常见的数学建模方法

0.0001
6
1.43
1.45
+0.02
0.0004
7
1.32
1.32
0
0
8
1.25
1.22
-0.03
0.0009
残差的平方和为: Σv2 = 0.0146 , 这个结果应该说也是较好的.
说明: 该例中的变量替换 方法运用,使得线性模型的最小二乘法公式 应用范围大 大扩大. 常见的 非线性模型的变换方式 如下表所列:
组数据应服 从的数学模型，如记 l - 1000 = l’ , l0 – 1000 = b, al0 = k,
则有 l’ = b + kt . 可以算得： 4
4
(l 1000)
4
t 42.5,
t
2 i
8100,
l ' i1
i 1
4
0.705, tili' 34.6 i 1
根据最小二乘法公式，
变量替换 ：
Y = lny , X = lnx ,
即得线性模型：Y = A + bX , 其中 A = lna , 而 ( X , Y ) 的数据为:
（用ln最x小i ,二ln乘y 法i ）算, (得i ：= 1a
,…,8 ) . = 17.2463 ,
b
=Βιβλιοθήκη Baidu
-
0.6048
.
由此最后可得到
油的粘度 y 与温度 x 之间依赖关系的数学模型为:
实例 3. 某研究所为了研究三种肥料氮, 磷, 钾对于土豆和生菜的作
用, 分别对每种作物进行了三组试验. 实验数据如下列表格所示, 其 中 ha 表示公顷 , t 表示吨 , kg 表示千克. 试建立反映施肥量与产量 关系的数学模型.
氮施肥量(公斤/公顷)与土豆产量（吨/公顷）关系的实验数据
施肥 0 量
线性模型下的最小二乘法法则是：如果一组数据为：（ xi , yi ）,
( i = 0,…, n ) ， 它服从 线性函数 y = kx + b 模型 , 则
n
x i
y i
nx
y
k i1 n
, b y kx ,
x2 i
nx 2
i 1
n
n
其中
x i
y i
x i1
, y i1
.
n
n
（3）进行模型检验 .求得确定的经验公式后,将实际测定值与用公
的数学方法, 对所研究系统的有关问题进行 定量化的机理分析 ,
导出较为严密的数学公式.
实例1. 找出基于下列数据的铜棒长度 l 与温度 t 之间关系的经验公
式.
温度 t ( 0C ) 20
40
50
60
对应长度 l (mm) 1000.2 1000.65 1000.90 1001.05
建模过程: 利用已有的物理学固体热胀冷缩定律: l = l0(1+at) 作为该
34
67
101 135 202 259 336 404 471
产量 15.1 21.3 25.7 32.2 34.0 39.4 43.1 43.4 40.8 30.7
8
6
2
9
3
5
5
6
3
5
磷施肥量(公斤/公顷)与土豆产量（吨/公顷）关系的实验数据
施肥量 0
24 49 73 98 147 196
产量
33.46 32.47 36.06 37.96 41.04 40.09 41.26
40
1000.65 1000.652 +0.002
0.00004
50
1000.9 1000.864 -0.036 0.001296
60
1001.05 1001.074 +0.024 0.000576
残差的平方和为: Σv2 = 0.00194 , 这个结果应该说是较好的.
实例2. 找出基于下列数据的油的粘度 y 与温度 x 之间关系的经验
曲线
变换
幂函数 y = axb 指数函数 y = aebx 双曲函数 y = x/ (ax+b)
对数函数 y = a + blnx 指数函数 y = aeb/x
S型函数y = 1 / ( a+be-x )
x’=lnx, y’x’==lnxy , y’ =
lxn’y =1/x, y’=
1/y x’ = lnx, y’
检验该模型(经验公式) : y = 17.2463 x - 0.6048 .
i
y (测定值) y* (计算值) v = y -y*
v2
1
4.24
4.28
+0.04
0.0016
2
2.92
2.82
-0.10
0.01
3
2.20
2.20
0
0
4
1.81
1.85
+0.04
0.0016
5
1.61
1.62
+0.01
式算出的理论值进行比较.
在决定经验公式的形式时, 大致思路是:
a) 利用所研究系统的有关问题在理论上已有的结论, 来 确定经 验公式的形式 . b) 在无现成理论情况下, 最简单的处理手段是用描图的方法, 将 数据点连成光滑曲线, 把它与已知函数曲线进行比较,找出与之比
较接近的曲线.
c) 如要考虑所建立的模型必要的逻辑性与理论价值,可利用合适
公式 . 温度x 10 20 30 40 50 60 70 80
粘度y 4.24 2.92 2.2 1.81 1.6 1.43 1.32 1.25
建模过程: 无现成机理明确的公式,使用描点比较法 ：
可以认为该光滑曲线相似于一条双曲线, 故设其数学模型为
y = axb ( b < 0 ) . 为了将它化为线性模型, 两边取对数，再作
n
til'i nt l '
k i1
0.0212 , b l 'kt 0.196
n
t
2 i
nt
2
i 1
可得： l = 999.804（ 1 + 0.0000212t ）.
最后检验该模型(经验公式):
t
l (测定值) l*(计算值) v = l - l*
v2
20
1000.22 1000.228 +0.008 0.000064
钾施肥量(公斤/公顷)与土豆产量（吨/公顷）关系的实验数据
施肥量 0
47
93
140 186 279 372
产量
18.98 27.35 34.86 38.52 38.44 37.73 38.43
245
42.17
465
43.87
294
40.36
558
42.77
342
42.73
651
46.22
氮施肥量(公斤/公顷)与生菜产量（吨/公顷）关系的实验数据
=xy’=1/x, y’x’==lney-x, y’=1/y
变换后的线性表示式 y’ = lna +bx’ y’ = lna +bx’ y’ = a + bx’
y’ = a + bx’ y’ = lna +bx’ y’ = a + bx’
实例. 找出基于下列数据的美国马萨诸塞州生产量、劳动力和投资之间变化的经 济增长模型（道格拉斯 Douglas 生产函数模型 ）