最新定积分的简单应用导学案
(整理)学案16定积分及其简单的应用.
学案16 定积分及其简单的应用导学目标： 1.以求曲边梯形的面积和汽车变速行驶的路程为背景准确理解定积分的概念.2.理解定积分的简单性质并会简单应用.3.会说出定积分的几何意义，能根据几何意义解释定积分.4.会用求导公式和导数运算法则，反方向求使F ′(x )＝f (x )的F (x )，并运用牛顿—莱布尼茨公式求f (x )的定积分.5.会通过求定积分的方法求由已知曲线围成的平面图形的面积.6.能熟练运用定积分求变速直线运动的路程.7.会用定积分求变力所做的功．自主梳理1．定积分的几何意义：如果在区间[a ，b ]上函数f (x )连续且恒有f (x )≥0，那么函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分的几何意义是直线________________________所围成的曲边梯形的________．2．定积分的性质 (1)ʃb a kf (x )d x ＝__________________ (k 为常数)； (2)ʃb a [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝_____________________________________； (3)ʃba f (x )d x ＝_______________________________________. 3．微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么ʃb a f (x )d x ＝F (b )－F (a )，这个结论叫做__________________，为了方便，我们常把F (b )－F (a )记成__________________，即ʃb a f (x )d x ＝F (x )|ba ＝F (b )－F (a )．4．定积分在几何中的应用(1)当x ∈[a ，b ]且f (x )>0时，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )围成的曲边梯形的面积S ＝__________________.(2)当x ∈[a ，b ]且f (x )<0时，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )围成的曲边梯形的面积S ＝__________________.(3)当x ∈[a ，b ]且f (x )>g (x )>0时，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )和曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )围成的平面图形的面积S ＝______________________.(4)若f (x )是偶函数，则ʃa －a f (x )d x ＝2ʃa 0f (x )d x ；若f (x )是奇函数，则ʃa－a f (x )d x ＝0. 5．定积分在物理中的应用 (1)匀变速运动的路程公式做变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v ＝v (t )[v (t )≥0]在时间区间[a ，b ]上的定积分，即________________________．(2)变力做功公式一物体在变力F (x )(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向从x ＝a 移动到x ＝b (a <b )(单位：m)，则力F 所做的功W ＝__________________________.自我检测1．计算定积分ʃ503x d x 的值为 ( ) A.752 B ．75 C.252D ．25 2．定积分ʃ10[1－(x －1)2－x ]d x 等于 ( ) A.π－24 B.π2－1C.π－14D.π－123．如右图所示，阴影部分的面积是 ( )A ．2 3B ．2－ 3 C.323D.3534．(2010·湖南)ʃ421xd x 等于 ( ) A ．－2ln 2 B ．2ln 2 C ．－ln 2 D ．ln 25．若由曲线y ＝x 2＋k 2与直线y ＝2kx 及y 轴所围成的平面图形的面积S ＝9，则k ＝________.探究点一 求定积分的值 例1 计算下列定积分： (1)2111()ex dx x x++⎰； (2)2sin 2cos )x x dx π-⎰（； (3)ʃπ0(2sin x －3e x ＋2)d x ；(4)ʃ20|x 2－1|d x .变式迁移1 计算下列定积分：(1)ʃ2π0|sin x |d x ；(2)ʃπ0sin 2x d x .探究点二 求曲线围成的面积例2 计算由抛物线y ＝12x 2和y ＝3－(x －1)2所围成的平面图形的面积S .变式迁移2 计算曲线y ＝x 2－2x ＋3与直线y ＝x ＋3所围图形的面积．探究点三 定积分在物理中的应用例3 一辆汽车的速度－时间曲线如图所示，求此汽车在这1 min 内所行驶的路程．变式迁移3 A 、B 两站相距7.2 km ，一辆电车从A 站开往B 站，电车开出t s 后到达途中C 点，这一段速度为1.2t m/s ，到C 点时速度达24 m/s ，从C 点到B 点前的D 点以匀速行驶，从D 点开始刹车，经t s 后，速度为(24－1.2t )m/s ，在B 点恰好停车，试求：(1)A 、C 间的距离； (2)B 、D 间的距离；(3)电车从A 站到B 站所需的时间．函数思想的应用例 (12分)在区间[0,1]上给定曲线y ＝x 2.试在此区间内确定点t 的值，使图中的阴影部分的面积S 1与S 2之和最小，并求最小值．【答题模板】解 S 1面积等于边长为t 与t 2的矩形面积去掉曲线y ＝x 2与x 轴、直线x ＝t 所围成的面积，即S 1＝t ·t 2－ʃt 0x 2d x ＝23t 3.[2分]S 2的面积等于曲线y ＝x 2与x 轴，x ＝t ，x ＝1围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别为t 2,1－t ，即S 2＝ʃ1tx 2d x －t 2(1－t )＝23t 3－t 2＋13.[4分] 所以阴影部分面积S ＝S 1＋S 2＝43t 3－t 2＋13(0≤t ≤1)．[6分]令S ′(t )＝4t 2－2t ＝4t ⎝⎛⎭⎫t －12＝0时，得t ＝0或t ＝12.[8分] t ＝0时，S ＝13；t ＝12时，S ＝14；t ＝1时，S ＝23.[10分]所以当t ＝12时，S 最小，且最小值为14.[12分]【突破思维障碍】本题既不是直接求曲边梯形面积问题，也不是直接求函数的最小值问题，而是先利用定积分求出面积的和，然后利用导数的知识求面积和的最小值，难点在于把用导数求函数最小值的问题置于先求定积分的题境中，突出考查学生知识的迁移能力和导数的应用意识．1．定积分ʃb a f (x )d x 的几何意义就是表示由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )围成的曲边梯形的面积；反过来，如果知道一个这样的曲边梯形的面积也就知道了相应定积分的值，如ʃ204－x 2d x ＝π (半径为2的14个圆的面积)，ʃ2－24－x 2d x ＝2π. 2．运用定积分的性质可以化简定积分计算，也可以把一个函数的定积分化成几个简单函数定积分的和或差．3．计算一些简单的定积分问题，解题步骤是：第一步，把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数积的和或差；第二步，把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；第三步，分别用求导公式找到一个相应的使F ′(x )＝f (x )的F (x )；第四步，再分别用牛顿—莱布尼茨公式求各个定积分的值后计算原定积分的值．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分) 1．下列值等于1的积分是 ( )A ．ʃ10x d x B ．ʃ10(x ＋1)d xC ．ʃ1012d x D ．ʃ101d x 2．(2011·汕头模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，0≤x ≤1，3－x ，1<x ≤2，则ʃ20f (x )d x 等于 ( )A.13B.176 C ．6 D ．173．已知f (x )为偶函数且ʃ60f (x )d x ＝8，则ʃ6－6f (x )d x 等于 ( ) A ．0 B ．4 C ．8 D ．164．(2011·深圳模拟)曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π2所围成的平面区域的面积为 ( )A ．ʃπ20(sin x －cos x )d xB ．2ʃπ40(sin x －cos x )d xC ．ʃπ20(cos x －sin x )d xD ．2ʃπ40(cos x －sin x )d x5．(2011·临渭区高三调研)函数f (x )＝ʃx 0t (t －4)d t 在[－1,5]上 ( ) A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0，最小值－323C ．有最小值－323，无最大值6．若1 N 的力使弹簧伸长2 cm ，则使弹簧伸长12 cm 时克服弹力做的功为__________J.7．ʃ10(2x k＋1)d x ＝2，则k ＝________. 8．(2010·山东实验中学高三三诊)若f (x )在R 上可导，f (x )＝x 2＋2f ′(2)x ＋3，则ʃ30f (x )d x ＝________.三、解答题(共38分)9．(12分)计算以下定积分：(1)ʃ21⎝⎛⎭⎫2x 2－1x d x ； (2)ʃ32⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2d x ； (3)ʃπ30(sin x －sin 2x )d x ； (4)ʃ21|3－2x |d x .10．(12分)设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等的实根，且f ′(x )＝2x －2. (1)求y ＝f (x )的表达式；(2)求y ＝f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积．11．(14分)求曲线y ＝e x －1与直线x ＝－ln 2，y ＝e －1所围成的平面图形的面积．答案 自主梳理1．x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x ) 面积2．(1)k ʃb a f (x )d x (2)ʃb a f 1(x )d x ±ʃb a f 2(x )d x (3)ʃc a f (x )d x ＋ʃbc f (x )d x (其中a <c <b )3.微积分基本定理 F (x )|b a4.(1)ʃb a f (x )d x (2)－ʃb a f (x )d x (3)ʃba [f (x )－g (x )]d x5.(1)s ＝ʃb a v (t )d t (2)ʃba F (x )d x 自我检测1．A 2.A 3.C 4.D 5．±3解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋k 2，y ＝2kx .得(x －k )2＝0，即x ＝k ，所以直线与曲线相切，如图所示，当k >0时，S ＝ʃk 0(x 2＋k 2－2kx )d x＝ʃk 0(x －k )2d x ＝13(x －k )3|k 0＝0－13(－k )3＝k 33， 由题意知k33＝9，∴k ＝3.由图象的对称性可知k ＝－3也满足题意，故k ＝±3. 课堂活动区例1 解题导引 (1)与绝对值有关的函数均可化为分段函数． ①分段函数在区间[a ，b ]上的积分可分成几段积分的和的形式．②分段的标准是使每一段上的函数表达式确定，按照原函数分段的情况分即可，无需分得过细．(2)f (x )是偶函数，且在关于原点对称的区间[－a ，a ]上连续，则ʃa －a f (x )d x ＝2ʃa0f (x )d x .解 (1)ʃe 1⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋1x 2d x ＝ʃe 1x d x ＋ʃe 11x d x ＋ʃe 11x2d x ＝12x 2|e 1＋ln x |e 1－1x|e 1 ＝12(e 2－1)＋(ln e －ln 1)－⎝⎛⎭⎫1e －11 ＝12e 2－1e ＋32. (2)ʃπ20(sin x －2cos x )d x＝ʃπ20sin x d x －2ʃπ20cos x d x ＝(－cos x )|π20－2sin x |π2＝－cos π2－(－cos 0)－2⎝⎛⎭⎫sin π2－sin 0 ＝－1.(3)ʃπ0(2sin x －3e x＋2)d x＝2ʃπ0sin x d x －3ʃπ0e x d x ＋ʃπ02d x＝2(－cos x )|π0－3e x |π0＋2x |π＝2[(－cos π)－(－cos 0)]－3(e π－e 0)＋2(π－0) ＝7－3e π＋2π. (4)∵0≤x ≤2，于是|x 2－1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1，1<x ≤2，1－x 2，0≤x ≤1， ∴ʃ20|x 2－1|d x ＝ʃ10(1－x 2)d x ＋ʃ21(x 2－1)d x＝⎝⎛⎭⎫x －13x 3|10＋⎝⎛⎭⎫13x 3－x |21＝2.变式迁移1 解 (1)∵(－cos x )′＝sin x ，∴ʃ2π0|sin x |d x ＝ʃπ0|sin x |d x ＋ʃ2ππ|sin x |d x ＝ʃπ0sin x d x －ʃ2ππsin x d x＝－cos x |π0＋cos x |2ππ＝－(cos π－cos 0)＋(cos 2π－cos π)＝4.(2)ʃπ0sin 2x d x ＝ʃπ0⎝⎛⎭⎫12－12cos 2x d x ＝ʃπ012d x －12ʃπ0cos 2x d x ＝12x |π0－12⎝⎛⎭⎫12sin 2x |π0 ＝⎝⎛⎭⎫π2－0－12⎝⎛⎭⎫12sin 2π－12sin 0 ＝π2. 例2 解题导引 求曲线围成的面积的一般步骤为：(1)作出曲线的图象，确定所要求的面积；(2)联立方程解出交点坐标；(3)用定积分表示所求的面积；(4)求出定积分的值．解 作出函数y ＝12x 2和y ＝3－(x －1)2的图象(如图所示)，则所求平面图形的面积S 为图中阴影部分的面积．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 2，y ＝3－(x －1)2，得⎩⎨⎧x ＝－23，y ＝29或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2. 所以两曲线交点为A ⎝⎛⎭⎫－23，29，B (2,2)． 所以S ＝ʃ2－23[3－(x －1)2]d x －ʃ2－2312x 2d x＝ʃ2－23(－x 2＋2x ＋2)d x －ʃ2－2312x 2d x＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫－13x 3＋x 2＋2x 2－23－⎪⎪16x 32－23 ＝⎝⎛⎭⎫－83＋4＋4－⎝⎛⎭⎫881＋49－43－16×⎝⎛⎭⎫8＋827 ＝42027. 变式迁移2 解如图，设f (x )＝x ＋3， g (x )＝x 2－2x ＋3，两函数图象的交点为A ，B ， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3，y ＝x 2－2x ＋3. 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝6.∴曲线y ＝x 2－2x ＋3与直线y ＝x ＋3所围图形的面积 S ＝ʃ30[f (x )－g (x )]d x ＝ʃ30[(x ＋3)－(x 2－2x ＋3)d x ]＝ʃ30(－x 2＋3x )d x＝⎝⎛⎭⎫－13x 3＋32x 2|30＝92. 故曲线与直线所围图形的面积为92.例3 解题导引 用定积分解决变速运动的位置与路程问题时，将物理问题转化为数学问题是关键．变速直线运动的速度函数往往是分段函数，故求积分时要利用积分的性质将其分成几段积分，然后求出积分的和，即可得到答案．s (t )求导后得到速度，对速度积分则得到路程．解 方法一 由速度—时间曲线易知．v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧3t ，t ∈[0，10)，30，t ∈[10，40)，－1.5t ＋90，t ∈[40，60]，由变速直线运动的路程公式可得 s ＝ʃ1003t d t ＋ʃ401030d t ＋ʃ6040(－1.5t ＋90)d t＝32t 2|100＋30t |4010＋⎝⎛⎭⎫－34t 2＋90t |6040＝1 350 (m)． 答 此汽车在这1 min 内所行驶的路程是1 350 m. 方法二 由定积分的物理意义知，汽车1 min 内所行驶的路程就是速度函数在[0,60]上的积分，也就是其速度曲线与x 轴围成梯形的面积，∴s ＝12(AB ＋OC )×30＝12×(30＋60)×30＝1 350 (m)．答 此汽车在这1 min 内所行驶的路程是1 350 m.变式迁移3 解 (1)设v (t )＝1.2t ，令v (t )＝24，∴t ＝20.∴A 、C 间距离|AC |＝ʃ2001.2t d t＝(0.6t 2)|200＝0.6×202＝240 (m)． (2)由D 到B 时段的速度公式为v (t )＝(24－1.2t ) m/s ，可知|BD |＝|AC |＝240 (m)． (3)∵|AC |＝|BD |＝240 (m)，∴|CD |＝7 200－240×2＝6 720 (m)．∴C 、D 段用时6 72024＝280 (s)．又A 、C 段与B 、D 段用时均为20 s ， ∴共用时280＋20＋20＝320 (s)． 课后练习区1．D 2.B 3.D 4.D 5.B 6．0.36解析 设力F 与弹簧伸长的长度x 的关系式为F ＝kx ， 则1＝k ×0.02，∴k ＝50，∴F ＝50x ，伸长12 cm 时克服弹力做的功W ＝ʃ0.12050x d x ＝502x 2|0.120＝502×0.122＝0.36(J)． 7．1解析 ∵ʃ10(2x k ＋1)d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫2k ＋1x k ＋1＋x 10＝2k ＋1＋1＝2，∴k ＝1. 8．－18解析 ∵f ′(x )＝2x ＋2f ′(2)，∴f ′(2)＝4＋2f ′(2)， 即f ′(2)＝－4，∴f (x )＝x 2－8x ＋3，∴ʃ30f (x )d x ＝13×33－4×32＋3×3＝－18. 9．解 (1)函数y ＝2x 2－1x 的一个原函数是y ＝23x 3－ln x ，所以ʃ21⎝⎛⎭⎫2x 2－1x d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫23x 3－ln x 21 ＝163－ln 2－23＝143－ln 2.………………………………………………………………(3分)(2)ʃ32⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2d x ＝ʃ32⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋2d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫12x 2＋ln x ＋2x 32＝⎝⎛⎭⎫92＋ln 3＋6－(2＋ln 2＋4)＝ln 32＋92.…………………………………………………………………………………(6分)(3)函数y ＝sin x －sin 2x 的一个原函数为y ＝－cos x ＋12cos 2x ，所以ʃπ30(sin x －sin 2x )d x＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫－cos x ＋12cos 2x π30＝⎝⎛⎭⎫－12－14－⎝⎛⎭⎫－1＋12＝－14.……………………………………………………………(9分) 322(4)3232322311232(32)(23)2312x dx x dx x dxx dx x dx =-=-+-=-+-⎰⎰⎰⎰⎰＝(3x －x 2)|321＋(x 2－3x )|232＝12.…………………………………………………………(12分)10．解 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b .又f ′(x )＝2x －2，所以a ＝1，b ＝－2，即f (x )＝x 2－2x ＋c .………………………………………………(4分) 又方程f (x )＝0有两个相等实根，所以Δ＝4－4c ＝0，即c ＝1.故f (x )＝x 2－2x ＋1.………………………………………………………………………(8分)(2)依题意，所求面积S ＝ʃ10(x 2－2x ＋1)d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－x 2＋x |10＝13.……………………………………………………………………(12分) 11．解 画出直线x ＝－ln 2，y ＝e －1及曲线y ＝e x －1如图所示，则所求面积为图中阴影部分的面积．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝e －1，y ＝e x－1，解得B (1，e －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－ln 2，y ＝e x －1，解得A ⎝⎛⎭⎫－ln 2，－12.…………………………………………………(4分) 此时，C (－ln 2，e －1)，D (－ln 2,0)． 所以S ＝S 曲边梯形BCDO ＋S 曲边三角形OAD＝ʃ1－ln 2(e －1)d x －ʃ10(e x－1)d x ＋||0－ln 2(e x －1)d x ………………………………………(7分) ＝(e －1)x |1－ln 2－(e x －x )|10＋|(e x －x )|0－ln 2| ………………………………………………(10分)＝(e －1)(1＋ln 2)－(e －1－e 0)＋|e 0－(e －ln 2＋ln 2)|＝(e －1)(1＋ln 2)－(e －2)＋ln 2－12＝eln 2＋12.……………………………………………………………………………(14分)。
定积分的简单应用教案市公开课一等奖教案省赛课金奖教案
定积分的简单应用教案一、教学目标：1. 理解定积分的概念及其在实际问题中的应用；2. 掌握定积分的计算方法；3. 能够应用定积分解决简单应用问题。
二、教学内容：1. 定积分的概念及其性质；2. 定积分的计算方法和基本性质；3. 定积分在实际问题中的应用。
三、教学重难点：1. 定积分的概念和计算方法；2. 定积分在实际问题中的应用。
四、教学过程：1. 导入与激发兴趣（5分钟）引导学生回顾不定积分的概念和性质，引发学生对定积分的好奇和兴趣。
2. 定积分的概念和计算方法（20分钟）a. 介绍定积分的概念：定积分是对函数在一定区间上的值进行求和的极限过程，表示函数在这个区间上的总量。
b. 讲解定积分的计算方法：i. 用一组割线逼近曲线下的面积；ii. 分割区间，用矩形逼近曲线下的面积；iii. 讲解Riemann和Darboux定义；iv. 使用不等式判断积分的上限和下限。
3. 定积分的基本性质（15分钟）a. 讲解定积分的线性性质；b. 讲解定积分的区间可加性；c. 引导学生理解定积分的平均值性质。
4. 定积分在实际问题中的应用（30分钟）a. 通过具体的实际问题，引导学生应用定积分解决问题，如：i. 曲线下的面积计算；ii. 曲线长度计算；iii. 物体在一定时间内的位移计算。
b. 引导学生分析问题，确定所给问题可以通过定积分求解。
5. 拓展与巩固（20分钟）通过课堂练习和教师引导，进一步巩固学生对定积分的理解和应用能力。
六、教学评价：1. 课堂练习的完成情况；2. 学生对定积分概念的理解和计算方法的掌握；3. 学生对定积分在实际问题中的应用能力。
七、教学反思：本节课通过引导学生回顾不定积分的概念和性质，引发学生对定积分的兴趣，再结合具体的实际问题进行教学，使学生能够理解定积分的概念和计算方法，并能够应用定积分解决简单的实际问题。
同时，通过课堂练习和教师引导，巩固了学生的学习成果。
综上所述，本节课教学效果较好。
定积分的简单应用导学案
第3课时 定积分的简单应用A 课程学习目标1. 会根据定积分的几何意义建立求简单平面图形面积的数学模型(定积分模型) 进行计算■2. 会根据定积分概念形成过程中的基本思想分析求简单旋转体的体积问题 模型)，并能利用积分公式表进行计算 .3. 通过积分方法解决实际问题(物理)的过程 ，体会到微积分把不同背景的问题统一到一起的巨大作用 和实用价值.实际生活中许多变量的变化是非均匀变化的 ，如非匀速直线运动在某时间段内位移 ；变力使物体沿直线方向移动某位移区间段内所做的功 ；非均匀线密度的细棒的质量等 .所有这些问题都可以归结为曲边梯形的面积问题.问题1:当x € [ a, b ]时，若f (x )>0,由直线x=ax=b (a M b ), y=0和曲线y=f ( x )所围成的曲边梯形的面积S= __________ .问题2:当x € [ a, b ]时，若f (x )v 0,由直线x=ax=b (a M b ), y=0和曲线y=f ( x )所围成的曲边梯形的面积 S= .问题3:如图，当x € [a , b ]时,若f (x ) >g (x )>0时，由直线x=a , x=b (a * b )和曲线y=f (x ), y=g (x )所围成的平 面图形的面积S= __________ . 问题4:旋转体可以看作是由连续曲线 y=f (x )、直线x=a 、x=b 及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周而成的几何体，则该旋转体的体积为.A®础学习交流1.用S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是().Af (x )d x B .| f (x )d x|C. f (x )d x+ f (x )d x D f (x )d x- f (x ) d x 2.由y=x 2, x=0和y=1所围成的平面图形绕 x 轴旋转所得的旋转体的体积 为()■A 知识体系梳 HZ,并能利用积分公式表,建立它的数学模型(定积分CiT可以表示AJI克难点探究求不分割型图形的面积计算由曲线y 2=x ,y=x 2所围成平面图形的面积S.分割型图形面积的求解计算由直线y=x- 4,曲线y=—以及x 轴所围成图形的面积 S.简单旋转几何体的体积计算椭圆一+—=1所围成的图形绕x 轴旋转而成的几何体的体积AV= n(—)d y B V= n[12-(X 2)2] d xC V= n2 2(x ) d x D .V= 2 2(1 -x )3.汽车以v=(3t+2) m/s 作变速直线运动时,在第1 s 至第2 s 间的1 s 内经过的路程是4.求由曲线y=2x 2,直线y=-4x-2,直线x=1围成的封闭图形的面积.曲化才化” ” •味ftA 思维拓展应用求由抛物线y=x 2- 4与直线y=-x+2所围成图形的面积.求由曲线y= ",y=2-x ,y 二-X 所围成图形的面积.连接坐标原点 0及点P （h , r ）的直线、直线x=h 及X 轴围成一个直角三角形,将它绕X 轴旋转构成一个底 半径为r 、高为h 的圆锥体，计算这个圆锥体的体积.（用定积分求解）X 基础智能检测1.由曲线y=,直线y=x-2及y 轴所围成的图形的面积为（ ）.2. 一物体在变力F （X ）=5-X 2（力单位：N 位移单位：m 作用下，沿与F （x ）成30°方向作直线运动，则由x=1运动 到x=2时F （X ）做的功为（ ）.＞第三层»—技能应用与拓S —固学区・不第不讲B .4C.—D.6J B ——J C ——J D. 2 - JA 全新视角拓展（20XX 年•湖北卷）已知二次函数y=f （x ）的图像如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为（）.A-B- C.- D.—考题变式（我来改编）：h-1'显^审刊化-S 战应環，卜思维导图构建7■可他•i*具事化3.由曲线 y=与x 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积为4.由曲线 y=x 2和直线x=0,x=1,y=t 2, t € （0,1）所围成的图形（阴影部分）,求其面积的最小值. 定和分的苛单应用—I 定积分在几何中的应用―I 定积分在鞫理中的应用 ―I 变連运动的略程1-y*学习体验分事第3课时定积分的简单应用知识体系梳理根据定积分的几何意义可知 D 正确.由旋转体体积的定积分表示可知 B 正确.由曲线y=2x 2,直线y=-4x-2,直线x=1围成的封闭图形的面积为=-+2+24- 2+2—.重点难点探究因此所求图形的面积为 S = S 曲边梯形OAB — S 曲边梯形OAB = 【小结】求由曲线围成图形面积的一般步骤：(1)根据题意画出图形；(2)找出范围，确定积分上、下限;(3)确定被积函数;(4)将面积用定积分表示；(5)用微积 分基本定理计算定积分，求出结果.探究二：【解析】(法一)作出直线y=x-4,曲线y= 的草图.答案问题 1： 问题 2:- 问题 3: 问题 4:V=基础学习交流 1. D 2. B 3.— s==(-=_ X 4+4- (-+2) =10-—=—(m).4.解：联立 解得直线与抛物线的交点横坐标为 x=-1,探究一：【解析】由题意画出草图，由得交点的横坐标为 x=0及x=1.2 I15-1 0 -4).5-1解方程组直线y=x-4与x 轴的交点为（4,0）,因此所求图形的面积为s=s+s=+■（法二）把y 看成积分变量，则S=，一定要确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分上、下限，若积分变量选x 运算较繁锁，则积分变量可选到. 思维拓展应用应用一：由所以直线y=-x+2与抛物线y=x 2-4的交点为（-3, 5）和（2, 0）,设所求图形面积为 S,得直线y=x-4与曲线y= 交点的坐标为 (8,4),y ,同时要更换积分上、下限 探究三：【解析】这个旋转体可看作是由上半个椭圆y=及x 轴所围成的图形绕 x 轴旋转所生成的【小结】两条或两条以上的曲线围成的图形，可以用曲线的一部分绕轴旋转根据图形可得S=应用二：画出图形,如图所示.解方程组得交点分别为(1, 1),( 0,0),( 3,-1),所以S==(-■+- 2+(2x- -x +- =_+_+( 2x--应用三：直角三角形斜边的直线方程为y=-x,所以所求圆锥体的体积为V=基础智能检测1.C 由y=—及y=x-2得x=4,所以由y= 一、y=x-2及y轴所围成的封闭图形面积为=(-2.C 由于F( x)与位移方向成30°角•如图,F在位移方向上的分力F'=F • cos30W=3.4 n 所求体积V=4.解：S=t3-S2=由导数求得，当t=-时，S+S取到最小值，最小值为-•全新视角拓展B根据f(x)的图像可设f (x) =a(x+1)( x-1)( a<0).因为f (x)的图像过(0, 1)点，所以-a=1,即a=-1.所以2f (x)=-(x+1)( x-1) =1-x •所以S= =2(-- =2 X (1-—)=•。
定积分的简单应用教案
定积分的简单应用教案
定积分的简单应用教案
定积分的简单应用教案
学习目标：通过求解平面图形的体积了解定积分的应用。
学习重点：定积分在几何中的应用
学习难点：求简单几何体的体积.
学法指导：探析归纳
一、课前自主学习 (阅读课本内容找出问题答案).
1.定积分定义.
2旋转几何体的体积是根据旋转体的一个 ,再进行求出来的.
3解决的关键(1)找准旋转体
(2)通过准确建系,找出坐标,确定 .
二、课堂合作探究：
1.给定直角边为1的等腰直角三角形,绕一条直角边旋转一周,得到一个圆锥体,求它的体积.
2.一个半径为1的球可以看成是由曲线与x轴所围成的区域(半圆)绕x轴旋转一周得到的 ,求球的体积.
三、当堂检测.
1.将由直线=x,x=1,x=2围成的平面图形绕x轴旋转一周,得到一
个圆台,利用定积分求该圆台的体积.
2. 求由直线,x轴,轴以及直线x=1围成的'区域绕x轴旋转一周得到的旋转体的体积.
3．求由双曲线,直线x=1,x=2围成的平面图形绕x轴旋转一周，得到的旋转体的体积.
四、巩固练习.
1 .将由曲线=x和所围成的平面图形绕x轴旋转一周，求所得旋转体的体积
2．求半椭圆绕x轴旋转一周所得到的旋转体的
体积.
3.求由曲线 ,直线x=1以及坐标轴围成的平面图形绕x轴旋转一周，得到的旋转体的体积.
五、课堂小结：
※学习小结：1. 定积分应用之二求旋转几何体的体积。
2. 旋转几何体体积的求法。
六、我的收获：
七、我的疑惑:。
定积分应用 教案
定积分应用教案教案标题：定积分应用教学目标：1. 了解定积分的概念和基本性质。
2. 掌握定积分的应用方法，包括计算曲线下面积、计算物体体积等。
3. 培养学生运用定积分解决实际问题的能力。
教学准备：1. 教师准备：教师课件、教学实例、计算器等。
2. 学生准备：课本、笔记本、计算器等。
教学过程：Step 1：引入定积分的概念（10分钟）1. 教师通过课件或者黑板，简要介绍定积分的概念和基本性质，如曲线下面积的计算、物体体积的计算等。
2. 引导学生思考，定积分与不定积分的区别和联系。
Step 2：计算曲线下面积（20分钟）1. 教师通过示例，详细讲解如何利用定积分计算曲线下面积。
2. 引导学生理解定积分的几何意义，即曲线下面积的极限概念。
3. 给予学生练习的机会，让他们通过计算不同曲线下面积的例子，巩固所学知识。
Step 3：计算物体体积（20分钟）1. 教师通过实例，讲解如何利用定积分计算物体的体积。
2. 引导学生理解定积分的物理意义，即物体体积的极限概念。
3. 给予学生练习的机会，让他们通过计算不同物体体积的例子，巩固所学知识。
Step 4：应用实际问题（15分钟）1. 教师提供一些实际问题，如水池的蓄水量、材料的质量等，引导学生运用定积分解决问题。
2. 学生分组讨论，解决给定的实际问题，并展示解决过程和结果。
Step 5：总结和拓展（10分钟）1. 教师对本节课的内容进行总结，强调定积分的应用方法和意义。
2. 鼓励学生拓展思考，提出更多与定积分相关的实际问题，并探索解决方法。
教学要点：1. 定积分的概念和基本性质。
2. 计算曲线下面积的方法和几何意义。
3. 计算物体体积的方法和物理意义。
4. 运用定积分解决实际问题的能力。
教学扩展：1. 鼓励学生自主学习，深入了解定积分的更多应用领域，如概率统计、经济学等。
2. 提供更多实际问题，让学生运用定积分解决，培养他们的应用能力。
3. 引导学生进行小研究，探索定积分的相关定理和性质，拓展他们的数学思维。
§1.7__定积分的简单应用(导学案)
§1.7 定积分的简单应用（导学案）----在几何中和在物理中的应用一、知识目标1.掌握利用定积分求曲边图形的面积的方法2.能熟练利用定积分求变速直线运动的路程.会用定积分求变力所做的功.二、复习回顾1、求曲边梯形的思想方法是2、定积分的几何意义是3、微积分基本定理：三、新知探索（一）利用定积分求平面图形的面积例1．计算由两条抛物线2y x =和2y x =所围成的图形的面积.（课本P56）例2．计算由直线4y x =-，曲线y =x 轴所围图形的面积S.(课本P57)【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤：（1） 画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；（2） 对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；（3） 确定被积函数；（4） 求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和.变式：1、求直线32+=x y 与抛物线2x y =所围成的图形面积.2.求由抛物线243y x x =-+-及其在点M （0，－3）和N （3，0）处的两条切线所围成的图形的面积.（二）、定积分在物理中应用1.求变速直线运动的路程我们知道，作变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v=v (t) ( v(t) ≥0) 在时间区间[a,b]上的定积分，即()ba s v t dt =⎰例 3.一辆汽车的速度一时间曲线如图1.7 一3 所示．求汽车在这1 min 行驶的路程．（课本P58）2．变力作功一物体在恒力F （单位：N ）的作用下做直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向移（单位：m)，则力F 所作的功为W=Fs .与求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程一样，可以用“四步曲”解决变力作功问题．可以得到()ba W F x dx =⎰例4．如图1·7一4 ，在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置lm 处，求克服弹力所作的功．(课本P59)五、课堂练习1．由y ＝1x ，x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形的面积为( )A ．ln2B ．ln2－1C ．1＋ln2D ．2ln22．如果某质点以初速度v (0)＝1，加速度a (t )＝6t 作直线运动，则质点在t ＝2 s 时瞬时速度为( )A ．5B ．7C ．9D ．133.(2010陕西)从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ，y )，则点M 取自阴影部分的概率为________．4．一个弹簧压缩x cm 可产生4x N 的力，把它从自然长度压缩到比自然长度短5 cm ，求弹簧克服弹力所做的功．六、课后练习1.如图，由曲线y ＝x 2－1、直线x ＝0、x ＝2和x 轴围成的封闭图形的面积是( )A.⎠⎛02(x 2－1)d x B ．|⎠⎛02(x 2－1)d x |C.⎠⎛02|x 2－1|d xD.⎠⎛－11(x 2－1)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x 2．求由y ＝e x ，x ＝2，y ＝1围成的曲边梯形的面积时，若选择x 为积分变量，则积分区间为( )A ．[0，e 2]B ．[0,2]C ．[1,2]D ．[0,1]3．一物体以速度v (t )＝3t 2－2t ＋3做直线运动，它在t ＝0和t ＝3这段时间内的位移是( )A ．9B ．18C ．27D ．364．一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10，0≤x ≤23x ＋4，x >2(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向作直线运动，从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )作的功为( )A ．44 JB ．46 JC ．48 JD ．50 J5．若1 N 的力能使弹簧伸长2 cm ，则使弹簧伸长12 cm 时克服弹力所作的功为________．6．有一横截面的面积为4 cm 2的水管控制往外流水，打开水管后t 秒末的流速为v (t )＝6t －t 2(单位：cm/s)(0≤t ≤6)．则t ＝0到t ＝6这段时间内流出的水量为________．7.一物体做变速直线运动，其v －t 曲线如图所示，求该物体在12s ～6 s 间的运动路程．。
定积分的应用导学案
鸡西实验中学高二数学下学期导学案 定积分在几何中的应用 主备人：王玉婷个性学习 课题： 定积分在几何中的应用 授课时间______________个性学习学习目标：1、体会定积分在解决几何问题中的作用.2、会通过定积分求由两条或多条曲线围成的图形的面积学习重点： 求由两条或多条曲线围成的图形的面积 一：知识理解：讨论：如何用定积分表示下列几何图形的面积？（2）(1)若y=f(x)0≥，[]=∈s b a x ,,____________(2)若y=f(x)0≤，[]=∈s b a x ,,____________(3) S=______________ (4) S=______________ (5)S=______________二：知识应用探究一、不需分割的图形面积求解例1：计算由两条抛物线y 2=x 与y=x 2所围成的图形的面积.总结：求在直角坐标系下平面图形的面积步骤:__________________________________________________________________________________________________变式1：计算由曲线y=x 2-2x+3和直线y=x+3所围成的图形的面积.w.w.探究二、 需分割的图形面积求解例2：计算由曲线x y 2=,直线y=x-4以及x 轴所围成的图形的面积S.变式2：计算由两条抛物线y 2=2x 与y=x-4所围成的图形的面积.三、利用图形面积求参数例3：如图、直线y=kx 将抛物线y=x-x 2与x 轴所围成的平面图形分成面积相等的两部分，求实数k 的值。
跟踪训练：1.求抛物线y=x 2-1，直线x=2，y=0所围成的图形的面积。
2. 计算由直线y ＝2－x ，x y 31-= 和曲线 x y = 所围成的平面图形的面积.小结：1.求在直角坐标系下平面图形的面积步骤:2.常见的曲边梯形面积的计算方法：yO x图1y =f (x )b a y Ox y =f (x ) 图2 a b y Oxy =f (x )图3ab cy O x y =f (x ) y =g (x )图4ab y Ox y =f (x )y =g (x ) 图5 ab。
《定积分的概念》 导学案
《定积分的概念》导学案一、学习目标1、理解定积分的概念，包括定积分的几何意义。
2、掌握定积分的基本性质。
3、会利用定积分的定义计算简单的定积分。
二、学习重点1、定积分概念的形成过程。
2、定积分的几何意义。
三、学习难点1、以“分割、近似代替、求和、取极限”的步骤理解定积分的概念。
2、对定积分几何意义的准确理解。
四、知识回顾1、曲边梯形的面积我们知道，由直线\（x ＝ a\），＼（x ＝ b\）（＼（a ＜ b\）），＼（y ＝ 0\）和曲线\（y ＝ f(x)＼）所围成的图形称为曲边梯形。
如何计算曲边梯形的面积呢？我们可以通过分割、近似代替、求和、取极限的方法来求曲边梯形的面积。
2、变速直线运动的路程如果物体做变速直线运动，速度函数为\（v ＝ v(t)＼），那么如何求物体在时间段\（a, b\）内所经过的路程呢？同样可以采用类似求曲边梯形面积的方法，将时间段分割，在每个小区间内近似看作匀速运动，然后求和、取极限得到路程。
五、新课导入前面我们通过特殊的问题，如求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，引入了一些特殊的方法。
这些方法都有一个共同的特点，那就是通过分割、近似代替、求和、取极限来解决问题。
那么，能不能把这些方法一般化，形成一个统一的概念呢？这就是我们今天要学习的定积分。
六、定积分的概念设函数\（f(x)＼）在区间\（a, b\）上连续，用分点\（a ＝ x_0 ＜x_1 ＜ x_2 ＜＼cdots ＜ x_{n 1} ＜ x_n ＝ b\），将区间\（a, b\）等分成\（n\）个小区间，每个小区间长度为\（＼Delta x ＝＼frac{b a}｛n}＼），在每个小区间\（x_{i 1}， x_i\）上取一点\（＼xi_i （i ＝ 1, 2, ＼cdots, n)＼），作和式：＼＼sum_{i ＝ 1}＾n f(＼xi_i)＼Delta x＼当\（n\）无限增大时，上述和式无限趋近于某个常数，这个常数叫做函数\（f(x)＼）在区间\（a, b\）上的定积分，记作\（＼int_{a}＾｛b} f(x)dx\），即＼＼int_{a}＾｛b} f(x)dx ＝＼lim_{n ＼to ＼infty} ＼sum_{i ＝ 1}＾nf(＼xi_i)＼Delta x＼其中\（a\）叫做积分下限，＼（b\）叫做积分上限，＼（f(x)＼）叫做被积函数，＼（x\）叫做积分变量，＼（f(x)dx\）叫做被积式。
[教学设计]定积分的简单应用精品教案
![[教学设计]定积分的简单应用精品教案](https://img.taocdn.com/s3/m/28ab3c2b581b6bd97f19ea61.png)
定积分的简单应用导学案学科：高二数学课型：新授课课时：课时【导案】【学习目标】1．熟练掌握应用定积分求解平面图形的面积问题。
2．掌握应用定积分解决变速直线运动的路程和变力做功等问题。
3．培养学生的建模水平和解决实际问题的能力。
【学习重难点】重点：应用定积分解决平面图形的面积、变速直线运动的路程和变力做功等问题使学生在解决问题的过程中体验定积分的价值。
难点：将实际问题化归为定积分的问题。
【学案】1．计算平面图形面积的一般步骤在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先____________，再借助________________直观确定出____________________以及积分的____________。
2．变速直线运动的路程作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v=v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a, b]上的定积分，即s=____________________________.3．变力作功（1）恒力F的作功公式一物体在恒力F(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移动了s(单位：m)，则力F所作的功为____________。
（2）变力F(x)的作功公式如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x=a移动到x=b(a＜b)，那么变力F(x)所作的功为W=________________。
4．例题分析【例1】计算由曲线y2=x, y=x2所围图形的面积S。
【例2】计算由直线y=x-4，曲线x轴所围图形的面积S.【例3】一辆汽车的速度-时间曲线如图所示。
求汽车在这1min行驶的路程。
【例4】如图，在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置l m处，求克服弹力所做的功。
5．达标检测教材P58 练习 P95 练习 P60 习题A组 B组定积分的简单应用练案（一）1. 求由抛物线y2=8x(y＞0)与直线x+y-6=0及y=0所围成图形的面积。
定积分的简单应用导学案
定积分的简单应用导学案【学习要求】会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积．【学法指导】本小节主要解决一些在几何中用初等数学方法难以解决的平面图形面积问题．在这部分的学习中，应特别注意利用定积分的几何意义，借助图形直观，把平面图形进行适当的分割，从而把求平面图形面积的问题转化为求曲边梯形面积的问题.【知识要点】1．当x∈[a，b]时，若f(x)>0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积S＝________.2．当x∈[a，b]时，若f(x)<0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积S＝_________.3．当x∈[a，b]时，若f(x)>g(x)>0时，由直线x＝a，x＝b(a≠b)和曲线y＝f(x)，y＝g(x)围成的平面图形的面积S＝______________.(如图)【问题探究】探究点一求不分割型图形的面积问题怎样利用定积分求不分割型图形的面积？例1计算由曲线y2＝x，y＝x2所围图形的面积S.跟踪训练1求由抛物线y＝x2－4与直线y＝－x＋2所围成图形的面积．探究点二分割型图形面积的求解问题由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间位于上方和下方的曲线不同时，这种图形的面积如何求呢？例1计算由直线y＝x－4，曲线y＝2x以及x轴所围图形的面积S.跟踪训练2 求由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积． 探究点三 定积分的综合应用例3 在曲线y ＝x 2(x ≥0)上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围成的面积为112，试求：切点A 的坐标以及在切点A 的切线方程．跟踪训练3 如图所示，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．【当堂检测】1．在下面所给图形的面积S 及相应表达式中，正确的有( )S ＝ʃa b [f (x )－g (x )]d x S ＝ʃ80(22x －2x ＋8)d x① ②S ＝ʃ41f (x )d x －ʃ74f (x )d x S ＝ʃa 0 [g (x )－f (x )]d x ＋ʃb a[f (x )－g (x )]d x ③ ④A ．①③B ．②③C ．①④D ．③④ 2．曲线y ＝cos x (0≤x ≤32π)与坐标轴所围图形的面积是 ( ) A ．2 B ．3 C ．52D ．4 3．由曲线y ＝x 2与直线y ＝2x 所围成的平面图形的面积为_______4．由曲线y ＝x 2＋4与直线y ＝5x ，x ＝0，x ＝4所围成平面图形的面积是________【课堂小结】对于简单图形的面积求解，我们可直接运用定积分的几何意义，此时（1）确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标．（2）确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差．这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了．注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负或为零；而平面图形的面积总是非负的.【教学反思】。
定积分的应用教案
定积分的应用教案第一章：定积分的概念1.1 引入定积分的概念解释定积分是求曲线下的面积的方法强调定积分是极限的概念1.2 定积分的几何意义利用图形解释定积分表示曲线下的面积探讨定积分与区间的关系1.3 定积分的性质介绍定积分的四则运算讲解定积分的奇偶性第二章：定积分的计算方法2.1 定积分的标准公式介绍定积分的标准公式强调积分常数的存在2.2 定积分的换元法讲解定积分的换元法步骤举例说明换元法的应用2.3 定积分的分部积分法介绍定积分的分部积分法探讨分部积分法的应用第三章：定积分在几何中的应用3.1 求曲线的弧长利用定积分求曲线的弧长强调弧长公式的应用3.2 求曲面的面积引入曲面的面积概念利用定积分求曲面的面积3.3 求旋转体的体积介绍旋转体的体积公式利用定积分求旋转体的体积第四章：定积分在物理中的应用4.1 定积分在力学中的应用利用定积分求物体的质心利用定积分求物体的转动惯量4.2 定积分在电磁学中的应用利用定积分求电场强度利用定积分求磁场强度第五章：定积分在经济学中的应用5.1 定积分在优化问题中的应用利用定积分求最大值和最小值问题强调优化问题的实际意义5.2 定积分在概率论中的应用利用定积分求概率密度函数的积分5.3 定积分在评价问题中的应用利用定积分求函数的最大值和最小值问题强调定积分在评价问题中的作用第六章：定积分在生物学中的应用6.1 定积分在生长模型中的应用引入生长模型，如细胞的分裂利用定积分描述生物体的生长过程6.2 定积分在药物动力学中的应用介绍药物在体内的浓度变化利用定积分求药物的动力学参数第七章：定积分在工程学中的应用7.1 定积分在力学工程中的应用利用定积分计算结构的受力情况探讨定积分在材料力学中的应用7.2 定积分在热力学中的应用利用定积分求解热传导方程强调定积分在热力学中的重要性第八章：定积分在计算机科学中的应用8.1 定积分在图像处理中的应用介绍图像处理中的边缘检测利用定积分计算图像的边缘利用定积分计算曲线的长度强调定积分在图形学中的作用第九章：定积分的数值计算9.1 梯形法则介绍梯形法则及其原理利用梯形法则进行定积分的数值计算9.2 辛普森法则介绍辛普森法则及其适用条件利用辛普森法则进行定积分的数值计算9.3 数值计算方法的比较比较梯形法则和辛普森法则的优缺点强调选择合适的数值计算方法的重要性第十章：定积分在实际问题中的应用10.1 定积分在资源管理中的应用利用定积分计算资源的总量探讨定积分在资源管理中的分配问题10.2 定积分在环境保护中的应用利用定积分计算污染物的浓度强调定积分在环境保护中的作用10.3 定积分在其他领域的应用探讨定积分在人口学、社会学等领域的应用强调定积分在解决实际问题中的重要性重点和难点解析重点一：定积分的概念与几何意义定积分是微积分中的一个重要概念，它表示的是曲线下的面积。
《1.7.1 定积分在几何中的应用》导学案(新部编)1
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《1.7定积分的简单应用》导学案【学习目标】1．理解定积分概念和性质的基础上熟练掌握定积分的计算方法；2．掌握在平面直角坐标系下用定积分计算简单的平面曲线围成图形的面积，会解决简单的物理问题.【学习重难点】在平面直角坐标系下用定积分计算简单的平面曲线围成图形的面积【学习过程】自我阅读：(课本第56页至第59页)完成知识点的提炼探究探究任务一：定积分在几何中的应用问题： 如何求曲边图形的面积？新知：1.当()f x 在[,]a b 上有正有负时，则|()|ba A f x dx =⎰ 2.平面图形是由两条曲线1()y f x =，2()y g x =，[,]x ab ∈及直线,x a x b ==所围成且()()f x g x >.其面积都可以用公式[()()]ba A f x g x dx =-⎰求之. 3.当介于两条曲线1()y f x =，2()y g x =，[,]x ab ∈和两条直线,y a y b ==之间的平面图形的面积公式为：[()()]ba A f x g x dx =-⎰ 试试：求正弦曲线3sin ,[0,]2y x x π=∈和直线32x π=及x 轴所围成的平面图形的面积.反思：求定积分就是求曲边梯形的面积.2、研究课本例题：(是对基本知识的体验)例1 计算由曲线2y x =，2y x =所围图形的面积S .变式：计算由直线4y x =-，曲线2y x =以及x 轴所围图形的面积S .小结：在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限.探究任务二：定积分在物理中应用(1)求变速直线运动的路程例3.一辆汽车的速度一时间曲线如图1.7 一3 所示．求汽车在这1 min 行驶的路程．2．变力作功例4．在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置lm 处，求克服弹力所作的功．动手试试练1. 计算由x y e =，y e =，0x =所围图形的面积.练2. 一物体沿直线以23v t =+(t 的单位：s ，v 的单位：/m s )的速度运动，求该物体在35s :间行进的路程.【课堂自我检测】1. 若()y f x =与()y g x =是[,]a b 上的两条光滑曲线的方程则由这两条曲线及直线,x a x b ==所围成的平面区域的面积为( )A ．[()()]b a f x g x dx -⎰B ．[()()]ba g x f x dx -⎰ C ．|()()|b a f x g x dx -⎰ D ．|()()|ba f x g x dx -⎰ 2. 已知自由下落物体的速度为v gt =，则物体从0t =到0t t =所走过的路程为( )A ．2013gtB ．20gtC ．2012gtD ．2014gt 3. 曲线3cos (0)2y x x π=≤≤与坐标轴所围图形的面积是( ) A ．2 B ．3 C ． 52D ．4 4.一物体在力()34F x x =+(单位：N )的作用下，沿着与力相同的方向从0x =处运动到4x =处(单位：)则力()F x 所作的功为5. 弹簧所受的压缩力F 与缩短的距离l 按胡克定律F kl =计算. 如果10N 的力能使弹簧压缩1 cm ，那么把弹簧从平衡位置压缩10 cm (在弹性限度内)做功为【课后作业】1、 若11(2)3ln 2a x dx x +=+⎰，且a ＞1，则a 的值为 ( )A ．6B .4C .3D .22、下列命题：①若f (x )是定义在R 上的奇函数，则0()xf t dt ⎰为R 上的偶函数；②若f (x )是周期为T (＞0)的周期函数，则0()()aa T T f x dx f x dx +=⎰⎰；③0(())()xf t dt f x '''=⎰.其中正确命题的个数为 ( )A ．0B .1C .2D .34、曲线]23,0[,cos π∈=x x y 与坐标轴围成的面积 ( )A ．4B ．2C ．25D ．35、 若20(345)ax x dx +-⎰=a 3-2(a ＞1)，则a = .6. 求下列曲线所围成图形的面积：(1)3cos ,,,022y x x x y ππ====；(2)29,7y x y x =-=+.7、求曲线2sin [0,]3 y x x π=∈与直线20,3x x π==x 轴所围成的图形面积.8.计算曲线2x y =和24x y =-所围的图形面积.9．求抛物线2y x =与直线230x y --=所围成的平面区域的面积.。
数学高二-选修2学案 4.3定积分的简单应用 导学案
4.3定积分的简单应用 导学案【学习目标】1.用定积分求平面图形的面积2. 用定积分求旋转体的体积【学习重点】定积分应用【学习难点】把实际问题抽象成定积分问题【使用说明与学法指导】1.通过阅读教材，自主学习，思考，交流，讨论和概括，完成本节课的学习目标。
2.用红笔勾勒出疑点，合作学习后寻求解决方案。
【自主探究】（1）用定积分求平面图形的面积的方法和步骤:（2）用定积分求旋转体的体积的方法和步骤:【合作探究】1. 由曲线x x x x y以及直线直线321===轴所围成的平面图形面积表达式为（ ）A. ⎰32xdx B. dx x y ⎰=32)1( C. dx x ⎰321 D. x 1 2.由2x y =与x y 2=所围成的平面图形面积表达式为（ ） A. dx x x ⎰-102)2( B. dx x x ⎰-202)2( C. dx x x )2(202-⎰ D. ⎰+102)2(dx x x3.将由曲线x x y 与22-=轴围成的区域绕x 轴旋转一周得到一个球体，则其体积为（ ） A. π38 B. π316 C. π332 D. π3【巩固提高】1. 求下列曲线所围成的图形的面积：（1）2e y = , e x =, 0=x ;(2) x y cos =, 2π=x , π23=x , 0=y ;2.计算x y =2，2x y = 所围成的图形的面积3.求由曲线xy 2=，直线1=x 和2=x 以及x 轴所围成的区域，绕x 轴旋转一周而形成的几何体的体积？【课堂小节】_____________________________________________________________。
定积分的应用教案
定积分的应用教案第一章：定积分的概念1.1 引入定积分的概念解释定积分的定义：定积分是函数在区间上的积累效果，表示为∫ab f(x)dx。
强调定积分表示的是函数在区间上的面积或长度。
1.2 定积分的性质介绍定积分的性质：线性性质、保号性、可积函数的有界性等。
通过示例说明定积分的性质在实际问题中的应用。
第二章：定积分的计算方法2.1 牛顿-莱布尼茨公式介绍牛顿-莱布尼茨公式：如果F(x) 是函数f(x) 的一个原函数，∫ab f(x)dx = F(b) F(a)。
解释原函数的概念：原函数是导函数的不定积分。
2.2 定积分的换元法介绍换元法的步骤：选择适当的代换变量，求导数，计算新积分。
通过具体例子演示换元法的应用。
第三章：定积分在几何中的应用3.1 平面区域的面积解释平面区域面积的概念：平面区域内所有点的坐标的绝对值的平均值。
利用定积分计算平面区域的面积，示例包括矩形、三角形、圆形等。
3.2 曲线围成的面积介绍利用定积分计算曲线围成的面积的方法：选择适当的上下限，计算定积分。
通过具体例子演示计算曲线围成的面积。
第四章：定积分在物理中的应用4.1 定积分与力的累积解释力的累积概念：力在一段时间内的积累效果。
利用定积分计算力的累积，示例包括恒力作用下的位移、变力作用下的位移等。
4.2 定积分与功的计算介绍利用定积分计算功的方法：计算力与位移的乘积的定积分。
通过具体例子演示计算功的应用。
第五章：定积分在经济学中的应用5.1 定积分与总成本解释总成本的概念：企业在生产一定数量产品所需的成本。
利用定积分计算总成本，示例包括固定成本和变动成本的情况。
5.2 定积分与总收益介绍利用定积分计算总收益的方法：计算产品的售价与销售数量的乘积的定积分。
通过具体例子演示计算总收益的应用。
第六章：定积分在概率论中的应用6.1 定积分与概率密度解释概率密度的概念：随机变量在某个区间内的概率。
利用定积分计算概率密度，示例包括均匀分布、正态分布等。
最新1定积分的简单应用导学案
1定积分的简单应用导学案10、定积分的简单应用一、自主学习，明确目标1、会用定积分解决平面图形的面积2、会用定积分解决变速直线的路程3、会用定积分解决变力做功4、如何将实际问题化为定积分问题二、研讨互动，问题生成1、常见图形面积与定积分的关系（1）如图1，当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...» 0，所以S= ；（2）如图2，当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...» 0，所以S=|«Skip Record If...»；（3）如图3，当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»,«Skip Record If...» 0，«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»，«Skip Record If...» 0，所以S=|«Skip Record If...» + ；（4）如图4，在公共积分区间[a,b]上，当f1(x)>f2(x)时，曲边梯形的面积为«Skip Record If...»；2、一物体沿直线以«Skip Record If...»（t单位：s,v单位：m/s）的速度运动，则该物体在3s~6s间的运动路程为（）A．46m B．46.5m C．87m D．47m 3、以初速40m/s竖直向上抛一物体，t s时刻的速度v=40-10t2，则此物体达到最高时的高度为（）A．«Skip Record If...» B．«Skip Record If...» C．«Skip Record If...» D．«Skip Record If...»4、一物体在力F(x)=3x2-2x+5（力单位：N，位移单位：m）作用力下，沿与力F（x）相同的方向由x=5m直线运动到x=10m处做的功是（）A．925 J B．850 J C．825 J D．800 J 三、合作探究，问题解决。
定积分的简单应用教案
定积分的简单应用教案教案标题：定积分的简单应用教案教学目标：1. 理解定积分的概念和基本性质；2. 掌握定积分的简单应用，包括计算曲线下面积和求解定积分的基本方法；3. 能够灵活运用定积分解决实际问题。
教学重点：1. 定积分的概念和性质；2. 计算曲线下面积；3. 解决实际问题的定积分应用。
教学难点：1. 定积分的概念和性质的理解；2. 如何将实际问题转化为定积分的应用。
教学准备：1. 教学投影仪；2. 教学板书工具；3. 教学课件。
教学过程：Step 1：导入与激发兴趣（5分钟）通过引入一个实际问题，例如计算一个曲线下的面积，引发学生对定积分的兴趣，并与他们讨论如何解决这个问题。
Step 2：定积分的概念与性质（15分钟）2.1 讲解定积分的概念，包括黎曼和、黎曼积分的定义；2.2 介绍定积分的性质，包括线性性、区间可加性和保号性；2.3 通过例题演示如何计算定积分，强调积分的几何意义。
Step 3：计算曲线下面积（20分钟）3.1 介绍如何利用定积分计算曲线下面积；3.2 通过几个简单的例题，引导学生掌握计算曲线下面积的方法；3.3 引导学生思考如何处理复杂形状的曲线下面积计算问题。
Step 4：定积分的简单应用（15分钟）4.1 介绍定积分在实际问题中的应用，如求解速度、质量、体积等问题；4.2 通过实际问题的例题，引导学生将问题转化为定积分的形式，并解决问题。
Step 5：练习与巩固（15分钟）5.1 分发练习题，让学生进行个人或小组练习；5.2 教师巡回指导，解答学生的疑问；5.3 针对性地讲解一些典型问题的解法。
Step 6：总结与拓展（5分钟）6.1 总结定积分的概念和性质；6.2 引导学生思考定积分在更复杂问题中的应用；6.3 鼓励学生继续探索定积分的更多应用领域。
教学延伸：1. 鼓励学生自主阅读相关教材，进一步加深对定积分的理解；2. 提供更多的实际问题，让学生进行定积分的应用训练；3. 引导学生进行小研究，探索定积分在其他学科领域的应用。
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定积分的简单应用导
学案
定积分的简单应用导学案
学科：高二数学课型：新授课课时：2课时编写时间：2013－3－15
编写人：邓朝华审核人：陈平班级：姓名：
【导案】
【学习目标】
1．熟练掌握应用定积分求解平面图形的面积问题。
2．掌握应用定积分解决变速直线运动的路程和变力做功等问题。
3．培养学生的建模水平和解决实际问题的能力。
【学习重难点】
重点：应用定积分解决平面图形的面积、变速直线运动的路程和变力做功等问题使学生在解决问题的过程中体验定积分的价值。
难点：将实际问题化归为定积分的问题。
【学案】
1．计算平面图形面积的一般步骤
在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先____________，再借助
________________直观确定出____________________以及积分的____________。
2．变速直线运动的路程
作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v=v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a, b]上的定积分，即s=____________________________.
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3．变力作功
（1）恒力F的作功公式
一物体在恒力F(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移动了s(单位：m)，则力F所作的功为____________。
（2）变力F(x)的作功公式
如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x=a移动到x=b(a＜b)，那么变力F(x)所作的功为W=________________。
4．例题分析
【例1】计算由曲线y2=x, y=x2所围图形的面积S。
【例2】计算由直线y=x-4，曲线
以及x轴所围图形的面积S.
【例3】一辆汽车的速度-时间曲线如图所示。
求汽车在这1min行驶的路程。
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【例4】如图，在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置l m 处，求克服弹力所做的功。
5．达标检测
教材P58 练习 P95 练习 P60 习题A组 B组
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定积分的简单应用练案（一）
学科：数学编写人：邓朝华审核人：陈平编写时间：2013.3.15
班级：姓名：评分：
1. 求由抛物线y2=8x(y＞0)与直线x+y-6=0及y=0所围成图形的面积。
2. 求曲线y=e x, y=e-x及x=1所围成的图形面积。
3. A，B两站相距7.2km，一辆电车从A站开往B站，电车开出t s后到达途中C 点，这一段加速度为1.2m/s2，到C点速度达24m/s，从C点到B站前的D点以等速行驶，从D点开始刹车，经过t s后，速度为(24-1.2t)m/s。
在B点恰好停车，试求：
（1）A、C间的距离；（2）B、D间的距离；（3）电车从A站到B站所需的时间.
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4. 由胡克定律知，把弹簧拉长所需要的力量与弹簧的伸长量成正比，现已知1N 的力能使一个弹簧伸长0.01m，求把弹簧拉长0.1m所作的功。
5. 在抛物线y=-x2+1(x≥0)上找一点P(x1, y1)，其中x1≠0，过点P作抛物线的切线，使此切线与抛物线及两坐标轴所围平面图形的面积最小。
6. 求由y=x3, x=-2, x=2, y=0围成的图形的面积。
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仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢10 7. 求由曲线y=x , y=2-x, y=-31
x 围成图形的面积。
8. 一点在直线上从时刻t=0(s)开始以速度v=t 2-4t+3(m/s)运动，求：
（1）在t=4s 的位置；
（2）在t=4s 运动的路程。
9. 将一弹簧压缩x cm所用的力在4xN，求将它从自然长度压缩5cm所作的功。
10. 求由曲线y=x2与直线x+y=2围成的图形的面积。
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定积分的简单应用练案（二）
学科：数学 编写人：邓朝华 审核人：陈 平 编写时间：2013.3.15
班级： 姓名： 评分：
1. 如图，阴影部分的面积为
（ ） A. ()b
a f x dx ⎰ B. ()b
a g x dx ⎰
C. [()()]b
a f x g x dx -⎰
D. [()()]b
a g x f x dx -⎰
2. 抛物线y=x 2-x 与x 轴围成的图形面积为 （ ）
A. 81
B. 1
C. 61
D. 2
1 3. 抛物线y=-x 2+4x-3及其在点A(1, 0)和点B(3, 0)处的切线所围成图形的面积为___________。
4. 如果某质点的初速度v(0)=1，其加速度a(t)=6t ，做直线运动，则质点在t=2 s 时的瞬时速度为
（ ）
A. 5
B. 7
C. 9
D. 13 5. 物体在力F(x)=⎩⎨⎧+4310x )
2()20(>≤≤x x ，（单位：N ）的作用下沿与力F 相同的方向，从x=0处运动到x=4（单位：m ）处，则力F(x)作的功为
（ ）
A. 44
B. 46
C. 48
D. 50 6. 一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度v(t)=27-0.9t ，则列车刹车后前进多少米才能停车
（ ）
A. 405
B. 540
C. 810
D. 945
7. 求曲线y=x2与直线y=x, y=2x所围成的图形的面积。
8. 已知抛物线y=x 2-2x 及直线x=0, x=a, y=0围成的平面图形的面积为
3
4，求a 的值。
9. 求曲线y=
x 1，直线y=x, x=2, 与y=0所围成图形的面积。
10. 求曲线y=sinx, y=cosx 与直线x=-4π, x=4π所围成图形的面积。
11. 模型火箭自静止开始垂直向上发射，设启动时即有最大加速度，以此时为起点，加速度满足a(t)=100-4t 2，求火箭5s 内的位移。
12. 一物体按规律x=bt 3做直线运动，式中x 为时间t 内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方，试求物体由x=0运动到x=a 时，阻力做的功。
13. 有一直线与抛物线y=x 2相交于A 、B 两点，
AB 与抛物线所围图形的面积恒等于34
，求线段AB 的中点P 的轨迹方程。