2013年下半年真题及答案解析(初中数学)

2013年下半年中小学教师资格考试 数学学科知识与教学能力试题（初级中学）

注意事项：

1．考试时间为120分钟，满分为150分。

2．请按规定在答题卡上填涂、作答。在试卷上作答无效，不予评分。

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．极限的值是( )。

A. -1

B. O

C. l D ．正无穷 2．设f(x)是R 上的函数，则下列叙述正确的是( )。

A. f(x)f(-x)是奇函数

B. f(x)| f(x)|是奇函数

C. f(x)-f(-x)是偶函数

D. f(x)+f(-x)是偶函数 3．定积分∫2dx 3

−2的值是( )。 A. 25

4

π B. 25

2

π

C. 25

6

π D. 9

4

π

4．函数y=f(x)的导函数的图像如图所示，x 0=l ，则( )。 A.x 0不是驻点

B.x 0是驻点，但不是极值点

C.x 0是极小值点

D.x 0是极大值点

5．经过圆x 2

+2x+y 2

=0的圆心，与直线x+y=0垂直的直线方程是( )。 A.x+y+l=0 B.x-y-l=0 C.x+y-l=0 D.x-y+l=0 6．下列矩阵所对应的线性变换不是旋转变换的是( )。 A ．(1101) B ．(1001)

C ．

√202−442) D ．(

cos θ

sin θ

−sin θ

cos θ

) 7．下列内容属于《义务教育数学课程标准（2011年版）》第三学段“数与式”的是( )。 ①有理数②方程③实数④代数式⑤整式与分式

A ．①②③④

B ．①②④⑤ C.①③④⑤ D ．①②③⑤ 8．下面哪位不是数学家？( )

A ．祖冲之

B ．秦九韶

C ．孙思邈

D ．杨辉

二、简答题（本大题共5小题，每小题7分，共35分）

9．设a 、b 为实数，O

n

10．已知矩阵M=，求曲线在矩阵M -1

对应的线性变换作用下得到的曲线方程。

11．射手向区间[0,1]射击一次，落点服从均匀分布，若射中[0，1

2]区间，则观众甲中奖；若射中[x,3

5]区间，则观众乙中奖。若甲中奖和乙中奖这两个事件是独立的，求x 的值。

12．《义务教育数学课程标准( 2011年版)》提出了“四基”的课程目标，“四基”的内容是什么？分别举例说明“四基”的含义。

13．数学新课程提倡教师要成为学生数学学习活动的组织者、引导者与合作者,请解释教师的引导作用主要体现在哪些方面？

三、解答题（本大题共1小题，10分）

14.设函数f (x )=x ln x ，

(1)画出函数f(x)的草图。（6分）

(2)若∑x i =1,x i >0n i=1求函数g(x 1 ,X 2,…，X n )= ∑x i lnx i n i=1大值(提示利用函数f(x)的凸性）

。（4分）

论述题（本大题1小题，15分）

15.简述义务教育数学课程中设置“综合与实践”内容的必要性，并举例说明“综合与实践”的教学特点。

五、案例分析题（本大题1小题，20分）阅读案例，并回答问题。

16.案例：下面是“零指数幂”教学片段的描述，阅读并回答问题。

片段一：观察下列式子，指数有什么变化规律？相应的幂有什么变化规律？猜测20=？

24=16

23=8

22=4

21=2

20=?

上面算式中，从上向下每一项指数减1，幂减半，猜测20=1。

片段二：用细胞分裂作为情境，验证上面的猜测：一个细胞分裂一次变为2个，分裂2次变为4个，分裂3次变为8个……那么，一个细胞没有分裂时呢？

片段三：应用同底数幂的运算性质：（m，n为正整数，m>n），我们可以尝试m=n的情况，有23÷23=23-3=20。根据23÷23=8÷8=1，得出：20=1。

片段四：在学生感受“20=1”的合理性的基础上，做出零指数幂的“规定”，即a0=1(n≠0)。验证这个规定与原有“幂的运算性质”是无矛盾的，即原有的幂的运算性质可以扩展到零指数幂。

问题：

(1)请确定这四个片段的整体教学目标；（6分）

(2)验证运算法则扩可以拓展到自然数集；（5分）

(3)这四个片段对数学运算法则a m+a n=a m·a n（m,n∈Z+）

六、教学设计题（本大题1小题，30分）

17.初中“正数和负数”（第一节课）设定的教学目标如下：

①通过丰富实例，进一步体会负数的意义；

②理解相反意义的量，体会数的扩充过程；

③用负数表示现实情境中的量，体会数学应用的广泛性。

完成下列任务：

(1)根据教学目标①，给出至少三个实例，并说明设计意图。（5分）

(2)根据教学目标②，给出至少两个实例，并说明设计意图。（5分）

(3)根据教学目标③，设计两个问题，让学生用负数表达，并说明设计意图。（5分）

(4)相对小学阶段的负数教学，本节课的教学重点是什么？（5分）

(5)作为初中阶段的起始课，其难点是什么？（5分）

(6)本节课的教学内容对后续哪些内容的学习有直接影响？（5分）

2013年下半年中小学教师资格考试

数学学科知识与教学能力试题（初级中学）专家详解

一、单项选择题

1．【答案】C 。解析：lim x→0

x (e 1

x

−1)=lim 1

→0

e 1

x −1

1x

=lim

y→0

e y −1y

=lim y→0

e x =1，故选C 。

2．【答案】D 。解析是偶函数，A 错误；f(x)|f(x)|的奇偶性取决于f(x)的奇偶性，B 错误；f(x)-f(-x)是奇函数，C 错误；是偶函数，D 正确，故选D 。

3.【答案】A 。解析：运用定积分换元法。∫√16+6x −x 2dx =∫√52−(x −3)2dx 3

−23

−2, 令x −3=5sin t (−π

2≤t ≤0),则t =arcsin x−35

,√52−(x −3)2=√52−52sin 2t =5√cos 2t =

5cost,dx =5costdt,

∴

∫√16+

6x −x 2dx

=3

−2∫√52

−(x −3)2dx 3

−2=5

2

∫cos 2tdt 0

−π2

=

522

[t +

sin2t 2

]

−

π0=

25π4

,故选A 。

4．【答案】B 。解析：一阶导数为零的点是驻点，驻点不一定是极值点，极值点必定是驻点，故选B 。 5．【答案】D 。解析：圆的圆心坐标是(-1，0)，直线x+y=0的斜率是k=-l ，因此过圆心（-1，0）垂直该直线的直线斜率为k=1，则直线方程是x-y+l=0。

6．【答案】A 。解析：题目中选项B 是=0的时情况，选项C 是cos θ=

20

=√20

10

,sinθ=

20

=√20

5

,时的情况，选项D 是一般情况。而选项A 是切变变化，平行于x 轴的切变为x ′=x +y 与y ′=y 。。

7．【答案】C 。解析：数与式是指有理数、实数、代数式、整式与分式。方程属于方程与不等式。 8．【答案】C 。解析：孙思邈是医学家和药物学家，故选C 。 二、简答题

9．【参考答案】证明：令集合A n ={0,1n ，2n ，3n …}(n ∈N) ，取n 足够大使得1

n

10．【参考答案】矩阵M 的逆矩阵M −1=(1−1

01),设（x,y ）是曲线上任意一点，点在变换作用下变为,则

有所以，因为点在曲线y 2

-x+y=0上，所以(y ′)2−(x ′+y ′)+y ′=0,即(y ′)2−x ′=0。

所以曲线y 2-x+y=0在矩阵M -1对应的线性变换作用下得到的曲线方程为y 2

-x=0。

11．【参考答案】根据题意，甲中奖的概率是P 1=1

2，乙中奖的概率是P 2=3

5−x ，那么甲乙都中奖的概率是P=1

2−x ，因为甲、乙中奖是两个独立事件，因此P=P 1P 2，则1

2−x =12(3

5−x)，解得x =2

5。