(-5,
-1)
且
MP
1 2
MN
,
求P点的坐标；
解：设P(x, y) 则(x-3, y+2)= 1 (-8, 1)=(-4, 2
1
2)
xy32124
∴
x y
1 3
2
∴P点坐标为(-1, - 3 ) 2
2．若A(0, 1), B(1, 2), C(3, 4) 则 AB 2 BC = (-3,-3)
(x2 x1, y2 y1 )
O
B(x2 , y2 ) x
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐 标减去始点的坐标．
a (x,y)
实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的向量的相 应坐标．
例3． 已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为
（－2，1）、（ －1，3）、（3，4），求顶点D的坐标．
解：设顶点D的坐标为（x，y） AB (1 （ 2），3 1）（1，2）
DC (3 x,4 y)
由AB DC，得 (1,2) (3 x,4 y)
2 1
3 4
公开课平面向量的坐标表示课件
2023
PART 04
平面向量坐标表示的实例 分析
REPORTING
力的合成与分解的实例分析
力的合成
当有两个力同时作用在一个物体上时，其总作用力可以用向量表示。例如，当一个物体受到两个力$F_1$和 $F_2$的作用，其合力的向量表示为$F = F_1 + F_2$。
力的分解
一个力可以分解为两个或多个分力。分力的大小和方向可以通过向量的分解得到。例如，一个力$F$可以分解为 两个分力$F_1$和$F_2$，其向量表示为$F = F_1 + F_2$。
练习题 三
总结词
理解向量的数量积与坐标之间的 关系
详细描述
通过计算给定向量的数量积，理 解数量积的计算方法，掌握数量
积与坐标之间的关系。
答案
给定向量$vec{a}=(x_1, y_1)$和 $vec{b}=(x_2, y_2)$，其数量积
的坐标表示为$x_1x_2 + y_1y_2$。
2023
REPORTING
力的矩的实例分析
定义
力矩是一个向量，表示力对物体转动效果的影响。在二维平面中，如果一个力$F$作用 在一个点上，其力矩向量表示为$M = F times d$，其中d是该点到转动轴的距离。
实例
假设有一个门，我们想打开它。作用在门上的推力可以看作是一个力$F$，而门轴到推 力作用点的距离可以看作是d。如果我们知道推力和门轴的距离，就可以计算出打开门
加速度的向量表示
物体的加速度可以表示为速度向量的时间导数。在二维平面中，如果物体的速度向量为 $overset{longrightarrow}{v} = x' vec{i} + y' vec{j}$，则其加速度向量为 $overset{longrightarrow}{a} = x'' vec{i} + y'' vec{j}$。
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示(优秀经典公开课比赛课件).
为基底？任一向量a ，用这组基底可表示为 有且只有一对实
数x、y，使得 a =xi + yj．
Hale Waihona Puke y a（x，y）叫做向量a的坐标，记作
j
a=xi + yj
那么i =（1 ，0）
j =( 0 ，1 )
O 0 =（ 0 ，0）
i
x
2.3.2 平面向量的坐标表示
概念理解
1．以原点O为起点作 OA a ，点A的位置由谁确定?
2.3.2 平面向量的正交分解 及坐标表示
2.3.2 平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向 量，叫作把向量正交分解
2.3.2 平面向量的坐标表示
平面向量的坐标表示
1．在平面内有点A和点B，向量怎样 AB 表示？
2．平面向量基本定理的内容？什么叫基底？
3．分别与x 轴、y 轴方向相同的两单位向量i 、j 能否作
求它们的坐标．
A2
解：由图可知
a AA1 AA2 2i 3 j a (2,3) 同理，
b 2i 3 j (2,3) c 2i 3 j (2,3)
A A1
d 2i 3 j (2,3)
作业
❖谢谢
由a 唯一确定
y
2．点A的坐标与向量a 的坐标的关系？
a
A(x, y)
两者相同
a j
向量a 一 一 对 应 坐标（x ，y） O i
x
3．两个向量相等的充要条件，利用坐标如何表示？ a b x1 x2且y1 y2
2.3.2 平面向量的坐标表示
例2 如图，用基底i ，j 分别表示向量a、b 、c 、d ，并
平面向量的坐标表示及运算2课件
03
平面向量的数量积
数量积的定义
总结词
数量积是两个向量模长的乘积与夹角的余弦值的乘积。
详细描述
平面向量的数量积定义为向量a和向量b的数量积等于它们的模长之积乘以夹角的 余弦值，记作a·b=|a||b|cosθ。
数量积的几何意义
总结词
数量积表示两个向量在平面上的投影 长度之积。
详细描述
数量积的几何意义在于它表示向量a和 向量b在垂直于它们夹角平分线方向的 投影长度之积，即 a·b=|a||b|cosθ=|a'||b'|，其中a'和b'分 别是向量a和b在垂直于夹角平分线方向 上的投影向量。
数量积的运算性质
总结词
数量积具有交换律、分配律和结合律等运算性质。
详细描述
数量积满足交换律，即a·b=b·a；满足分配律，即(a+b)·c=a·c+b·c；满足结合律，即(a·b)·c=a·(b·c)。此外，数 量积还具有正负性，当夹角θ为锐角时，a·b>0；当夹角θ为钝角时，a·b<0；当夹角θ为直角时，a·b=0。
感谢您的观看
THANKS
平面向量坐标的运算性质
向量加法
若$overrightarrow{a} = (x_1, y_1)$， $overrightarrow{b} = (x_2, y_2)$，则 $overrightarrow{a} + overrightarrow{b} =
(x_1 + x_2, y_1 + y_2)$。
01
反交换律
$vec{A} times vec{B} = -vec{B} times vec{A}$。
02
03
结合律
平面向量的坐标表示及运算-PPT课件
归纳总结 定义：
在平面直角坐标系内，我们分别取与X轴、Y轴方 向相同的单位向量 i , j作为基底，任作一向量a， 由平面向量基本定理知，有且仅有一对实数 x , y , 使得 a=x i+y j. 1 、把 a=x i+y j 称为向量基底形式. 2 、把(x , y)叫做向量a的（直角）坐标, 记为：a=(x , y) , 称其为向量的坐标形式. 3、 a=x i+y j =( x , y)
调用几何画板
探索1:
以O为起点，P为终点的向量能 否用坐标表示？如何表示？
y a
o
P
x
调用几何画板
4
3
2
（ 3， 2） P
2 j
1
j
-2
O i
-1 -2
2
4
6
3i
O P 3 i2 j ( 3 , 2 )
-3
调用几何画板
向量的坐标表示
4 3
2
（ x， y） P
y j
1
j
-2
O
-1 -2
例 题 2 、 如 图 ， 用 基 底 i 、 j 分 别 表 示 向 量 a 、 b 、 c 、 d , 并 求 出 它 们 的 坐 标 。 y 解：由图可知
b
5 4 3 2
j
A
2
a
A
A
1
a AA1 AA2 2i 3 j
1 2 3 4 x
a(2 ,3 )
同理
-4 -3 -2 -1 0 1 -1 i -2
说明：一个向量的坐标等于表示此向量的有
向线段的终点的坐标减去始点的坐 标． (末减初)
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已知，a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则 a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j) =(x1+x2)i+(y1+y2)j 即 a+b=(x1+x2,y1+y2) 同理可得 a-b=(x1-x2,y1-y2)
这就是说，两个向量和与差的坐标分别等 于这两个向量相应坐标的和与差。
(2) a xi y j xi y j ( x, y )
a = ( x, y )
y
i= ( 1, 0 ) j= ( 0, 1 ) 0= ( 0, 0 )
yj j O i
a x
xi
2.向量的坐标与点的坐标关系
4 3
yj
j
-2
2
P（x，y）
xi
1
O
-1 -2
2
4
6
i
-3
OP xi y j ( x, y) 一一对应 向量 OP P（x ，y）
质是先将未知量设出来，再利用方程或方程组求解，把一个 向量用其他两个向量表示，这是常用方法.
课堂小结:
1.向量的坐标的概念: a xi y j ( x, y)
2.对向量坐标表示的理解: (1)任一平面向量都有唯一的坐标; (2)向量的坐标与其起点、终点坐标的关系；
(3)相等的向量有相等的坐标. 3.平面向量的坐标运算: (1)若a ( x1, y1 ), b ( x2 , y2 ), 则 a b ( x1 x2 , y1 y2 ), a b ( x1 x2 , y1 y2 ), a ( x1, y1 ) ( 2) 若A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), AB ( x2 x1, y2 y1 )
知识点一：
若两个不共线向量互相垂直时
λ2 a2
a
把一个向量分解为两个互相垂 直的向量,叫做把向量正交分解
λ 1a 1
F1 G
F2
正交分解
在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基 底时，会为我们研究问题带来方便。
我们知道，在平面直角坐标系， 每一个点都可用一对有序实数（即它 的坐标）表示，对直角坐标平面内的 每一个向量，如何表示？
(3)基底给定时，分解形式唯一. λ1,λ2是被 a ,e1、 e2唯一确定的数量。
新课引入
F1 G F2
G = F G与 F F ? 1+F2 1, 2有什么关系 G=F1+F2叫做重力G的分解
类似地，由平面向量的基本定理，对平面上的 任意向量a，均可以分解为不共线的两个向量 λ1a1和λ2 a2,使a=λ1a1 + λ2 a2
a=(2,3) 同理，b=-2i+3j=(-2,3) c=-2i-3j=(-2,-3)
-4 -3 -2 -1O -1 -2 c -3 -4 -5
i1 2 3 4 x d
dy1 ),b ( x2 , y2 ), 你能得出a+b，a-b， a 的坐标吗？
第二章 平面向量
§2.2 平面向量的线性运算
数应师范二班 晁兴杰
复习
平面向量基本定理
如果e1,e2是同一平面内的两个不 共线向量，那么对于这一平面内的任 一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2
使a= λ1 e1+ λ2 e2
复习
a= λ1 e1+ λ2 e2
(1)基底不唯一，关键是不共线； (2)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条 件下进行分解；
向量的坐标表示
4 3
B
P
A
2
yj
j
-2
2
1
M
O
-1 -2
i
xi
4
6
MP MA MB xi yi ( x, y)
-3
y yj j O i a
xi
分别取与x轴、y轴方向相同的两 个单位向量i、j作为基底. x 任作一个向量a,由平面向量基本 定理知,有且只有一对实数x、 y, 使得 a= x i+y j 把(x,y)叫做向量a的坐标，记作 a = ( x, y ) 其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫 做a在y轴上的坐标
y
向量a、b有什么关系?
yj yj j O i xi xi a b
a＝b
能说出向量b的坐标吗?
x
b=( x,y )
相等的向量坐标相同
思考1：如图，用基底i，j分别表示向量a、b、c、 d ,并求出它们的坐标.
b y 5 4 3 2 j1 A2 a A A1
解： 由图可知 a=AA1+AA2=2i+3j,
结论3：实数与向量乘积的坐标等于用这个实数乘 原来向量的相应坐标.
结论： 一个向量的坐标等于表示此向量 的有向线段的终点的坐标减去始点的 坐标。
y A(x1,y1)
如图，已知A(x1,y1),B(x2,y2), 则 AB= OB - OA
B(x2,y2) x
O
= (x2,y2) - (x1,y1) = (x2-x1,y2-y1)
例1 已知a＝(－2,3)，b＝(3,1)，c＝(10，－4)，试用a，b表示c.
解 设c＝xa＋yb，
则(10，－4)＝x(－2,3)＋y(3,1) ＝(－2x＋3y,3x＋y)，
10＝－2x＋3y， ∴ －4＝3x＋y，
解得x＝－2，y＝2，∴c＝－2a＋2b.
反思与感悟
待定系数法是最基本的数学方法之一，它的实