数列通项公式的几种求法

数列通项公式的几种求法

数列通项公式直接表述了数列的本质，是给出数列的一种重要方法。数列通项公式具备两大功能，第一，可以通过数列通项公式求出数列中任意一项；第二，可以通过数列通项公式判断一个数是否为数列的项以及是第几项等问题；因此，求数列通项公式是高中数学中最为常见的题型之一，它既考察等价转换与化归的数学思想，又能反映学生对数列的理解深度，具有一定的技巧性，是衡量考生数学素质的要素之一，因而经常渗透在高考和数学竞赛中。本文分别介绍几种常见的数列通项的求法，以期能给读者一些启示。

一、常规数列的通项

例1：求下列数列的通项公式

（1）22—12 ，32—13 ，42—14 ，52—15

，… （2）－11×2 ，12×3 ，－13×4 ，14×5

，… （3）23 ，1，107 ，179 ，2611

，… 解：（1）a n =n 2—1n （2）a n = （－1）n n （n+1） （3） a n =n 2＋12n ＋1

评注：认真观察所给数据的结构特征，找出a n 与n 的对应关系，正确写出对应的表达式。

二、等差、等比数列的通项

直接利用通项公式a n =a 1+（n －1）d 和a n =a 1q n －1写通项，但先要根据条件寻求首项、

公差和公比。

三、摆动数列的通项

例2：写出数列1，－1，1，－1，…的一个通项公式。

解：a n =（－1）n －1

变式1：求数列0，2，0，2，0，2，…的一个通项公式。

分析与解答：若每一项均减去1，数列相应变为－1，1，－1，1，… 故数列的通项公式为a n =1+（－1）n

变式2：求数列3，0，3，0，3，0，…的一个通项公式。

分析与解答：若每一项均乘以23

，数列相应变为2，0，2，0，… 故数列的通项公式为a n =32

[1+（－1）n －1 ] 变式3：求数列5，1，5，1，5，1，…的一个通项公式。

分析与解答1：若每一项均减去1，数列相应变为4，0，4，0，…

故数列的通项公式为a n =1++2×23 [1+（－1）n －1 ]=1+43

[1+（－1）n －1 ] 分析与解答2：若每一项均减去3，数列相应变为2，－2，2，－2，…

故数列的通项公式为a n =3+2（－1）n －1

四、循环数列的通项

例3：写出数列0.1，0.01，0.001，0.0001，…的一个通项公式。

解：a n =

110n

变式1：求数列0.5，0.05，0.005，…的一个通项公式。

解：a n = 510n 变式2：求数列0.9，0.99，0.999，…的一个通项公式。

分析与解答：此数列每一项分别与数列0.1，0.01，0.001，0.0001，…的每一项对应相

加得到的项全部都是1，于是a n =1－ 110n 变式3：求数列0.7，0.77，0.777，0.7777，…的一个通项公式。

解：a n = 79 （1－ 110n ） 例4：写出数列1，10，100，1000，…的一个通项公式。

解：a n =10n －1

变式1：求数列9，99，999，…的一个通项公式。

分析与解答：此数列每一项都加上1就得到数列10，100，1000，… 故a n =10n －1。 变式2：写出数列4，44，444，4444…的一个通项公式。

解：a n = 49

（10n －1） 评注：平日教与学的过程中务必要对基本的数列通项公式进行过关，这就需要提高课堂教与学的效率，多加总结、反思，注意联想与对比分析，做到触类旁通，也就无需再害怕复杂数列的通项公式了。

五、通过等差、等比数列求和来求通项

例5：求下列数列的通项公式

（1）0.7，0.77，0.777，… （2）3，33，333，3333，…

（3）12，1212，121212，… （4）1，1+2，1+2+3，…

解：（1）a n = 7777.0个n =7× 1111.0个n =7×（0.1+0.01+0.001+…+ 0

110.0个 n ） =7×（110 +1102 +1103 +…+110n ）=7×110 [1－（110 ）n ]1－110 =79 （1－110n ） （2）a n =

3333个n =3× 1

111个n =3×（1+10+100+…+10n ）=3×1－10n 1－10 =13 （10n －1） （3）a n =

12121212个n =12×（1+100+10000+…+100n －1）=12×1－100n 1－100 =433

（102n －1） （4）a n =1+2+3+…n=n （n+1）2

评注：关键是根据数据的变化规律搞清楚第n 项的数据特点。

六、用累加法求a n =a n －1+f （n ）型通项

例6：（1）数列{a n }满足a 1=1且a n =a n －1+3n －2（n ≥2），求a n 。

（2）数列{a n }满足a 1=1且a n =a n －1+12n （n ≥2），求a n 。 解：（1）由a n =a n －1+3n －2知a n －a n －1=3n －2，记f （n ）=3n －2= a n －a n －1

则a n = （a n －a n －1）+（a n －1－a n －2）+（a n －2－a n －3）+…（a 2－a 1）+a 1

=f （n ）+ f （n －1）+ f （n －2）+…f （2）+ a 1

=（3n －2）+[3（n －1）－2]+ [3（n －2）－2]+ …+（3×2－2）+1 =3[n+（n －1）+（n －2）+…+2]－2（n －1）+1

=3×（n+2）（n －1）2 －2n+3=3n 2－n 2

（2）由a n =a n －1+12n 知a n －a n －1=12n ，记f （n ）=12n = a n －a n －1 则a n =（a n －a n －1）+（a n －1－a n －2）+（a n －2－a n －3）+…（a 2－a 1）+a 1

=f （n ）+ f （n －1）+ f （n －2）+…f （2）+ a 1

=12n +12n －1 +12

n －2 +…+122 +1=12 －12n 评注：当f （n ）=d （d 为常数）时，数列{a n }就是等差数列，教材对等差数列通项公式的推导其实就是用累加法求出来的。

七、用累积法求a n = f （n ）a n －1型通项

例7:（1）已知数列{a n }满足a 1=1且a n =2（n-1）n

a n —1（n ≥2），求a n （2）数列{a n }满足a 1=12 且a n =1

2n a n —1，求a n 解：（1）由条件a n a n —1 =2（n －1）n ，记f （n ）=2（n －1）n

a n =a n a n —1 ·a n －1 a n —2 ·…a 2 a 1

·a 1=f （n ）f （n －1）f （n －2）…f （2）f （2）a 1 =2（n －1）n ·2（n －2）n －1 ·2（n －3）n －2 ·…2×23 ·2×12 ·1=2n －1n

（2）a n =a n a n —1 ·a n －1 a n —2 ·…a 2 a 1 ·a 1=12n ·12n －1 …122 ·12 =12

1＋2＋…＋n =2－ n （n ＋1）2 评注：如果f （n ）=q （q 为常数），则{a n }为等比数列，a n = f （n ）a n —1型数列是等比数列的一种推广，教材中对等比数列通项公式地推导其实正是用累积法推导出来的。

八、用待定系数法求a n =Aa n －1＋B 型数列通项

例8:数列{a n }满足a 1=1且a n ＋1＋2a n =1，求其通项公式。

解：由已知，a n ＋1＋2a n =1，即a n =－2 a n —1＋1

令a n ＋x=－2（a n －1＋x ），则a n =－2 a n －1－3x ，于是－3x=1，故x=－13

∴ a n －13 =－2（a n －1－13

） 故{ a n －13 }是公比q 为－2，首项为a n －13 =23

的等比数列 ∴a n －13 =23 （－2）n －1=1－（－2）n 3

评注：一般地，当A ≠1时令a n ＋x=A （a n －1＋x ）有a n =A a n －1＋（A －1）x ，则有

（A －1）x=B 知x=B A －1 ，从而a n ＋B A －1 =A （a n －1+B A －1 ），于是数列{a n ＋B A －1

}是首项为