导数专题训练

导数 [经典 必备]

1. 基本初等函数的导数公式

2．导数的运算法则

（1） [f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； （2） [f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；

（3）2()'()()'()()'()()

f x f x

g x g x f x g x g x ⎡⎤

⋅-⋅=⎢⎥⎣⎦

(g (x )≠0)．

3. 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数几何意义：

函数()y f x =

在点0x 处的导数0'()f x 就是曲线()y f x =在点00(,())

x f x 处的切线和斜率，即0'()k f x =

.相应地，切线方程为

y －f (x 0)＝

f ′(x 0)(x －x 0)．

4．函数的单调性

在某个区间(a ，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y ＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y ＝f(x)在这个区间内单调递减． 5．函数的极值

(1)判断f(x 0)是极值的方法

一般地，当函数f(x)在点x 0处连续时，

①如果在x 0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x 0)是极大值；

②如果在x 0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x 0)是极小值．

(2)求可导函数极值的步骤 ①求f′(x)；

②求方程f′(x)＝0的根；

③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值． 6．函数的最值

(1)在闭区间[a ，b]上连续的函数f(x)在[a ，b]上必有最大值与最小值．

(2)若函数f(x)在[a ，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a ，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．

(3)设函数f(x)在[a ，b]上连续，在(a ，b)内可导，求f(x)在[a ，b]上的最大值和最小值的步骤如下： ①求f(x)在(a ，b)内的极值；

②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

[经典 典例]

题型一 导数的运算 例1 求下列函数的导数 (1)y ＝e x

·ln x ； (2)y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫

x 2＋1x ＋1x 3；

(3)y ＝ln x

x 2＋1

．

[经典 跟踪]求下列函数的导数 (1)y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1)； (2)y ＝x 2sin x .

题型二 导数求切线方程问题

例2 (经典 ·大纲全国，10)已知曲线y ＝x 4＋ax 2＋1在点(－1，a ＋2)处切线的斜率为8，则a ＝( )

A．9 B．6

C．－9 D．－6

[经典跟踪]

1．(经典·新课标全国Ⅰ，14)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2，7)，则a＝________．

2．(经典·广东，11)曲线y＝－5e x＋3在点(0，－2)处的切线方程为______________．

3．(经典·广东，12)若曲线y＝ax2－ln x在(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________．

题型三导数求函数单调性

例3已知函数f(x)＝ln x＋k

e x(k为常数，e＝2.718 28…是自然对

数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．

(1)求k的值；

(2)求f(x)的单调区间；

[经典跟踪]

1．(经典·陕西，9)设f(x)＝x－sin x，则f(x)()

A．既是奇函数又是减函数B．既是奇函数又是增函数

C ．是有零点的减函数

D ．是没有零点的奇函数

2．(经典 ·新课标全国Ⅱ，11)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2] B ．(－∞，－1] C ．[2，＋∞)

D ．[1，＋∞)

3．(经典 ·新课标全国Ⅱ，21)已知f (x )＝ln x ＋a (1－x )． (1)讨论f (x )的单调性；

(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围．

题型四 导数求函数的极值和最值

例4 (经典 ·天津，19)已知函数f (x )＝x 2

－23ax 3

(a ＞0)，x ∈R .

(1)求f (x )的单调区间和极值；

[经典 跟踪]

1．(经典 ·陕西，9)设函数f (x )＝2

x ＋ln x ，则( ) A ．x ＝1

2为f (x )的极大值点

B ．x ＝1

2为f (x )的极小值点 C ．x ＝2为f (x )的极大值点 D ．x ＝2为f (x )的极小值点

2．(经典 ·陕西，21)设函数f (x )＝ln x ＋m

x ，m ∈R . (1)当m ＝e(e 为自然对数的底数)时，求f (x )的极小值；

[经典 高考]

1.(经典 ·新课标全国Ⅰ，21)已知函数2()()4x f x e ax b x x =+--，曲线

()y f x =在点(0,(0))f 处切线方程为44y x =+。

（Ⅰ）求,a b 的值；

（Ⅱ）讨论()f x 的单调性，并求()f x 的极大值。

2.(经典 ·新课标全国Ⅰ，21)设函数()()21ln 12

a f x a x x bx a -=+-≠，

曲线()()()11y f x f =在点，处的切线斜率为0 （1）求b;

（2）若存在01,x ≥使得()01

a

f x a <-，求a 的取值范围。