概率与数理统计课件

1. 事件 A, B 的概率分别为 , ,试求下列三种情况下概率 P(A B ) 的值.(1) A 与 B 互不相容(互斥); 3 2 1 (2) A B ;(3) P( AB ) = . 解答
1 1
2.
8 1 1 已知 P ( A ) = P (B ) = P (C ) = , P ( AB ) = 0 , P ( AC ) = P (BC ) = ,则A, B, C 全不发生的概率为 4 6
解 令A={能活到20岁以上},B={能活到25岁以上},由条件概率的定义可知,所求概率为:
P (B A) =
P ( AB ) P( A)
=
P(B ) P ( A)
=
0.4 0.8
= 0 .5 .
(由于B A ,故 AB = B.
)
6.一个工厂有甲,乙,丙三个车间生产同一产品,每个车间的产量分别占总产量的25%, 35%, 40%,而产品中次品率分别占5%,4%,2%,今将这些产品混在一起,随机地抽取一件产品, 40%, 5%,4%,2%, , , 问它时次品的概率是多少?
1 . 2
2. 已知 P ( A ) = P (B ) = P (C ) =
1 1 , P ( AB ) = 0 , P ( AC ) = P (BC ) = ,则A, B, C 全不发生的概率为 4 6
.
解
由 ABC AB ,0 ≤ P ( ABC ) ≤ P ( AB ) = 0 ,所以 P ( ABC ) = 0 ,
解 设 A1 , A2 , A3 分别表示抽到的产品是甲,乙,丙车间生产的产品,事件 B 表示抽到的一
个产品是次品,由于B A1 + A2 + A3 = , A1 , A2 , A3 两两互不相容,由全概率公式得:
P(B ) = P( A1 )P (B A1 ) + P( A2 )P (B A2 ) + P( A3 )P(B A3 ) = 0.25 × 0.05 + 0.35 × 0.04 + 0.40 × 0.02 = 0.0345.
随机事件及其概率典型例题解析
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1 9.一个工人看管12台同以类型的机器,在一段时间内,每台机器需要工人维修的概率为10 , 求这段时间内至少有两台机器需要工人维修的概率.
解 这是一个12重Bernulli试验.令 Ak = {需要维修的机器恰好为k台}，k = 0,1,,12.
k 1 P ( Ak ) = C12 (10 ) k 9 (10 )12k .
. 解答
3. 从10,11, …,99这90个两位数中任取一个,求这个数能被2或3整除的概率. 解答 4*.(几何概型) 二人约定于0到T时内在某地会面,先到者等 t (0 ≤ t ≤ T ) 时后离去,求二人能会面 的概率. 解答 5.设某种动物由出生算起活20岁以上的概率为0.8,活25岁以上的概率为0.4,现有一个20岁 的这种动物,问它能活到25岁以上的概率时多少? 解答 6.一个工厂有甲,乙,丙三个车间生产同一产品,每个车间的产量分别占总产量的25%, 35%, 40%,而产品中次品率分别占5%,4%,2%,今将这些产品混在一起,随机地抽取一件产品, 问它时次品的概率是多少? 解答 7.(续6)已知抽到的是次品，求该件产品是甲车间生产的概率. 解答 8.每门高射炮(发射一发子弹)击中飞机的概率为0.6,现若干门高射炮同时发射(一发子弹), 欲以99%的概率击中飞机,问至少配置几门高射炮? 解答 9.一个工人看管12台同以类型的机器,在一段时间内,每台机器需要工人维修的概率为 , 10 求这段时间内至少有两台机器需要工人维修的概率. 解答
概率与数理统计课件
天津科技大学理学院数学系
第4讲 随机事件及其概率习题课
第4讲 随机事件及其概率习题课
教学目的：通过对随机事件及其概率的归纳总结及典型题的分析， 教学目的：通过对随机事件及其概率的归纳总结及典型题的分析， 讲解，使学生对第1-3单元的知识有更深刻的理解和认识 讲解，使学生对第 单元的知识有更深刻的理解和认识. 单元的知识有更深刻的理解和认识 教学重点：随机事件，概率及其性质，条件概率及其乘法公式，全 教学重点：随机事件，概率及其性质，条件概率及其乘法公式， 概率公式，事件的独立性，贝努里 概型. 概率公式，事件的独立性，贝努里(Bernuli)概型 概型 教学难点：概率及其计算 教学难点：概率及其计算. 知识要点回顾： 知识要点回顾：
8
(2)由于 A B ,及 A B = B AB = B A ,于是 P (A B ) = P (B AB ) = P (B ) P ( A ) = 1 1 = 1 . 2 3 6
3 (3) P (A B ) = P (B AB ) = P (B ) P ( A ) = 1 1 = 8 . 2 8
P (A B C ) = P A ∪ B ∪ C = 1 P ( A ∪ B ∪ C ) = 1 [P ( A ) + P (B ) + P (C ) P ( AB ) P ( AC ) P (BC ) + P ( ABC )] = 1 3 P ( A ) + 2 P ( AC ) = 1 3 + 2 = 4 6
8.每门高射炮(发射一发子弹)击中飞机的概率为0.6,现若干门高射炮同时发射(一发子弹), 欲以99%的概率击中飞机,问至少配置几门高射炮?
解 设需配置 n 门高射炮, Ai = {第i门高射炮击中飞机}, i = 1,2,, n, A = {飞机被击中}
可设 A1 , A2 ,, An 相互独立,而 A = ∪ Ai , A = A1 , A2 ,, An ,由独立性:
随机事件及其概率典型例题解析
7.(续6)已知抽到的是次品，求该件产品是甲车间生产的概率.
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解 这是逆概率问题,由Bayes(贝叶斯)公式即得所求为:
P ( A1 B ) =
P ( A1 )P ( B A1 )
∑
i =1
3
P ( Ai ) P ( B .0345
= 0.0362.
A的面积 T 2 (T t ) t P ( A) = = = 1 1 . S的面积 T2 T
2 2
y
T
t
O
t
T
x
随机事件及其概率典型例题解析
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5.设某种动物由出生算起活20岁以上的概率为0.8,活25岁以上的概率为0.4,现有一个20岁 的这种动物,问它能活到25岁以上的概率时多少?
P(A ) = P(A1 )P(A2 ) P(An ) = (1 0.6) = 0.4 n , P( A) = 1 P (A ) = 1 0.4 n ≥ 0.99,
n
n
i =1
∴n ≥
ln 0.01 2 ≈ = 5.026. ln 0.4 0.3939
所以至少配置6门高射炮,才能以99%以上的概率击中飞机.
1
随机事件及其概率典型例题解析
1 1
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1. 事件 A, B 的概率分别为 , ,试求下列三种情况下概率 P(A B ) 的值.(1) A 与 B 互不相容(互斥); 3 2 A B ;(3) P( AB ) = 1 . (2)
解
(1)由于 AB = φ ,故 B A ,于是 A B = B ,从而 P (A B ) = P (B ) =
1. 随机试验，样本空间，随机时间及其运算(互不相容，互逆). 2. 公理化概率的定义及性质(非负，规范，可列可加性). 3. 古典概型(几何概型，统计概型). 4. 条件概率，乘法公式，全概率公式(逆概公式). 5. 随机事件的两两独立及相互独立. 6. n重贝努里概率.
随机事件及其概率典型例题
故所求的概率为:
9 9 1 1 P ( A0 ) P ( A1 ) = 1 (10 ) 12(10 )(10 ) ≈ 0.341. 12 11
7 12
(
)
.
随机事件及其概率典型例题解析
3. 从10,11, …,99这90个两位数中任取一个,求这个数能被2或3整除的概率.
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解
这是一个古典概型问题,记 A={能被2整除},B={能被3整除},AB={能被2,3整除},则 由一般加法公式,所求的概率为 P( A ∪ B ) = P( A) + P(B ) P( AB ) =
P ( A) =
45 90
, P (B ) =
30 90
, P( AB ) = 15 . 90
45+ 30 15 90
= 2. 3
4*.(几何概型) 二人约定于0到T时内在某地会面,先到者等 t (0 ≤ t ≤ T ) 时后离去,求二人能会面 的概率.
解
以 x, y 分别表示二人到达的时刻,则 0 ≤ x ≤ T ,0 ≤ y ≤ T .满足以上二不等式的点构成 边长为 T 的正方形 S (如图).二人能会面的充要条件是 x y ≤ t ,这个条件决定了S 中一个子集 A (阴影部分),由几何概率的定义可知二人能会面的概率为: