分组分解法因式分解

四．新课
例1 把多项式6ax 3ay 2bx by 分解因式．
【分析】这是一个四项式，它的各项没有公 因式，而且也没有供四项式作分解的公式可 用，所以用这些基本方法都无法直接达到分 解的目的．但是，如果分组后在局部分别分 解，就可以创造整体分解的机会．
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四．新课
例1 把多项式6ax 3ay 2bx by 分解因式． 【解法一】6ax 3ay 2bx by ＝ (6ax 3ay) (2bx by) ＝ 3a(2x y) b(2x y) ＝ (2x y)(3a 2b)
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方法 分 组 分 解 法
分类
分组方法
特点
四项 五项 六项
二项、二项
①按字母分组②按系 数分组③符合公式的 两项分组
三项、一项
先完全平方公式后平 方差公式
三项、二项
各组之间有公因式
三项、三项 二项、二项、二项
三项、二项、一项
各组之间有公因式 可化为二次三项式
四．新课
例5 分解二次三项式 x2 6x 91
14 (3a b)2 10(3a b) 21
． (3a b 3)(3a b 7)
15．3x2＋11x＋10 3x2＋11x＋10
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练习
把下列各式分解因式：
16 m4 36a2 24ma 4m2
．
(m2 6a 2m)(m2 6a 2m)
17 (2m 1)2 m2b2 4m2b 4m2
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练习
把下列各式分解因式：
1 ．
a(m 3) m 3
(m 3)(a 1)
2 ．
a3 a2b ab2 b3
(a b)(a2 b2 )
3 ．
18a2 32b2 18a 24b
2(3a 4b)(3a 4b 3).
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练习
把下列各式分解因式：
【解法二】6ax 3ay 2bx by ＝ (6ax 2bx) (3ay by) ＝ 2x(3a b) y(3a b) ＝ (3a 2b)(2x y)
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四．新课
【注意】 (1)把有公因式的各项归为一组，并使组之间产生新 的公因式，这是正确分组的关键，因此，设计分组 方案是否有效要有预见性. (2)分组的方法不唯一，而合理地选择分组方案，会 使分解过程简单. (3)分组时要用到添括号法则，注意在添加带有“－ ”号的括号时，括号内每项的符号都要改变. (4)实际上，分组只是为完成分解创造条件，并没有 直接达到分解的目的．
分组分解法
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一、学习目标
1．理解分组分解法在因式分解中的重要意义． 2．在运用分组分解法分解因式时，会筛选合理
的分组方案． 3．能综合运用各种方法完成因式分解．
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二、重点难点
本节的重点：运用分组分解法分解因式．
本节的难点：筛选合理的分组方案和综合
解．
运用各种方法完成因式分
m2
6m 9
(2n m 3)(2n m 3)
9.x2-y2+ax+ay (x+y)(x-y+a)
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练习
把下列各式分解因式：
10.(z2-x2-y2)2-4x2y2
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练习
把下列各式分解因式：
13 m4 3m2 10
． (m2 5)(m2 2)
【解法二】a3－a2b－ab2＋b3 ＝(a3－ab2)－(a2b－b3) ＝a(a2－b2)－b(a2－b2) ＝(a2－b2)(a－b) ＝(a－b)2(a＋b)
注意，分解的 结果中，如果有相 同的因式，要写成 乘方的形式．本题 的结果不要写成 (a－b)(a－b)(a＋b)．
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．
(4m bm 1)(mb 1)
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常见题型有：
小结
1．分组后可以直接提公因式． 2．分组后能利用公式．
(1)能利用平方差公式 (2)能利用完全平方公式 3．运用公式 x2 ( p q)x pq (x p)(x q) 分解首项系数是1的二次三项式．
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【分析】为了确定p与q的值，可以从分解常 数项入手．由于1×91＝91，13×7＝91，所以 乘 积 为 － 91 的 两 个 数 可 以 有 1×( － 91) ， ( － 1)×91 ， 13×( － 7) ， ( － 13)×7 四 种 可 能 ． 其 中 只 有 ( － 13)×7 一 组 能 使 得 (－13)＋7＝－6(一次项的系数)，所以确定的 两个数是－13和7，于是分解结果可以写为
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四．新课
例2 把多项式 mx 2my x2 4xy 4 y2分解因式．
【分析】观察多项式，前两项有公因式，后三 项符合完全平方公式． 【解】 mx 2my x2 4xy 4 y 2
＝(mx 2my) (x2 4xy 4 y2 ) ＝ m(x 2y) (x 2y)2 ＝(x 2y)[m (x 2y)] ＝(x 2y)(m x 2y)
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例3把多项式 a2-2ab+b2-c2 分解因式．
【分析】观察多项式，前 三项符合完全平方公式．
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练习: 把下列各式因式分解: (1)4a2-b2+6a-3b (2)9m2-6m+2n-n2 (3)x2-y2-z2+2yz (4)x2-4xy+4y2+2x-4y
4 ．
x2
a2
2ab
b2
(x a b)(x a b)
5 ．
a3 a2b ab2 b3
(a b)(a2 wenku.baidu.comb2 )
6 ．
4x2 4x 1 y2
(2x 1 y)(2x 1 y).
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练习
把下列各式分解因式：
7 ．
pq p q 1
(q 1)( p 1)
8 ．
4n2
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四．新课
分解因式：
(1)a2x＋a2y＋b2x＋b2y
(2)mx＋mx2－n－nx
【解】a2x＋a2y＋b2x＋b2y 【解】 mx＋mx2－n－nx
＝(a2x＋a2y)＋(b2x＋b2y)
＝(mx＋mx2)－(n＋nx)
＝a2(x＋y)＋b2(x＋y)
＝mx(1＋x)－n(1＋x)
＝(a＋2b－3)(a＋2b－7)
a＋2b －7
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四．新课
例7 分解因式(x2＋2x)2－2(x2＋2x)－3． 【解】(x2＋2x)2－2(x2＋2x)－3
＝(x2＋2x－3)(x2＋2x＋1) ＝(x＋3)(x－1)(x＋1)2． 【点评】
本题要注意分解到每一个因式都不 能再分解为止．
＝(x＋y)(a2＋b2)
＝(1＋x)(mx－n)
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练习
分解因式：
(1)ac+bc+2a+2b (2)3a-ax-3b+bx (3)2ax-10ay+5by-bx (4)5ax+6by+5ay+6bx
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分解因式a3－a2b－ab2＋b3．
【解法一】a3－a2b－ab2＋b3 ＝(a3－a2b)－(ab2－b3) ＝a2(a－b)－b2(a－b) ＝(a－b)(a2－b2) ＝(a－b)2(a＋b)
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三、引入
很多多项式(四项)不能直接运用提公因 式法或直接运用公式法分解，但是，进行 分组后，就可以先在局部上，进而在整体 上运用这两种方法进行分解，使问题迎刃 而解．所以，“分组”的作用在于促进了 提公因式法和公式法的运用，使多项式从 不能分解向能分解转化．
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x2 6x 91 (x 13)(x 7)
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四．新课
例6 分解因式：
(a＋2b)2－10(a＋2b)＋21
【分析】本题应该把(a＋2b)2看成二次项，
－10(a＋2b)看成一次项，－10看成一次项的
系数，21看成常数项，从而可以用十字相乘
法．
a＋2b －3
【解】 (a＋2b)2－10(a＋2b)＋21