2021高中数学第一章1.6.2垂直关系的性质课时作业北师大版必修2
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PE 所以 E 是 PC 的中点，所以 ＝1.
EC 答案：1 三、解答题(每小题 10 分，共 20 分) 9.
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如图，在四棱锥 P－ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA ＝AB＝BC，E 是 PC 的中点．
证明：(1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面 ABE. 证明：(1)在四棱锥 P－ABCD 中， ∵PA⊥底面 ABCD，CD⊂平面 ABCD， ∴PA⊥CD. ∵AC⊥CD，且 PA∩AC＝A， ∴CD⊥平面 PAC.而 AE⊂平面 PAC，∴CD⊥AE. (2)由 PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得 AC＝PA. ∵E 是 PC 的中点，∴AE⊥PC. 由(1)知，AE⊥CD，且 PC∩CD＝C， ∴AE⊥平面 PCD. 而 PD⊂平面 PCD，∴AE⊥PD. ∵PA⊥底面 ABCD，AB⊂平面 ABCD， ∴PA⊥AB. 又∵AB⊥AD 且 PA∩AD＝A， ∴AB⊥平面 PAD，而 PD⊂平面 PAD，∴AB⊥PD. 又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面 ABE. 10.
从而∠MNH 是二面角 M－AB－D 的平面角．∠MNH＝45°. 所以二面角 M－AB－D 的大小为 45°.
14．(2016·北京高考)如图，在四棱锥 P－ABCD 中，PC⊥平面 ABCD，AB∥DC， DC⊥AC.
(1)求证：DC⊥平面 PAC. (2)求证：平面 PAB⊥平面 PAC.
(3)设点 E 为 AB 的中点，在棱 PB 上是否存在点 F，使得 PA∥平面 CEF？说明理由．
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如图，P 是四边形 ABCD 所在平面外一点，四边形 ABCD 是∠DAB＝60°，且边长为 a 的菱形．侧面 PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面 ABCD.
(1)若 G 为 AD 边的中点，求证：BG⊥平面 PAD； (2)求证：AD⊥PB. 证明：(1)如图所示，连接 BD.
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课时作业 10 垂直关系的性质
|基础巩固|(25 分钟，60 分)
一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)
1．已知直线 l 垂直于直线 AB 和 AC，直线 m 垂直wenku.baidu.com直线 BC 和 AC，则直线 l，m 的位 置关系是( )
A．平行 B．异面
C．相交 D．垂直
解析：因为直线 l 垂直于直线 AB 和 AC，所以 l 垂直于平面 ABC，同理，直线 m 垂直于 平面 ABC，根据线面垂直的性质定理得 l∥m.
又 AC⊂平面 PAC，所以 AC⊥BD. 答案：菱形
7．如图，四棱锥 P－ABCD 的底面 ABCD 是边长为 a 的正方形，侧棱 PA＝a，PB＝PD ＝ 2a，则它的五个面中，互相垂直的平面有________对．
解析：由勾股定理逆定理得 PA⊥AD，PA⊥AB，∴PA⊥面 ABCD，PA⊥CD，PA⊥CB. 由直线与平面垂直的判定定理及平面与平面垂直的判定定理易得结论．平面 PAB⊥平面 PAD， 平面 PAB⊥平面 ABCD，平面 PAB⊥平面 PBC，平面 PAD⊥平面 ABCD，平面 PAD⊥平面 PCD.
Ø
Ø
3．已知平面 α⊥β，直线 l α，直线 m β，若 l⊥m，则 l 与 β 的位置关系是( )
A．l⊥β B．l∥β
Ø
C．l β D．以上都有可能
解析：若 l 垂直于两平面的交线，则 l⊥β；若 l 平行两平面的交线，m 垂直两平面的交
Ø
线，则 l∥β；若 l 就是两平面的交线，m 垂直两平面的交线，则 l β.故这三种情况都有可 能．
如图，在直角梯形 ABCD 中，BC⊥DC，AE⊥DC，M，N 分别是 AD，BE 的中点，将三 角形 ADE 沿 AE 折起，则下列说法正确的是________(填序号)．
①不论 D 折至何位置(不在平面 ABC 内)，都有 MN∥平面 DEC；②不论 D 折至何位置， 都有 MN⊥AE；③不论 D 折至何位置(不在平面 ABC 内)，都有 MN∥AB；④在折起过程中， 一定存在某个位置，使 EC⊥AD.
答案：D
4．PO⊥平面 ABC，O 为垂足，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝5，PA＝PB＝PC＝ 10，则 PO 的长等于( )
A．5 B．5 2
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C．5 3 D．20 解析：∵PA＝PB＝PC， ∴P 在面 ABC 上的射影 O 为△ABC 的外心． 又△ABC 为直角三角形， ∴O 为斜边 BA 的中点． 在△ABC 中，BC＝5，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
答案：5
8．如图，在三棱锥 P－ABC 中，PA⊥底面 ABC，∠BAC＝90°，F 是 AC 的中点，E 是 PE
PC 上的点，且 EF⊥BC，则 EC ＝________.
解析：在三棱锥 P－ABC 中， 因为 PA⊥底面 ABC，∠BAC＝90°，所以 AB⊥平面 APC. 因为 EF⊂平面 PAC，所以 EF⊥AB， 因为 EF⊥BC，BC∩AB＝B， 所以 EF⊥底面 ABC，所以 PA∥EF， 因为 F 是 AC 的中点，E 是 PC 上的点，
|能力提升|(20 分钟，40 分)
11．(2016·贵阳市监测考试)如图，在三棱锥 P－ABC 中，不能证明 AP⊥BC 的条件是( )
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A．AP⊥PB，AP⊥PC B．AP⊥PB，BC⊥PB C．平面 BCP⊥平面 PAC，BC⊥PC D．AP⊥平面 PBC 解析：A 中，因为 AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以 AP⊥平面 PBC，又 BC⊂平 面 PBC，所以 AP⊥BC，故 A 正确；C 中，因为平面 BCP⊥平面 PAC，BC⊥PC，所以 BC⊥ 平面 APC，AP⊂平面 APC，所以 AP⊥BC，故 C 正确；D 中，由 A 知 D 正确；B 中条件不能 判断出 AP⊥BC，故选 B. 答案：B 12.
答案：A
Ø
Ø
2．已知平面 α⊥平面 β，α∩β＝n，直线 l α，直线 m β，则下列说法正确的个数是
()
①若 l⊥n，l⊥m，则 l⊥β；②若 l∥n，则 l∥β；③若 m⊥n，l⊥m，则 m⊥α.
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：由线面平行的判定定理知②正确；由面面垂直的性质定理知①③正确．
答案：D
AB
( ∴PO＝ PC2－ ) 2 2＝5 3.
答案：C
5.
如图，在斜三棱柱 ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则 C1在底面 ABC 上的射 影 H 必在( )
A．直线 AB 上 B．直线 BC 上 C．直线 AC 上 D．△ABC 内部
Ø
解析：连接 AC1，∵BA⊥AC，BC1⊥AC，BA∩BC1＝B，∴AC⊥平面 ABC1.∵AC 平 面 ABC，∴平面 ABC⊥平面 ABC1，且交线是 AB.故平面 ABC1 上的点 C1 在底面 ABC 上的射影 H 必在交线 AB 上．
解析：分别取 CE，DE 的中点 Q，P，连接 MP，PQ，NQ，可证 MNQP 是矩形，所以①② 正确；因为 MN∥PQ，AB∥CE，若 MN∥AB，则 PQ∥CE，又 PQ 与 CE 相交，所以③错误； 当平面 ADE⊥平面 ABCD 时，有 EC⊥AD，④正确．故填①②④.
答案：①②④ 13.
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如图所示，在正方体 ABCD－A′B′C′D′中： (1)求二面角 D′－AB－D 的大小；
(2)若 M 是 C′D′的中点，求二面角 M－AB－D 的大小． 解析：(1)在正方体 ABCD－A′B′C′D′中，AB⊥平面 ADD′A′，所以 AB⊥AD′， AB⊥AD，因此∠D′AD 为二面角 D′－AB－D 的平面角，在 Rt△D′DA 中，∠D′AD＝ 45°. 所以二面角 D′－AB－D 的大小为 45°. (2)因为 M 是 C′D′的中点，所以 MA＝MB，取 AB 的中点 N，连接 MN，则 MN⊥AB. 取 CD 的中点 H，连接 HN，则 HN⊥AB.
答案：A 二、填空题(每小题 5 分，共 15 分) 6．已知 PA 垂直于平行四边形 ABCD 所在的平面，若 PC⊥BD，则平行四边形 ABCD 一 定是________． 解析：因为 PA⊥平面 ABCD，所以 PA⊥BD，又因为 PC⊥BD，所以 BD⊥平面 PAC，
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解析：(1)证明：因为 PC⊥平面 ABCD，DC⊂平面 ABCD，所以 PC⊥DC.
又因为 DC⊥AC，PC∩AC＝C，PC，AC⊂平面 PAC，所以 DC⊥平面 PAC. (2)证明：因为 AB∥DC，DC⊥平面 PAC，所以 AB⊥平面 PAC.
又因为 AB⊂平面 PAB，所以平面 PAB⊥平面 PAC. (3)取 PB 中点 F.连接 CE，EF，CF. 因为 E 为 AB 中点，所以 PA∥EF.
又因为 PA⊄平面 CEF，EF⊂平面 CEF，所以 PA∥平面 CEF.
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因此，当 F 为 PB 中点时， PA∥平面 CEF.
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因为四边形 ABCD 是菱形，且∠DAB＝60°， 所以△ABD 是正三角形， 因为 G 是 AD 的中点， 所以 BG⊥AD. 又因为平面 PAD⊥平面 ABCD， 平面 PAD∩平面 ABCD＝AD. 所以 BG⊥平面 PAD. (2)连接 PG. 因为△PAD 为正三角形，G 为 AD 的中点， 所以 PG⊥AD. 由(1)知 BG⊥AD， 而 PG∩BG＝G， PG⊂平面 PBG， BG⊂平面 PBG， 所以 AD⊥平面 PBG. 又因为 PB⊂平面 PBG， 所以 AD⊥PB.
EC 答案：1 三、解答题(每小题 10 分，共 20 分) 9.
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如图，在四棱锥 P－ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA ＝AB＝BC，E 是 PC 的中点．
证明：(1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面 ABE. 证明：(1)在四棱锥 P－ABCD 中， ∵PA⊥底面 ABCD，CD⊂平面 ABCD， ∴PA⊥CD. ∵AC⊥CD，且 PA∩AC＝A， ∴CD⊥平面 PAC.而 AE⊂平面 PAC，∴CD⊥AE. (2)由 PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得 AC＝PA. ∵E 是 PC 的中点，∴AE⊥PC. 由(1)知，AE⊥CD，且 PC∩CD＝C， ∴AE⊥平面 PCD. 而 PD⊂平面 PCD，∴AE⊥PD. ∵PA⊥底面 ABCD，AB⊂平面 ABCD， ∴PA⊥AB. 又∵AB⊥AD 且 PA∩AD＝A， ∴AB⊥平面 PAD，而 PD⊂平面 PAD，∴AB⊥PD. 又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面 ABE. 10.
从而∠MNH 是二面角 M－AB－D 的平面角．∠MNH＝45°. 所以二面角 M－AB－D 的大小为 45°.
14．(2016·北京高考)如图，在四棱锥 P－ABCD 中，PC⊥平面 ABCD，AB∥DC， DC⊥AC.
(1)求证：DC⊥平面 PAC. (2)求证：平面 PAB⊥平面 PAC.
(3)设点 E 为 AB 的中点，在棱 PB 上是否存在点 F，使得 PA∥平面 CEF？说明理由．
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如图，P 是四边形 ABCD 所在平面外一点，四边形 ABCD 是∠DAB＝60°，且边长为 a 的菱形．侧面 PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面 ABCD.
(1)若 G 为 AD 边的中点，求证：BG⊥平面 PAD； (2)求证：AD⊥PB. 证明：(1)如图所示，连接 BD.
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课时作业 10 垂直关系的性质
|基础巩固|(25 分钟，60 分)
一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)
1．已知直线 l 垂直于直线 AB 和 AC，直线 m 垂直wenku.baidu.com直线 BC 和 AC，则直线 l，m 的位 置关系是( )
A．平行 B．异面
C．相交 D．垂直
解析：因为直线 l 垂直于直线 AB 和 AC，所以 l 垂直于平面 ABC，同理，直线 m 垂直于 平面 ABC，根据线面垂直的性质定理得 l∥m.
又 AC⊂平面 PAC，所以 AC⊥BD. 答案：菱形
7．如图，四棱锥 P－ABCD 的底面 ABCD 是边长为 a 的正方形，侧棱 PA＝a，PB＝PD ＝ 2a，则它的五个面中，互相垂直的平面有________对．
解析：由勾股定理逆定理得 PA⊥AD，PA⊥AB，∴PA⊥面 ABCD，PA⊥CD，PA⊥CB. 由直线与平面垂直的判定定理及平面与平面垂直的判定定理易得结论．平面 PAB⊥平面 PAD， 平面 PAB⊥平面 ABCD，平面 PAB⊥平面 PBC，平面 PAD⊥平面 ABCD，平面 PAD⊥平面 PCD.
Ø
Ø
3．已知平面 α⊥β，直线 l α，直线 m β，若 l⊥m，则 l 与 β 的位置关系是( )
A．l⊥β B．l∥β
Ø
C．l β D．以上都有可能
解析：若 l 垂直于两平面的交线，则 l⊥β；若 l 平行两平面的交线，m 垂直两平面的交
Ø
线，则 l∥β；若 l 就是两平面的交线，m 垂直两平面的交线，则 l β.故这三种情况都有可 能．
如图，在直角梯形 ABCD 中，BC⊥DC，AE⊥DC，M，N 分别是 AD，BE 的中点，将三 角形 ADE 沿 AE 折起，则下列说法正确的是________(填序号)．
①不论 D 折至何位置(不在平面 ABC 内)，都有 MN∥平面 DEC；②不论 D 折至何位置， 都有 MN⊥AE；③不论 D 折至何位置(不在平面 ABC 内)，都有 MN∥AB；④在折起过程中， 一定存在某个位置，使 EC⊥AD.
答案：D
4．PO⊥平面 ABC，O 为垂足，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝5，PA＝PB＝PC＝ 10，则 PO 的长等于( )
A．5 B．5 2
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C．5 3 D．20 解析：∵PA＝PB＝PC， ∴P 在面 ABC 上的射影 O 为△ABC 的外心． 又△ABC 为直角三角形， ∴O 为斜边 BA 的中点． 在△ABC 中，BC＝5，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
答案：5
8．如图，在三棱锥 P－ABC 中，PA⊥底面 ABC，∠BAC＝90°，F 是 AC 的中点，E 是 PE
PC 上的点，且 EF⊥BC，则 EC ＝________.
解析：在三棱锥 P－ABC 中， 因为 PA⊥底面 ABC，∠BAC＝90°，所以 AB⊥平面 APC. 因为 EF⊂平面 PAC，所以 EF⊥AB， 因为 EF⊥BC，BC∩AB＝B， 所以 EF⊥底面 ABC，所以 PA∥EF， 因为 F 是 AC 的中点，E 是 PC 上的点，
|能力提升|(20 分钟，40 分)
11．(2016·贵阳市监测考试)如图，在三棱锥 P－ABC 中，不能证明 AP⊥BC 的条件是( )
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A．AP⊥PB，AP⊥PC B．AP⊥PB，BC⊥PB C．平面 BCP⊥平面 PAC，BC⊥PC D．AP⊥平面 PBC 解析：A 中，因为 AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以 AP⊥平面 PBC，又 BC⊂平 面 PBC，所以 AP⊥BC，故 A 正确；C 中，因为平面 BCP⊥平面 PAC，BC⊥PC，所以 BC⊥ 平面 APC，AP⊂平面 APC，所以 AP⊥BC，故 C 正确；D 中，由 A 知 D 正确；B 中条件不能 判断出 AP⊥BC，故选 B. 答案：B 12.
答案：A
Ø
Ø
2．已知平面 α⊥平面 β，α∩β＝n，直线 l α，直线 m β，则下列说法正确的个数是
()
①若 l⊥n，l⊥m，则 l⊥β；②若 l∥n，则 l∥β；③若 m⊥n，l⊥m，则 m⊥α.
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：由线面平行的判定定理知②正确；由面面垂直的性质定理知①③正确．
答案：D
AB
( ∴PO＝ PC2－ ) 2 2＝5 3.
答案：C
5.
如图，在斜三棱柱 ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则 C1在底面 ABC 上的射 影 H 必在( )
A．直线 AB 上 B．直线 BC 上 C．直线 AC 上 D．△ABC 内部
Ø
解析：连接 AC1，∵BA⊥AC，BC1⊥AC，BA∩BC1＝B，∴AC⊥平面 ABC1.∵AC 平 面 ABC，∴平面 ABC⊥平面 ABC1，且交线是 AB.故平面 ABC1 上的点 C1 在底面 ABC 上的射影 H 必在交线 AB 上．
解析：分别取 CE，DE 的中点 Q，P，连接 MP，PQ，NQ，可证 MNQP 是矩形，所以①② 正确；因为 MN∥PQ，AB∥CE，若 MN∥AB，则 PQ∥CE，又 PQ 与 CE 相交，所以③错误； 当平面 ADE⊥平面 ABCD 时，有 EC⊥AD，④正确．故填①②④.
答案：①②④ 13.
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如图所示，在正方体 ABCD－A′B′C′D′中： (1)求二面角 D′－AB－D 的大小；
(2)若 M 是 C′D′的中点，求二面角 M－AB－D 的大小． 解析：(1)在正方体 ABCD－A′B′C′D′中，AB⊥平面 ADD′A′，所以 AB⊥AD′， AB⊥AD，因此∠D′AD 为二面角 D′－AB－D 的平面角，在 Rt△D′DA 中，∠D′AD＝ 45°. 所以二面角 D′－AB－D 的大小为 45°. (2)因为 M 是 C′D′的中点，所以 MA＝MB，取 AB 的中点 N，连接 MN，则 MN⊥AB. 取 CD 的中点 H，连接 HN，则 HN⊥AB.
答案：A 二、填空题(每小题 5 分，共 15 分) 6．已知 PA 垂直于平行四边形 ABCD 所在的平面，若 PC⊥BD，则平行四边形 ABCD 一 定是________． 解析：因为 PA⊥平面 ABCD，所以 PA⊥BD，又因为 PC⊥BD，所以 BD⊥平面 PAC，
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解析：(1)证明：因为 PC⊥平面 ABCD，DC⊂平面 ABCD，所以 PC⊥DC.
又因为 DC⊥AC，PC∩AC＝C，PC，AC⊂平面 PAC，所以 DC⊥平面 PAC. (2)证明：因为 AB∥DC，DC⊥平面 PAC，所以 AB⊥平面 PAC.
又因为 AB⊂平面 PAB，所以平面 PAB⊥平面 PAC. (3)取 PB 中点 F.连接 CE，EF，CF. 因为 E 为 AB 中点，所以 PA∥EF.
又因为 PA⊄平面 CEF，EF⊂平面 CEF，所以 PA∥平面 CEF.
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因此，当 F 为 PB 中点时， PA∥平面 CEF.
Earlybird
因为四边形 ABCD 是菱形，且∠DAB＝60°， 所以△ABD 是正三角形， 因为 G 是 AD 的中点， 所以 BG⊥AD. 又因为平面 PAD⊥平面 ABCD， 平面 PAD∩平面 ABCD＝AD. 所以 BG⊥平面 PAD. (2)连接 PG. 因为△PAD 为正三角形，G 为 AD 的中点， 所以 PG⊥AD. 由(1)知 BG⊥AD， 而 PG∩BG＝G， PG⊂平面 PBG， BG⊂平面 PBG， 所以 AD⊥平面 PBG. 又因为 PB⊂平面 PBG， 所以 AD⊥PB.