概率密度函数的窗函数估计.

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MATLAB下的Parzen函数Parzen窗法概率密度函数估计

MATLAB下的Parzen函数Parzen窗法概率密度函数估计在基于熵的⾳频相似度度量中，⽤到Parzen窗法对所提取的MFCC参数进⾏概率密度函数估计，
其MATLAB实现如下：
function p=Parzen(xi,x,h1,f)
%xi为样本，x为概率密度函数的⾃变量的取值，
%h1为样本数为1时的窗宽，f为窗函数句柄
%返回x对应的概率密度函数值
if isempty(f)
%若没有指定窗的类型，就使⽤正态窗函数
f=@(u)(1/sqrt(2*pi))*exp(-0.5*u.^2);
end;
N=size(xi,2);
hn=h1/sqrt(N);
[X Xi]=meshgrid(x,xi);
p=sum(f((X-Xi)/hn)/hn)/N;
由于不知道如何在m语⾔中设置函数参数的默认值或设置可变参数，所以即使你使⽤默认的正态窗，也需要传⼊f参数，传⼊为‘[]’。

举例说明这个函数的⽤法：
>>xi=rand(1,1024);
>>x=linspace(-1,2,1024);
>>p=Parzen(xi,x,1,[]);
>>plot(x,p);
得到如下图形：
上⾯演⽰的是均匀分布，现在再试试正态分布：
>>xi=randn(1,1024);
>>x=linspace(-2,2,1024);
>>p=Parzen(xi,x,1,[]);
>>plot(x,p);
得到如下图形：
最好不要设置太⼤的N。

概率密度函数的估计.

∵ P(Xk| μ )=N(μ ,σ2),P(u)=N(μ 0,σ02)
P ( | X i ) a
k 1
1 1 Xk exp{ 2 2
1 N Xk 2 0 2 a' exp{ [ ]} 2 k 1 0
1 N 1 2 1 N 0 a' ' exp{ [( 2 2 ) 2( 2 Xk 2 ) ]} 2 0 k 1 0
三. 参数估计的基本概念
1. 统计量：样本中包含着总体的信息，总希望通过样本集把有关信息抽取出来。也就是说，针对不同要求构造出样本的某种函数，该函数称为统计量。 2. 参数空间：在参数估计中，总假设总体概率密度函数的形式已知，而未知的仅是分布中的参数，将未知参数记为，于是将总体分布未知参数的全部可容许值组成的集合称为参数空间，记为。 3. 点估计、估计量和估计值：点估计问题就是构造一个统计量d x1, , xN 作为参数 θ 的估计ˆ ，在统计学中 i i 是属于类别的几个称 ˆ 为 θ 的估计量。若 x1 , , xN i 样本观察值，代入统计量d就得到对于第i类的ˆ 的具体数值，该数值就称为 θ 的估计值。

Xk

T
结论：①μ 的估计即为学习样本的算术平均

②估计的协方差矩阵是矩阵 X k X k 的算术平均（nⅹn阵列， nⅹn个值）

T
二. 贝叶斯估计
极大似然估计是把待估的参数看作固定的未知量，而贝叶斯估计则是把待估的参数作为具有某种先验分布的随机变量，通过对第i类学习样本Xi的观察，通过贝叶斯准则将概率密度分布P(Xi/θ)转化为后验概率P(θ/Xi) ，进而求使得后验概率分布最大的参数估计，也称最大后验估计。估计步骤：

(6)概率密度函数的非参数估计

解：选正态窗函数
(u )
(u ) (
1 exp( u 2) 2 2
| x xi | hN ) 1 | x xi | )] exp[ ( 2 hN 2 1
2
1
∵x是一维的
V N
VN hN h1 , 其中选 h1 0.5 6，N 6 N
个近邻)
注意事项: 1) kN不要增长太快,以使随N的增加捕获kN个样本的体

积VN不致于缩小到0
2)
k1的选取要使 kN ≥1
使PN(x)收敛于P(x)的充分必要条件：
lim ① N K N ，N与KN同向变化
②
N
lim
KN 0 N
，KN的变化远小于N的变化
N N 1 P( x) V 1 KN N KN N ③当 K N ＝ N时，V N PN ( x) P( x) P( x) N N
N1 P( x) V V k
只反映了p(x)的空间平均估计，而反映不出空间的变化
② N固定,体积变小当 V 0 时,
k=0时 P ( x )
k 0时 P ( x )
kkN 0 V NhomakorabeaN V
所以起伏比较大,噪声比较大,需要对V进行改进.
ˆ p( x )的收敛性讨论
理论上假设样本总数是无限的，可以利用极限的方法来研究密度函数的估计。设：
则有:
P p( x )dx p( x ) V k ˆ ˆ ( x )dx p( x ) V ˆ P p N
V dx

V是区域的体积.
ˆ p( x )
k
N V

第三章概率密度函数的估计

当 0 ≤ x ≤ θ 时， p (x | θ ) = 的最大似然估计是
解：定义似然函数 l (θ ) =
k
1
θ
，否则为0。证明θ
max x k 。
∏ p (x
k =1
N
k
|θ )
1 dH = 0，即 − N ⋅ = 0 H (θ ) = ln l (θ ) = − N ln θ ，令 dθ θ 方程的解 θ ＝ ∝ ，但实际问题中，θ ≠∝ 。 1 已知有N个随机样本，且 0 ≤ x ≤ θ 时， p (x | θ ) =

参数估计中的基本概念统计量参数空间点估计、估计量和估计值区间估计参数估计判断标准无偏性有效性一致性

3.2最大似然估计
（1）前提假设

参数θ（待估计）是确定（非随机）而未知的量样本集分成c类，为A1，A2，…，Ac，Aj的样本是从概率密度为 p x | ω j 的总体中独立抽取出来的。
i =1 i =1 i =1 i =1
N
(
)
N
N

例3.2：设x服从正态分N(μ,σ2)，其中参数μ、 σ2未知，求它们的最大似然估计量。
N
解：设样本集 A = {x1 , x2 ,..., xN }，定义似然函数 l (θ ) = ∏ p(xi | θ )
i =1 2 ⎧ ⎡ ( xi − μ ) ⎤ ⎫ ⎪ ⎪ 1 exp⎢− H (θ ) = ln l (θ ) = ∑ ln p (xi | θ ) = ∑ ln ⎨ ⎥⎬ 2 2σ ⎪ i =1 i =1 ⎣ ⎦⎪ ⎭ ⎩ 2π σ 2 N ⎧ ⎫ ( ) x − 1 1 μ 2 i = ∑ ⎨− ln 2π − ln σ − ⎬ 2 2 2σ i =1 ⎩ 2 ⎭ N N 2

模式识别第4章概率密度函数的估计

方法： parzem窗法，KN近邻法，正交级数法，逼近法。

参数估计的基本概念统计量——假定每一个训练样本 Xk(k=1,2,…,N)都包含着总体的某些信息，为了估计未知参数，把有用信息抽取出来构造出样本的某种函数。

参数空间——未知参数θ的可取值的集合，记为Θ 点估计、估计量、估计值——针对某未知参数θ构造一个统计量作为θ的估计 θˆ 为θ的估计量， θˆ 的具体值点估计， θˆ 为估计值参数估计的基本概念区间估计——在一定置信度的条件下，估计某一未知参数θ的取值范围，称为置信区间。

PR03 概率密度函数估计

第三章概率密度函数估计
1 p( x | ) 2 1 0
1 N l ( ) 2 1 0
1 x 2
otherwise
1 x 2
otherwise
H ( ) N .ln 2 1
① 参数是确定的未知量，（不是随机量） ② 各类样本集 X i ， i 1, , c中的样本都是从密度为 i i.i.d. i d.） p( x | i )的总体中独立抽取出来的，(独立同分布，i.i.d ③ p( x | i )具有某种确定的函数形式，只是其中参数未知 ④ 各类样本只包含本类分布的信息
即均值向量的最优估计值是训练样本集中所有样本的均值
Yun Tian Beijing Normal University 12
最大似然估计示例
情况情况二：Σ、μ均未均未知, 一维情形维情
第三章概率密度函数估计
[ 1 , 2 ]T
，
1
1
，
2 2
N
8
最大似然估计
！求得的满足方程的参数估计值有可能有多
第三章概率密度函数估计
个，有的是局部最优解，需要寻找到全局最优解！
Yun Tian
Beijing Normal University
9
最大似然估计
讨论：
第三章概率密度函数估计
如果连续、可微，存在最大值，且上述必要条件方程组有唯一解程组有唯解，则其解就是最大似然估计量。（比则其解就是最大似然估计量（比如多元正态分布）；如果必要条件有多解，则需从中求似然函数最大者若不满足条件，则无一般性方法，用何方法？（如均匀分布）

[数学]第3章概率密度函数估计 - 西安电子科技大学

N
N
如果噪声是零均值的, 即对所有的i, E(vi)=0, 可得 sˆ 为s 的一个无偏估计; 反之, sˆ 为有偏估计。
第3章概率密度函数估计
定义3.2 若对所有的θ lim b(ˆ) 0
N
(3-3)
则称ˆ =g(x1, x2, …, xN)是θ的一个渐进无偏估计。
【例 3.2】考虑平稳过程的自相关函数R(l)=E［x(t)x(t+l)］的两个估计
第3章概率密度函数估计
2. Cramer-Rao下界(估计的方差性质)
除了偏差以外, 一个估计的基本特性还体现在方差上。
一般地, 要得到精确的方差是比较困难的, 人们希望得到方
差可能达到的下界。下面的定理3.1表明, 无偏估计的方差
存在一个下界, 常称为Cramer-Rao下界。
定理3.1 令x=(x1, x2, …, xN)为样本向量, p(x|θ)为x的联
第3章概率密度函数估计
(2) 非参数估计就是在概率密度函数的形式未知的条件下, 直接利用样本来推断概率密度函数。常用的非参数估计方法有Parzen窗法和kN－近邻法。
第3章概率密度函数估计
3.2 参数估计的基本概念与评价准则
3.2.1
1. 设观测样本为x1, x2, …, xN, 统计量g(x1, x2, …, xN)是x1, x2, …, xN的(可测)函数, 与任何未知参数无关。统计量的概率分布称为抽样分布。 2. 参数空间未知参数θ的全部可容许值组成的集合称为参数空间, 记为Θ。
E
(ˆ
第3章概率密度函数估计
3. 点估计、点估计是确定待定参数的单个估计值, 即要构造一个统计
量 ˆg(x1,x2, ,xN) 作为参数θ的估计。在统计学中, 称

概率密度函数的窗函数估计

概密的窗函数估计法
By: Mamba Never Out
1
类概密的非参数估计

参数估计要求类概密的函数形式是已知的（如正态分布），但是常见的一些函数形式很难拟合实际的类概密。这时候就要用到非参数估计，也称为总体推断。即直接用已知样本去估计总体密度分布。它适用于类概密的函数形式和相关参数均未知的情况，此时就要用给定的样本确定类概密的函数形式和参数。
7

Parzen窗法
8

在n维特征空间中，取区域Rn是一个n维的超立方体，是它的棱长，则它的体积为

在单位超立方体内取值1，其他为0
9

一个样本落入为中心，为棱长的超立方体Rn内计数为1，否则为0。则落入该立方体Rn的样本数

代入得到这种方法称为Parzon窗估计法。
10

Parzen窗估计法特点

适用范围广，无论概密是规则的或不规则的、单峰的或多峰的。但它要求样本分布较好且数量要大，显然这也是一个良好估计所必须的，但它的取样过程的操作增加了取样工作的复杂性。窗函数选取得当有利于提高估计的精度和减少样本的数量。
11
-近邻估计

基本思想：预先确定是N的某个函数，把含有点的序列区域的体积作为中的函数，而不是直接作为实验样本N 的函数。方法是在点附近选择最小的区域，让他只含个样本。如果点附近概密较大，则包含个样本的区域体积就相对小。显然，当区域为含有个邻近样本而扩展到高密度区时，扩展过程必然停止。
3
设在R内连续变化，当R逐渐减少的时候，小到在R上几乎没有变化时，则：
V是R包围的体积。所以得到：

数学]第3章概率密函数估计西安电子科技大学

p(x|ωi)和P(ωi)。根据概率密度函数形式是否已知, 概率密度函数估计分为
参数估计和非参数估计。
第3章概率密度函数估计
(1) 参数估计就是在已知概率密度函数的形式, 但其中的某些参数是未知的情况下, 利用样本集对概率密度函数的某些参数进行估计。例如, 若p(x|ωi)是均值为μi, 协方差矩阵为Σi的正态分布, 那么只需要估计μi和Σi。参数估计的方法很多, 大致可以分为确定性参数估计方法与随机参数估计方法。确定性参数估计方法把参数看做确定而未知的, 典型方法为最大似然估计。随机参数估计方法把未知参数当做具有某种分布的随机变量, 典型方法为贝叶斯估计。
)R(l)
第3章概率密度函数估计
显然, Rˆ1 (l) 是R(l)的无偏估计; Rˆ 2 (l) 是R(l)的有偏估计, 但 Rˆ 2 (l) 是R(l)的渐进无偏估计, 即
lim
N
E
Rˆ2
(l)
R(l)
虽然 Rˆ1 (l) 是R(l)的无偏估计, 而 Rˆ 2 (l) 是R(l)的有偏估计(但渐进无偏), 但是, 估计 Rˆ1 (l) 中分母与l有关, 因此, 一般使用 Rˆ 2 (l) , 而不用 Rˆ1 (l) 。
第3章概率密度函数估计
2. Cramer-Rao下界(估计的方差性质)
除了偏差以外, 一个估计的基本特性还体现在方差上。
一般地, 要得到精确的方差是比较困难的, 人们希望得到方
差可能达到的下界。下面的定理3.1表明, 无偏估计的方差

存在一个下界, 常称为Cramer-Rao下界。
l)
第3章概率密度函数估计
Rˆ2 (l)
1 N
N l t 1

概率密度函数的估计

概率密度函数是描述随机变量取值概率分布的函数，是概率论中的核心概念。在实际问题中，类条件概率密度常常是未知的，因此需要通过样本集进行估计。估计方法主要分为参数估计和非参数估计两种。参数估计是在概率密度函数形式已知但参数未知的情况下，通过训练数据来估计参数，常用方法ห้องสมุดไป่ตู้最大似然估计和Bayes估计。最大似然估计是通过最大化似然函数来求解参数，使得估计出的概率密度函数最符合样本数据的分布。而Bayes估计则考虑了参数的先验分布，通过贝叶斯公式求出参数的后验分布，进而得到估计量。非参数估计是在总体概率密度函数形式未知的情况下，直接利用训练数据对概率密度进行推断，主要方法有Parzen窗法和kN-近邻法。Parzen窗法是通过某种函数表示某一样本对待估计的密度函数的贡献，所有样本所作贡献的线性组合视作对某点概率密度的估计。而kN-近邻法则是把窗扩大到刚好覆盖kN个点，落在窗内的样本点的数目固定，但窗宽是变化的，从而提高了分辨率。这些方法在模式识别、机器学习等领域有广泛应用，特别是在设计贝叶斯分类器时，需要利用样本集来估计类条件概率密度，进而完成分类器的设计。

第三章-第二部分-概率密度函数估计(1)

的的似然函数。
似然函数：N个随机变量 x1 , x2 ,, xN 的似然函数是N个随机变量的联合密度 l ( ) p( | ) p( x1, x2 ,, xN | ) ，这
个密度可以看成是的函数。具体地说，若 x1 , x2 ,, xN 是独立的抽自密度 p( | ) 总体的样本，那么似然函数就是：
^
1 N 1 N

x
k 1 N k 1
N
k
T ( x ) ( x ) k k
是均其中， xk为多元正态分布总体中第 K个抽样，是d维向量，的最大似然估计，是协方差矩阵的最大似然估计。值向量的最结论：均值向量的最大似然估计是样本均值。协方差矩阵 T 大似然估计是N个矩阵( xk )(xk ) 的算术平均。

Parzen 窗窗法非参数估计 --Parzen
21
Parzen 窗窗法非参数估计 --Parzen
22
Parzen 窗窗法非参数估计 --Parzen
23
Parzen 窗窗法非参数估计 --Parzen
24
Parzen 窗窗法非参数估计 --Parzen
二维平面:
正方形
三维空间:
Parzen 窗窗法非参数估计 --Parzen
每个邻域样本点数量该类所有样本点数量
概率密度估计
体积
28
非参数估计--Parzen窗法
用Parzen窗法估计单变量正态分布的实验
非参数估计--Parzen窗法
用Parzen窗法估计两个均匀分布的实验
非参数估计--Parzen窗法

概率密度函数的估计

21
3.3.1 一元正态分布例解
最大似然估计
p( xk | 1 ,2 2 )
1 exp( ( xk 1)2 )
22
22
ln
p( xk
| 1,2 )

1 2
ln(
2
2
)

1
22
( xk
1)2
第三章概率密度密度的估计
22
一元正态分布均值的估计
p(K )

N k 1
p( xk
| ) p() ~
N
(

N
,

2 N
)
N

N
2 0
N
2 0

2
mN

2
N
2 0

2
0

2 N

02 2
N
2 0

2
第三章概率密度密度的估计
28
3.4 非参数估计
非参数估计：密度函数的形式未知，也不作假设，利用训练数据直接对概率密度进行估计。又称作模型无关方法。
最大似然估计
N
θH (θ) |ˆML θ ln p( xk | θ) |ˆML 0 k 1

1
ln
p( xk
| 1,2 )

1
2
( xk
1)
代入前式,得
ˆ ML

1 N
N
xk
k 1
第三章概率密度密度的估计
23
一元正态分布方差的估计
最大似然估计

2
R R(ˆ | x)p(x)dx Ed

密度函数估计

参数的后验分布密度
p( | ) p( ) p( | ) N p( | ) p( )d
N N
由于
p( | ) p( xN | ) p(
N
N 1
| )
p( | ) p( | ) p( )
N N
可得如下递推公式
N
p( xN | ) p( | ) p( | ) p( xN | ) p( |N 1 )d
i 1
N
利 |) p(| ) p( )d

参数的贝叶斯估计量为

E | p( |)d
3.3.2 贝叶斯学习
样本的概率密度函数为
p(x |) p(x | ) p( |)d

最大似然估计量
ˆ θ =d(x1 , x2 , x3 xN )
对数似然函数
H ( ) ln l ( ) ln p( xi | ) ln p( xi | )
i 1 i 1
N
N
3.2.2 似然函数的求解
只有一个待估参数
dl ( ) 0 d
dH ( ) 或 0 d
当未知参数是 = 1 , 2 S 是由多个未知参数组成的向量时，需要对的每一维分别求偏导，即用下面的梯度算子
T
, d1 d2 d S
T
来对似然函数或对数似然函数求梯度并令其等于零。
l ( )=0或 H ( )=0
X下，贝叶斯估计量

是在给定 x 下的条件期望。

E | x p( | x)d

综上所述，在最小平方误差损失函数下，贝叶斯估计步骤：根据对问题的认识确定

概率密度函数的估计

⒋区间估计
除点估计外，还有另一类估计，它要求用区间 (d1，d2)作为 θ 可能取值范围的一种估计。这个区间称为置信区间，这类估计问题称为区间估计。要求估计总体分布的具体参数是点估计问题。介绍两种主要的点估计方法最大似然估计和贝叶斯估计。它们都能得到相应的估计值，当然评价一个估计的“好坏”，不能按一次抽样结果得到的估计值与参数真值的偏差大小来确定，而必须从平均的和方差的角度出发进行分析
θˆ2 = x( N )
二、贝叶斯估计和贝叶斯学习
㈠贝叶斯估计前面从决策论的角度论述了最小风险贝叶斯决策，实际上贝叶斯决策和贝叶斯估计是统一的。贝叶斯决策的论述设状态空间 ={ω1，ω2，…ωc} 识别对象 x = [x1，x2，…，xd]T ，决策空间 A ={ α1 ,α 2 ,… ,α i }
l (θ ) = p ( X | θ ) = p( x1 , x 2 ,…，x N | θ ) 这个密度可以看成是θ 的函数，具体地说，
l (θ ) = p ( x1 , x2 , …，x N | θ ) = p ( x1 | θ ) p ( x2 | θ ) … p ( x N | θ ) 似然函数 l (θ )给出了从总体中抽出x1，
k =1
θ 例如随机变量x服从均匀分布，但参数 θ1 、 2 未知， 1
p ( x | θ ) = θ 2 − θ 1 0
θ1 < x < θ 2
其它
设从总体中独立地抽取出N个样本x1， x2，…，xN。则其似然函数为
1 p( x1 , x 2 , …, x N | θ 1 ,θ 2 ) = (θ 2 − θ 1 ) N l (θ ) = p( X | θ ) = 0

第3章概率密度函数的估计new

ˆ 一般来讲, 使似然函数的值最大的是样本 ˆ x , x , , x 的函数，记为： d ( x , x , , x )
1 2 N 1 2 N
ˆ 将 d ( x1 , x2 , , xN )称为的最大似然估计量。最大似然估计量：令( )为样本集D的似然函数， ˆ D {x , x , , x }，如果 d ( D) d ( x , x , , x )
[1 , 2 , ,S ]T
用表示梯度算子:
(3-6)
求解似然函数最大值就需要对的每一维分别求导， ,..., (3-7) S 1 对似然函数求导并令梯度等于零： l ( ) 0 H( )为对数似然函数： H( ) ln[( )] lnp(D| ) lnp(x1 ,x2 , ,xN |1 , 2 , ,S ) (3-8)
13
第3章概率密度函数估计
3.2 参数估计的基本概念
（3）点估计、估计量和估计值：点估计问题是要构造一个统计量d ( x1 ,..., xN )作为参数的 ˆ 估计, 在统计学中称为的估计量。如果x ( i ) , , x (i )是属于
1 N
类别i的几个样本观察值，代入统计量d 就得到对于第i类 ˆ 的的具体数值，这个数值在统计学中称为的估计值. （4）区间估计：除点估计外，还有另一类估计，它要求用区间(d1 , d 2 )作为
k 1
N
从： H ( ) 0
(3 -11)
的S 个方程能够获得的最大似然估计量的必要条件。 ˆ ˆ 如果式(3 -11)的解能够使得似然函数值最大，则就是的最大似然估计。
29
3.2.1 最大似然估计
需要注意的是： 1，有时式(3 -11)无唯一解。如图3.1中有5个解。虽然这 5个都是解，但有的解可能是真正的全局最大值点，也可能是局部极值点，或者还可能是函数的拐点。 2，此外，我们必须注意检查所得到的解是否位于函数 H ( )定义域的边界上。如果所有的极值解都已经求得了，我们就能确定其中必有一个是全局的最大值。然后检查确定真正的全局最优点。

第3章概率密度函数的估计 ppt课件

问题假定：
①待估参数θ是确定的未知量 ②按类别把样本分成C类X1,X2,X3,… XM,
其中第i类的样本共N个,Xi = (X1,X2,… XN)T , 并且是独立从总体中抽取的
③ Xi中的样本不包含θj(i≠j)的信息，所以可根据以上假以定对，每我一们类下样边就本可独以立只进利行用处第i理类。学习样本来估计第 i④类的第概i类率的密度条，件其概它率类的的函概率数密形度式由已其知它类
实验室的研究生录取分数
不同实验室有个期望录取分数线受到往年录取成绩的影响
假设只有两个真实取值:分数高vs分数低某实验室去年都是”分数低”
同学A估计该实验室今年为"分数高“ 同学B估计该实验室今年为"分数低"
哪一个更接近于最大似然估计方法?
PPT课件
28
贝叶斯估计
问题假定：
2
需要研究的问题
研究如何用已知训练样本的信息去估计
P(ωi),P(x|ωi)
学习
分类器设计的步骤:
第一步: 利用样本集估计概率密度函数
训练
第二步: 利用概率密度函数进行分类决策
分类
PPT课件
3
贝叶斯决策理论设计分类器步骤
PPT课件
4
概率密度函数估计中的三个问题
如何利用样本估计概率密度函数估计量的性质如何利用样本集估计错误率的方法
时θ的条件期望，即

p( | x)d
PPT课件
35
贝叶斯估计
步骤
① 确定θ的先验分布p(θ),。
② 率用密样度本分布x=p(x(x1,| xθ2),，…它. x是N)Tθ求的出函样数本。的联合概

概率密度函数的估计课件

05
实例分析与应用
实例一：正态分布的概率密度函数估计
总结词
通过实际数据集，使用核密度估计法估计正态分布的概率密度函数。
详细描述
首先，收集一组实际数据，并确定数据符合正态分布。然后，使用核密度估计法，选择合适的核函数和带宽，对概率密度函数进行估计。最后，绘制估计的概率密度函数图像，并与理论正态分布曲线进行比较。
实例二：多变量正态分布的概率密度函数估计
总结词
通过实际数据集，使用多元核密度估计法估计多变量正态分布的概率密度函数。
详细描述
首先，收集一组多维实际数据，并确定数据符合多变量正态分布。然后，使用多元核密度估计法，选择合适的核函数和带宽矩阵，对概率密度函数进行估计。最后，绘制估计的概率密度函数图像，并与理论多变量正态分布曲线进行比较。
概率密度函数的估计课件
$number {01}
目录
• 引言 • 概率密度函数基础知识 • 概率密度函数的估计方法 • 估计方法的比较与选择 • 实例分析与应用 • 总结与展望
01 引言
背景介绍
01
概率密度函数在统计学中扮演着重要的角色，用于描述随机变量的分
布情况。
02
在实际应用中，我们常常需要估计未知的概率密度函数，以便更好地
06
总结与展望
研究成果总结
方法创新
我们提出了一种基于核密度估计的非参数方法，该方法在处理复杂数据时表现出了优越的性能。
理论证明
我们证明了所提出方法的收敛性和一致性，为实际应用提供了坚实的理论基础。
实际应用
该方法已被广泛应用于金融、生物信息学和环境科学等领域，并取得了显著的效果。
实例三：实际数据集的概率密度函数估计

第3章概率密度函数的估计

3.2 参数估计—最大似然估计（监督）
前提条件：（1）是确定而未知的；
（2）样本所属类别已知，且是从各类总体中独立抽取的；
（3） p( x | i ) 形式已知（如正态），但参数未知（如 , 2 ）
（4）i类样本不影响j类信息。（类间独立，可分别研究C类问题）
3.2 参数估计—最大似然估计（监督）

两步法设计分类器
（1）估计 P(i )和p( x | i )
（2）利用第2章方法设计分类器
本章研究问题
（1）如何利用样本估计 p( x | i )和 P(i ) （2）估计量的性质（3）利用样本集估计错误率的方法
^
^
3.1 引言—由样本集估计p( x | )
i

参数估计
监督、非监督（最大似然估计、贝叶斯估计）
1与2 至少有一个为无穷大，无意义！
此时可令样本中最小与最大值为估计值。
^ 1 xmin ^ 2 xmax
(1 x 2 )
3.3 正态分布参数的最大似然估计（监督）
2 1 1 x p( x | ) exp 1/ 2 (2 ) 2
第3章概率密度函数的估计

参数估计的基本概念正态分布的监督参数估计（最大似然估计）总体分布的非参数估计（Parzen窗法，K近邻法）分类器错误率的估计
3.1 引言

P(i )和p( x | i ) 未知，需要利用样本集来估计。
P(i ) 较好估计，重点估计 p( x | i )
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1 x xi h i 1 V
1 N
1 (u )du N 1 N i 1

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7

Parzen窗法
8

在n维特征空间中，取区域Rn是一个n维的超立方体，是它的棱长，则它的体积为

在单位超立方体内取值1，其他为0
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一个样本落入为中心，为棱长的超立方体Rn内计数为1，否则为0。则落入该立方体Rn的样本数

代入得到这种方法称为Parzon窗估计法。
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概密的窗函数估计法
By: Mamba Never Out
1
类概密的非参数估计

参数估计要求类概密的函数形式是已知的（如正态分布），但是常见的一些函数形式很难拟合实际的类概密。这时候就要用到非参数估计，也称为总体推断。即直接用已知样本去估计总体密度分布。它适用于类概密的函数形式和相关参数均未知的情况，此时就要用给定的样本确定类概密的函数形式和参数。
要使概率密度的上述估计值必须满足以下几个条件：
收敛于真实的概率密度
6

（保证了概率密度的估计值收敛于真实值；（2）保证使收敛于真实概率 P；（3）则保证了概率密度的估计值收敛的必要条件。原理上满足上述3个条件的区域序列和样本选取的有两种方法: 1.Parzen窗法 2. -近邻估计
3
设在R内连续变化，当R逐渐减少的时候，小到在R上几乎没有变化时，则：
V是R包围的体积。所以得到：
4
上面就是的估计值，与样本数N，包含的区域R的体积V，及落入V中的样本数k有关
5
为了提高
处的概密
的估计精度。
构造一串包括的序列，而落在每一个对应区域中的个数假定依次为K1，K2,......Kn。其中，第一次操作获得 R1，使用一个样本，第n次操作获得区域序列中的第n项Rn，使用了n个样本。则在这样的情况下，第n次操作得到的概率密度的估计值为（N=1,2,3......）
12
-近邻估计

若满足了上述（1）（2）（3）条件，则
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2
记类的概密入区域R中的概率为设有N个样本是从上述概密为离散随机变量的二项分布：
，则随机矢量
落
的总体中独立抽取
的，N个样本中有 k个样本落入区域 R中的概率服从
其中：P是样本落入R内的概率，是k个样本落入R内的概率。二项分布在均值附近有一个陡峭的峰，可知， k的数学期望E[k]=NP k ,所以对概率P的估计为：

Parzen窗估计法特点

适用范围广，无论概密是规则的或不规则的、单峰的或多峰的。但它要求样本分布较好且数量要大，显然这也是一个良好估计所必须的，但它的取样过程的操作增加了取样工作的复杂性。窗函数选取得当有利于提高估计的精度和减少样本的数量。
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-近邻估计

基本思想：预先确定是N的某个函数，把含有点的序列区域的体积作为中的函数，而不是直接作为实验样本N 的函数。方法是在点附近选择最小的区域，让他只含个样本。如果点附近概密较大，则包含个样本的区域体积就相对小。显然，当区域为含有个邻近样本而扩展到高密度区时，扩展过程必然停止。

概率密度函数的窗函数估计.

MATLAB下的Parzen函数Parzen窗法概率密度函数估计

概率密度函数的估计.

(6)概率密度函数的非参数估计

第三章 概率密度函数的估计

模式识别 第4章 概率密度函数的估计

PR03 概率密度函数估计

[数学]第3章 概率密度函数估计 - 西安电子科技大学

概率密度函数的窗函数估计

数学]第3章 概率密函数估计 西安电子科技大学

概率密度函数的估计

第三章-第二部分-概率密度函数估计(1)

概率密度函数的估计

密度函数估计

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第3章 概率密度函数的估计 ppt课件

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第三章概率密度函数的估计

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