2011概率论与数理统计习题解答1_1

概率论与数理统计习题解答一

教材 第一章

1.1 写出下列随机试验的样本空间：

主要问题：不写清楚样本点的含义。

(1) 某篮球运动员投篮时，连续5次都命中，观察其投篮次数。

以该运动员直至连续5次投篮命中时的投篮次数为样本点，{5,6,7,}Ω=。

(2) 掷一颗匀称的骰子两次，观察前后两次出现的点数之和。 ● 以两次出现的点数之和为样本点，{2,3,

,12}Ω=;

● 也可以前后两次出现点数的排列为样本点，则 '{(,):,1,2,,6}a b a b Ω==。

(3) 观察某医院一天内前来就诊的人数。

以该医院一天内来就诊的人数为样本点，{0,1,2,}Ω=。

(4) 从编号为1，2，3，4，5 的五件产品中任意取出两件，观察取出哪两件产品。 ● 以抽出的两件产品的编号形成的组合（不计抽中的次序）为样本点，

1{(,):15,,1,2,

,5}a b a b a b Ω=≤<≤=；

● 若两个产品是依次抽取的，它们的编号按抽中的顺序形成一个排列，以此排列作为

样本点，则 2{(,):,1,2,3,4,5}a b a b Ω==。

(5) 检查两件产品是否合格。

一件产品合格记为G ，不合格记为B 。以两件产品各自的合格与否的状况形成的排列作为样本点，则 {(),(),(),()}GG GB BG BB Ω=。

(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温（最低气温不低于1T ，最高气温不高于2T ）。 以该地一天内的最低气温与最高气温形成的排列作为样本点，则

12{(,):}x y T x y T Ω=≤≤≤。

(7) 在单位圆内任取两点，观察这两点间的距离。

● 以两点间的距离作为样本点，则 1[0,2)Ω=。 ● 若以两点的坐标形成的排列作为样本点，则

2221122{[(,),(,)]:1,1,2}i i x y x y x y i Ω=+<=。

(8) 在长为l 的线段上任取一点，该点将线段分成两段，观察两线段的长度。

● 若以两线段的长度形成的排列作为样本点，则 1111{(,):0}l l l l l Ω=-≤≤。 ● 若以该点的坐标作为样本点，则 2[0,]l Ω=。

1.2 设 ,,A B C 为三事件，用 ,,A B C 的运算关系表示下列各事件：

主要问题：

1） 注意 AB 与 AB 的区别！ 2） 注意 “+” 与 “∪” 的区别！

(1) A 与B 都发生，但 C 不发生。 ABC

(2) A 发生，且B 与C 至少有一个发生。 ()A B C

(3) ,,A B C 中至少有一个发生。 A B C

(4) ,,A B C 中恰有一个发生。 ()

()()ABC ABC ABC

(5) ,,A B C 中至少有两个发生。 ()()()AB AC BC

(6) ,,A B C 中至多有一个发生。

()()()()()()()()()AB AC BC AB AC BC AB AC BC ==

(7) ,,A B C 中至多有两个发生。 ABC

(8) ,,A B C 中恰有两个发生。 ()()()ABC ABC ABC

1.3 设样本空间 {|02}x x Ω=≤≤，事件 {|0.51}A x x =≤≤， {|0.8 1.6}B x x =<≤，具体写出下列各事件：

(1) AB (0.8,1]AB = (2) A B - [0.5,0.8]A B -= (3) A B - [0,0.5)(0.8,2]A B -=

(4) A B [0,0.5)(1.6,2]A B =

1.7 若 W 表示昆虫出现残翅，E 表示有退化性眼睛，且 ()0.125P W =，()0.075P E =，

()0.025P WE =。求下列事件的概率：

(1) 昆虫出现残翅或退化性眼睛；

()()()()

0.1250.0750.0250.175.

P W

E P W P E P WE =+-=+-=

(2) 昆虫出现残翅，但没有退化性眼睛；

()()()

0.1250.0250.1.

P WE P W P WE =-=-=

(3) 昆虫未出现残翅，也无退化性眼睛。

()()1()10.1750.825P WE P W

E P W E ==-=-=。

1.8 设 A 和 B 是两个事件，()0.6,()0.8P A P B ==。试问： (1) 在什么条件下 P(AB) 取到最大值，最大值是多少？ (2) 在什么条件下 P(AB) 取到最小值，最小值是多少？ 解：

(1) 因为 ,AB A AB B ⊂⊂，故 ()min{(),()}P AB P A P B ≤，()P AB 的最大值为0.6。当 AB=A 即 A B ⊂时可达到此最大值。

(2) 因为 ()()()()P AB P A P B P A B =+-，故当 ()P A B 达到最大值时

()P AB 达到最小值。()P A B 最大值为1，所以 ()P AB 的最小值为 0.4。当 A B =Ω 时可达到。

1.9 设 ()0.2,()0.3,()0.5,()0,()0.1,()0.2P A P B P C P AB P AC P BC ======，求事件 ,,A B C 中至少有一个发生的概率。

解：因为 ABC AB ⊂，所以 0()()0P ABC P AB ≤≤=。因此，

()()()()()()()()

0.20.30.500.10.200.7.

P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+=++---+=