2020版高中数学第二章基本初等函数Ⅰ2_1_2函数的表示方法学案苏教版必修1

2．1.2 函数的表示方法

学习目标 1.理解函数的三种表示方法.2.能根据需要选择恰当的函数表示方法.3.了解分段函数，并能进行简单应用． 知识点一 解析法 思考 一次函数如何表示？

梳理 用等式来表示两个变量之间函数关系的方法称为解析法．这个等式通常叫做函数的解析表达式，简称解析式． 知识点二 图象法

思考 要知道林黛玉长什么样，你觉得一个字的描述和一张二寸照片哪个更直观？ 梳理 用图象表示两个变量之间函数关系的方法称为图象法． 知识点三 列表法

思考 在街头随机找100人，请他们依次随意地写一个数字．设找的人序号为x ，x ＝1,2,3，…，100.第x 个人写下的数字为y ，则x 与y 之间是不是函数关系？能否用解析式表示？怎样表示这种对应关系？

梳理 用列表来表示两个变量之间函数关系的方法称为列表法． 三种表示法的优缺点： 知识点四 分段函数

思考 某市规定出租车收费标准：起步价(不超过2 km)为5元．超过2 km 时，前2 km 依然按5元收费，超过2 km 部分，每千米收1.5元．按此规定乘坐出租车行驶任意一段路程，是否都有一个唯一的收费额与之对应？收费额y 元是行驶里程x km 的函数吗？当x ∈[0,2]时的计费方法与x ∈(2，＋∞)时计费方法一样吗？

梳理 在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式．像这样的函数，通常叫做分段函数． 类型一 解析式的求法

例1 根据下列条件，求f (x )的解析式． (1)f (f (x ))＝2x －1，其中f (x )为一次函数； (2)f (x ＋1x )＝x 2

＋1x

2；

(3)f (x )＋2f (－x )＝x 2

＋2x .

反思与感悟 (1)如果已知函数类型，可以用待定系数法．

(2)如果已知f (g (x ))的表达式，想求f (x )的解析式，可以设 t ＝g (x )，然后把f (g (x ))中每一个x 都换成t 的表达式．

(3)如果条件是一个关于f (x )、f (－x )的方程，我们可以用x 的任意性进行赋值．如把每一

个x 换成－x ，其目的是再得到一个关于f (x )、f (－x )的方程，然后消元消去f (－x )． 跟踪训练1 根据下列条件，求f (x )的解析式． (1)f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9； (2)f (x ＋1)＝x 2

＋4x ＋1； (3)2f (1

x

)＋f (x )＝x (x ≠0)．

类型二 列表法及函数表示法的选择

例2 下表是某校高一(1)班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表．

(2)根据表示出来的函数关系对这三位同学的学习情况进行分析．

反思与感悟 函数的三种表示方法都有各自的优点，有些函数能用三种方法表示，有些只能用其中的一种来表示．

跟踪训练2 若函数f (x )如下表所示：

则f (f (1))＝________. 类型三 分段函数

命题角度1 建立分段函数模型

例3 如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD ，底边BC 长为7 cm ，腰长为2 2 cm ，当垂直于底边BC (垂足为F )的直线l 从左至右移动(与梯形ABCD 有公共点)时，直线l 把梯形分成两部分，令BF ＝x ，试写出左边部分的面积y 关于x 的函数解析式，并画出大致图象． 反思与感悟 当目标在不同区间有不同的解析表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画．

跟踪训练3 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： (1)5公里以内(含5公里)，票价2元；

(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算)．

如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．

命题角度2 研究分段函数的性质

例4 已知函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

2x ，x ≤2，

x 2

＋2，x >2.

(1)求f (f (3

2

))；

(2)若f (x 0)＝8，求x 0的值； (3)解不等式f (x )>8.

反思与感悟 已知函数值求变量x 取值的步骤 (1)先对x 的取值范围分类讨论． (2)然后代入到不同的解析式中． (3)通过解方程求出x 的解．

(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．

(5)若解不等式，应把所求x 的范围与所讨论区间求交集，再把各区间内的符合要求的x 的值并起来．

跟踪训练4 已知f (x )＝⎩

⎪⎨

⎪⎧

x 2

，－1≤x ≤1，1，x >1或x <－1.

(1)画出f (x )的图象；

(2)若f (x )≥1

4，求x 的取值范围；

(3)求f (x )的值域．

1．已知函数f (x )由下表给出，则f (f (3))＝________.

2.，则此二次函数的解析式为______________．

3．已知正方形的边长为x ，它的外接圆的半径为y ，则y 关于x 的解析式为________． 4．如图所示，函数图象是由两条射线及抛物线的一部分组成，则函数的解析式为________．

5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

x ＋4，x ≤0，x 2

－2x ，0

－x ＋2，x >4.

(1)求f (f (f (5)))的值； (2)画出函数f (x )的图象．

1．如何求函数的解析式

求函数的解析式的关键是理解对应法则f的本质与特点(对应法则就是对自变量进行对应处理的操作方法，与用什么字母表示无关)，应用适当的方法，注意有的函数要注明定义域．主要方法有：待定系数法、换元法、解方程组法(消元法)．

2．如何用函数图象

常借助函数图象研究定义域、值域、函数变化趋势及两个函数图象交点问题．

3．对分段函数的理解

(1)分段函数是一个函数而非几个函数．

分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集．

(2)分段函数的图象应分段来作，特别注意各段的自变量取值区间端点处函数的取值情况，以决定这些点的虚实情况．