高一数学 集合的解题方法与技巧

合，若x＝A 0，则x x＝A 0 若x＝A 1，则x x＝A 1
A 1＝A 2，A 2
A 2＝A 0.可以验证x
＝A 3、A 2，分别与x＝A 1、A 0，情况相同，所以选B. 点评 对集合中元素个数较少的计数问题，可以用列 举法逐一考虑，注意不要遗漏．
三、直观化方法 把抽象的数学问题与直观、具体的图形结合起 来，使问题由难变易，易于解决． 1 【例5】 设集合A ＝ (x，y)|y≥ |x－2|， 2 B ＝{(x，y)|y≤－|x|＋b}，A ∩B ≠∅. (1)b的取值范围是________； (2)若(x，y)∈A ∩B ，且x＋2y的最大值为9，则 b的值是________．
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集合的解题方法与技巧
集合是学习数学的基础和工具，是高考的必考内容 之一，由于集合知识的抽象性，给相关问题的解决 带来一定的困难，利用定义法、具体化方法、直观 化方法和简单化方法可以帮您走出困境． 一、利用定义法 概念、定义是构建数学大厦的基石，一些数学定义 本身就是方法，利用定义可以顺利解题．
Q ＝{x|1<x<3}．由定义 P －Q ＝{x|0<x≤1}，故选 B.
点评 集合中新定义问题很多，主要考查理解、应变 能力，解这类问题关键在于通过阅读，准确理解
新定义及运算法则．
二、具体化方法 将抽象问题具体化，更容易看清问题的本质． 【例 3】
*
已知全集 I＝N*，集合 A ＝{x|x＝2n，
合时也要注意，本题若取S1＝{1}，S2＝{2}，S3＝ {3}，I＝{1,2,3}，选项B、C、D都成立，不能得出 结论，还需进一步检验．
【例7】
已知集合P ＝{x|4≤x≤5，x∈R}，Q ＝
{x|k＋1≤x≤2k－1，x∈R}，求当P ∩Q ≠Q 时，实 数k的取值范围．
解析 若 P ∩Q ＝Q 时，则 Q ⊆P .
【例4】 运算
设集合S＝{A 0，A 1，A 2，A 3}，在S上定义 为：A i A j＝A k，其中k为i ＋j 被4除的余数， A 2＝A 0的 ( C ．3 D ．4 )
i 、j ＝0,1,2,3，则满足关系式(x x) x(x∈S)的个数为 A． 1 B．2
解析
A i表示由被4除的余数i (i ＝0,1,2,3)组成的集 A 0＝A 0，A 0 A 2＝A 2≠A 0；
*
n∈N }，B ＝{x|x＝4n，n∈N }，则 A．I＝A ∪B C．I＝A ∪(∁IB )
(
)
B．I＝(∁IA )∪B D．I＝(∁IA )∪(∁IB )
解析
用列举法有 A ＝{2,4,6,8，…}，B ＝
{4,8,12,16，…}，∴∁IB ＝{1,2,3,5,6,7,9，…}， 选 C. 点评 具体化使问题一目了然．
【例1】
b a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝0， ，b， a ( B．－1 C． 2 ) D．－2
则b－a等于 A. 1
解析
利用集合相等的定义，后面集合中含有元
素0，前面集合中也必含有元素0，且只可能a＋b b 或a为0.注意后面集合中含有元素 ，故a≠0，只 a 能a＋b＝0，即b＝－a.集合变成了{1,0，a}＝{0， －1，－a}，显然a＝－1，b＝1，b－a＝2，选C. 点评 解集合相等问题，要从特殊元素入手．
【例 2】
设 P 和 Q 是两个集合，定义集合 P －Q ＝
{x|x∈P， 且 x∉Q }， 如果 P ＝{x|log2x<1}， Q ＝{x||x －2|<1}，那么 P －Q 等于 A．{x|0<x<1} C．{x|1≤x<2}
解析
( B．{x|0<x≤1} D．{x|2≤x<3}
)
源自文库
先将集合 P 、Q 简单化，得 P ＝{x|0<x<2}，
解析
(1)A 表示由折线 y
1 | x 2 | 及其上 2
方的点为元素组成的集合，B 表示由 折线 y=-|x|+b 及其下方的点为元素组 成的集合，如右图．若 A ∩B ≠∅，只 需 b≥1，即 b∈[1，+∞)．
x t t 表示直线在 y 轴上 (2)设 x+2y=t ，t ≤9， y , 2 2 2
当 Q ＝∅时，k＋1>2k－1，解得 k<2； k＋1≥4， 当 Q ≠∅时，则应有2k－1≤5， k＋1≤2k－1， 所以当 k<2 或 k＝3 时，P ∩Q ＝Q . 故当 k≥2 且 k≠3 时，P ∩Q ≠Q .
解得 k＝3.
点评 P ∩Q ≠Q 的情况较复杂，若正面求解，需要 一一列举出来分别讨论，然后再求并集，运算量 大，且不容易考虑周全．注意到“≠”的反面比较 单纯，从问题的反面去思考探究，就容易得到正面 结论，这其实就是补集思想的应用.
且S1∪S2∪S3＝I，则下面论断正确的是 A．∁IS1∩(S2∪S3)＝∅ C．∁IS1∩(∁IS2∩∁IS3)＝∅
B．S1⊆(∁IS2∩∁IS3) D．S1⊆(∁IS2∪∁IS3)
解析
构造S1＝{1,2}，S2＝{1,3}，S3＝{1,4}，I＝
{1,2,3,4}，验算知选C. 点评 命题对一般情况成立，对特殊情况也成立； 对特殊情况不成立，对一般情况必不成立．选取集
返回
t 9 的截距．而t ≤9，知 . t 最大，即 2 2
∵(x，y)∈A ∩B ， 9 ∴ (0, 2 ) 为A ∩B 围成图形内在y轴上的最高点， 9 所以 b . 2 点评 以形的直观辅助计算，使计算更有目的性．
t 2
最大．
四、简单化方法 【例6】 设I为全集，S1、S2、S3是I的三个非空子集 ( )