第1章 绪论

有限元法理论——基础理论王家林张俊波编著

重庆交通大学土木工程学院

2017年11月

第1章 绪论

1.1 有限元方法的问题背景

工程技术领域中的许多场问题，如固体力学中的位移场、应力场分析，电磁学中的电磁场分析，热力学中的温度场分析，流体力学中的流场分析等，都可以归结为：在给定边界条件下求解其控制方程（代数方程、常微分方程或偏微分方程）的问题。

虽然各种问题的域内控制方程具有同一性，但各种问题的求解域和边界条件却复杂多样。只有少数形状规则、边界条件简单的问题才能用解析法求解。实际结构的形状和荷载往往非常复杂，要得到解析解是非常困难、甚至不可能的。

基于现代数学和力学基本理论，借助计算机来获得满足工程要求的近似数值解成为现实可行的手段。

目前在工程技术领域中常用的数值计算方法有： (1) 有限单元法(Finite Element Method) (2) 边界元法(Boundary Element Method) (3) 有限差分法(Finite Difference Method)

有限元法因其对各种复杂情况的普遍适应能力，成为工程实际中最具实用性和应用最为广泛的数值计算方法。

下面以弹性力学问题为例进行说明。

1.2 弹性体力学问题的基本控制方程组

对于空间弹性体力学问题，以),,(z y x 表示某确定直角坐标系下一点的位置坐标，以),,(z y x u 、),,(z y x v 、),,(z y x w 分别表示弹性体内任一点处沿x 、y 、z 轴的位移，简记为u 、v 、w ；类似地，以x ε、y ε、z ε分别表示任一点处沿x 、

y 、z 方向的线应变，以xy γ、yz γ、zx γ分别表示任一点处在xy 平面内、yz 平面

内、zx 平面内的剪应变；以x σ、y σ、z σ分别表示任一点处沿x 、y 、z 方向的正应力，以xy τ、yz τ、zx τ分别表示任一点处在xy 平面内、yz 平面内、zx 平面内的剪应力。

弹性体的力学问题可归结为关于位移、应变和应力共15个变量的15个控制方程在特定位移边界和力边界条件下的求解问题。15个控制方程可分为几何方程(6个)、物理方程(6个)和平衡方程(3个)三组。

1.2.1 几何方程

基于小变形假设，域内每一点的6个应变分量（x ε、y ε、z ε、xy γ、yz γ、zx γ）与3个位移分量（u 、v 、w ）之间满足下面几何关系：

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎨⎧∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=∂∂+

∂∂=∂∂=∂∂=∂∂=z u x w y w z v x v

y u z

w y v x u zx yz

xy z y x γγγεεε (1-1) 1.2.2 物理方程

对于各项同性的弹性材料，弹性体内每一点的6个应力分量（x σ、y σ、z σ、

xy τ、yz τ、zx τ）和6个应变分量（x ε、y ε、z ε、xy γ、yz γ、zx γ）之间满足Hooke 定律:

⎪⎪⎪⎪⎭

⎪

⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++------=⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧zx yz xy z y x zx yz xy z y x v v v v v v v v

v E τττσσσγγγεεε)1(2000000)1(2000000)1(20000001000100011 (1-2) 或：

⎪⎪⎪⎪⎭

⎪⎪⎪⎪⎬

⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------+=⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧zx yz xy z y x zx yz xy z y x v v v v v v v v v v v v v v E γγγεεετττσσσ210000002100000021000

000)1(2220002)1(2200022)1(2)21)(1(2(1-3)

引入Lame 常数：)21)(1(v v Ev -+=

λ、)

1(2v E

G +=，上面公式可简化为：

⎪⎪⎪⎪⎭

⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++=⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧zx yz xy z y x zx yz xy z y x G G G G G G

γγγεεελλλλλλλλλτττσσσ000000000000000

000200020002 (1-4)

1.2.3 平衡方程

对于任意弹性体，设单位体积的体力为x f 、y f 、z f ，则在弹性体内每一点，应力满足下面方程组：

⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧=+∂∂+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂w

f z y x v f z y x

u f z y x

z z

yz xz y zy

y xy x zx

yx x ρσττρτστρττσ (1-5)

1.2.4 边界条件

弹性体的力学边界条件可分为两种：位移边界条件和力边界条件。位移边界条件指在该边界上位移必须满足指定的条件；力边界条件指在该边界上应力与外力之间应满足指定的条件。

边界条件根据物体的几何形状和问题的特殊性而定，正是边界条件的不同使得问题产生差别。

(1) 在位移边界u S 上，以u 、v 、w 分别表示已知的各位移分量，有：

⎪⎩

⎪

⎨⎧===w w v v u u (1-6) (2) 在应力边界σS 上，以x n 、y n 、z n 表示边界表面的外法线方向单位矢量的各方向余弦，以x q 、y q 、z q 表示表面上单位面积上的作用力的各分量，有：

⎪⎩⎪

⎨⎧=++=++=++z z z y yz x

xz y z zy y y x xy x z zx y yx x x q

n n n q n n n q n n n στττστττσ (1-7) 1.3 有限元法的基本要点

1.3.1 有限元法的基本过程

(1) 离散

将一个表示结构或连续体的求解域离散为若干个简单形状的子域（称为单元），并通过它们边界上的节点相互连接形成单元组合体，用有限个单元的组合体代替原来的结构或连续体。这正是“有限单元法”名称的由来。

对整个求解域进行离散时，可使用各种不同的简单几何形状进行剖分，

于是