量子力学 第一章

§1 经典物理学的困难
§2 量子论的诞生 §3 实物粒子的波粒二象性

§1.1 经典物理学的困难

(一）经典物理学的成功

19 世纪末，物理学理论在当时看来已经发展到相 当完善的阶段。主要表现在以下两个方面：

(1) 应用牛顿方程成功的讨论了从天体到地上各种尺度的力
学客体体的运动，将其用于分子运动上，气体分子运论，
光子概念



Einstein认为，光不仅是电磁波，而且还是一个粒子。 根据他的理论，电磁辐射不仅在发射和吸收时以能量 hν 的微粒形式出现，而且以这种形式在空间以光速 C 传播， 这种粒子叫做光量子，或光子。 由相对论光的动量和能 量关系 p = E/C = hv/C = h/λ 提出了光子动量 p 与辐射波长λ（=C/v）的关系。
•1. 临界频率 v0 只有当光的频率大于某一定值 v0 时， 才有光电子发射出来。若光频率小于该值时，则不论 光强度多大，照射时间多长，都没有电子产生。光的 这一频率v0称为临界频率。 •2. 电子的能量只是与光的频率有关，与光强无关，光 强只决定电子数目的多少。光电效应的这些规律是经典 理论无法解释的。按照光的电磁理论，光的能量只决定 于光的强度而与频率无关。
光子不仅具有确定的能量E = hv，而且具有 动量。根据相对论知，速度为 V 运动的粒子 的能量由右式给出：
v2 1 2 c 其中m0是粒子的静止质量。
E
m0 c 2
对于光子，速度 V = C，欲使上式有意义，必须令 m0 = 0,即光子静质量为零。
E 2 (m0c2 )2 ( pc)2 ( pc)2
光电效应理论
用光子的概念，Einstein 成功地解释了光电效应的规律。 当光照射到金属表面时，能量为 hν的光子被电子所吸 收，电子把这份能量的一部分用来克服金属表面对它的 吸引，另一部分用来提供电子离开金属表面时的动能。 其能量关系可写为：
2 1 me vm h W0 2
•从上式不难解释光电效应的两个典型特点
8h 3 d C3 1 exp(h / kT ) 1 d
8h 3 d exp( h / kT )d C3
Wien公式 d C1 3 exp(C 2 / T )d
•（2）当 v 很小（长波）时，因为 • exp(hv /kT)-1 ≈ 1+(h v /kT)-1=(h v /kT)， 则 Planck 定律变为 Rayleigh-Jeans 公式。
§1.2 光的波粒二象性
黑体：能吸收射到其上的全部辐射 的物体，这种物体就称为绝对黑体， 简称黑体。
能 量 密 度
黑体辐射：由这样的空腔小孔发出 的辐射就称为黑体辐射。
辐射热平衡状态: 处于某一温度 T 下的腔 壁，单位面积所发射出的辐射能量和它所 吸收的辐射能量相等时，辐射达到热平衡 状态。
0
实验发现：
o
90o
135o
0.709 0.749 波长 （A）
——康普顿效应
1927年诺贝尔物理学奖的一半授予美国的芝加哥 大学的A.H.康普顿(Arthur Holly Compton ,18921962) ,以表彰他发现以他的名字命名的效应。
感兴趣的同学可以自己看：
课本《原子物理学》 第八章相关内容； 课本《量子力学教程》第一章相关内容。
§1.3 原子结构的波尔理论
玻尔的氢原子理论： 量子假设； 定态假设； 角动量量子化； …… 能够很好的解释氢原子光谱。
n=4 n=3 n=2 n=1
v
m
r1
16r1 4r1 9r1
r
量子化条件的推广
由理论力学知，若将角动量 L 选为广义动量，则θ为广义坐标。 考虑积分并利用 Bohr 提出的量子化条件，有
8h 3 d C3 1 exp(h / kT ) 1 d
8h 3 kT 8 2 d d kTd 3 3 C h C
Rayleigh Jeans 公式
d
8 2 kT d 3 C
光电效应

光照射到金属上，有电子从金属上逸出的现象。这种电 子称之为光电子。试验发现光电效应有两个突出的特点：
45o
1923年康普顿观测了X射线沿各方向 的散射波,发现在散射光线中有波长 大于入射光波长的现象 ——康普顿散射（康普顿效应）
经典电动力学不能解释这种新波长 的出现，经典力学认为电磁波被散 射后，波长不应该发生改变。但是 如果把 X--射线被电子散射的过程 看成是光子与电子的碰撞过程，则 该效应很容易得到理解
光电效应的两个典型特点的解释
2 1 me vm h W0 2
1. 临界频率v0
2. 光电子动能只决定于光 子的频率
上式亦表明光电子的能量只与光的频率 v 有关， 光的强度只决定光子的数目，从而决定光电子的数目。 这样一来，经典理论不能解释的光电效应得到了正确 的说明。
• 虽然爱因斯坦对光电效应的解释是对Planck量 子概念的极大支持，但是Planck不同意爱因斯坦的 光子假设，这一点流露在Planck推荐爱因斯坦为普 鲁士科学院院士的推荐信中。 “ 光量子假设可能是走得太远了。” “ 总而言之，我们可以说，在近代物理学结出 硕果的那些重大问题中，很难找到一个问题是爱因 斯坦没有做过重要贡献的，在他的各种推测中，他 有时可能也曾经没有射中标的，例如，他的光量子 假设就是如此，但是这确实并不能成为过分责怪他 的理由，因为即使在最精密的科学中，也不可能不 偶尔冒点风险去引进一个基本上全新的概念 ”
量子力学 第一章 绪论
量子力学是物理学的入门武功，人人都要修炼；
量子力学是物理学的《红楼梦》，每次读它都有新的收获；
量子力学是的一门高深的哲学，由于它的创立，人们彻底改变 了对整个世界的看法。
玻恩晚年在一本回忆里写到:“我曾努力阅读各个时代哲学
家的著作，发现了许多有启发性的思想，但是没有朝着更深 刻的认识和理解稳步前进。然而，科学使我感到稳步前进。 我确信，理论物理学是真正的哲学。它革新了一些基本概 念„„而且它教给我们新的思想方法„„其适用范围远远超 出了物理学。” 包括量子力学、量子场论和量子统计物理学在内的整套量子 理论，不仅已经成为当代物理学的主要理论基础，而且也应 被看作是二十世纪里人类智慧的最高程度的结晶。所以学习 量子力学并不只是为了解决物理学问题，而且也是一种现代 思想方法的训练。 葛云程，王选章，量子力学教学的现代化，函授教育，1996 年第4期，第4页－第7页
Ld
n d 2n nh
索末菲将 Bohr 量子化条件推广为推广后的量子化条件可用于多 自由度情况，
1916年密立根做了精确的光电效应实验，利用Uc— 的 直线斜率K，定出h = 6.5610-34J.s。 这和当时用其他方法定出的h符合得很好。从而进一步 证实了爱因斯坦的光子理论。尽管如此，密立根还是 认为光子理论是完全站不住脚的。 可见，一个新思想要被人们接受是相当困难的。
光子的动量

0
5
(104 cm)
10
Wien 公式在短波部分与实验还相符合，长波部分则 明显不一致。
8 Rayleigh Jeans 公式 d 3 kT 2d C
(T)
紫 外 灾 难 瑞利--金斯线
o
1
2
3
4
5
6
7
8
/μm
Planck 黑体辐射定律

究竟是什么机制使空腔的原子产生出所观察到的 黑体辐射能量分布，对此问题的研究导致了量子 物理学的诞生。
8h 3 1 d d 3 C exp(h / kT ) 1
•Planck辐射定律
对 Planck 辐射定律的讨论：
8h 3 1 d d 3 C exp(h / kT ) 1
•（1）当 v 很大（短波）时，因为 exp(hv /kT)-1 ≈ exp(hv /kT)， 于是 Planck 定律 化为 Wien 公式。
取得有益的结果。1897年汤姆森发现了电子，这个发现表明 电子的行为类似于一个牛顿粒子。

(2) 光的波动性在1803年由杨的衍射实验有力揭示出来，麦
克斯韦在1864年发现的光和电磁现象之间的联系把光的波动 性置于更加坚实的基础之上。


但是这些信念，在进入20世纪以后，受到 了冲击。经典理论在解释一些新的试验结 果上遇到了严重的困难。 （1）黑体辐射问题 （2）光电效应 （3）氢原子光谱
5、Feynman, Lectures on Physics Vol (3)
目 录
第一章 绪论——量子力学的诞生 第二章 波函数和Schró dinger方程&一维定态问题 第三章 量子力学中的力学量
第四章 态和力学量表象
第五章 微扰理论 第六章 散射问题（量子跃迁） 第七章 自旋与全同粒子
第一章 量子力学的诞生
5
(104 cm)
10
热平衡时，空腔辐射的能量密度，与辐 射的波长的分布曲线，其形状和位置只与黑 体的绝对温度 T 有关而与黑体的形状和材料 无关。
从热力学出发加上一些特殊的假设，得到一个分布公式：
Wien公式 d C1 3 exp(C 2 / T )d
能 量 密 度
Wien 线
于是得光子的能动量关系：E pc
根据相对论能动量关系,总结光子能量、动量关系式如下：
E h E h h p n n n n k C C n h 其中 k 2 2
把光子的波动性和粒子性 联系了起来
•1900年12月14日Planck 提出： • 如果空腔内的黑体辐射和腔壁原子处 于平衡，那么辐射的能量分布与腔壁原子 的能量分布就应有一种对应。作为辐射原 子的模型，Planck 假定：