08静定与静不定问题

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代入S1' S1 解得: S3 10 kN, S4 10 kN
X 0
S5

S
' 2

0
代入S2' S2后 解得 S5 7.66 kN
节点D的另一个方程可用来校核计算结果
Y 0 , P S3' 0
解得S '3 10 kN, 恰与S3相等,计算准确无误。
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二、截面法 I
中心线的交点上，称为节点（结点）。
（3）所有荷载和支座反力都在桁架平面内，且都作用在桁架的
节点上。
（4）桁架杆件的自重可忽略不计，或将杆件的自重平均分配在
杆件两端的节点上。
根据以上假设，桁架中每一根杆都是二力杆，因此，杆件只受
拉力或压力。
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工程力学中常见的桁架简化计算模型
计算桁架各 杆内力的方 法有： 节点法和截 面法
①一矩式
②二矩式
条件：x 轴不 AB 连线
mA(Fi ) 0 mB (Fi ) 0 mC (Fi ) 0
有三个独立方程，只能求出三个未知数。
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§4-5 平面平行力系的平衡方程
平面平行力系:各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系。 所以 , 平面平行力系的平衡方程为：
Y 0
YA S5sin P0
S5 0
X 0
S6 S5 cos S4 X A 0
S6

Pa h
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说明： 节点法：用于设计，计算全部杆内力 截面法：用于校核，计算部分杆内力 先把杆都设为拉力,计算结果为负时,说明是压力,
与所设方向相反。
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三、特殊杆件的内力判断
的系统叫∼。 [例]
外力：外界物体作用于系统上的力叫外力。 内力：系统内部各物体之间的相互作用力叫内力。
内力和外力是可以相互转化的。
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物系平衡的特点： ①物系静止 ②物系中每个单体也是平衡的。每个单体可列3个 平衡方程，整个系统可列3n个方程（设物系中 有n个物体）
解物系问题的一般方法： 由整体 局部（常用），由局部
Sc Sd Sa 0
研究A点：
由Y 0
Sb cos45o P0
Sb 2P
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例题分析
[例1]已知各杆均铰接，B端插入地内，P=1000N， AE=BE=CE=DE=1m，杆重不计。 求AC 杆内力？B点的反力？
求得：
解：① 选整体研究 ②受力如图 ③选坐标、取矩心、Bxy,B点 ④列方程为:
FY 0
mO (Fi )0
mA (Fi ) 0 mB (Fi ) 0
一矩式
二矩式
二矩式的限制条件：
A、B连线不能与各力平行。
实质上是各力在x 轴上的投影恒等于零，即 FX恒 成0 立，
所以只有两个独立方程，只能求解两个独立的未知数。 4
5
§4-6 静定与静不定问题的概念 • 物体系统的平衡
F
P
图（a）
P
图（c）
M
图（e）
F
P
图（b）
P
图（d）
M
图（f）
上图中，图（a） （汇交力系），图（c）（平行力系）， 图（e）（任意力系）均为静定问题。图（b）（汇交力系）， 图（d）（平行力系），图（f）（任意力系）均为超静定问题。
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需要指出的是，超静定问题并不是不能求解的问题，而 只是不能仅仅用静力学平衡方程来解决的问题。如果考虑 到物体受力后的变形，在平衡方程外，加上足够的补充方 程也可求出全部未知约束力。这将在材料力学、结构力学 等课程中加以研究。
应先研究整体；否则，应先拆开受力最少的哪一部分； 2、对于连续梁，应先拆开受力最少的部分，而不应先整
体研究； 3、在任何情况下，二力杆不作为研究对象，它的重要作
用在于提供了力的方向。 4、拆开物系后，应正确的表示作用力和反作用力之间的
关系、字母的标注、方程的写法。
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解题须知:
5、对于跨过两个物体的分布载荷，不要先简化后拆开， 力偶不要 搬家。
X 0 X O SAsin 0 Y 0 SAcos YO 0
M PR XO P tg
YO P
[负号表示力的方向与图中所设方向相反]
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例:图示连续梁,求A、B、C三处的约束反力。
M
q
解：先以BC为研究对象，
A
B
C 做受力图
l
l
列平衡方程
B
q
C
X 0 Y 0
6、定滑轮一般不要单独研究，而应连同支撑的杆件一起 考虑。
7、建立适当的坐标轴，应使坐标轴与尽可能多的力的作 用线平行或垂直，以免投影复杂；
8、取矩时,矩心应选在尽可能多的未知力的交点上,以避 免方程中出现过多的未知量。
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§4-7 平面简单桁架的内力分析 桁架结构：是由一些杆件彼此在两端连接而组成的一 种工程结构，它受力后几何形状不变。各杆件处于同 一平面内的桁架称为平面桁架，桁架中各杆件彼此连 接的点称为节点。
X 0 S2 S1 cos300 0 Y 0 NA S1 sin 300 0 解得S2 8.66kN,S1 10kN(表示杆受压 )
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X 0 S4 cos300 S1'cos300 0 Y 0 S3 S1'sin300 S4sin300 0
X 0 X B 0;
Y 0 YB P 0; YB P mB 0 M B P DE 0
M B 100011000(Nm) 32
① 再研究CD杆 取E为矩心，列方程
② 受力如图
mE 0,SCAsin45o CE PED 0
SCA

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若未知量总数小于独立的平衡方程总数，则系统 可能不平衡，而若计算表明，所有的平衡方程都能满 足，则说明系统处于平衡，但题给的条件有些是多余 的或系统的结构是不稳固的。
若未知量总数正好等于独立的平衡方程总数，则 问题是静定的。
注意：
在总计独立的平衡方程数时，应分别考虑系统中每一个 物体，而系统的整体则不应再加考虑。因为系统中每一个 物体既已处于平衡，整个系统当然处于平衡，其平衡方程 可由各个物体的平衡方程推出，因而是不独立的。
工程上很多结构都是超静定的。由于结构增加了多余约 束后，使结构具有更大的刚度，更经济地利用材料，使安 全更可靠。
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[例]
静定（未知数三个） 静不定（未知数四个） 静不定问题在强度力学（材力,结力,弹力）中用位移 谐调条件来求解。
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二、物体系统的平衡问题 物体系统（物系）：由若干个物体通过约束所组成
内容回顾
§4-4 平面任意力系的平衡条件
平面任意力系平衡的平衡条件和平衡方程
对于平面任意力系平衡的情形，显然有
FR 0, MO 0
于是，平面任意力系平衡的必要和充分条件是：力系的主矢 和对于任一点的主矩都等于零。
它的解析式为
Fxi 0,
Fyi 0,
MO Fi 0
一、静定与静不定问题的概念
一
平面汇交力系：
FX 0
个
FY 0
n个物体时的平衡
物
力偶力系： mi 0 方程数分别是：
体
FX 0 2n，n，3n
时 平面任意力系：FY 0
mO (Fi ) 0
平衡方程数目≥未知数数目时，是静定问题（可求解）
平衡方程数目<未知数数目时,是静不定问题(超静定问题6 )
整体（用较少）
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2 、物体系平衡问题的静定或超静定
物体系是由几个物体组成，可分别分析各个物体 的受力情况，画出受力图。
根据受力图的力系类型，可知各有几个独立的平 衡方程，如平面一般力系有三个独立的平衡方程等。
总计独立平衡方程数，与问题中未知量的总数相 比较。
若未知量总数超过独立的平衡方程总数，则问题 是超静定的。
于是，平面任意力系平衡的解析条件是：所有各力在两个任
选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对任意
一点的矩的代数和也等于零。上式称为平面任意力系的平衡
方程。有三个独立方程，可以求解三个未知数。
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FX 0 FY 0
mO (Fi )0
FX 0
mA(Fi ) 0 mB (Fi ) 0
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一、节点法 [例] 已知：如图P=10kN，求各杆内力？
解：①研究整体，求支座反力
X 0, X B 0
mA(F )0, 4YB 2P 0
mB (F )0, 2P 4N A 0
X B 0, N A YB 5 kN ②依次取A、C、D节点研究，计算各杆内力。
X ' 0, X Asin YAcos Psin 0
而sin AADC 12.6 45; cos CADD12.2 53
解得: X A 136N;YA 48N
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再研究AB杆，受力如图
由mC 0, SB sinCBYAAC 0
解得:S
① 两杆节点无载荷、且两杆不在 一条直线上时，该两杆是零杆。
② 三杆节点无载荷、其中两杆在 一条直线上，另一杆必为零杆
S1 S2 0
③ 四杆节点无载荷、其中两两在 一条直线上，同一直线上两杆 内力等值、同性。
S1 S2
S3 S4
且S1 S2
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[例3] 已知 P d,求：a.b.c.d四杆的内力？ 解：由零杆判式
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[例]已知：OA=R, AB= l , 当OA水平时，冲压力为P时，求： ①M=？②O点的约束反力？
③AB杆内力？④冲头给导轨的侧压力？
解：研究B
由 X 0
Y 0
N SB sin 0
P SB cos 0
SB

P
cos
,
N P tg
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再研究轮O
mO (F )0 SAcosRM 0
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房屋建筑
机械
国防
通讯
桥梁
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工程中的桁架结构
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节点
杆件
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桁架的优点：轻，充分发挥材料性能。
桁架的特点：①直杆，不计自重，均为二力杆； ②杆端铰接；
③外力作用在节点上。
为简化桁架计算，工程上采用以下几点假设：
（1）组成桁架的杆件都是直杆。
（2）各刚杆端部用光滑平面圆柱铰链连接，铰链的中心在杆件
PED sin45o CE
01.070007111414(N)
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[例2] 已知:P=100N. AC=1.6m,BC=0.9m,CD=EC=1.2m,AD=2m 且AB水平, ED铅垂,BD垂直于
斜面； 求 SBD ?和支座反力？
解： 研究整体 画受力图 选坐标列方程
mB 0,YA 2.5P1.20
YG

50510 2
50(kN)
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② 再研究梁CD 由mC 0
YD 6 YG' 1 0
YD

50 6
8.33(kN)
③ 再研究整体
mA 0,YB 3 YD 12 P10 Q6 0 YB 100(kN) Y 0,YA YB YD Q P 0 YA 48.33(kN) 37
B

Y A AC
BC sin

(48)1.6
0.9
4 5
106.7
N
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[例4] 已知：连续梁上，P=10kN, Q=50kN, CE 铅垂, 不计梁重 求：A ,B和D点的反力（未知数多余三个，不能先整 体求出，要拆开）
解：①研究起重机
由mF 0 YG 2 Q 1 P 5 0
I
[例]已知：如图，h，a，P 求：4，5，6杆的内力。 解：① 研究整体求支反力 X 0 XA 0
MB 0 Y 3a P 2a P a 0
YA P
② 选截面 I-I 取左半部研究
A'
由mA 0 S 4h YA a 0
S4

Pa h
XB=0 YB+NC-ql=0


m0
B
NCl-ql2/2=0
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M
q
A
B
C
l
l
M
A
B
2.再研究AB（或整体ABC）
X 0 Y 0 mA 0
XA-XB=0 YA-YB=0
MA+M-YBl=0
联立求解即可。
请同学们研究整体ABC, 与上述结果比较.
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解题须知: 1、通常：对于构架，若其整体的外约束反力不超过4个，