分母中含有未知数的方程叫做分式方程教学提纲

分母中含有未知数的方程叫做分式方程

分母中含有未知数的方程叫做分式方程．如：等等都是分式方程．

在此之前我们学过的方程，分母中都不含有未知数，都是整式方程，因此目前学过的方程可归纳为：

2、解分式方程的基本思路——转化

解分式方程的基本思路是将分式方程转化为整式方程．这种转化的具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，归纳如下：

如：解方程：

方程两边都乘以(x＋3)(2x－7)得

2(2x－7)=3(x＋3)

4x－14=3x＋9

x=23

3、解分式方程的一般步骤

（1）去分母：方程两边同乘以各分母的最简公分母，将分式方程转化整式方程．

（2）解整式方程．

（3）验根，即把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，若结果不是零，说明此根是原方程的根；若结果是零，说明此根是原方程的增根，必须舍去．见例1．

（4）写出方程的解．

解分式方程的一般步骤列表如下：

4、列分式方程解应用题的步骤

（1）审清题意，找出题目的等量关系，设出未知数．（2）根据等量关系，列出分式方程．

（3）解分式方程，并验根．

（4）写出答案．

二、重难点知识归纳

分式方程的解法及应用既是重点，又是难点．

三、例题赏析

例1、解下列分式方程：

分析：

（1）先确定最简公分母为2(x－1)，再按步骤求解．（2）先将2－x化为－(x－2)，然后去分母求解．

（3）先将分母分解因式，再确定公分母为6x(x＋1)．

解：

（1）方程两边同乘以2(x－1)，得

2x=3－4(x－1)

解之得

检验：当时，2(x－1)0

∴是原方程的根．

（2）方程两边同乘以(x－2)，得

x－3＋(x－2)=－1

2x－5=－1

解之得x=2

检验：将x=2代入最简公分母x－2=0，

∴x=2为原方程的增根．

∴原方程无解．

（3）原方程可变为：

方程两边同乘以6x(x＋1)，得

12x＋6=5x

解之得

检验：将代入最简公分母

∴是原方程的解．

例2、甲乙两地相距150千米，一轮船从甲地逆流航行至乙地，然后又从乙地返回甲地，已知水流速度为3千米/时，回来时所用时间是过去的求轮船在静水中的速度．

分析：

本题的基本量之间的关系有：路程=速度×时间，v逆=v静－v水，v顺=v静＋v水，本题的等量关系为

解：

设轮船在静水中的速度为x千米/时

则v逆=(x－3)千米/时，v顺=(x＋3)千米/时

根据题意得

解之得x=21

经检验，x=21是所列方程的解．

答：船在静水中的速度是21千米/时．

例3、甲、乙两个工程队共同完成一项工程，乙队先单独做一天后，再由两队合作2天，就完成了全部工程．已知甲队单独完成工作所需的天数是乙队单独完成所需天数的求甲、乙两队单独完成各需多少天？

分析：本题是研究甲、乙两队的工程问题，他们单独工作的工作量、工作效率、工作时间列表如下：

工作量工作效率工作时间（天）甲队 1

乙队 1 x 甲、乙合作工作的工作量、效率、时间如表所示：

工作量工作效率工作时间（天）甲队 1 甲、乙合作 2

相等关系：

乙做一天的工作量＋甲、乙合作2天的工作量=1

解：

设乙单独完成工程需x天，那么甲单独完成需天．

则根据题意，得

即

解得x=6 经检验，x=6是原方程的根．

答：甲、乙两队单独完成分别需要4天和6天．

例4、解下列关于字母x的方程：

(1)m2(x－n)=n2(x－m)(m2≠n2)

(2)ay－bx=1(ab≠0)

分析：

这三个方程中，x是未知数，其他字母都是已知数，其步骤与解数字系数的方程相同，在最后系数化1时，注意字母的取值范围．

解：

（1）去括号，m2x－m2n=n2x－n2m

m2x－n2x=m2n－mn2

(m2－n2)x=mn(m－n)

∵m2≠n2,∴m2－n2≠0

∴方程两边同除以(m2－n2)

(2)由ay－bx=1得

ay－1=bx

∵ab≠0, ∴a≠0且b≠0

∴方程两边同除以b，得

（3）去分母：b(x－b)=2ab－a(x－a)

bx－b2=2ab－ax＋a2

bx＋ax=b2＋2ab＋a2

(b＋a)x=(a＋b)2

∵a＋b≠0

∴方程两边同除以a＋b，

得 x=a＋b

例5、解方程：

解法一：方程两边同乘以abx得

bx＋a2b=ax＋ab2

bx－ax=ab2－a2b

(b－a)x=ab(b－a)

∵a≠b，∴a－b≠0

检验：将x=ab代入原方程

∴x=ab为原方程的解．

解法二：由原方程得：

方程两边同乘以abx

ab(a－b)=(a－b)x

∵a≠b ，∴a－b≠0

例6、分别求出下列公式中的未知量：

（1）在公式求t2(a≠0)．

（2）在公式求u(f≠v)．

分析：

求公式中的某一个量，这个量就是未知数，其余量均为已知数．解：

（1）去分母：a(t2－t1)=v2－v1

at2－at1=v2－v1

at2=at1＋v2－v1

∵a≠0,

（2）去分母：vf＋uf=uv

uf－uv=－vf

u(f－v)=－vf

∵f≠v, ∴f－v≠0