四年级奥数三角形等高模型和鸟头模型(B级)

板块一 三角形等高模型

我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底⨯高2÷

从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积． 如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；

这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的1

3

，则三角形面积与原来的

一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．

在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等；

②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图12::S S a b =

③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．

④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．

b

a

S 2S 1D

C B

A

知识框架

三角形等高模型和鸟头模型

板块二 鸟头模型

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．

如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)， 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△

【例 1】 如右图，E 在AD 上，AD 垂直BC ，12AD =厘米，3DE =厘米．求三角形ABC 的面积是三角形EBC

面积的几倍？

【巩固】 如图30-5，设正方形ABCD 的面积为1，E ，F 分别为边AB ，AD 的中点，FC=3GC ，则阴影部分的面

积是多少?

E

D

C

B

A

D

E

C

B

A

E

D

C

B

A

例题精讲

【例 2】 ABCD 是边长为12的正方形，如图所示，P 是内部任意一点，4BL DM ==、5BK DN ==，那

么阴影部分的面积是 ．

【巩固】 在边长为6厘米的正方形ABCD 内任取一点P ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，

分别与P 点连接,求阴影部分面积．

【例 3】 如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 的边长分别为m ，n ，那么△AFG 的面积的值（ ） A 、只与m 的大小有关 B 、只与n 的大小有关 C 、与m 、n 的大小都有关 D 、与m 、n 的大小都无关

【巩固】 如图30-2，已知四边形ABCD 和CEFG 都是正方形，且正方形ABCD 的边长为10厘米，那么图中阴

影三角形BFD 的面积为多少平方厘米?

P

N

M L

K

D C

B

A

P

D

C

B

A

G

F

E

D C

B

A

【例 4】 如右图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为5平方厘米，

ABC ∆的面积是 平方厘米．

【巩固】 图中三角形ABC 的面积是180平方厘米，D 是BC 的中点，AD 的长是AE 长的3倍，EF 的长是

BF 长的3倍．那么三角形AEF 的面积是多少平方厘米？

【例 5】 如图所示，四边形ABCD 与AEGF 都是平行四边形，请你证明它们的面积相等．

【巩固】 如图所示，正方形ABCD 的边长为8厘米，长方形EBGF 的长BG 为10厘米，那么长方形的宽为几厘

米？

F

E D

C

B

A

F E

D

C

B

A G

F

E

D

C

B A

A B

G

C E F D

【例 6】 如图，如果长方形ABCD 的面积是56平方厘米，那么四边形MNPQ 的面积是多少平方厘米？

【巩固】 如图，阴影部分四边形的外接图形是边长为10cm 的正方形，则阴影部分四边形的面积是

2cm ．

【例 7】 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平

方厘米，求ABC △的面积．

【巩固】 如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那

么三角形ABC 的面积是多少？

6

523

N

M

Q

P

D C B

A

1cm

4cm

E

D

C

B

A

E

D

C

B

A