测量平差复习资料
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side7
2、 权与定权的常用方法
1)、权的定义
设Li
(i
1,
2,...,
n),
它们的方差为
2 i
,
如选定任一常数
，则定义
0
:
pi
2 0
2 i
p1 :
p2 : pn
2 0
2 1
:
2 0
2 2
:
:
2 0
2 n
1
2 1
:1
2 2
:: 1
2 n
2) 定权的常用方法
X
v1
L1代入得：
v2
v3 v3
v4
w1 0 w2 0
，闭合差方程为
ww12
L1 L2 L3 L4
L3
v1 xˆ w3 0
w3 L1 X
3 1 1
已知QLL
I
,则 Naa
AQAT
1 1
2 0
算例5：
A、B、C 三点在同一直线上，测出了 AB、BC 及 AC 的距离，得到 4 个独立观测值， L1 200.010m， L2 300.050m， L3 300.070m， L4 500.090m，若令 100 米量距的权为单位权，试按条件平差法 确定 A、C 之间各段距离的平差值 Lˆ 。
side1
一、误差产生的原因与分类
1）、观测误差产生的原因： 观测条件 测量仪器 观测者 外界条件
2）、误差分类及处理方法 偶然误差（accident error)： 平差计算 系统误差（systematic error)：改正计算 改进观测方法 粗差（gross error）
side2
二、协方差传播律及权
（[
f X
1
）0（,
f X
2
）0 （
f X
n
)0 ]
k0
f
(
X
0
1
,
X
0
2
,
X
0 n
)
n i 1
(
f X
i
)0
X
0
i
Z
[k 1
,k 2
,kn
]
X
n,1
k0
KX
k0
DZZ KDXX KT
side5
算例：
4 0 0
设有观测向量
L
[L1,
L2,
L3]T
side27
解答：n 4 ，t 2 ，r 2 ，u 1 t ，采用附加参数的条件平差模
Lˆ1 Lˆ2 Lˆ3
180 0
型。平差方程：
Lˆ3 Lˆ4 360 0 ，将 Lˆi Li vi, Xˆ X xˆ ，
Lˆ1 Xˆ 0
1)L, X (3
0)L，QXY (1
3
1)QLL
0
3
side13
三、平差数学模型与最小二乘原理
1）、确定几何模型的必要元素 2）、必要元素的选取 3）、自由度、多余观测值的个数 4）、四种平差模型
side14
A、条件平差法
以条件方程为函数模型的平差方法，称为条件平 差法。
sin L8 sin L9 sin L17 sin L19 S AB
side21
四、条件平差
了解条件平差法的一般概念及其思想，附 有参数的条件平差的基本原理。理解条件平差 法基本原理，条件方程的种类及产生的原因， 必要起算数据的作用，附有参数的条件平差与 条件平差法的关系。掌握各类条件方程的列立 及非线性条件方程的线性化；法方程的组成和 解算，精度评定的方法。
side25
五、附加参数的条件平差
基础方程：
A V B x W 0
cn n1 cu u1 c1
V T PV 最小
法方程式： AQAT K B xW 0 BT K 0
side26
算例6
在下图所示测角网中，A、B、C 为待定点，同精度观测了 L1、L2、 L3和 L4共四个角度观测值。设平差后BAC 为参数 Xˆ ，指出采用何 种平差模型，并写出函数模型和法方程。
~~
F F(L, X )
c,1
n,1 u,1
A Bx W 0
上式为附有参数的条件平差法的函数模型。 此平差问题，由于选择了u个独立参数，方程总数 由r个增加到c=r+u个，故平差的自由度为r=c-u。
side17
D、 附有限制条件的间接平差法
如果进行间接平差，就要选出t个独立量为平差参数，按 每一个观测值与所选参数间函数关系，组成n个观测方程。 如果在平差问题中，不是选t个而是选定u>t个参数，其中包 含t个独立参数，则多选的s=u-t个参数必是t个独立参数的函 数，亦即在u个参数之间存在着s个函数关系，它们是用来约 束参数之间应满足的关系。在选定u>t个参数进行平差时，除 了建立n个观测方程外，还要增加s个约束参数方程，故称此 平差方法为附有限制件的间接平差法。
解答：1)n=22，t=9，r=13： 7 个图形条件，1 个圆周条件，2 个极条件，2 个边长条件，
一个基线条件。
(2) sin L5 sin L10 sin L17 sin L19 1(以大地四边形中心为极)
sin L6 sin L11sin L16 sin L20
sin L3 sin L6 sin L14 sin L18 1(以中点四边形 D 为极)
2，
1 P2
3，
1 P3
3，
1 P4
5，
法方程系数阵： Naa
AQAT
10
3
3 6
，联系数为
K
(0.235,
0.216)T
,
V (0.47, 1.35, 0.65, 1.18)T ,经检核符合方程。 平差值为： Lˆ (200.0147, 300.0635, 300.0635, 500.0782)T
,已知其协方差阵为
DLL
0 0
2 0
0 3
,试分别求出下列函数的方差：
(1)、F1 L1 2L2 3L3
(2)、F2 L1 3L2L3
解答：1)、 F1 (1, 2, 3)L, DF1 (1,2,3)DLL (1,2,3)T 39 2）、将 F2 全微分后得dF2 dL1 3L3dL2 3L2dL3
side8
3、 协因数与协因数传播律
设Li
,
L
j
它们的方差为
2 i
,
2 j
,
协方差为
ij
令:
Qii
1 pi
2 i
2 0
Q jj
1 pj
2 j
2 0
Qii为Li的协因数。
Q
jj为L
的协因数。
j
Qij
ji
2 0
Qij为Li关于L
的协因数
j
或相关权倒数。 side9
4、权阵
解：n=4,t=2,故
r=2，可列出条件方程为： Lˆ1
Lˆ2 Lˆ2
Lˆ3
Lˆ4
0，
0
把 Lˆi
Li
vi
代入得：
v1
v2 v2
v4 v3
3 0 ，用矩阵表示为 AV
20
W
0
令 100m 量距的权为单位权，
即 Pi
100 ，则
Si
1 P1
sin L4 sin L7 sin L15 sin L19
sin
SFG L11 sin
L15
sin
Sˆ2 L12 sin
L17
( SFG
Sˆ2的边长条件)
Sˆ1 sin L13 sin L18
sin
Sˆ2 L12 sin
L4
( Sˆ1
Sˆ2 的边长条件)
sin L1sin L3 sin L6 sin L11 SFG (基线条件)
令dL (dL1, dL2, dL3)T ,则dF2 (1,3L3,3L2 )dL
故 DF 2 (1,3L3,3L2)DLL (1,3L3,3L2)T 4 18L23 27L22
side6
协方差传播应用步骤:
根据实际情况确定观测值与函数,写出具体表达式 对函数式进行线性化，求全微分 将微分关系写成矩阵形式 运用协方差传播律，写出观测量的协方差阵
0 1
3 1 1 0 k1 w1
PLL
Q1 LL
P Q LL LL E
a、当L相互独立时；
b、当L不相互独立时
注：权、权阵、协因数阵的概念 权阵P与权Pｉ是两个不同的概念： 1、当P为对角阵时，P中对角线元素恰为权Pｉ； 2、当P不是对角阵时，P中对角线元素不等于权Pｉ
side10
例1：
L
( L1 ,
L2
)T
,
QLL
~
F F(L)
r ,1
n,1
A W 0
即为条件平差的函数模型。 条件平差的自由度即为多 余观测数r，即条件方程个数。
side15
B、间接平差法
选择几何模型中t个独立变量为平差参数，每一个观 测量表达成所选参数的函数，即列出n个这种函数关系 式，以此为平差的函数模型，成为间接平差法。
~
L F(X)
DXX ,
Z
1,1
K
1,n
X
n,1
K0
那么： DZZ KDXX KT
2)、多个观测值线性函数的协方差阵
Z
t ,1
K
t,n
X
n,1
K0
t ,1
Y
r,1
F
r,n
X
n,1
F0
r,1
DZY KDXX F T (DYZ )T side4
3)、非线性函数的情况
K
(k 1
,k 2
,kn )
以上项：
side19
算例4：
下图所示三角网中，A,B 为已知点，FG 为已知边，观测角 Li （i 1,2, ,20），观测边 S j ຫໍສະໝຸດ Baidu j 1, 2），则 ①在对该网平差时，共有几种条件？每种条件各有几个？ ②用文字符号列出全部条件方程，将其中的一个极条件和一个 边长条件线性化。
side20
L1 L2
的
权
阵
为
PLL
2 3 1 3
1
3 ，现有函数
2 3
X L1 L2,Y 3L1,求观测值的权 PL1，PL2 ，观测值的协因数阵QXY
解答：QLL
P1
2 1
1
2
,所以，
PL1
1/ 2， PL2
1/ 2，
由于 X (1
n,1
t ,1
Bx l
上式就是间接平差的函数模型。尽管间接平差法 是选了t个独立参数，但多余观测数不随平差不同 而异，其自由度仍是r=n-t。
side16
C、 附有参数的条件平差法
设在平差问题中，观测值个数为n，t为必要观测数， 则可列出r=n-t个条件方程，现有增设了u个独立量作为 参数，而0<u<t，每增设一个参数应增加一个条件方程。 以含有参数的条件方程作为平差的函数模型，称为附有 参数的条件平差法。
=
2 1
解：P1
1 2
P2
1 3
1
3
求P1 ,
P2
3 2 1
例2：L
(L1, L2 , L3 )T , PLL
2
4
2
,
求P1
,
P2
1 2 3
2 1 0
解：QLL
P1 LL
1 4
1 0
2 1
1 2
P1 P2 P3 2
总复习
本课程讲授的主要内容：
误差理论 theory of errors 最小二乘法 least squares method 条件平差法 condition adjustment 间接平差法 parameter adjustment 附有条件的间接平差 parameter adjustment with constraint 附有参数的条件平差 condition adjustment with parameters 误差椭圆
系统误差的传播规律 协方差传播律及协因数传播律的定义 权及协因数的定义和相互关系 协方差传播律及协因数传播律的应用方法 权阵与协因数阵的关系的应用 定权的常用方法 真误差、双观测值计算中误差的方法
side3
1、协方差传播律 1）、观测值线性函数的方差
已知：
X
n,1
[X1,
X 2,...X
n
]T
,
side11
5、协因数传播律
已知：X n,1
[ X1 ,
X
2
,...X
n
]T
,
QXX
Z K X K t,1
t,n n,1
0 t ,1
Y
r,1
F
r,n
X
n,1
F0
r,1
QZZ KQXX K T
QZY KQXX FT (QYZ )T
side12
算例3：
已
知
观
测
值
向
量
L 21
side22
基础方程和它的解
数学模型
A W 0 W F (L)
D
02Q
2 0
P
1
V T PV 最小
A V W 0
rn n1 r1
V QAT K
A V W 0
rn n1 r1
K ( AQAT )1W Naa1W
法方程式
side23
~
L F(X)
n,1
u ,1
Bx l
~
(X ) 0
Cx Wx 0
s,1 u,1
side18
E、 函数模型的线性化
条件方程的综合形式为：
~~
F F(L, X )
c,1
n,1 u,1
为了线性化，取X的近似值
X0
~
X X0 x
~
取 L 的初值
~
L L L
将F按台劳级数在X0，L处展开，并略去二次以及
2、 权与定权的常用方法
1)、权的定义
设Li
(i
1,
2,...,
n),
它们的方差为
2 i
,
如选定任一常数
，则定义
0
:
pi
2 0
2 i
p1 :
p2 : pn
2 0
2 1
:
2 0
2 2
:
:
2 0
2 n
1
2 1
:1
2 2
:: 1
2 n
2) 定权的常用方法
X
v1
L1代入得：
v2
v3 v3
v4
w1 0 w2 0
，闭合差方程为
ww12
L1 L2 L3 L4
L3
v1 xˆ w3 0
w3 L1 X
3 1 1
已知QLL
I
,则 Naa
AQAT
1 1
2 0
算例5：
A、B、C 三点在同一直线上，测出了 AB、BC 及 AC 的距离，得到 4 个独立观测值， L1 200.010m， L2 300.050m， L3 300.070m， L4 500.090m，若令 100 米量距的权为单位权，试按条件平差法 确定 A、C 之间各段距离的平差值 Lˆ 。
side1
一、误差产生的原因与分类
1）、观测误差产生的原因： 观测条件 测量仪器 观测者 外界条件
2）、误差分类及处理方法 偶然误差（accident error)： 平差计算 系统误差（systematic error)：改正计算 改进观测方法 粗差（gross error）
side2
二、协方差传播律及权
（[
f X
1
）0（,
f X
2
）0 （
f X
n
)0 ]
k0
f
(
X
0
1
,
X
0
2
,
X
0 n
)
n i 1
(
f X
i
)0
X
0
i
Z
[k 1
,k 2
,kn
]
X
n,1
k0
KX
k0
DZZ KDXX KT
side5
算例：
4 0 0
设有观测向量
L
[L1,
L2,
L3]T
side27
解答：n 4 ，t 2 ，r 2 ，u 1 t ，采用附加参数的条件平差模
Lˆ1 Lˆ2 Lˆ3
180 0
型。平差方程：
Lˆ3 Lˆ4 360 0 ，将 Lˆi Li vi, Xˆ X xˆ ，
Lˆ1 Xˆ 0
1)L, X (3
0)L，QXY (1
3
1)QLL
0
3
side13
三、平差数学模型与最小二乘原理
1）、确定几何模型的必要元素 2）、必要元素的选取 3）、自由度、多余观测值的个数 4）、四种平差模型
side14
A、条件平差法
以条件方程为函数模型的平差方法，称为条件平 差法。
sin L8 sin L9 sin L17 sin L19 S AB
side21
四、条件平差
了解条件平差法的一般概念及其思想，附 有参数的条件平差的基本原理。理解条件平差 法基本原理，条件方程的种类及产生的原因， 必要起算数据的作用，附有参数的条件平差与 条件平差法的关系。掌握各类条件方程的列立 及非线性条件方程的线性化；法方程的组成和 解算，精度评定的方法。
side25
五、附加参数的条件平差
基础方程：
A V B x W 0
cn n1 cu u1 c1
V T PV 最小
法方程式： AQAT K B xW 0 BT K 0
side26
算例6
在下图所示测角网中，A、B、C 为待定点，同精度观测了 L1、L2、 L3和 L4共四个角度观测值。设平差后BAC 为参数 Xˆ ，指出采用何 种平差模型，并写出函数模型和法方程。
~~
F F(L, X )
c,1
n,1 u,1
A Bx W 0
上式为附有参数的条件平差法的函数模型。 此平差问题，由于选择了u个独立参数，方程总数 由r个增加到c=r+u个，故平差的自由度为r=c-u。
side17
D、 附有限制条件的间接平差法
如果进行间接平差，就要选出t个独立量为平差参数，按 每一个观测值与所选参数间函数关系，组成n个观测方程。 如果在平差问题中，不是选t个而是选定u>t个参数，其中包 含t个独立参数，则多选的s=u-t个参数必是t个独立参数的函 数，亦即在u个参数之间存在着s个函数关系，它们是用来约 束参数之间应满足的关系。在选定u>t个参数进行平差时，除 了建立n个观测方程外，还要增加s个约束参数方程，故称此 平差方法为附有限制件的间接平差法。
解答：1)n=22，t=9，r=13： 7 个图形条件，1 个圆周条件，2 个极条件，2 个边长条件，
一个基线条件。
(2) sin L5 sin L10 sin L17 sin L19 1(以大地四边形中心为极)
sin L6 sin L11sin L16 sin L20
sin L3 sin L6 sin L14 sin L18 1(以中点四边形 D 为极)
2，
1 P2
3，
1 P3
3，
1 P4
5，
法方程系数阵： Naa
AQAT
10
3
3 6
，联系数为
K
(0.235,
0.216)T
,
V (0.47, 1.35, 0.65, 1.18)T ,经检核符合方程。 平差值为： Lˆ (200.0147, 300.0635, 300.0635, 500.0782)T
,已知其协方差阵为
DLL
0 0
2 0
0 3
,试分别求出下列函数的方差：
(1)、F1 L1 2L2 3L3
(2)、F2 L1 3L2L3
解答：1)、 F1 (1, 2, 3)L, DF1 (1,2,3)DLL (1,2,3)T 39 2）、将 F2 全微分后得dF2 dL1 3L3dL2 3L2dL3
side8
3、 协因数与协因数传播律
设Li
,
L
j
它们的方差为
2 i
,
2 j
,
协方差为
ij
令:
Qii
1 pi
2 i
2 0
Q jj
1 pj
2 j
2 0
Qii为Li的协因数。
Q
jj为L
的协因数。
j
Qij
ji
2 0
Qij为Li关于L
的协因数
j
或相关权倒数。 side9
4、权阵
解：n=4,t=2,故
r=2，可列出条件方程为： Lˆ1
Lˆ2 Lˆ2
Lˆ3
Lˆ4
0，
0
把 Lˆi
Li
vi
代入得：
v1
v2 v2
v4 v3
3 0 ，用矩阵表示为 AV
20
W
0
令 100m 量距的权为单位权，
即 Pi
100 ，则
Si
1 P1
sin L4 sin L7 sin L15 sin L19
sin
SFG L11 sin
L15
sin
Sˆ2 L12 sin
L17
( SFG
Sˆ2的边长条件)
Sˆ1 sin L13 sin L18
sin
Sˆ2 L12 sin
L4
( Sˆ1
Sˆ2 的边长条件)
sin L1sin L3 sin L6 sin L11 SFG (基线条件)
令dL (dL1, dL2, dL3)T ,则dF2 (1,3L3,3L2 )dL
故 DF 2 (1,3L3,3L2)DLL (1,3L3,3L2)T 4 18L23 27L22
side6
协方差传播应用步骤:
根据实际情况确定观测值与函数,写出具体表达式 对函数式进行线性化，求全微分 将微分关系写成矩阵形式 运用协方差传播律，写出观测量的协方差阵
0 1
3 1 1 0 k1 w1
PLL
Q1 LL
P Q LL LL E
a、当L相互独立时；
b、当L不相互独立时
注：权、权阵、协因数阵的概念 权阵P与权Pｉ是两个不同的概念： 1、当P为对角阵时，P中对角线元素恰为权Pｉ； 2、当P不是对角阵时，P中对角线元素不等于权Pｉ
side10
例1：
L
( L1 ,
L2
)T
,
QLL
~
F F(L)
r ,1
n,1
A W 0
即为条件平差的函数模型。 条件平差的自由度即为多 余观测数r，即条件方程个数。
side15
B、间接平差法
选择几何模型中t个独立变量为平差参数，每一个观 测量表达成所选参数的函数，即列出n个这种函数关系 式，以此为平差的函数模型，成为间接平差法。
~
L F(X)
DXX ,
Z
1,1
K
1,n
X
n,1
K0
那么： DZZ KDXX KT
2)、多个观测值线性函数的协方差阵
Z
t ,1
K
t,n
X
n,1
K0
t ,1
Y
r,1
F
r,n
X
n,1
F0
r,1
DZY KDXX F T (DYZ )T side4
3)、非线性函数的情况
K
(k 1
,k 2
,kn )
以上项：
side19
算例4：
下图所示三角网中，A,B 为已知点，FG 为已知边，观测角 Li （i 1,2, ,20），观测边 S j ຫໍສະໝຸດ Baidu j 1, 2），则 ①在对该网平差时，共有几种条件？每种条件各有几个？ ②用文字符号列出全部条件方程，将其中的一个极条件和一个 边长条件线性化。
side20
L1 L2
的
权
阵
为
PLL
2 3 1 3
1
3 ，现有函数
2 3
X L1 L2,Y 3L1,求观测值的权 PL1，PL2 ，观测值的协因数阵QXY
解答：QLL
P1
2 1
1
2
,所以，
PL1
1/ 2， PL2
1/ 2，
由于 X (1
n,1
t ,1
Bx l
上式就是间接平差的函数模型。尽管间接平差法 是选了t个独立参数，但多余观测数不随平差不同 而异，其自由度仍是r=n-t。
side16
C、 附有参数的条件平差法
设在平差问题中，观测值个数为n，t为必要观测数， 则可列出r=n-t个条件方程，现有增设了u个独立量作为 参数，而0<u<t，每增设一个参数应增加一个条件方程。 以含有参数的条件方程作为平差的函数模型，称为附有 参数的条件平差法。
=
2 1
解：P1
1 2
P2
1 3
1
3
求P1 ,
P2
3 2 1
例2：L
(L1, L2 , L3 )T , PLL
2
4
2
,
求P1
,
P2
1 2 3
2 1 0
解：QLL
P1 LL
1 4
1 0
2 1
1 2
P1 P2 P3 2
总复习
本课程讲授的主要内容：
误差理论 theory of errors 最小二乘法 least squares method 条件平差法 condition adjustment 间接平差法 parameter adjustment 附有条件的间接平差 parameter adjustment with constraint 附有参数的条件平差 condition adjustment with parameters 误差椭圆
系统误差的传播规律 协方差传播律及协因数传播律的定义 权及协因数的定义和相互关系 协方差传播律及协因数传播律的应用方法 权阵与协因数阵的关系的应用 定权的常用方法 真误差、双观测值计算中误差的方法
side3
1、协方差传播律 1）、观测值线性函数的方差
已知：
X
n,1
[X1,
X 2,...X
n
]T
,
side11
5、协因数传播律
已知：X n,1
[ X1 ,
X
2
,...X
n
]T
,
QXX
Z K X K t,1
t,n n,1
0 t ,1
Y
r,1
F
r,n
X
n,1
F0
r,1
QZZ KQXX K T
QZY KQXX FT (QYZ )T
side12
算例3：
已
知
观
测
值
向
量
L 21
side22
基础方程和它的解
数学模型
A W 0 W F (L)
D
02Q
2 0
P
1
V T PV 最小
A V W 0
rn n1 r1
V QAT K
A V W 0
rn n1 r1
K ( AQAT )1W Naa1W
法方程式
side23
~
L F(X)
n,1
u ,1
Bx l
~
(X ) 0
Cx Wx 0
s,1 u,1
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E、 函数模型的线性化
条件方程的综合形式为：
~~
F F(L, X )
c,1
n,1 u,1
为了线性化，取X的近似值
X0
~
X X0 x
~
取 L 的初值
~
L L L
将F按台劳级数在X0，L处展开，并略去二次以及