2013年下半年真题及答案解析(初中数学)

2013年下半年中小学教师资格考试 数学学科知识与教学能力试题（初级中学）
注意事项：
1．考试时间为120分钟，满分为150分。

2．请按规定在答题卡上填涂、作答。

在试卷上作答无效，不予评分。

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．极限的值是( )。

A. -1
B. O
C. l D ．正无穷 2．设f(x)是R 上的函数，则下列叙述正确的是( )。

A. f(x)f(-x)是奇函数
B. f(x)| f(x)|是奇函数
C. f(x)-f(-x)是偶函数
D. f(x)+f(-x)是偶函数 3．定积分∫2dx 3
−2的值是( )。

A. 25
4
π B. 25
2
π
C. 25
6
π D. 9
4
π
4．函数y=f(x)的导函数的图像如图所示，x 0=l ，则( )。

A.x 0不是驻点
B.x 0是驻点，但不是极值点
C.x 0是极小值点
D.x 0是极大值点
5．经过圆x 2
+2x+y 2
=0的圆心，与直线x+y=0垂直的直线方程是( )。

A.x+y+l=0 B.x-y-l=0 C.x+y-l=0 D.x-y+l=0 6．下列矩阵所对应的线性变换不是旋转变换的是( )。

A ．(1101) B ．(1001)
C ．
√202−442) D ．(
cos θ
sin θ
−sin θ
cos θ
) 7．下列内容属于《义务教育数学课程标准（2011年版）》第三学段“数与式”的是( )。

①有理数②方程③实数④代数式⑤整式与分式
A ．①②③④
B ．①②④⑤ C.①③④⑤ D ．①②③⑤ 8．下面哪位不是数学家？( )
A ．祖冲之
B ．秦九韶
C ．孙思邈
D ．杨辉
二、简答题（本大题共5小题，每小题7分，共35分）
9．设a 、b 为实数，O<a<b ，证明在开区间(a ，b)中存在有理数（提示取1
n <b −a ）。

10．已知矩阵M=，求曲线在矩阵M -1
对应的线性变换作用下得到的曲线方程。

11．射手向区间[0,1]射击一次，落点服从均匀分布，若射中[0，1
2]区间，则观众甲中奖；若射中[x,3
5]区间，则观众乙中奖。

若甲中奖和乙中奖这两个事件是独立的，求x 的值。

12．《义务教育数学课程标准( 2011年版)》提出了“四基”的课程目标，“四基”的内容是什么？分别举例说明“四基”的含义。

13．数学新课程提倡教师要成为学生数学学习活动的组织者、引导者与合作者,请解释教师的引导作用主要体现在哪些方面？
三、解答题（本大题共1小题，10分）
14.设函数f (x )=x ln x ，
(1)画出函数f(x)的草图。

（6分）
(2)若∑x i =1,x i >0n i=1求函数g(x 1 ,X 2,…，X n )= ∑x i lnx i n i=1大值(提示利用函数f(x)的凸性）。

（4分）
论述题（本大题1小题，15分）
15.简述义务教育数学课程中设置“综合与实践”内容的必要性，并举例说明“综合与实践”的教学特点。

五、案例分析题（本大题1小题，20分）阅读案例，并回答问题。

16.案例：下面是“零指数幂”教学片段的描述，阅读并回答问题。

片段一：观察下列式子，指数有什么变化规律？相应的幂有什么变化规律？猜测20=？
24=16
23=8
22=4
21=2
20=?
上面算式中，从上向下每一项指数减1，幂减半，猜测20=1。

片段二：用细胞分裂作为情境，验证上面的猜测：一个细胞分裂一次变为2个，分裂2次变为4个，分裂3次变为8个……那么，一个细胞没有分裂时呢？
片段三：应用同底数幂的运算性质：（m，n为正整数，m>n），我们可以尝试m=n的情况，有23÷23=23-3=20。

根据23÷23=8÷8=1，得出：20=1。

片段四：在学生感受“20=1”的合理性的基础上，做出零指数幂的“规定”，即a0=1(n≠0)。

验证这个规定与原有“幂的运算性质”是无矛盾的，即原有的幂的运算性质可以扩展到零指数幂。

问题：
(1)请确定这四个片段的整体教学目标；（6分）
(2)验证运算法则扩可以拓展到自然数集；（5分）
(3)这四个片段对数学运算法则a m+a n=a m·a n（m,n∈Z+）
六、教学设计题（本大题1小题，30分）
17.初中“正数和负数”（第一节课）设定的教学目标如下：
①通过丰富实例，进一步体会负数的意义；
②理解相反意义的量，体会数的扩充过程；
③用负数表示现实情境中的量，体会数学应用的广泛性。

完成下列任务：
(1)根据教学目标①，给出至少三个实例，并说明设计意图。

（5分）
(2)根据教学目标②，给出至少两个实例，并说明设计意图。

（5分）
(3)根据教学目标③，设计两个问题，让学生用负数表达，并说明设计意图。

（5分）
(4)相对小学阶段的负数教学，本节课的教学重点是什么？（5分）
(5)作为初中阶段的起始课，其难点是什么？（5分）
(6)本节课的教学内容对后续哪些内容的学习有直接影响？（5分）
2013年下半年中小学教师资格考试
数学学科知识与教学能力试题（初级中学）专家详解
一、单项选择题
1．【答案】C 。

解析：lim x→0
x (e 1
x
−1)=lim 1
→0
e 1
x −1
1x
=lim
y→0
e y −1y
=lim y→0
e x =1，故选C 。

2．【答案】D 。

解析是偶函数，A 错误；f(x)|f(x)|的奇偶性取决于f(x)的奇偶性，B 错误；f(x)-f(-x)是奇函数，C 错误；是偶函数，D 正确，故选D 。

3.【答案】A 。

解析：运用定积分换元法。

∫√16+6x −x 2dx =∫√52−(x −3)2dx 3
−23
−2, 令x −3=5sin t (−π
2≤t ≤0),则t =arcsin x−35
,√52−(x −3)2=√52−52sin 2t =5√cos 2t =
5cost,dx =5costdt,
∴
∫√16+
6x −x 2dx
=3
−2∫√52
−(x −3)2dx 3
−2=5
2
∫cos 2tdt 0
−π2
=
522
[t +
sin2t 2
]
−
π0=
25π4
,故选A 。

4．【答案】B 。

解析：一阶导数为零的点是驻点，驻点不一定是极值点，极值点必定是驻点，故选B 。

5．【答案】D 。

解析：圆的圆心坐标是(-1，0)，直线x+y=0的斜率是k=-l ，因此过圆心（-1，0）垂直该直线的直线斜率为k=1，则直线方程是x-y+l=0。

6．【答案】A 。

解析：题目中选项B 是=0的时情况，选项C 是cos θ=
20
=√20
10
,sinθ=
20
=√20
5
,时的情况，选项D 是一般情况。

而选项A 是切变变化，平行于x 轴的切变为x ′=x +y 与y ′=y 。

7．【答案】C 。

解析：数与式是指有理数、实数、代数式、整式与分式。

方程属于方程与不等式。

8．【答案】C 。

解析：孙思邈是医学家和药物学家，故选C 。

二、简答题
9．【参考答案】证明：令集合A n ={0,1n ，2n ，3n …}(n ∈N) ，取n 足够大使得1
n <b −a ，显然，在(0,+∞)上，(a,b )∩A n ≠∅。

又A n 中的数字都是有理数，所以(a,b )中肯定有有理数，证毕。

10．【参考答案】矩阵M 的逆矩阵M −1=(1−1
01),设（x,y ）是曲线上任意一点，点在变换作用下变为,则
有所以，因为点在曲线y 2
-x+y=0上，所以(y ′)2−(x ′+y ′)+y ′=0,即(y ′)2−x ′=0。

所以曲线y 2-x+y=0在矩阵M -1对应的线性变换作用下得到的曲线方程为y 2
-x=0。

11．【参考答案】根据题意，甲中奖的概率是P 1=1
2，乙中奖的概率是P 2=3
5−x ，那么甲乙都中奖的概率是P=1
2−x ，因为甲、乙中奖是两个独立事件，因此P=P 1P 2，则1
2−x =12(3
5−x)，解得x =2
5。

12.【参考答案】
“四基”的内容是：数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。

基础知识一般是指数学课程中所涉及的基本概念、基本性质、基本法则、基本公式等。

比如，说明1
4 ,0.25
和25%的含义。

分数、小数和百分数是重要的数概念，它们有本身的特征，又有密切的联系。

真分数通常表示部分与整体的关系，所以理解什么是1
4，一定要知道是哪个整体的，如全班同学人数的1
4。

全班同学是40人，其1
4
就是10人，全班同学是32人，其14
就是8人。

小数通常表示具体的数量，如一支铅笔0.25元，书桌的宽
度是0.45米。

百分数是同分母（统一标准）的比值，便于比较，如去年比前年增长21%，今年比去年增长25%。

基本技能内容包括基本的运算、测量、绘图等技能。

如20以内加减法和九九乘法表内乘法，每分钟完成8~10题。

这一要求可以看作是一个参照，大多数学生经过一定的训练完全可以达到，不排除一些学生经过一段时间才能达到这一要求，也会有一些学生要高于这一要求。

这一要求可以成为平时考查学生的参考，也可以作为测验和考试的参考。

数学基本思想主要是指数学抽象的思想、数学推理的思想和数学模型的思想。

比如，数概念的形成与发展 是数与代数中的重要内容，从整数、小数、分数到有理数的学习，是一个从具体事物和数量抽象为数的过程，是抽象水平不断提高的过程。

教学中应当结合具体教学内容的学习，把抽象的思想体现在教学活动之中，培养学生的抽象思维能力。

比如，最简单的10以内数的认识，其中就蕴含了深刻的抽象的过程和抽象的思想。

数学基本活动经验的积累要和过程性目标建立联系。

如《标准(2011年版)》规定，经历数与代数的抽象、运算与建模等过程，掌握数与代数的基础知识和基本技能；经历图形的抽象、分类、性质探讨、运动、位置确定等过程，掌握图形与几何的基础知识和基本技能；经历在实际问题中收集和处理数据、利用数据分析问题、获取信息的过程，掌握统计与概率的基础知识和基本技能。

这些过程性目标和内容实现的主要标志就是学生形成活动经验，学生在经历相关的数学活动中，了解数学知识发生发展的过程，体会数学知识和方法的探究。

13.【参考答案】
学生是学习的主人，而教师是数学学习的组织者、引导者和合作者。

在每节课的教学中教师应从学生熟悉的生活经验中寻找有意义的生活素材，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过实践、思考、探索、交流获得知识、形成技能、发展思维、学会学习，促使学生在教师指导下生动活泼地、主动富有个性地学习。

在数学课堂教学中教师应从以下方面去引导学生探究学习知识。

(1)创设丰富有趣的数学情境
兴趣是学生探索新知的直接动力，兴趣高，学生才能学得积极主动，思维才会敏捷灵活。

恰当、适时的导入新课，它可以激发学生的学习兴趣和强烈的求知欲，使学生一上课就有了明确的探索目标和正确的思考方向。

(2)充分发挥课堂教学作用
课堂教学应当使学生掌握数学知识，达到教学目标，获得基本技能、数学思想以及数学活动的经验。

教师也可以通过课堂的教学，根据自己在教学中的行为总结教学优点以及不足，为以后更好地实施课堂教学作经验
积累。

在教师指导下，让学生主动地获取知识、应用知识、解决问题。

让学生享受参与的快乐，面对一个未知领域，学生充满了强烈的好奇，非常希望去尝试一番，希望自己是一个发现者、研究者、探索者。

对自己亲自实践得到的知识，会理解得更加深刻。

教师要顺应学生的这种需求，让学生品尝参与的乐趣，强化获取知识的主动性。

在课堂上让学生充分感受到自己是这节课的主人，要用智慧和知识解决问题，体验主动参与的快乐，使学习成为学生生活中重要的感情经历。

在学生不断的探索、学习中，教师要注意根据不同的教学内容，采取不同的方法进行引导。

有关概念的概括，注意引导学生从有关诸多因素中，抽取出体现其本质特征的因素进行概括；对有关计算法则引导学生根据计算的过程及步骤去归纳概括；对于有些计算公式，引导学生参与公式的推导过程。

老师有意识地引导学生经历由操作思维到形象思维最后到抽象思维的过程，使学生不仅知其然，而且知其所以然，知识理解深、记得牢、用得活。

同时，还使学生初步掌握一些归纳、概括数学知识的基本方法，提高他们学习数学知识的能力。

(3)加强知识的应用
练习辅导是课堂教学的一个重要环节，是实现因材施教、提高教学质量的重要措施。

在练习辅导中，教师要满足不同层次的学生的不同要求，为培养优秀尖子人才创造条件。

对学习成绩较差的学生应给予耐心细致、不厌其烦地个别辅导，给他们机会口答问题，板演练习等，并经常给予鼓励、表扬。

在练习辅导中要灵活地运用个别辅导和集体辅导艺术，及时反馈及时纠错，这样既能弥补学生掌握知识的不足，又可以发现教师课堂教学的欠缺，有利于及时总结经验，不断地改进教学工作。

三、解答题 y
(2)根据的凸性有 e
1
x 1O )(x f ()∑∑==≤⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛n i i n i i x f n n x f
111
根据题意
整理得 故函数的最大值为。

四、论述题 15．【参考答案】
(1)必要性：我国学生实践能力和综合运用能力相对薄弱，为此《基础教育课程改革纲要（试行）》在规划新的课程体系时，规定“从小学到高中设置综合实践活动并作为必修课程”，强调通过学生实践，增强探究和创新意识，学习科学研究的方法，发展综合运用知识的能力，增进学校与社会的密切联系，培养学生的社会责任感。

同时《基础教育课程改革纲要（试行）》又指出综合实践活动与各学科领域应形成一个有机整体，二者既有其相对独立性，又存在紧密的联系，在某些情况下，综合实践活动也可和某些学科教学打通进行，同时，各学科课程中亦应注重培养学生的实践和综合应用能力。

为此，课程标准调整了数学学科的结构，在“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”这些知识性的领域之外，设置了“综合与实践”这一数学学习领域。

教学特点：
(1)综合性：对任何主题的探究都必须体现个人、社会、自然的内在整合，体现科学、艺术、道德的内在整合。

(2)实践性：综合实践活动课程的展开往往以各种活动为载体，强调学生通过活动或亲身体验来进行学习，但不是为“活动”而“活动”。

(3)开放性：综合实践活动课程面向学生整个的生活世界，其内容与学生个人的生活或现实社会紧密相连，往往表现为一个没有固定答案的开放性问题，要解决这样的开放性问题，学生不可能到书本上去找现成的答案，只能通过自己的努力去探索、去发现，才能找到可能的答案。

(4)生成性：综合实践活动课程的展开很少从预定的课程目标人手，它常常围绕某个开放性的主题或问题来展开。

随着活动的不断展开，新的目标、新的问题、新的主题不断生成，学生的认识和体验不断加深，创造性的火花不断迸发，这便是综合实践活动课程具有“生成性”的集中体现。

(5)自主性：综合实践活动课程的实施十分注重从学生现有的兴趣与经验出发，强调学生的自主选择与探究。

学生不仅可以选择学习的内容、进度与方式，还可以自己对自己的学习过程或结果进行评价与反思。

五、案例分析题 16．【参考答案】
(1)知识与技能目标：掌握整数指数幂的运算性质，理解零指数幂的意义，掌握数学中归纳总结的能力。

过程与方法目标：通过探索，让学生体会从特殊到一般的数学研究方法。

)(111
∑=≤⎪⎭⎫ ⎝⎛n
i i x f n n f ⎪⎭⎫
⎝⎛-≤-
=∑=n nf x f x x x g n
i i
n 1)(),...,,(1
21),...,,(21n x x x g ）（其中21≥⎪⎭
⎫ ⎝⎛-n n nf
情感态度与价值观目标：培养学生的观察分析和根据规律探究问题的能力，加深对类比、找规律、严密的推理等数学方法的认识，培养学生的数学思维能力。

(2)当m ，n 中有一个为零时，不妨设m=0，则左边，右边由于左边=右边，
所以成立；当时，左边，右边，由于左边=右边，
所以成立。

综上所述，
(3)从特殊到一般是研究数学的一个重要方法；可以在已有知识的基础上推导运算法则：观察分析和根据规律是数学运算法则教学中的一种方法；要注意学科之间的交叉性，可以用学生比较熟悉的其他学科的知识进行教学。

六、教学设计题 17.【参考设计】
(1)实例①：小学使用的地图册里有中国地形图，其中珠穆朗玛峰与吐鲁番盆地处都标有海拔高度。

普通的中国地形图上，也可以找到这些数据，如某地米表示低于海平面米。

实例②：记录收入支出的某地银行存折图片（略）：图片中的正负数分别表示，存入30 000元，支出18 000元。

实例③：北京冬天某天的温度是零下3℃。

（设计意图：通过一些实例，提高学生运用所学知识解决实际问题的能力，同时也进一步体会到正负数的引入对解决实际问题的优越性。

）
(2)实例①：北京冬季里某天的温度为-3℃——3℃，它的确切含义是什么？这一天北京的温差是多少？ 实例②：有三个队参加的足球比赛中，红队胜黄队(4：1)，黄队胜蓝队(1：0)，蓝队胜红队(1：O)，三个队的净胜球数分别是2，一2，0，如何确定排名顺序？
实例③：2013年某地花生产量比上年增长1.8%，油菜籽产量比上年增长-2.7%，这里增长-2.7%代表什么 意思？
（设计意图：由实例归纳具有相反意义的量的表示方法，培养学生合作交流意识及从特殊到一般认识问题本质的能力。

）
(3)问题①：向东走2米记作+2米，向西走2米记作多少？ 问题②：某种商品价格上涨10%和下降15%，分别怎么表示？
（设计意图：通过师生活动，使学生正确理解具有相反意义的量，并能用数学符号表示负数。

） (4)重点：负数表示的量的意义，如何表示负数。

(5)难点：正确区分正数和负数概念，理解所表示的量的意义。

(6)引入负数后，生产和生活中的一些具体事件能够很好地运用数学来进行描述，说明了引入数学符号的 必要性，也为我们日后用字母代替数的代数运算做了铺垫，它可以使问题的阐述更简明、更深入。

n n
a a =+0n n n a a a a =⨯=⋅=10n m n
m a a a ⋅=+0==n m 1000===+a a 11100=⨯=⋅=a a n m n
m a a a
⋅=+()。

N n m a a a n m n m ∈⋅=+,100-1000。