水力学-第二章水静力学

在压强的变化。
13
水力学 液体平衡的全微分方程 2.
Xdx Ydy Zdz
第 二 章 水 静 力 学
3、等压面
1

dp
Xdx Ydy Zdz 0
W X x W Y y W Z z
力势函数
W W W dx dy dz dp x y z
p g (
2r 2
2g
z) c
由边界条件：x = y = z = 0，p = p0 则得
Ｃ＝p0
p p 0 g (
则
r
2 2
2g
z)
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水力学
静水总压力Static Surface Forces
第 二 章 水 静 力 学
平面压力Forces on plane areas
水力学
相对压强
第 二 章 水 静 力 学
pr pabs pa
真空压强
pv pa pabs
A
A点相 对压强 大气压强 pa A点绝 对压强
压强
相对压强基准
B
B点真空压强
B点绝对压强 绝对压强基准
O
O
水力学
p 3、 z C 的物理意义和几何意义 g
第 二 章 水 静 力 学
p dxdydz Xdxdydz 0 x
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水力学
以ρdxdydz 除以上式各项，并化简，
第 二 章 水 静 力 学
得x方向的液体平衡微分方程。同 理可得出其他两个方向的液体平衡微分 方程
（Differential equation of liquid equilibrium)。
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作用 点…… 记住了 吗？ ？
水力学
第 二 章 水 静 力 学
平面静水总压力举 例
P ghc A
1 P gh2b 2
Ic y D yc yc A
2 yD h 3
水力学
例2-5
第 二 章 水 静 力 学
H
water
y
hinge P F
q
h
已知：如图所示，H ，h ,a, b
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水力学
第 二 章 水 静 力 学
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水力学
将以上三式代入
第 二 章 水 静 力 学
dp=ρ(Xdx+Ydy+Zdz)
= ρ (ω2xdx+ ω2ydy－gdz) 积分得
1 2 2 2 p （x y ) gz C 2
46
水力学
或
第 二 章 水 静 力 学
其大小为： P =Ωb
式中: Ω为压强分布图的面积;b为作用面的宽度。
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水力学
矩形平面上静水总压力 P 的作用线
第 二 章 水 静 力 学
通过压强分布体的重心。（也就是矩形 半宽处的压强分布图的形心），垂直指 向作用面，作用线与矩形平面的交点就 是压心D。
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水力学
例：对三角形的压强分布图
第 二 章 水 静 力 学
求: P , 作用点位置 , F
a
b
例2-5 水力学 解：
第 二 章 水 静 力 学
h P ghc A g ( H )ab 2
I y D y c cx yc A
y
water hinge P F
H
h sin q 2a
yc
I cx
a 3 b
4
q
h
H 2aH a a a ( 2 H h) sin q h h
水力学
第 二 章 水 静 力 学
水力学
2.4 重力和惯性力同时作用下的液体平衡
第 二 章 水 静 力 学
作用于液体中任意一点A的质量力有重力: G=mg 和水平径向方向的离心惯性力： F=mω2r。 单位质量力在三个坐标上的投影为
X=ω2rcosθ= ω2x，Y= ω2rsinθ= ω2y，
Z=-g
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水力学
Px dPx ghdAx g hdAx
第 二 章 水 静 力 学
Ax Ax
式中： hdAx hc Ax 为曲面在铅
Ax
垂平面上的投影面积Ax 对y轴的静矩。
这样x方向的总压力为
Px= ρghcAx
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水力学
总压力P 的铅垂分力Pz等于各微小面
第 二 章 水 静 力 学
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水力学
第 二 章 水 静 力 学
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水力学
第 二 章 水 静 力 学
以x方向为例
表面力 周围液体作用于六面体的六个面上 的压力是表面力。AB 和CD面上的压力
分别为
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水力学
第 二 章 水 静 力 学
p dx (p )dydz x 2 p dx (p )dydz x 2
同理，也可写出作用在其它四个面上的
水力学
液体静力学中的基本方程
p gz C
第 定积分常数C 二 章 水 静 力 学
z z0 ,
p p0
p po g ( z0 z )
水力学
2 绝对压强、相对压强、真空压强
第 二 章 水 静 力 学
p p0 gh
（1）压强表示：应力表示、大气压倍数 表示、液柱表示 p h 应力 Pa、kPa；液柱高； 大气压强 g （2）大气压强 1个标准大气压=101.3千帕=10.33米水柱 =760毫米汞柱
水力学
2.3 重力作用下静水压强的分布规律
第 二 章 水 静 力 学
1 水静力学基本方程
当质量力只有重力时，
X 0 Y 0 Z g
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水力学
水静力学基本方程
第 二 章 水 静 力 学
不可压缩均质液体，ρ = 常数．对上式 积分
p gz C
p z C g p po gh
压力表达方式。
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水力学
质量力
第 二 章 水 静 力 学
六面体中液体质量为ρdxdydz。在
三个坐标轴上的投影为X，Y，Z。则x方向
的质量力为
Xρdxdydz
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水力学
根据液体平衡条件，合力为零。 x方向的
第 二 章 水 静 力 学
平衡微分方程为
p dx p dx (p )dydz ( p )dydz Xdxdydz 0 x 2 x 2
水力学
Euler 液体平衡微分方程: 第 二 章 1 p X 0 x 水 1 p 静 Y 0 y 力 学
1 p Z 0 z
(1)
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水力学
上式为液体的平衡微分方程式。又称
第 二 章 水 静 力 学
为欧拉平衡微分方程。 它反映了在静止液体内部，若在某一
方向上有质量力存在，那一方向就一定存
xD和yD
PyD g sin S x yD dPy g sin y 2dA g sin y 2dA
A A
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水力学
令以下积分为惯性矩(Moment of inertia)
第 二 章 水 静 力 学
Ix

A
y 2 dA
则可得：
yD
Ix Ix Sx yc A
积上铅垂分力dPz的总合，即
Pz dPz ghdAz g hdAz gV
Az Az
式中：
hdAz V 为压力体的体积
Az
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水力学
压力体是由以下面组成：
第 二 章 水 静 力 学
曲面本身；
通过曲面周界的铅垂面；
自由液面或其延续面。 (分步画法,例一，例二，例三，例四)
即和作用面的内法线方向一致。
(2).同一点处各个方向的静水压强大小都相
等，即一点处的压强数值与该压强作用面的
方位无关。
3
水力学
第 二 章 水 静 力 学
静水压强是空间坐标的函数，是一标量函 数。即 p = p (x，y，z)
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水力学
2.2
第 二 章 水 静 力 学
液体平衡微分方程及其积分
1 液体平衡微分方程 在静止或相对平衡的液体中取边长 分别为dx,dy,dz 的微小六面体，其中心 点为M(x,y,z),各边分别与坐标轴平行。
单位重量液体的总势能或测压管水头 为常数 z 位置水头——位能—— p 压强水头——压能—— g 测压管水头——总势能 p
z
g
水力学
4、等压面
第 二 章 水 静 力 学
p p0 gh
重力场中连通的同种静止液体
中： ① 压强随位置高程线性变化； ② 等压面是水平面，与质量力垂直；
水力学
7、静水压强分布图(Pressure distribution diagram)
第 二 章 水 静 力 学
表示静水压强沿受压面分布情况的 几何图形称为静水压强分布图。
在工程中只需计算相对压强，所以
这里只绘制相对压强分布图。
按照 p =ρgh 绘制
图2.14,2.15,2.16,2.17等
34
a
y D yc
ah 4( 2 H h)
P ( y D yc a ) F g (8H 5h)ab / 16 2a
b
水力学
2.矩形平面静水压力——压力图法
第 二 章 水 静 力 学
求上、下边与水面平行的矩形平面 上的静水总压力及其作用点的位置，采
用压力图法较为方便。
压力的大小、方向和作用点
水力学
第 二 章 水 静 力 学
第二章
水 静 力 学 (hydrostatics)
1
水力学
2.1 静水压强及其特性
第 二 章 水 静 力 学
1 静水压强
静水压强就是单位面积上的静水压力。
p lim P / A
A 0
2
水力学
2.
静水压强的特性
第 二 章 水 静 力 学
(1).静水压强的方向垂直指向作用面。
（1）.静水总压力的大小 第 二 章 水 静 力 学
水力学
静水总压力的大小
第 二 章 水 静 力 学
dP=pdA=ρghdA=ρgysinαdA
P dP gy sin dA g sin ydA
A A
Sx
ydA y
A
cALeabharlann P g sin S x g sin yc A ghc A pc A
水力学 6. 测压原理
•测压管
第 二 章 水 静 力 学
水力学
• 倾斜测压管
第 二 章 水 静 力 学
A α
p A gh gl sin
水力学
•U 型测压管
第 二 章 水 静 力 学
p A g m hm g a
水力学
•差压计
第 二 章 水 静 力 学
p A pB gz B g m hm g ( z A hm )
曲面压力Forces on curved surfaces
潜体压力Forces on submerged bodies
水力学
2.5 作用于平面上的静水总压力
第 二 章 水 静 力 学
解析法: 适用于置于水中任意方位和任意形
状的平面。
1、水平面静水压力的计算
P ghA
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水力学 2、任意平面静水压力的计算
首先分析作用于具有水平母线的二
向曲面上的静水总压力。
66
水力学
静水总压力的大小
第 二 章 水 静 力 学
对dP先进行分解，它在x,y轴方向上 的分力为 dPX=ρghdAcosα= ρghdAx dPz=ρghdAsinα= ρghdAz
则总压力 P 的水平分力Px 等于各微
小面积上水平分力dPX的总和，即
水力学
等压面(Equipressure surface)及其应用
第 二 章 水 静 力 学
等压面是压强相等的点构成的面。 需要强调的是，静止液体内等压面
是水平面这一结论，只能适用于互相连
通的同一种液体。
例图2.8、2.9、2.12、2.13
24
水力学
p p0 gh
第 二 章 水 静 力 学
利用惯性矩平行移轴定理： I x I c yc2 A
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水力学
将此定理代入上式可最后得出yD
第 二 章 水 静 力 学
2 Ic yc A Ic yD yc yc A yc A
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水力学
第 二 章 水 静 力 学
水力学
第 二 章 水 静 力 学

水力学
第 二 章 水 静 力 学
51
水力学
上式表明：任意形状平面上的静水
第 二 章 水 静 力 学
总压力P 等于该平面形心点c 的压强 pc
与平面面积 A的乘积。
（2）. 静水总压力的方向 静水总压力P 的方向垂直指向受压面。
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水力学
静水总压力的作用点
第 二 章 水 静 力 学
静水总压力P 的作用点称为压力中 心，以D表示。为了确定D的位置，必 须求其坐标xD和yD。 用理论力学中的合力矩定理求坐标
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水力学
静水总压力的方向
第 二 章 水 静 力 学
1 其大小为： P gh2b 2
其压心位于水面下2h/3处。
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水力学
对压强分布图为梯形分布总压力的大小：
第 二 章 水 静 力 学
p1 p2 P ab 2
对于梯形压心距平面底部的距离为：
a 2h1 h2 e 3 h1 h2
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水力学
2.6
第 二 章 水 静 力 学
作用于曲面上的静水总压力