概率论与数理统计习题课件第7章
概率论与数理统计课件第七章7-1
d ln L( ) 0 d
可以得到 的MLE .
若是向量，上述方程必须用方程组代替 .
2、用上述求导方法求参数的MLE有时行不 通，这时要用最大似然原则来求 .
数理统计
下面举例说明如何求最大似然估计
例5 设X1,X2,…Xn是取自总体 X~B(1, p) 的一个 样本，求参数p的最大似然估计量.
(3) 求似然函数L( ) 的最大值点(常常转化为 求ln L()的最大值点) ，即 的MLE;
(4) 在最大值点的表达式中, 用样本值代入就 得参数的最大似然估计值 .
数理统计
例6 设总体 X ~N( μ ,σ 2) , μ ,σ 2 未知 . x1, , xn 是来自 X 的样本值 , 试求 μ ,σ2的最大似然估计量 .
解 μ1 E X μ
μ2 E X 2 D( X ) [E( X )]2 σ2 μ2
解得
μ μ1 σ 2 μ2 μ12
于是 μ ,σ2 的矩估计量为
数理统计
总体矩
μ A1 X
σ2
A2
A12
1 n
n i 1
X
2 i
X 2
X
1 n
n i 1
Xi,
S2
1 n1
n i 1
(Xi
X )2
数理统计
问题是:
使用什么样的统计量去估计 ？
可以用样本均值; 也可以用样本中位数; 还可以用别的统计量 .
二、寻求估计量的方法 1. 矩估计法 2. 极大似然法 3. 最小二乘法 4. 贝叶斯方法 ……
这里我们主要介绍前面两种理统计
概率论与数理统计 第7章.ppt
即 S 2是 2 的无偏估计,故通常取S 2作 2的估计量.
例3 设总体 X 服从参数为 的指数分布, 概率密度
x 1 e , f ( x; ) 0,
x 0, 其他.
其中参数 0, 又设 X 1 , X 2 ,, X n 是来自总体 X 的 样本, 试证 X 和 nZ n[min( X 1 , X 2 ,, X n )] 都是 的无偏估计.
行到其中有15只失效时结束试验, 测得失效时 间(小时)为115, 119, 131, 138, 142, 147, 148, 155,
158, 159, 163, 166, 167, 170, 172.
试求电池的平均寿命 的最大似然估计值 .
解
n 50, m 15,
s( t15 ) 115 119 170 172 (50 15) 172
总体 X 的 k 阶矩 k E ( X k )的相合估计量, 进而若待估参数 g( 1 , 2 ,, n ), 其中g 为连续 ˆ g( 函数, 则 的矩估计量 ˆ1 , ˆ 2 , , ˆ n ) g( A1 , A2 ,
, An ) 是 的相合估计量.
第三节
估计量的评选标准
一、问题的提出
二、无偏性 三、有效性 四、相合性 五、小结
一、问题的提出
从前一节可以看到, 对于同一个参数, 用不 同的估计方法求出的估计量可能不相同. 而且, 很明显, 原则上任何统计量都可以作为未知参数 的估计量. 问题 (1)对于同一个参数究竟采用哪一个估计量好? (2)评价估计量的标准是什么? 下面介绍几个常用标准.
如果不能得到完全样本, 就考虑截尾寿命试验.
3. 两种常见的截尾寿命试验
概率论与数理统计(第三版)第七章习题ppt课件
20. 设两位化验员A,B独立地对某种聚合物含氯量用相同的方法 各作10次测定,其测定值的样本方差依次为sA2=0.5419, sB2=0.6065, 设 A2, B2分别为A,B所测定的测定值总体的方差,设总体均为正态的, 设两样本独立,求方差比A2/B2的置信水平为0.95的置信区间.
解 两正态总体均值未知,方差比A2/B2的一个置信水平为1- 的 置信区间为 (S S B A 2 2F /2 (n 1 1 1 ,n 2 1 ),S S B A 2 2F 1 /2 (n 1 1 1 ,n 2 1 ))
E ( T 2 ) 1 5 [ E ( X 1 ) 2 E ( X 2 ) 3 E ( X 3 ) 4 E ( X 4 ) 1 5 ] ( 1 2 3 4 ) 2
E ( T 3 ) 1 4 [ E ( X 1 ) E ( X 2 ) E ( X 3 ) E ( X 4 ) 1 4 ] ( 1 1 1 1 )
3
的一个置信水平为0.95 的置信.区间为(5.558, 6.442).
9
16.随机地取某种炮弹9发做试验,得炮口速度的样本标准差s=11(m/s). 设炮口速度服从正态分布.求这种炮弹的炮口速度的标准差的置信 水平为0.95 的置信区间.
解 未知,的置信水平为1-的置信区间为 ( n1S , n1S ) 2/2(n1) 12/2(n1)
是两总体公共方差2的无偏估计量(SW2称为2的合并估计). 证 两正态总体N(1, 12 ) ,N(2, 22 )中, 12=22=2
而不管总体X服从什么分布,都有E(S2)=D(X), 因此E(S12)= E(S22)= 2,
E(S w 2n )1 E n 1 (2 ( n1 2 [1 n n )( 1 1 S 1 21 n )2 E (n (2 S 21 2 ) 1 )S (2 2 n 2 ) 1 )E (S 2 2 ) ]2
概率论与数理统计 第7章
7. 4 估计量的评选标准
从参数的点估计中可以看到:对于同一个参数，用不同 的估计方法求出的估计量可能不同。这样我们自然会问，采
用哪一个估计量为好呢? 这就涉及用什么样的标准来评价估
计量的问题。
习题7
即
例 7－9 设总体 X 的概率密度为
7. 2 区 间 估 计
图 7－1
例 7－14 就得到了 μ 的一个置信水平为 1- α 的置信区 间 这样的置信区间常写成
再将 α =0.05 ， n =100 ， ������
x =32000 ， σ =4000 代入，
定义 2 设总体 X 的分布函数为 F (x ; θ 1 ， θ 2 ，…， θ
k )，其中
θ 1 ， θ 2 ，…， θ k 为未知参数，假设总体 X 的 k
阶原点矩 μ k = EXk 存在，由下列方程组
例 7－2 求事件 A 发生的概率 p 的矩估计量。 解 设 X 表示事件 A 在一次试验中是否发生这样的一个 随机变量，即 则 P ( X =1 ) = P ( A ) = p ， P ( X =0 ) =1- p ，由于 EX = p ， 因此 p 的矩估计量为
综上所述，求参数 θ 的置信水平为 1- α 的置信区间有 以下的步骤:
2. 正态总体参数的置信区间 1 )单正态总体均值 μ 的置信水平为 1-α 的置信区间
图 7－3
图 7－5
图 7－6
3.0-1 分布总体参数的置信区间 定理 9 设总体 X ~ B ( 1 ， p )，即总体 X 服从参数为 p 的 0-1 分布， X 1 ， X 2 ，…，X n ( n >50 ，此时也称该样本 为大样本)为来自总体 X 的一个样本，则参数 p 的置信水平 为1- α 的置信区间为
概率论与数理统计第七章
13
二、最大似然估计法
是在总体类型已知条件下使用的一种参数估计方法 . 它首先是由德国数学家高斯在 1821年提出的 ,
然而，这个方法常归功于英国 统计学家费歇 . 费歇在1922年重新发现了这一 方法，并首先研究了这种方法 的一些性质 .
Gauss
Fisher
信息管理学院 徐晔
选择适当的 i , i 1,2,, m
使得样本 ( X 1, X 2 ,, X n ) 作为一个随机变量，得 到观察值 ( x1, x2 ,, xn ) 的可能性最大。
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17
当总体 X 为离散型随机变量时，样本 ( X 1 , X 2 ,, X n ) 是一个 n 维离散型随机变量，所谓得到样本观察值 ( x1 , x2 ,, xn ) 实际上就是联合概率事件
14
最大似然估计法的基本思想
先看一个简单例子：
某位同学与一位猎人一起外出打猎 .
一只野兔从前方窜过 .
只听一声枪响，野兔应声倒下 .
如果要你推测， 是谁打中的呢？ 你会如何想呢?
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15
你就会想，只发一枪便打中,猎人命中的概率 一般大于这位同学命中的概率. 看来这一枪是猎人 射中的 . 这个例子所作的推断已经体现了最大似然估计 法的基本思想 .
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18
n
当总体 X 为连续型随机变量时，样本 ( X 1 , X 2 ,, X n ) 是一个 n 维连续型随机变量，所谓得到样本观察值 ( x1 , x2 ,, xn ) 实际上就是值对于一个极小的 ，联合 概率事件
A ( x1 X 1 x1 , x2 X 2 x2 ,, xn X n xn )
概率论第七章课件
小概率事件在 一次试验中基 本上不会发生 .
19
得否定域
W: |t |>4.0322
第四步：
将样本值代入算出统计量 t 的实测值, | t |=2.997<4.0322
没有落入 拒绝域
故不能拒绝H0 .
这并不意味着H0一定对，只是差异 还不够显著, 不足以否定H0 .
2
假设检验的内容
参数检验 非参数检验 总体均值, 均值差的检验 总体分布已知， 检验关于未知 总体方差, 方差比的检验 参数的某个假设 分布拟合检验 总体分布未知时的 符号检验 假设检验问题 秩和检验
假设检验的理论依据
假设检验所以可行,其理论背景为 实际推断原理,即“小概率原理”
3
罐装可乐的容量按标准应在 350毫升和360毫升之间. 生产流水线上罐装可 乐不断地封装，然后装箱 外运. 怎么知道这批罐装 可乐的容量是否合格呢？ 把每一罐都打开倒入量 杯, 看看容量是否合于标准？ 这样做 显然不行！
1 0.083 0.04 12
若不采用假设检验, 按理不能够出厂.
28
例4某厂生产的螺钉,按标准强度为68/mm2, 而实际生产的强度X 服N(,3.62 ).若E(X) ==68,则认为这批螺钉符合要求,否则认为 不符合要求. 现从生产的螺钉中抽取容量 为36的样本,其均值为 x 68.5 ,问原假设 是否正确?
解 假设
H0 : = 68
H1 : 68
29
3.6 若原假设正确, 则 X ~ N (68 , ) 36
2
因而 E ( X ) 68 ,即 X 偏离68不应该太远, 偏离较远是小概率事件,由于
《概率论与数理统计》习题及答案 第七章
《概率论与数理统计》习题及答案第 七 章1．对某一距离进行5次测量，结果如下：2781,2836,2807,2765,2858（米）. 已知测量结果服从2(,)N μσ，求参数μ和2σ的矩估计.解 μ的矩估计为ˆX μ=，2σ的矩估计为22*211ˆ()ni i X X S n σ==-=∑ 1(27812836280727652858)2809.05X =++++=，*215854.01170.845S =⨯=所以2ˆ2809,1170.8μσ== 2．设12,,,n X X X 是来自对数级数分布1(),(01,1,2,)(1)kp P X k p k lu p k==-<<=-的一个样本，求p 的矩估计.解 111111ln(1)ln(1)ln(1)1k kk k p p p p p p p μ∞∞==-==-=-⋅----∑∑ （1） 因为p 很难解出来，所以再求总体的二阶原点矩121111ln(1)ln(1)ln(1)kk k x pk k k p p kp kp x p p p μ∞∞∞-===='-⎛⎫==-=- ⎪---⎝⎭∑∑∑ 21ln(1)1ln(1)(1)x pp x p p x p p ='⎡⎤=-=-⋅⎢⎥----⎣⎦ （2） （1）÷（2）得 121p μμ=- 所以 212p μμμ-= 所以得p 的矩估计21221111n i i n i i X X X n p X n α==-==-∑∑3．设总体X 服从参数为N 和p 的二项分布，12,,,n X X X 为取自X 的样本，试求参数N 和p 的矩估计 解 122,(1)()Np Np p Np μμ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩ 解之得1/N p μ=， 21(1)p Np μμ-+=， 即1N pμ=，22111p μμμ-=-，所以 N 和p 的矩估计为ˆX N p=，*21S p X =-. 4．设总体X 具有密度11(1)1,,(;)0,.Cx x C f x θθθθ-+⎧>⎪=⎨⎪⎩其他其中参数01,C θ<<为已知常数，且0C >，从中抽得一个样本，12,,,n X X X ，求θ的矩估计解11111111111CCEX C x dx C xθθθθμθθθ+∞--+∞===-⎰111()11C C C C θθθθ-=-⋅=--， 解出θ得11,Cθμ=-92 于是θ的矩估计为 1C Xθ=-. 5．设总体的密度为(1),01,(;)0,.x x f x ααα⎧+<<⎪=⎨⎪⎩其他试用样本12,,,n X X X 求参数α的矩估计和极大似然估计.解 先求矩估计：111210011(1),22EX x dx x ααααμααα++++==+==++⎰解出α得 1112,1μαμ-=- 所以α的矩估计为 121XX α-=-. 再求极大似然估计： 1121(,,;)(1)(1)()nn n i n i L X X x x x x ααααα==+=+∏，1ln ln(1)ln nii L n xαα==++∑，1ln ln 01nii d L nx d αα==++∑，解得α的极大似然估计： 1(1)ln nii nxα==-+∑.6．已知总体X 在12[,]θθ上服从均匀分布，1n X X 是取自X 的样本，求12,θθ的矩估计和极大似然估计.解 先求矩估计： 1212EX θθμ+==，22222211211222()()1243EX θθθθθθθθμ-+++==+=解方程组121221122223θθμθθθθμ⎧+=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩得11θμ=±2123(θμμμ=-注意到12θθ<，得12,θθ的矩估计为*1X θ=-，*2X θ=.再求极大似然估计 1121212111(,,;,)()nn ni L X X θθθθθθ===--∏，1122,,,n x x x θθ≤≤，由极大似然估计的定义知，12,θθ的极大似然估计为11(1)min(,,)n X X X θ==；21()max(,,)n n X X X θ==.7．设总体的密度函数如下，试利用样本12,,,n x x x ，求参数θ的极大似然估计.（1）1(),0,(;)0,.x x e x f x αθαθαθα--⎧>⎪=⎨⎪⎩其它;已知（2）||1(;),,2x f x e x θθθ--=-∞<<+∞-∞<<+∞. 解 （1）111111(,,;)()()ni i i nx x n nn i n i L X X x ex x eααθθααθθαθα=----=∑==∏111ln (;)ln ln (1)ln nnn i i i i L X X n n x x αθθααθ===++--∑∑1ln 0ni i d L nx d αθθ==-∑解似然方程1ni i nx αθ==∑，得θ的极大似然估计94 1.ni i nx αθ==∑（2）1||||1111(;)22ni i i n x x n n i L X X e eθθθ=----=∑==∏由极大似然估计的定义得θ的极大似然估计为样本中位数，即1()2()(1)22,1(),.2n n n X n X X n θ++⎧⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩为奇数,为偶数8．设总体X 服从指数分布(),,(;)0,.x ex f x θθθ--⎧≥⎪=⎨⎪⎩其他试利用样本12,,,n X X X 求参数θ的极大似然估计.解 1()11(,,;),,1,2,,.ni i i nx n x n i i L X X eex i n θθθθ=-+--=∑==≥=∏1ln nii L n Xθ==-∑ln 0d Ln d θ=≠ 由极大似然估计的定义，θ的极大似然估计为(1)x θ= 9．设12,,,n X X X 来自几何分布1()(1),1,2,,01k P X k p p k p -==-=<<，试求未知参数p 的极大似然估计. 解 1111(,,;)(1)(1)ni i i nx nx n n i L x x p p p p p =--=∑=-=-∏，1ln ln ()ln(1),nii L n p Xn p ==+--∑1ln 0,1ni i X nd L n dp p p=-=--∑解似然方程11nii n X n p p=-+=-∑， 得p 的极大似然估计1p X=。
概率论与数理统计课件 (7)
X
xi )
g(x) p(x)dx
例2.2.2 设随机变量 X 的概率分布为
X01 2 P 1/2 1/4 1/4 求 E(X2+2).
解: E(X2+2) = (02+2)×1/2+(12+2)×1/4+(22+2)×1/4
= 1+3/4+6/4 = 13/4
数学期望的性质
(1) E(c) = c (2) E(aX) = aE(X) (3) E(g1(X)+g2(X)) = E(g1(X))+E(g2(X))
3.
F(a+0) = F(a); P(a<Xb) = F(b)F(a).
4. 点点计较 5. F(x)为阶梯函数。
F(a0) F(a).
4. P(X=a) = 0 5. F(x)为连续函数。
F(a0) = F(a).
例2.1.3
设
X
~
p(x)
ke3x ,
0,
x 0, x 0.
均为随机事件.
即 {a < X b} ={；a < X() b }
(3) 注意以下一些表达式： {X = k}= {X k}{X < k}； {a < X b} = {X b}{X a}； { X > b} = {X b}.
(4) 同一样本空间可以定义不同的随机变量.
若级数
i 1
xi
pi
绝对收敛，则称该级数为X 的
数学期望，记为
E(
X
)
概率论与数理统计7
i 1
i 1
注：qˆ 为q的无偏估计，但g(qˆ )不一定是g(q)的无偏估计。 例如：若D(X)>0，ˆ X是 EX的无偏估计， E[(ˆ )2] E( X 2 ) D( X ) [E( X )]2 [E( X )]2 2. 22
二 有效性
1定义 设qˆ1，qˆ2都是参数q的无偏估计量，若 D(qˆ1) D(qˆ2)
24
三 一致性
定义 设qˆ是参数q的估计量，若对任意 0,有
lim P(| qˆ q | ) 1
即
qˆ
P
q
.
n
则称qˆ为q 一致估计量.
例 由大数定律 lim P( X ) 1 n 知样本均值 X 是总体均值的一致估计。
25
例 证明正态总体的样本方差S2是2的一致估计。
证
n1
2
解 0 , 2有反函数。由上例，ˆ 2 S2
故
ˆ S
1 n
n i 1
(Xi
X )2
注 u=u(q )为一般函数此性质也成立。
18
例 设(X1,…,Xn)是正态总体N(1,2)的样本， 求P(X<t)的极大似然估计。
解
P( X
t)
(
t
1
n) 有反函数。
又ˆ 2 S2，
故所求概率值的极大似然估计为
E(Xj) =aj(q1,…,qk)
=A n
1j Xi
n i1
j
2 方法 令 aj(q1,…,qk) =Aj
j=1,…,k
求解方程组,得到解qˆ1，,qˆk
作
为
参
数q
1，,q
的
k
矩
估
计
概率论与数理统计(浙大版)第七章第八章精ppt课件
i1
是参数 的函数，称为似然函数，记做 L( ).
n
即 L()p(xi;) i1
结构：n 项连乘，总体分布 p(x,) 改 p(xi,)
i1,2, ,n
P(A)L(),随 变而 , A变 已经发生，由极大
似然原理， L()达到最大，所以 的最合理 估计值ˆ 应满足：L(ˆ)为最大值
定义 对给定的样本值 x1,x2,,xn，若
解得p的极大似然估计量为：
pˆ
1 n
n i 1
Xi
说明：p的极大似然估计值为：
pˆ 1 n n i1
xi
例2: 设(X1,X2,…Xn )是来自总体X的一个样本,
X ~f(x;) x 0 , 1,0其 x1 ,它 其 中 0 未, 知
求θ的极大似然估计量．
解： θ的似然函数为：
n
L()
第七章 参数估计
关键词：
﹜点估计 矩估计法
极大似然估计法
﹜区间估计 置信区间
置信度
问题的提出：
参数估计是统计推断的基本问题之一，实际工作中碰到的总体X , 它的分布类型往往是知道的，只是不知道其中的某些参数， 例如：产品的质量指标X服从正态分布，其概率密度为：
x 2
f x; , 2 1 e 2 2 x 2 但 参 数 , 2的 值 未 知 ， 要 求 估 计 , 2， 有 时 还 希 望 以 一 定 的 可 靠 性 来 估计值是在某个范围内或者不低于某个数。
n
似然函数 L()f(xi,) 达到最大 i1
求ˆ 的步骤：
(1) 写 出L() (2) 取 对 数 lnL() (3) 解 方 程 dlnL[()]0, 得 到 ˆ
d
例1 : 设总体X的分布律为：
概率论与数理统计--第七章
X
3 n
n i1
(Xi
X )2
,
bˆ矩 X 3( A2 X 2 )
X
3 n
n i1
(Xi
X )2
.
7-17
极大似然估计法
思想方法：一次试验就出现的 事件有较大的概率
例如: 有两外形相同的箱子,各装100个球 一箱 99个白球 1 个红球 一箱 1 个白球 99个红球
7-36
似然估计值为
2
1
n
n
(xi
x )2
i1
2 是 2的单值函数, 且具有单值
反函数，故 的极大似然估计值为
ˆ
1 n
n
( xi
x )2
i 1
lg 的极大似然估计值为
lg lg
1 n
n
(xi
x )2
i 1
§7.2 点估计的评价标准
对于同一个未知参数,不同的方法得 到的估计量可能不同,于是提出问题
ˆ1(x1, x2 ,, xn ) ˆ2 (x1, x2 ,, xn )
ˆk (x1, x2 ,, xn ) 数 值
称数 1 ,ˆk为未知参数 1, ,k 的估计值 对应统计量 为未知参数 1, ,k 的估计量
7-9
矩法 用样本 k 阶矩作为总体 k 阶矩的
en
(2 )2 ( 2)2
ln
L
n
i1
(
xi
2
2
)2
n ln(2
2
)
n 2
概率论与数理统计PDF版课件7-2
. 的一个合理解释. 但注意，并不要求包含真实值的区
间正好%，只要是大约%就是合理地，比如也可以.
第七章参数估计 §7.2 区间估计
求置信区间的步骤
=
, ⋯ , ，
（1）找一个与未知参数有关的统计量
11 0.248
3.816
第七章参数估计 §7.2 区间估计
注1 上述求解或 的置信区间时，我们选取的点估计
都是矩估计量或者最大似然估计量. 事实上，我们也可以用
贝叶斯估计量来构造置信区间.详细内容参考本章“重要补
充及扩展问题”的第五节（见教材P220）
注2 上述利用枢轴量进行区间估计的时候都要求总体服
从正态分布. 但实际中，我们考虑的总体经常不服从正态分
布. 这种情况下的区间估计采用的是大样本区间估计. 详细
内容参考本章“重要补充及扩展问题”的第六节（见教材
P220）
第七章参数估计 §7.2 区间估计
三、两个正态总体的区间估计
设 , ⋯ , 为来自正态总体 ∼ , 的简单随机
1. 当 和 已知时，求 − 的置信区间
ഥ−
ഥ 作为总体均值差 − 的点估计;
（1）选取样本均值差
X − Y − ( 1 − 2 )
（2）构造枢轴量
~ N ( 0,1) ;
2
2
(
)
1
n1
（3）选取 = − = Τ ;
+
2
n2
（4） − 的 − 的置信区间
.
n
n
2
2
第七章参数估计 §7.2 区间估计
例3（ 见教材P213） 假设 轮胎的寿 命服从正 态分布
同济大学概率论与数理统计第七章ppt课件
例 15．设 X 与Y 的联合概率
函数为
XY 1 0 2
-1 1 0 1
6
6
0 0 11
66
1 1 10
66
求Cov（X，Y）
E（X）=0， E（Y）=1， E（XY）=-1/3， 可以推出 Cov（X,Y）
=-1/3
定理 4 （协方差性质）设 k 、 l 、 c 都是常数。
（1） cov X,Y covY, X ；
方差性质
定理 3 设 k 与 c 都是常数。
（1） Dc 0 ；反之，如果某个随机变量 X 的方 差为 0，那么， P X c 1，其中 c EX ；
（2） DkX c k2D X ；
D X Y D X DY
（3） 2E X EX Y EY ；
求D（X+Y）,E(X2Y2). 解： D(X+Y)= D(X)+ D(Y) = 3/4 + 1/4= 1
由X，Y相互独立可推得X2，Y2相互独 立，
因此 E(X2Y2)= E(X2) E(Y2)
= {D(X) + [E(X)]2 } {D(Y)+ [E(Y)]2 }
={ 3/4 + 9/4 } { 1/4 +1/4 }= 3/2
例 17． 求例 14、15 中 X 与Y 的相关系数。
注：（1） X ,Y E X Y
（2）
D aX bY a2D X b2D Y
。
2ab X ,Y DXDY
定理 5 （相关系数的性质） 当 DX 0 ， DY 0 时，
E(XY) xy f x, ydxdy
《概率论与数理统计》第七章 讲义
测得强度值为x1, x2 , …, x25，其均值为 x 108 (Pa)，问当日生产是否正常？
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Chapter 7 假设检验
(1) 是参数估计问题吗？ (2) 回答“是”还是“否”，假设检验问题。 (3) 命题“合金平均强度不低于110Pa”正确 与否仅涉及如下两个参数集合：
0 { : 110}
其二是 H 0不真（即 H1为真）但样本观测值落 在接受域中，从而接受原假设H 0，这种错误称 为第二类错误，其发生的概率称为犯第二类错 误的概率,或称受伪概率，通常记为 。
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Chapter 7 假设检验
观测数 据情况
( x1,, xn ) W
( x1 ,, xn ) W c
H0 : 110
vs
H1 : 110
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Chapter 7 假设检验
•假设检验的两个特点：
第一，假设检验采用逻辑上的反证法，即为了检验一个假设 是否成立，首先假设它是真的，然后对样本进行观察，如 果发现出现了不合理现象，则可以认为假设是不合理的， 拒绝假设。否则可以认为假设是合理的，接受假设。 第二，假设检验采用的反证法带有概率性质。所谓假设的不 合理不是绝对的，而是基于实践中广泛采用的小概率事件 几乎不可能发生的原则。至于事件的概率小到什么程度才 算是小概率事件，并没有统一的界定标准，而是必须根据 具体问题而定。如果一旦判断失误，错误地拒绝原假设会 造成巨大损失，那么拒绝原假设的概率就应定的小一些； 如果一旦判断失误，错误地接受原假设会造成巨大损失， 那么拒绝原假设的概率就应定的大一些。
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Chapter 7 假设检验
二、选择检验统计量，给出拒绝域形式
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解答
7.7 在总体N (80, 202 )中随机抽取一容量为
100的样本, 求样本均值X与总体均值之差的绝 对值大于3的概率.
解答 返回
7.8 设 X1, X2 , , X10 是来自总体 N (0,0.32 )
10
的一个容量为10的样本, 求 P{
X
2 i
1.44}.
i 1
解答
7.9 求总体 N (20,3) 的容量分别为10, 15 的
两个独立样本的样本均值之差的绝对值大于 0.3 的概率.
解答 返回
第七章 样本与抽样分布7源自17.2 7.37.4
7.5 7.6
7.7
7.8 7.9
返回
7.1设X1, X2,…,Xn是总体X的样本, 作变换
Yi k( Xi c) (i 1, 2, , n)
其中 k,c为常数, 分别记 X1, X2, , Xn的样本均
值和样本方差为
X
和S
2 1
,Y1
,Y2
,
简单随即样本Y=a(X1-2X2)2+b(3X3-4X4)2,则当
a=
, b=
时, 统计量Y 服从 2分布, 其
自由度为
.
解答 返回
7.4 查表求下列分位数:
u0.005 ,
u0.975 ,
2 0.05
(9)
,
t0.05 (14), t0.025 (8), F0.05(10,9),
2 0.975
(10)
F0.975 (10, 9)
解答
7.5 设总体X~N(0, 22), 而X1, X2,…, X15是来
自总体的简单随机样本, 则随机变量
Y
X
2 1
X
2 2
2( X121
X
2 12
X
2 10
X
2 15
)
服从 分布, 参数为 .
解答 返回
7.6 在总体N (52,6.32 )中随机抽取一容量为
,Yn 的样本均值
和样本方差为Y
和S
2 2
,
证明 :
(1) Y k( X c);
(2)
S
2 2
k
2
S
2 1
.
解答 返回
7.2 设抽样得到总体X的100个样本观测
值如下表:
观测值xi 1
2
3
4
5
6
频 数ni 15 21 25 20 12 7
试写出总体X的经验分布函数Fn(x).
解答
7.3 设X1, X2, X3, X4是来自总体X~N(0,22)的