(整理)拉格朗日中值定理的几种特殊证法

届学士学位毕业论文

关于拉格朗日中值定理的几种特殊证法

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本人声明：该学位论文是本人指导学生完成的研究成果，已经审阅过论文的全部内容，并能够保证题目、关键词、摘要部分中英文内容的一致性和准确性。

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摘要

拉格朗日中值定理在高等代数和数学分析的一些理论推导中起着重要作用,本论文为了更准确的理解拉格朗日中值定理,介绍了其几种特殊的证明方法.首先本文从分析和几何的角度构造辅助函数对拉格朗日中值定理进行了证明,其中在分析法构造辅助函数中应用了推理法、原函数法、行列式法及弦倾角法,在几何法构造辅助函数中应用了作差构造法、面积构造法和旋转坐标轴法;其次,应用了区间套定理证明法和巴拿赫不动点定理证明法对拉格朗日中值定理进行了证明;最后,本文为能将拉格朗日中值定理表述更为深刻,还将其应用到求极限,证明函数性态等具体问题中.

关键词：拉格朗日中值定理;区间套定理;巴拿赫不动点定理

Several Special Proofs on the Lagrange’s Mean Value Theorem 08404141 ZHAO Xia-yan Mathematics and Applied Mathematics

Tutor WANG Jian-zhen

Abstract

Lagrange’s mean value theorem plays an important role in some theory educations in Higher algebra and Mathematical analysis, this thesis introduces several particular methods proving methods in order to comprehend Lagrange’s mean value theorem precisely. First of all, applying analysis and geometry with constructing auxiliary function to prove Lagrange’s mean value theorem, in the aspect of analysis, the methods of constructing auxiliary function include the reasoning method, original function method, the determinant method and chord angle method, In the aspect of geometric, the methods of constructing auxiliary functions include the poor construction method, area structure method and the rotating coordinate transformation method; secondly, also use the theorem of nested interval proving method and the Banach fixed point theorem to prove it; finally, this article applies Lagrange’s mean value theorem to the specific question in the limit, proving the function of state and other issues.

Key Words: Lagrange’s mean value theorem; The theorem of nested interval; The Banach fixed point theorem

目录

1．引言 (1)

2. 利用分析法构造辅助函数 (1)

3. 利用几何法构造辅助函数 (4)

4. 利用区间套定理证明 (6)

5. 利用巴拿赫不动点定理证明 (7)

6．拉格朗日中值定理的应用 (8)

7. 结语 (11)

参考文献 (12)

致谢 (12)

关于拉格朗日中值定理的几种特殊证法

08404141 赵夏燕 数学与应用数学

指导教师 王建珍

1.引言

微分中值定理作为微分学中的重要定理,是微分学应用的理论基础,是微分学的核心理论.微分中值定理,包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理,它们是沟通导数值与函数值之间的桥梁,是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具,其中拉格朗日中值定理是核心,从这些定理的条件和结论可以看出罗尔定理是其特殊情况,柯西定理和泰勒定理是其推广.首先回顾下拉格朗日中值定理以及它的预备定理—罗尔中值定理.

定理1.1 (罗尔中值定理)]1[ 若函数f 满足如下条件:

(ⅰ)f 在闭区间],[b a 上连续;

(ⅱ)f 在开区间),(b a 内可导;

(ⅲ))()(b f a f =;则在),(b a 内至少存在一点ξ,使得

0)(='ξf .

定理1.2 (拉格朗日中值定理)]2[ 若函数f 满足如下条件:

(ⅰ)f 在闭区间],[b a 上连续;

(ⅱ)f 在开区间),(b a 内可导;则在),(b a 内至少存在一点ξ,使得

=')(ξf a

b a f b f --)()(. 课本上给出了拉格朗日中值定理的基本证法,在此基础上,下面给出了拉格朗日中值定理的几种特殊证明方法.

2.利用分析法构造辅助函数

拉格朗日中值定理中的两个条件与罗尔中值定理中的前两个条件相同,二者的区别仅仅在于区间端点处的函数值是否相等,基于这种关系,自然想到构造一个辅助函数,使它满足罗尔中值定理的条件,从而是否由罗尔中值定理的结论导