二次根式知识点+例题分析+难题拓展+测试
二次根式全章复习与测试-2023年新八年级数学核心知识点与常见题型(沪教版)(解析版)
二次根式全章复习与测试【知识梳理】一．二次根式有意义的条件判断二次根式有意义的条件：（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．（3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数．学习要求：能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．【规律方法】二次根式有无意义的条件1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．二．二次根式的性质与化简（1）二次根式的基本性质：①≥0；a≥0（双重非负性）．②（）2＝a（a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．③＝|a|＝（算术平方根的意义）（2）二次根式的化简：①利用二次根式的基本性质进行化简；②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．＝•（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0）（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法1．常见题型：与分式的化简求值相结合．2．解题方法：（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简．（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果．（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式．三．同类二次根式同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．合并同类二次根式的方法：只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．【知识拓展】同类二次根式把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．（1）同类二次根式类似于整式中的同类项．（2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同．（3同．四．最简二次根式最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等．五．二次根式的乘除法（1）积的算术平方根性质：＝•（a≥0，b≥0）（2）二次根式的乘法法则：•＝（a≥0，b≥0）（3）商的算术平方根的性质：＝（a≥0，b＞0）（4）二次根式的除法法则：＝（a≥0，b＞0）规律方法总结：在使用性质•＝（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此．六．分母有理化（1）分母有理化是指把分母中的根号化去．分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．例如：①＝＝；②＝＝．（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个二次根式的有理化因式不止一个．例如：﹣的有理化因式可以是+，也可以是a（+），这里的a可以是任意有理数．七．二次根式的加减法（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．（2）步骤：①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．③合并被开方数相同的二次根式．（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．八．二次根式的混合运算（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．九．二次根式的化简求值二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．十．二次根式的应用把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力．二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法．【考点剖析】一．二次根式有意义的条件（共2小题）1．（2022秋•宝山区期末）如果y＝，则x+y的值为（）A．B．1C．D．0【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x，y的值，进而得出答案．【解答】解：∵3﹣2x≥0，2x﹣3≥0，则x≥，x≤，解得：x＝，故y＝0，则x+y＝+0＝．故选：A．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出x，y的值是解题关键．2．（2021秋•浦东新区校级月考）如果式子有意义，那么x的取值范围是．【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，，解得﹣2＜x≤1．故答案为：﹣2＜x≤1．【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．二．二次根式的性质与化简（共4小题）3．（2022秋•青浦区校级期末）化简：＝．【分析】应用二次根式的性质与化简的方法进行计算即可得出答案．【解答】解：原式＝4x．故答案为：4x．【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质与化简的方法进行求解是解决本题的关键．4．（2022秋•杨浦区期末）当mn＜0时，化简＝．【分析】直接利用已知结合二次根式有意义的条件，得出m，n的符号，进而化简得出答案．【解答】解：∵mn＜0，m3n2＞0，∴m＞0，n＜0，∴＝﹣mn．故答案为：﹣mn．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．5．（2022春•庐阳区校级期中）将a根号外的因式移到根号内，得（）A．B．﹣C．﹣D．【分析】直接利用二次根式的性质得出a的符号，进而变形得出答案．【解答】解：a＝﹣＝﹣．故选：B．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．6．（2022秋•宝山区期中）下列各式中，与化简（m＞0）所得结果相同的是（）A．n B．n C．﹣n D．﹣n【分析】根据题意确定出m与n异号，原式利用二次根式性质化简即可得到结果．【解答】解：原式＝＝•，∵﹣mn≥0，m＞0，∴n≤0，∴原式＝﹣n．故选：D．【点评】本题考查了二次根式的乘法以及二次根式的性质与化简：＝|a|，＝•（a≥0，b≥0）．三．同类二次根式（共1小题）7．（2022秋•杨浦区期末）下列二次根式中，与属同类二次根式的是（）A．B．C．D．【分析】各式化简为最简二次根式，找出被开方数相同的即为同类二次根式．【解答】解：A、原式＝3，不符合题意；B、原式＝3|a|，不符合题意；C、原式＝3|b|，不符合题意；D、原式＝3|b|，符合题意．故选：D．【点评】熟练掌握同类二次根式的定义是解本题的关键．四．最简二次根式（共1小题）8．（2022秋•徐汇区期末）下列根式中，是最简二次根式的是（）A．B．C．D．【分析】A选项的被开方数中含有分母；B、D选项的被开方数中含有能开得尽方的因数或因式；因此这三个选项都不是最简二次根式．所以只有C选项符合最简二次根式的要求．【解答】解：因为：A、＝；B、＝2；D、＝|b|；所以这三项都可化简，不是最简二次根式．故选：C．【点评】在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．五．二次根式的乘除法（共6小题）9．（2022秋•宝山区期中）＝．【分析】根据•＝（a≥0，b≥0）计算，再化简即可得出答案．【解答】解：原式＝＝＝3．故答案为：3．【点评】本题考查了二次根式的乘除法，掌握•＝（a≥0，b≥0）是解题的关键．10．（2021秋•宝山区校级月考）计算：÷＝．【分析】直接利用二次根式的除法运算计算得出答案．【解答】解：÷＝＝＝3．故答案为：3．11．（2022秋•奉贤区期中）成立的条件是．【分析】本题需注意的是，被开方数为非负数，且分式的分母不能为0，列不等式组求出x的取值范围．【解答】解：由题意得：，解得：x＞3．故填x＞3．【点评】二次根式的被开方数是非负数，分母不为0，是本题确定取值范围的主要依据．12．（2017秋•普陀区期中）计算：•＝．【分析】根据二次根式的乘法法则计算．【解答】解：•＝＝4y．【点评】主要考查了二次根式的乘法运算．二次根式的乘法法则＝（a≥0，b≥0）．13．（2022秋•闵行区校级期中）计算：2x÷3•【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案．【解答】解：原式＝×＝×＝．【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．14．（2022秋•徐汇区校级期中）计算：3÷（•）．【分析】根据二次根式的乘除运算法则即可求出答案．【解答】解：原式＝÷＝．【点评】本题考查二次根式的乘除运算法则，解题的关键是熟练运用二次根式的乘除运算法则，本题属于基础题型．六．分母有理化（共2小题）15．（2022秋•闵行区期中）的一个有理化因式是（）A．B．+C．﹣D．【分析】根据有理化的定义以及二次根式的乘除法则解决此题．【解答】解：A.，那么是的一个有理化因式，故A符合题意．B．根据二次根式的乘法法则，不是的一个有理化因式，故B不符合题意．C．根据二次根式的乘法法则，不是的一个有理化因式，故C不符合题意．D．根据二次根式的乘法法则，，得不是的一个有理化因式，故D不符合题意．故选：A．【点评】本题主要考查分母有理化，熟练掌握有理化的定义以及二次根式的乘除法则是解决本题的关键．16．（2022秋•宝山区期中）“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，化简：＝．【分析】分子和分母都乘﹣2，再根据平方差公式进行计算，最后求出答案即可．【解答】解：＝＝＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化和平方差公式等知识点，能找出分母的有理化因式是解此题的关键．七．二次根式的加减法（共1小题）17．（2021秋•奉贤区校级期末）计算：．【分析】先去括号化简二次根式，再合并二次根式．【解答】解：＝＝（﹣2﹣+3）＝0．【点评】本题考查了二次根式的加减法，掌握二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解题关键．八．二次根式的混合运算（共7小题）18．（2022秋•虹口区校级期中）分母有理化：＝．【分析】先求的值，把化为，则可计算得到＝，所以原式＝，然后分母有理化即可．【解答】解：∵＝＝+＝+＝，∴原式＝＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则．利用倒数法和异分母的分数的加法得逆运算是解决问题的关键．19．（2022秋•青浦区校级期末）计算：．【分析】根据二次根式的乘法、分母有理数和零指数幂可以解答本题．【解答】解：＝﹣﹣2（2+）+1＝2﹣﹣4﹣2+1＝﹣．【点评】本题考查二次根式的混合运算、零指数幂、分母有理化，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．20．计算：．【分析】根据二次根式的混合运算进行计算即可求解．【解答】解：＝＝＝．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．21．（2022秋•普陀区校级期中）计算：4×﹣（+）2+．【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则、分母有理化分别化简，进而得出答案．【解答】解：原式＝2﹣（3+2+2）+＝2﹣5﹣2﹣（2+）＝2﹣5﹣2﹣2﹣＝﹣7﹣．【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．22．（2022秋•静安区校级期中）（1）计算：；（2）计算：．【分析】（1）先利用完全平方公式和二次根式的乘法法则计算，再分母有理化，然后合并即可；（2）先根据二次根式的乘法和除法法则运算，然后化简即可．【解答】解：（1）原式＝3﹣2+1﹣2（+1）﹣（3﹣1）＝3﹣2+1﹣2﹣2﹣2＝﹣4；（2）原式＝12a••＝12a••＝4．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键．也考查了分母有理化．23．（2022秋•青浦区校级期中）计算：×﹣+．【分析】先化简各二次根式，再进一步计算即可．【解答】解：原式＝×2﹣|﹣2|+2﹣＝2﹣2++2﹣＝2．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．24．（2022秋•奉贤区校级期中）计算：．【分析】先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答．【解答】解：＝3﹣﹣＝＝3﹣﹣2+2＝．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键．九．二次根式的化简求值（共3小题）25．（2022秋•青浦区校级期中）先化简再求值：，其中x＝，y＝．【分析】根据平方差公式、完全平方公式把原式的分子、分母变形，再根据约分法则化简，利用分母有理化法则把x、y化简，代入计算即可．【解答】解：原式＝•（）2＝（﹣）•（）＝x﹣y，当x＝＝＝3﹣2，y＝＝3+2时，原式＝（3﹣2）﹣（3+2）＝﹣4．【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的乘法法则、平方差公式、完全平方公式是解题的关键．26．（2022秋•静安区校级期中）已知，求的值．【分析】先把分子分母因式分解，则约分得到原式＝+x﹣1，接着分母有理化得到x＝2﹣，利用倒数的定义得到＝+2，然后把它们代入计算即可．【解答】解：原式＝+＝+x﹣1，∵x＝＝2﹣，∴＝+2，∴原式＝+2+2﹣﹣1＝3．【点评】本题考查了二次根式的化简求值：正确进行分式的加减运算是解决问题的关键．27．（2022秋•宝山区期中）已知a＝，求﹣的值．【分析】先利用分母有理化可得a＝2﹣，然后再代入到化简后的式子，进行计算即可解答．【解答】解：∵a＝＝＝2﹣，∴a﹣2＜0，∴﹣＝﹣＝a+1﹣＝a+1+＝2﹣+1+（2+）＝2﹣+1+2+＝5【点评】本题考查了二次根式的化简求值，分式的化简求值，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键．十．二次根式的应用（共4小题）28．（2022秋•嘉定区期中）关于x的不等式的解集是．【分析】根据解一元一次不等式的步骤与方法和二次根式的性质解答便可．【解答】解：2x﹣x＞1，（2﹣）x＞1，x＜，x＜﹣2﹣．故答案为：x＜﹣2﹣．【点评】本题考查了解一元一次不等式，有理化分母，关键是熟记解不等式的步骤与方法，特别注意系数化成1时，不等式两边除以负数，不等号的方向要改变．29．（2022秋•嘉定区月考）不等式的解集是．【分析】移项；合并同类项；化系数为1解答即可．【解答】解：，（1﹣2）x＞1﹣2，x＜1．故答案为：x＜1．【点评】此题考查二次根式的应用，关键是根据解一元一次不等式的解法解答．30．（2022秋•普陀区校级期中）解不等式：（x﹣）＞x+．【分析】将所求不等式变形为（﹣）x＜﹣3，再由＞，根据不等式的基本性质求解即可．【解答】解：（x﹣）＞x+，x﹣2＞x+，（﹣）x＜﹣3，∵＞，∴x＜＝﹣3×（）＝﹣9﹣3，∴x＜﹣9﹣3．【点评】本题考查解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的方法，无理数大小的比较是解题的关键．31．（2022秋•嘉定区校级月考）解不等式：≤．【分析】根据一元一次不等式的解法即可求出答案．【解答】解：≤，﹣2≤x﹣3，（﹣）x≤﹣1，x≥，x≥+．【点评】本题考查一元一次不等式，解题的关键是熟练运用一元一次不等式的解法，本题属于基础题型．【过关检测】一、单选题【答案】B【分析】根据二次根式有意义及分式有意义的条件可得不等式2x-1>0，再解不等式即可；【详解】根据题意,2x−1>0,解得：12x＞；故选B.【点睛】此题考查二次根式有意义的条件，解题关键在于掌握运算法则.【答案】B【分析】先根据二次根式有意义的条件求出a-1<0,再根据二次根式的性质把根号外的因式平方后移入根号内, 注意:当m 0≥时,, m 0≤时,=即可得出答案.【详解】解：∵根式有意义, ∴101a >−,解得：a 1<,∴a-1<0,∴(1a −故选B.【点睛】本题考查了二次根式的性质的应用,难度较大,熟悉根式的性质是解题关键.【答案】B【分析】将各式化为最简二次根式后即可判断．【详解】A.原式B.原式C.原式=，故不能合并，D.原式，故不能合并， 故选B ．【点睛】本题考查最简二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质.【答案】C【分析】由倒数的定义，两数的积等于1，列方程求解．【详解】解：由题意得，1= ∴a-b=1，即a=b+1故选C【点睛】此题主要考查了倒数的定义，即互为倒数的两个数的积为1．C．a=1，b=1D．a=0，b=2或a=1，b=1【答案】D【分析】根据同类二次根式的意义，列方程组解答【详解】∵a∴2{43a bb a b++＝＝，或2{3a bb a b++＝＝，解得1{1ab==，或{2ab==．故选D．6．估计）A．在2～3之间B．在3～4之间C．在4～5之间D．在5～6之间【答案】C【分析】先根据二次根式的乘法法则可知16＜24＜25，利用算术平方根的性质可得4＜5，可得结果．【详解】解：∵16＜24＜25，∴45，即4＜5，故选：C．【点睛】本题主要考查了估算无理数的大小，熟练掌握算术平方根的性质及二次根式的乘法法则是解答此题的关键．二、填空题【答案】43【分析】根据完全平方公式及实数的性质即可求解.【详解】∵(25251843−=−=−a且a 、b 是有理数 ∴a=43,b=-30 故填：43.【点睛】此题主要考查实数的运算，解题的关键是熟知完全平方公式.【答案】5【分析】根据非负性求出a,b ，再求出斜边长，根据面积法即可求出该直角三角形斜边上的高．【详解】|3|0b −=|3|0b −=∴a-4=0，b-3=0 ∴a=4,b=3∴5=故该直角三角形斜边上的高为345⨯=125故答案为：125．【点睛】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是熟知非负性的特点．【答案】 < <【分析】①与1的大小即可；②-3.4分别乘方，再比较所得负数的大小；【详解】①∵2＜3，∴0＜1，∴1 8；②(()33=-42-3.4=-39.304∵，，|-42|＞-39.304，∴-42＜-39.304，即-3.4，故答案为①<；②<.【点睛】此题考查实数大小比较，解题关键在于掌握运算法则.【答案】【分析】分两种情况讨论，若x、y均大于0和若x、y均小于0，再化简，即可求解．【详解】解：若x、y均大于0，则原式＝x•+y•＝若x、y均小于0，则原式＝﹣x•﹣y•＝﹣；综上，原式的值为．故答案为：【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．【答案】1【详解】解：a，小数部分为b，∴a=1，1，1)=1．故答案为：1【答案】【分析】先把各根式化简，然后进行合并即可得到结果． 【详解】解：原式=故答案为：【点睛】本题主要考查二次根式的加减，解题的关键是熟练掌握二次根式的加减运算法则，比较简单． 【答案】30a −<≤【分析】根据被开方数魏非负数，分母不为零得到不等式组即可求解.【详解】依题意可得030a a −≥⎧⎨+⎩＞，解得30a −<≤， 故填：30a −<≤.【点睛】此题主要考查实数的性质，解题的关键是根据题意列出不等式组.【分析】根据m 、0n <，再根据二次根式的性质即可化简求解. 【详解】∵m 、0n <∴m n ＞0，nm ＞0，故2222−−故填：−【点睛】此题主要考查实数的运算，解题的关键是熟知二次根式的性质. 【答案】2【分析】根据最简二次根式的定义得到二元一次方程组，即可求解.【详解】解依题意21325x yx y x y−⎧⎨−−⎩＝＋＝＋，解得2xy⎧⎨⎩＝＝，故填2.【点睛】点评：本题考查了同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式叫同类二次根式．【答案】【分析】（1）根据二次根式的性质即可求解.（2）根据最简二次根式的化简即可求解.=【点睛】此题主要考查二次根式的性质，解题的关键是熟知二次根式的运算法则与性质.【答案】(==cm）．故答案为：【点睛】本题考查了二次根式的加法，解题的关键是先把每一个二次根式化简．三、解答题【答案】【分析】根据幂的乘方，底数不变指数相乘；分数指数幂1na=1，同底数幂相乘，底数不变指数相加；计算求值即可．【详解】解：原式=()()1431511433323232222122−+−⨯⨯⨯===【点睛】本题考查了乘方的运算法则，分数指数幂，二次根式求值，掌握相关运算规则是解题关键．【答案】32【分析】利用完全平方公式将已知整式变形，进而将已知代入求出即可．【详解】因为1122x y ==所以x y −=12xy =， 所以原式=222112()3322x xy y xy x y xy −++=−+=+=.【点睛】此题考查二次根式的化简求值，解题关键在于掌握运算法则.【答案】不正确，【分析】根据二次根式被开方数为非负数即可判断求解过程为错误的，再根据二次根式的性质即可求解.【详解】不正确. 正确解答为：∵20y x −≥且20x y −≥， ∴0x <且0y <.∴原式==. 【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知二次根式被开方数为非负数.【答案】(1) a b a b +−；（2）【分析】先对所求的分式进行化简，然后再把已知条件代入求值．【详解】原式2==a ba b +=−.当4a =4b =原式==【点睛】此题考查二次根式的化简求值，解题关键在于掌握运算法则.【答案】4x+2，22【分析】先将所给的二次根式化简，然后根据二次根式的性质得出a 和x 的值，代入计算即可．【详解】原式+=22+2(1)242x x x ++=+．∵5x =，∴2 008-20a ≥且-1 0040a ≥，解得 1 004a =，∴5x =，∴原式=4x+2=22．【答案】（1）83x −≤≤；（2）x=25或2．【分析】（1）根据二次根式的被开方数为非负数，列不等式组求解；（2）根据a 、b 、c 分别作直角三角形的斜边，由勾股定理分别求解．【详解】解：（1）由二次根式的性质，得8034020x x x −≥⎧⎪+≥⎨⎪+≥⎩ , 解得483x −≤≤；（2）当c 为斜边时，由a2+b2=c2，即8-x+3x+4=x+2，解得x=-10，当b 为斜边时，a2+c2=b2，即8-x+x+2=3x+4，解得x=2，当a 为斜边时，b2+c2=a2，即3x+4+x+2=8-x ，解得x=25 ∵483x −≤≤∴x=25或2．【点睛】在没有指定直角三角形的斜边的情况下，注意分类讨论．【答案】【分析】先化简，再把a 、b 的值代入计算即可．【详解】∵ a ＝2b ＝2∴a ＋b ＝4，a －b ＝ab ＝1， 而a b b a −＝22()()a b a b a b ab ab −+−=∴a b b a −＝()()a b a b ab +−＝＝【答案】【分析】先进行二次根式的化简，然后按照二次根式的运算法则求解.【详解】解：原式=（﹣（【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，在进行此类运算时，一般先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算．【答案】1【分析】根据已知和二次根式的性质求出x、y的值，把原式根据二次根式的性质进行化简，把x、y的值代入化简后的式子计算即可．【详解】解：1-8x≥0，x≤1 88x-1≥0，x≥1 8，∴x=18，y=12，∴原式532-==1 222．【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，把已知条件求出x、y，把要求的代数式进行正确变形是解题的关键，注意因式分解在化简中的应用．。
八年级初二数学 二次根式知识点及练习题附解析
八年级初二数学 二次根式知识点及练习题附解析一、选择题1．下列根式是最简二次根式的是（ ）ABCD．2．下列各式计算正确的是（ ）A=B．2=C=D=3．若01x <<=( ). A ．2x B ．2x- C ．2x - D ．2x4．下列计算正确的是（ ） ABCD5．下列各式中，运算正确的是（ ）A＝﹣2 B＋C4 D ．＝26．当12x =时，多项式()20193419971994x x --的值为( ). A ．1B ．1-C ．20022D ．20012- 7．如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是（ ）123A ．BC ．D8．实数a ，b ，c ，满足|a |+a =0，|ab |=ab ，|c |-c =0，a +b |+|a -c|-（ ）A ．2c -bB ．2c -2aC ．-bD ．b9．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）ABCD10．下列计算正确的是（ ）A ．235+=B ．2332-=C ．()222=D ．393= 11．下列运算正确的是（ ） A ．826-= B ．222+= C ．3515⋅= D ．2739÷=12．下列计算正确的是（ ）A ．234265+=B ．842=C ．2733÷= D ．2(3)3-=- 二、填空题13．已知112a b +=，求535a ab b a ab b++=-+_____． 14．能力拓展： 11:2121A -=+；21:3232A -=+；31:4343A -=+；4:54A -=________．…n A ：________．()1请观察1A ，2A ，3A 的规律，按照规律完成填空．()2比较大小1A 和2A∵32+________21+ ∴132+________121+ ∴32-________21-()3同理，我们可以比较出以下代数式的大小：43-________32-；76-________54-；1n n +-________1n n --15．对于任何实数a ，可用[a]表示不超过a 的最大整数，如[4]=4，[3]=1．现对72进行如下操作：72 [72]=8 [8]=2 2]=1，类似地，只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是________．16．把31a-根号外的因式移入根号内，得________ 17．若2x ﹣3x 2﹣x=_____．18．3x -x 的取值范围是______． 19．如果332y x x --，那么y x =_______________________．20．若a 、b 都是有理数，且2222480a ab b a -+++=ab ．三、解答题21．计算：（1（2）)((222+-+．【答案】(1)【分析】（1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可；（2）根据平方差公式化简，再化简、合并同类二次根式即可.【详解】（1==（2）)((222+-+=2223--+ =5-4-3+2=022．计算 (1)2213113a a a a a a +--+-+-;(2)已知a 、b +b ＝0.求a 、b 的值(3)已知abc ＝1，求111a b c ab a bc b ac c ++++++++的值【答案】（1）22223a a a ----；（2）a =－3，b ；（3）1. 【分析】（1）先将式子进行变形得到()()113113a a a a a a +--+-+-，此时可以将其化简为1113a a a a ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭，然后根据异分母的加减法法则进行化简即可；（2）根据二次根式及绝对值的非负性得到2a +6=0，b =0，从而可求出a 、b ； （3）根据abc ＝1先将所求代数式转化：11b ab ab bc b abc ab a ab a ==++++++，2111c abc ac c a bc abc ab ab a ==++++++，然后再进行分式的加减计算即可. 【详解】解：（1）原式=()()113113a a a a a a +--+-+- =1113a a a a ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭ =1113a a --+- =()()()()3113a a a a -++-+- =22223a a a ----；（20b =，∴2a +6=0，b =0，∴a =－3，b ；（3）∵abc ＝1， ∴11b ab ab bc b abc ab a ab a ==++++++，2111c abc ac c a bc abc ab ab a ==++++++， ∴原式=1111a ab ab a ab a ab a ++++++++ =11a ab ab a ++++ =1.【点睛】本题考查了分式的化简求值和二次根式、绝对值的非负性，分式中一些特殊求值题并非一味的化简，代入，求值，熟练掌握转化、整体思想等解题技巧是解答这类题目的关键.23．计算：（1﹣（2） （3）244x -﹣12x -．【答案】（1）2（3）-12x + 【解析】 分析：（1）根据二次根式的运算，先把各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可；（2）根据乘法的分配律以及二次根式的性质进行计算即可；（3）根据异分母的分式的加减，先因式分解，再通分，然后按同分母的分式进行加减计算，再约分即可.详解：（1（2）（3）24142x x --- =41(2)(2)2x x x -+-- = 42(2)(2)(2)(2)x x x x x +-+-+- =2(2)(2)x x x -+- =12x -+ 点睛：此题主要考查了二次根式的运算和分式的加减运算，熟练应用运算法则和运算律以及二次根式的性质进行计算是解题关键.24．已知x=2，求代数式（7+x 2+（2）x【答案】2【解析】试题分析：先求出x 2，然后代入代数式，根据乘法公式和二次根式的性质，进行计算即可.试题解析：x 2=（2）2=7﹣则原式=（7﹣+（2=49﹣25．）÷）（a ≠b ）．【答案】－+a b【解析】试题分析：先计算括号内的，然后把除法转化为乘法，约分即可得出结论．试题解析：解：原式＝a ab b aba b++-+÷()()()()()()a a ab b b a b a b a bab a b a b--+-+-+-＝a b+÷()()2222a a ab b ab b a bab a b a b----++-＝a b+·()()()ab a b a bab a b-+-+＝－a b+．26．先化简，再求值：a+212a a-+，其中a＝1007．如图是小亮和小芳的解答过程．（1）的解法是错误的；（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：；（3）先化简，再求值：269a a-+a＝﹣2018．【答案】（1）小亮（22a（a＜0）（3）2013.【解析】试题分析：（12a，判断出小亮的计算是错误的；（22a的应用错误；（3）先根据配方法把被开方数配成完全平方，然后根据正确的性质化简，再代入计算即可.试题解析：（1）小亮（22a（a＜0）（3）原式＝()23a-a+2（3-a）＝6-a=6-（-2007）＝2013.27．计算123-(2)263；212121335(4)1(123)622【答案】（1）2）9-；（3）1；（4）【分析】（1）根据二次根式的性质和绝对值的代数意义进行化简后合并即可；（2）根据完全平方公式进行计算即可；（3）根据二次根式的乘除法法则进行计算即可；（4）先进行乘法运算，再合并即可得到答案．【详解】解：==2(2)-=22=63-=9-=1；(4)===【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．28．观察下列一组等式，然后解答后面的问题=，1)1=，1=，1=⋯⋯1（1）观察以上规律，请写出第n个等式：(n为正整数）．（2（3【答案】（1）1=；（2）9；（3【分析】(1)根据规律直接写出,(2)先找出规律，分母有理化，再化简计算.(3)先对两个式子变形，分子有理化，变为分子为1，再比大小.【详解】解：（1）根据题意得：第n个等式为1=；故答案为1=；（2）原式111019==-=；-==，（3<∴>．【点睛】本题是一道利用规律进行求解的题目，解题的关键是掌握平方差公式.29．计算：（1（2|a﹣1|，其中1＜a【答案】（1）1；（2）1【分析】（1）根据二次根式的乘法法则计算；（2）由二次根式的非负性，a的取值范围进行化简．【详解】解：（1－1＝2－1＝1（2）∵1＜a，a﹣1＝2﹣a＋a﹣1＝1．【点睛】本题考查二次根式的性质、二次根式的乘法法则，主要检验学生的计算能力．30．已知x²+2xy+y²的值.【答案】16【解析】分析：（1）根据已知条件先计算出x+y=4，再利用完全平方公式得到x²+2xy+y²=（x+y）²，然后利用整体代入的方法计算．本题解析：∵x² +2xy+y² =(x+y)²，∴当∴x²+2xy+y²=(x+y)²=(2−=16.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】可以根据最简二次根式的定义进行判断．【详解】A，原根式不是最简二次根式；B=，原根式不是最简二次根式；C2=⨯=D、=42故选B．【点睛】本题考查最简二次根式的定义，熟练掌握最简二次根式的定义及二次根式的化简方法是解题关键．2．C解析：C【分析】计算出各个选项中的正确结果，即可得到哪个选项是正确【详解】A错误；∵2+B错误；=，故选项C正确；=2，故选项D 错误. 故选C.【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是明确二次根式的混合运算的计算方法．3．D解析：D【分析】根据二次根式的意义先化简各项，再进行分式的加减运算可得出解.【详解】解：∵0＜x ＜1，∴0＜x ＜1＜1x ， ∴10x x +>，10x x-<．原式=11x x x x +-- =11x x x x++- =2x ．故选D ．点睛：本题考查了二次根式的性质和绝对值化简，也考查了分式的加减.4．A解析：A【解析】分析：根据二次根式的加、减、乘、除的法则计算逐一验证即可.详解： , 此选项正确;≠此选项错误;, 此选项错误;，此选项错误.故选A.点睛：本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键.5．C解析：C【分析】根据二次根式的性质对A 进行判断；根据二次根式的加减法法则对B 、D 进行判断；根据二次根式的乘法法则对C 进行判断．【详解】A 、原式＝2，故该选项错误；B ＝，故该选项错误；C 4，故该选项正确；D故选：C ．【点睛】此题主要考查了二次根式的运算及性质，熟练掌握二次根式乘法、性质及加减法运算法则是解题关键．6．B解析：B【解析】【分析】由原式得()2211994x -=，得244+11994x x -=，原式变形后再将244+11994x x -=代和可得出答案.【详解】∵12x +=， ()2211994x ∴-=，即24419930x x --=，()()32241997199444199344199311x x x x x x x ∴--=--+---=-．∴原式()201911=-=-．【点睛】本题难度较大，需要对要求的式子进行变形，学会转化. 7．B解析：B【解析】【分析】由图形可知，第n (n =案．【详解】由图形可知，第n (n =∴第8=，则第9行从左至右第5=，【点睛】本题主要考查数字的变化类，解题的关键是根据题意得出第n行最后一个数为8．D解析：D【解析】解：∵|a|+a=0，∴|a|=﹣a，∴﹣a≥0，∴a≤0，∵|ab|=ab，∴ab≥0，∴b≤0，∵|c|﹣c=0，∴| c|=c，∴c≥0，∴原式=﹣b+（a+b）﹣（a﹣c）﹣（c﹣b）=b．故选D．9．B解析：B【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【详解】解：A、被开方数含分母，故A错误；B、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故B正确；C、被开方数含能开得尽方的因数，故C错误；D、被开方数含分母，故D错误；故选B．【点睛】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．10．C解析：C【分析】根据立方根、二次根式的加减乘除运算法则计算．【详解】A、非同类二次根式，不能合并，故错误；B、=C、22=，正确；D故选C．【点睛】本题考查二次根式、立方根的运算法则，熟练掌握基本法则是关键．11．C【分析】根据二次根式的减法法则对A进行判断；根据二次根式的加法法则对B进行判断；根据二次根式的乘法则对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．【详解】解：A=，所以A选项错误；B=B选项错误；C=C选项正确；D3=，所以D选项错误．故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．12．C解析：C【分析】根据合并二次根式的法则、二次根式的性质、二次根式的除法法则即可判定．【详解】A、A错误；B=B错误；C3=，故选项C正确；=，故选项D错误；D3故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．二、填空题13．13【解析】【分析】由得a+b=2ab，然后再变形，最后代入求解即可.解：∵∴a+b=2ab∴故答案为13.【点睛】本题考查了已知等式求代数式的值，解答的关键是通过变形找解析：13【解析】【分析】 由112a b +=得a+b=2ab ，然后再变形535a ab b a ab b++-+，最后代入求解即可. 【详解】 解：∵112a b+= ∴a+b=2ab ∴()5353510ab 3===132ab a b ab a ab b ab a ab b a b ab ab+++++-++-- 故答案为13.【点睛】 本题考查了已知等式求代数式的值，解答的关键是通过变形找到等式和代数式的联系. 14．(1)、；(2);(3)【解析】【分析】（1）观察A1，A2，A3的规律可知将等式的右边乘以分母的有理化分式，即可得到左边的代数式；（2）先根据不等式的性质等式的两边同时加上或減去一个数，等解析：(1)=；(2),,><<;(3) ,,<<< 【解析】【分析】（1）观察A 1，A 2，A 3的规律可知将等式的右边乘以分母的有理化分式，即可得到左边的代数式；（2）先根据不等式的性质等式的两边同时加上或減去一个数，等式仍成立，求得>1）的结论解答；（3）利用（2）的结论进行填空.【详解】解：（1）观察A 1，A 2，A 3的规律可知，将等式右边的分式分母有理化，即得等式左边的代数式，所以=，（2>1>>，<<（3）由（1）、（2<，故答案为：=；(2),,><<;(3),,<<< 【点睛】 主要考查二次根式的有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同.15．255【解析】解：∵[]=1，[]=3，[]=15，所以只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255．故答案为255．点睛：本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和 解析：255【解析】解：]=1，=3，=15，所以只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255．故答案为255．点睛：本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和逆推思维能力．16．【分析】根据被开方数大于等于零，可得出，再根据二次根式的性质进行计算即可．【详解】∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查的知识点是二次根式的性质与化简，掌握二次根式的基本性质解析：a 【分析】根据被开方数大于等于零，可得出0a <，再根据二次根式的性质进行计算即可．【详解】 解：∵310a-≥， ∴0a <，∴===故答案为：a ． 【点睛】本题考查的知识点是二次根式的性质与化简，掌握二次根式的基本性质是解此题的关键．17．【解析】【分析】根据完全平方公式以及整体的思想即可求出答案．【详解】解：∵2x﹣1= ，∴（2x ﹣1）2=3∴4x2﹣4x+1=3∴4（x2﹣x ）=2∴x2﹣x=故答案为【点 解析：12【解析】【分析】 根据完全平方公式以及整体的思想即可求出答案．解：∵2x ﹣，∴（2x ﹣1）2=3∴4x 2﹣4x+1=3∴4（x 2﹣x ）=2∴x 2﹣x=12故答案为12【点睛】 本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．18．且【分析】根据分式的分母不能为0、二次根式的被开方数大于或等于0列出式子求解即可得．【详解】由题意得：，解得且，故答案为：且．【点睛】本题考查了分式和二次根式有意义的条件，熟练掌握分解析：3x ≤且2x ≠-【分析】根据分式的分母不能为0、二次根式的被开方数大于或等于0列出式子求解即可得．【详解】由题意得：2030x x +≠⎧⎨-≥⎩， 解得3x ≤且2x ≠-，故答案为：3x ≤且2x ≠-．【点睛】本题考查了分式和二次根式有意义的条件，熟练掌握分式和二次根式的定义是解题关键．19．【分析】根据二次根式的有意义的条件可求出x ，进而可得y 的值，然后把x 、y 的值代入所求式子计算即可．【详解】解：∵x－3≥0，3－x≥0，∴x=3，∴y=﹣2，故答案为：．【点睛】 解析：19【分析】根据二次根式的有意义的条件可求出x ，进而可得y 的值，然后把x 、y 的值代入所求式子计算即可．【详解】解：∵x －3≥0，3－x ≥0，∴x =3，∴y =﹣2， ∴2139y x -==． 故答案为：19． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件和负整数指数幂的运算，属于常考题型，熟练掌握基本知识是解题的关键．20．【分析】先将原等式两边同时乘2，然后将左侧配方，然后利用平方的非负性即可求出a 和b 的值，然后代入即可．【详解】解：∵∴∴∴∵∴解得：a=-4，b=-2∴=故答案为：．【点睛解析：【分析】先将原等式两边同时乘2，然后将左侧配方，然后利用平方的非负性即可求出a 和b 的值，然后代入即可．【详解】解：∵2222480a ab b a -+++=∴222448160a ab b a -+++=∴()()222448160a ab ba a -+++=+ ∴()()22240ab a +-+=∵()()2220,40a b a +-≥≥∴20,40a b a +-==解得：a=-4，b=-2=故答案为：【点睛】此题考查的是配方法、非负性的应用和化简二次根式，掌握完全平方公式、平方的非负性和二次根式的乘法公式是解决此题的关键．三、解答题21．无22．无23．无24．无25．无26．无27．无28．无29．无30．无。
二次根式知识点总结及单元测试卷
二次根式知识点总结【知识回顾】1、二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。
2、最简二次根式：必须同时满足下列条件： （1）被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； （2）被开方数中不含分母； （2）分母中不含根式。
3、同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
4、二次根式的性质：（1）（a ）2=a （a ≥0）； （2）==a a 2 5、二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术平方根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面。
（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式。
（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式。
b a ab ⋅=（a ≥0，b ≥0）；aba b =（b ≥0，a>0） （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算。
a （a ＞0）a -（a ＜0）0 （a =0）；【典型例题】● 概念与性质 例1、下列各式①51、②5-、③22+x 、④4、⑤2)31(-、⑥a -1、⑦122+-a a ， 其中是二次根式的是_________（填序号）。
例2、求下列二次根式中字母的取值范围（1）xx --+315；（2）2)2(-x 例3、 在根式①22b a +、②5x、 ③xy x -2、④abc 27，最简二次根式是（ ） A ．①②B ．③④C ．①③D ．①④例4、已知：211881+-+-=x x y ，求代数式22-+-++xyy x x y y x 的值。
例5、已知数a ，b ，若a b b a -=-2)(，则 ( )A. a>bB. a<bC. a ≥bD. a ≤b● 二次根式的化简与计算例1. 将a a 1-根号外的a 移到根号内，得 ( ) A.a -B. a --C. a -D.a例2. 把（a －b ）－1a －b化成最简二次根式。
二次根式难题及答案
二次根式难题及答案【篇一：二次根式提高练习习题(含答案)】判断题：（每小题1分，共5分）21．(?2)ab＝－2ab．???????（）2．－2的倒数是3＋2．（）23．(x?1)＝(x?1)2．?（）4．ab、5．8x，13a3b、?2a是同类二次根式．?（） xb1，9?x2都不是最简二次根式．（） 31有意义． x?3（二）填空题：（每小题2分，共20分）6．当x__________时，式子7．化简－15828．a－a2?1的有理化因式是____________． 9．当1＜x＜4时，|x－4|＋x2?2x?1＝________________．ab?c2d2ab?cd2210．方程2（x－1）＝x＋1的解是____________． 11．已知a、b、c为正数，d为负数，化简12．比较大小：－＝______．127_________－14．y?3＝0，则(x－1)2＋(y＋3)2＝____________．15．x，y分别为8－的整数部分和小数部分，则2xy－y2＝____________．（三）选择题：（每小题3分，共15分）16．已知x3?3x2＝－xx?3，则??????（）（a）x≤0（b）x≤－3（c）x≥－3（d）－3≤x≤0222217．若x＜y＜0，则x?2xy?y＋x?2xy?y＝?????????（）（a）2x（b）2y（c）－2x（d）－2y 18．若0＜x＜1，则(x?)?4－(x?（a）1x212)?4等于?????????（） x22（b）－（c）－2x（d）2x xx?a3(a＜0)得????????????????????????（） 19．化简a（a）?a（b）－a（c）－?a（d）a20．当a＜0，b＜0时，－a＋2ab－b可变形为???????????????（）（a）(a?b)2 （b）－(a?b)2 （c）(?a??b)2 （d）(?a??b)2（四）计算题：（每小题6分，共24分）21．（5??2）（5?3?2）；22．54?－42－；?73?23．（a2abn－mmmn＋n24．（a＋a?babb?ababab?bab?aa?（五）求值：（每小题7分，共14分）x3?xy23?2?25．已知x＝，y＝，求4的值． 3223xy?2xy?xy3?2?226．当x＝1－2时，求xx?a?xx?a2222＋2x?x2?a2x?xx?a222＋1x?a22的值．六、解答题：（每小题8分，共16分）27．计算（2＋1）（1111＋＋＋?＋）．1?22??4?28．若x，y为实数，且y＝?4x＋4x?1＋（一）判断题：（每小题1分，共5分）1xyxy．求?2?－?2?的值． 2yxyx2、【提示】1?23?4?223、(x?1)＝|x－1|，（x≥1）．两式相等，必须x≥1．但等式左边x 可取任何数．【答(x?1)2＝x－113a3b、?2a化成最简二次根式后再判断．【答案】√． xb6、【提示】x何时有意义？x≥0．分式何时有意义？分母不等于零．【答案】x≥0且x≠9．7、【答案】－2aa．【点评】注意除法法则和积的算术平方根性质的运用．8、【提示】（a－a2?1）（________）＝a2－(a2?1)2．a＋a2?1．【答案】a＋a2?1． 9、【提示】x2－2x＋1＝（）2，x－1．当1＜x＜4时，x－4，x－1是正数还是负数？x－4是负数，x－1是正数．【答案】3． 10、【提示】把方程整理成ax＝b的形式后，a、b分别是多少？2?1，2?1．【答案】x＝3＋22． 11、【提示】c2d2＝|cd|＝－cd．【答案】ab＋cd．【点评】∵ ab＝(ab)2（ab＞0），∴ ab－c2d2＝（ab?cd）（ab?cd）． 12、【提示】27＝28，43＝48．【答案】＜．【点评】先比较28，48的大小，再比较－111，的大小，最后比较－与2848281的大小． 48【点评】注意在化简过程中运用幂的运算法则和平方差公式． 14、【答案】40．【点评】x?1≥0，y?3≥0．当x?1＋y?3＝0时，x＋1＝0，y－3＝0．15、【提示】∵ 3＜＜4，∴ _______＜8－＜__________．[4，5]．由于8－介于4与5之间，则其整数部分x＝？小数部分y＝？[x＝4，y＝4－]【答案】5．【点评】求二次根式的整数部分和小数部分时，先要对无理数进行估算．在明确了二次根式的取值范围后，其整数部分和小数部分就不难确定了．（三）选择题：（每小题3分，共15分） 16、【答案】d．【点评】本题考查积的算术平方根性质成立的条件，（a）、（c）不正确是因为只考虑了其中一个算术平方根的意义． 17、【提示】∵ x＜y＜0，∴ x－y＜0，x＋y＜0．∴x2?2xy?y2＝(x?y)2＝|x－y|＝y－x．x2?2xy?y2＝(x?y)2＝|x＋y|＝－x－y．【答案】c．【点评】本题考查二次根式的性质a2＝|a|．18、【提示】(x－12111)＋4＝(x＋)2，(x＋)2－4＝(x－)2．又∵ 0＜x＜1， xxxx11∴ x＋＞0，x－＜0．【答案】d．xx【点评】本题考查完全平方公式和二次根式的性质．（a）不正确是因为用性质时没有注意当0＜x＜1时，x－1＜0． x19、【提示】?a3＝?a?a2＝?aa2＝|a|?a＝－a?a．【答案】c． 20、【提示】∵ a＜0，b＜0，∴－a＞0，－b＞0．并且－a＝(?a)2，－b＝(?b)2，ab＝(?a)(?b)．【答案】c．【点评】本题考查逆向运用公式(a)2＝a（a≥0）和完全平方公式．注意（a）、（b）不正确是因为a＜0，b＜0时，a、b都没有意义．（四）计算题：（每小题6分，共24分）21、【提示】将?看成一个整体，先用平方差公式，再用完全平方公式．【解】原式＝(5?)2－(2)2＝5－2＋3－2＝6－2． 22、【提示】先分别分母有理化，再合并同类二次根式．【解】原式＝5(4?)4(?)2(3?)－－＝4＋－－－3＋7＝1．16?1111?79?7abnm1nm－）22 mn＋mmnabmn1nnmmmm?－? mn?＋22mabmabmnnnn11a2?ab?1－＋＝． aba2b2a2b223、【提示】先将除法转化为乘法，再用乘法分配律展开，最后合并同类二次根式．【解】原式＝（a21b21＝2b＝【解】原式＝24、【提示】本题应先将两个括号内的分式分别通分，然后分解因式并约分．a??b?abaa(a?)?b(a?b)?(a?b)(a?b)a?bab(a?)(a?b)a?ba2?aab?bab?b2?a2?b2a?bab(a?)(a?b)＝a?bab(a?b)(a?)＝－?．a?b?ab(a?b)【点评】本题如果先分母有理化，那么计算较烦琐．（五）求值：（每小题7分，共14分） 25、【提示】先将已知条件化简，再将分式化简最后将已知条件代入求值．【解】∵ x＝3?2＝(3?2)2＝5＋2，3?23?2y＝＝(3?2)2＝5－26．3?2∴ x＋y＝10，x－y＝46，xy＝52－(26)2＝1．2x(x?y)(x?y)x?y46x3?xy26．＝＝＝＝2243223xy(x?y)xy(x?y)1?105xy?2xy?xy【点评】本题将x、y化简后，根据解题的需要，先分别求出“x＋y”、“x－y”、“xy”．从而使求值的过程更简捷．26、【提示】注意：x2＋a2＝(x2?a2)2，∴ x2＋a2－xx2?a2＝x2?a2（x2?a2－x），x2－xx2?a2＝－x （x2?a2－x）．【解】原式＝xx?a(x?a?x)2222－2x?x2?a2x(x?a?x)22＋1x?a22＝x2?x2?a2(2x?x2?a2)?x(x2?a2?x)xx?a(x?a?x)xx2?a2(x2?a2?x)2222222222222＝x?2xx?a?(x?a)?xx?a?x=(x2?a2)2?xx2?a2＝xx2?a2(x2?a2?x)x2?a2(x2?a2?x) xx2?a2(x2?a2?x)11．当x＝1－2时，原式＝＝－1－2．【点评】本题如果将前两个“分式”分拆成两个“分x1?2122x式”之差，那么化简会更简便．即原式＝－2x?x?a＋22222222x?ax?a(x?a?x)x(x?a?x)11111＝(＝1． ?)＋?)－(2xx?a2?xxx2?a2x2?a2?xx2?a2＝六、解答题：（每小题8分，共16分） 27、【提示】先将每个部分分母有理化后，再计算．【解】原式＝（25＋1）（2?13?24??＋＋＋?＋） 2?13?24?3100?99＝（25＋1）[（2?1）＋（?2）＋（4?）＋?＋（?）]＝（25＋1）（00?1）＝9（25＋1）．【点评】本题第二个括号内有99个不同分母，不可能通分．这里采用的是先分母有理化，将分母化为整数，从而使每一项转化成两数之差，然后逐项相消．这种方法也叫做裂项相消法．1?x???1?4x?0?4]28、【提示】要使y有意义，必须满足什么条件？[? ]你能求出x，y的值吗？[?14x?1?0.??y?.?2?1?x???1?4x?0111?4【解】要使y有意义，必须[?，即?∴ x＝．当x＝时，y＝．442?4x?1?0?x?1.?4?又∵xxyxy??2?－?2?＝(yyxyxy2－xy2 )(?)xyx【篇二：二次根式及经典习题及答案】>知识点一：二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。
专题6二次根式易错题疑难题综合拓展题及2022中考真题集训(解析版)
专题6 二次根式易错题疑难题综合拓展题及2022中考真题集训类型一 易错题：教材易错易混题集训易错点1 考虑问题不全面典例1（2021春•+x 的取值范围是（ ）A ．x ＞﹣2B ．x ≥3C ．x ≥3且x ≠﹣2D ．x ≥﹣2思路引领：根据二次根式有意义的条件即可求出答案．解：由题意可知：x ―3≥0x +2＞0，解得：x ≥3，故选：B ．总结提升：本题考查二次根式以有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式的条件，本题属于基础题型．变式训练1．（2019•x 应满足的条件是（ ）A ．x ≠3B ．x ≤―13C ．x ≥―13且x ≠3D ．x ＞―13且x ≠3思路引领：根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．解：由题意得，1+3x ≥0，x ﹣3≠0，解得，x ≥―13且x ≠3，故选：C ．总结提升：本题考查的是二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分式分母不为0是解题的关键．易错点2 (0)a a =³时，忽略a ≥0典例2（2022春•乐陵市期末）先阅读材料，然后回答问题．（1经过思考，小张解决这个问题的过程如下：===在上述化简过程中，第 ④ 步出现了错误，化简的正确结果为 （2思路引领：（1|a |即可进行判断；（2）把被开方数化成完全平方的形式，然后利用二次根式的性质即可化简求解．解：（1）在化简过程中④故答案是：④―（2）原式====总结提升：本题考查了二次根式的化简求值，正确把被开方数化成完全平方的形式是本题的关键．变式训练1= ．思路引领：根据二次根式的性质和完全平方公式化简即可．===―1，―1．总结提升：本题考查了二次根式的性质和化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．2．对于题目：“化简并求值：1a+a =15”，甲、乙两人的解答不同．甲的解答是：1a 1a +1a ―a =2a―a =495，乙的解答是：1a 1a +a ―1a =a =15．阅读后你认为谁的解答是错误的？为什么？思路引领：已知二次根式具有双重非负性，即被开方数为非负数，二次根式的值为非负数，已知a =15，故可得1a ―a ＝5―15＞01a―a ，再对待求式进行化简求值即可解答题目．解：乙错误，理由如下：1a +=1a +=1a +|1a―a |．∵a =15，∴1a―a ＝5―15=245＞0，∴|1a ―a |=1a―a ，1a +1a +1a ―a =2a ―a =495．故乙的解答是错误的．总结提升：本题考查分式的化简求值，正确进行计算是解题关键．易错点3 忽视二次根式的隐含条件典例3阅读下列解答过程，判断是否正确．如果正确，请说明理由；如果不正确，请写出正确的解答过程．已知a ―a （a ﹣1思路引领：先根据二次根式有意义的条件求出a 的取值范围，再进行化简．解：不正确，∵﹣a 3＞0，∴a ＜0，―＝﹣＝（﹣a+1总结提升：本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简是解题的关键．变式训练1．（2022秋•长安区期中）求代数式a+a＝﹣2022．下面是小芳和小亮的解题过程，都是把含有字母式子先开方再进行运算的方法，请认真思考、理解解答过程，回答下列问题．小芳：解：原式＝a=a+1﹣a＝1小亮：解：原式＝a=a+a﹣1＝﹣4045（1） 的解法是错误的；（2）求代数式a a＝4―思路引领：（1）根据题意得到a﹣1＜0，根据二次根式的性质计算即可；（2）根据二次根式的性质把原式化简，代入计算即可．解：（1）∵a＝﹣2022，∴a﹣1＝﹣2022﹣1＝﹣2023＜0，1﹣a，∴小亮的解法是错误的，故答案为：小亮；（2）∵a＝4∴a﹣3＝4――3＝1―0，3﹣a，则a＝a＝a+2（3﹣a）＝6﹣a，当a＝4―6﹣（4―2+总结提升：=|a|是解题的关键．易错点4 成立的条件是a≥0，b≥0典例4（2022春•⋅x的取值范围是（ ）A．x≥1B．x≥0C．0≤x≤1D．x为任意实数思路引领：根据二次根式有意义的条件列不等式组求解．解：由题意可得x≥0x―1≥0，解得：x≥1，故选：A．总结提升：a≥0）是解题关键．变式训练1．（2021春•―(x x的取值范围是（ ）A．x≥﹣1B．x≥﹣2C．x≤﹣1D．﹣2≤x≤﹣1思路引领：根据二次根式化简与有意义的条件，即可求得：x+1≤0x+2≥0，解此不等式组即可求得答案．=―（x+1∴x+1≤0 x+2≥0，解得：﹣2≤x≤﹣1．故选：D．总结提升：此题考查了二次根式化简与有意义的条件．此题比较简单，注意掌握二次根式有意义的条件．易错点5 运用想当然的运算法则典例5（2021秋•÷解：原式=―①=②=(2―③=④（1）老师认为小明的解法有错，请你指出小明从第 步开始出错的；（2）请你给出正确的解题过程．思路引领：根据二次根式的运算法则即可求出答案．解：（1）③，故答案为：③．（2）原式＝＝―＝总结提升：本题考查二次根式的运算法则，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则．变式训练1．（2022春•―=4．他的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．思路引领：根据二次根式的加减法的法则进行分析即可．解：有错误，＝＝总结提升：本题主要考查二次根式的加减法，解答的关键是对二次根式的加减法的法则的掌握．易错点6 误用乘法公式典例6（2022秋•金水区校级期中）计算：下面是李明同学在解答某个题目时的计算过程，请认真阅读并完成相应任务．222+22+2……第一步＝10……第三步任务一：填空：以上步骤中，从第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ；任务二：请写出正确的计算过程；任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就二次根式运算时还需注意的事项给其他同学提一条建议．思路引领：任务一：利用完全平方公式进行计算即可解答；任务二：先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答；任务三：根据在进行二次根式运算时，结果必须化成最简二次根式，即可解答．解：任务一：填空：以上步骤中，从第一步开始出现错误，这一步错误的原因是完全平方公式运用错误，故答案为：一，完全平方公式运用错误；任务二：222+2﹣[2﹣+2]＝5﹣（6﹣+5）＝5﹣5＝任务三：在进行二次根式运算时，结果必须化成最简二次根式．总结提升：本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．易错点7 运用运算律出现符号错误典例7（2022秋•迎泽区校级月考）下面是小明同学进行实数运算的过程，认真阅读并完成相应的任务：×+1)︸①×︸②第一步―10+2……第二步―8……第三步任务一：以上化简步骤中第一步中：标①的运算依据是 ；标②的运算依据是 （运算律）．任务二：第 步开始出现错误，错误原因是 ，该式运算后的正确结果是 ．思路引领：利用二次根式的性质、二次根式的加减法法则、除法法则计算可得结论．解：任务一、①由②的运算依据是乘法的分配律；故答案为：二次根式的性质．乘法的分配律；任务二、从第二步开始出现错误．×+1)×1―10﹣2―12，故答案为：任务一：二次根式的性质；乘法的分配律．任务二：①12．总结提升：本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质及运算法则是解决本题的关键．变式训练1．（2022春•12(的过程，请认真阅读并完成相应的任务．―12(―12(2第一步―12×―12×第二步第三步第四步=―第五步任务一：小明同学的解答过程从第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ．任务二：请你写出正确的计算过程．思路引领：先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答．解：（1）任务一：小明同学的解答过程从第二步开始出现错误，这一步错误的原因是去括号后，括号内第二项没有变号，故答案为：二；去括号后，括号内第二项没有变号；（2―12(―12(2总结提升：本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．易错点8 滥用运算律典例8（2021秋•迎泽区校级月考）下面是小倩同学进行实数运算的过程，认真阅读并完成相应的任务：÷1 )第一步1⋯第二步+2第三步+2﹣10…第四步―8…第五步任务一：以上化简步骤中第一步化简的依据是 ．任务二：第 二 步开始出现错误，该式运算后的正确结果是 ．思路引领：利用二次根式的性质、二次根式的加减法法则、除法法则计算可得结论．故答案为：二次根式的性质．任务二、从第二步开始出现错误．÷1)÷1）=2+4++52总结提升：本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质及运算法则是解决本题的关键．类型二疑难题：常考疑难问题突破疑难点1 二次根式非负性的应用1．已知实数a 满足|2019﹣a |+a ，求a ﹣20192的值．思路引领：首先由二次根式有意义的条件来去绝对值，得到a ﹣2019a ，由此得到a ﹣20192＝2019．解：∵a ﹣2019≥0，∴a ＞2019．∴由|2019﹣a |+=a 得到a ﹣2019+a ，整理，得a ﹣2019＝20192．∴a ﹣20192＝2019．总结提升：a ≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．疑难点2 整体思想在二次根式中的应用2．（2018春•禹州市期中）已知a =+1，b ―1（a b +b a―1）的值思路引领：先由a 、b 的值计算出ab 、a +b 的值，再代入到原式=•a 2b 2abab a 2得．解：∵a =1，b =―1，∴a +b ＝ab 1）1）＝2，则原式=•a 2b 2ab ab＝总结提升：本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及完全平方公式．3．（1）已知x =x 2﹣2x +5的值；（2）若a ＝2b ＝2，求a思路引领：（1）先把x 2﹣2x +5化简，再代入求值；（2）先把a―解：（1）由x 2+1，∴x 2﹣2x +5+1）2﹣2+1）+5＝―2+5＝7；（2=a =ab a b，当a ＝2+b ＝2―原式=总结提升：先化简再代入，应该是求值题的一般步骤；不化简，直接代入，虽然能求出结果，但往往导致繁琐的运算．疑难点3 判断求知问题4．（2019春•西湖区校级期中）王老师为了解学生掌握二次根式知识的情况，出了这样一道题：“根据所给”粗心的黎明同学把式子看错了，他根据条件得到2”思路引领：2，继而求出答案．解：45﹣x 2﹣（35﹣x 2）＝10，2，5．总结提升：本题考查二次根式的乘除法运算，难度不大，关键是平方差公式的运用．类型三 综合拓展题：思维能力专项特训专题1 二次根式性质的应用1．（2022秋•+|2a ﹣b +1|＝0，则（b ﹣a ）2022＝（ ）A ．﹣1B ．1C ．52022D ．﹣52022思路引领：因为算术平方根具有非负性，在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，若+|2a ﹣b +1|＝0，则a +b +5＝0，2a ﹣b +1＝0，联立组成方程组，解出a 和b 的值即可解答．|2a ﹣b +1|＝0，∴a+b+5=02a―b+1=0，解得a=―2 b=―3，∴（b﹣a）2022＝（﹣3+2）2022＝（﹣1）2022＝1．故选：B．总结提升：本题考查了非负数的性质以及解二元一次方程组，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列出关于a、b的方程是解题的关键．2．已知x、y为实数，且y=+12，求5x﹣3y的值．思路引领：根据二次根式有意义的条件列出不等式，求出x、y的值，计算即可．解：由题意得，3x﹣4≥0，4﹣3x≥0，解得，x=4 3，∴y=1 2，则5x﹣3y＝5×43―3×12=316．总结提升：本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．3．（2022春•大连月考）已知实数a在数轴上的对应点位置如图，则化简|a―1|―（ ）A．2a﹣3B．﹣1C．1D．3﹣2a思路引领：根据数轴上a点的位置，判断出（a﹣1）和（a﹣2）的符号，再根据非负数的性质进行化简．解：由图知：1＜a＜2，∴a﹣1＞0，a﹣2＜0，原式＝a﹣1﹣[﹣（a﹣2）]＝a﹣1+（a﹣2）＝2a﹣3．故选：A．总结提升：此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a﹣1＞0，a﹣2＜0是解题关键．4．当x+6有最小值，最小值为多少？思路引领：≥0，可以得出最小值．0，∴当x =―12时，6有最小值，最小值为6．总结提升：本题考查了算术平方根．解题的关键是掌握算术平方根的非负性．5．（2019秋•渠县校级期中）已知x 、y 、a 满足：+=x 、y 、a 的三条线段组成的三角形的面积．思路引领：直接利用二次根式的性质得出x +y ＝8，进而得出：3x ―y ―a =0x ―2y +a +3=0x +y =8，进而得出答案．解：根据二次根式的意义，得x +y ―8≥08―x ―y ≥0，解得：x +y ＝8，0，根据非负数得：3x ―y ―a =0x ―2y +a +3=0x +y =8，解得：x =3y =5a =4，∴可以组成直角三角形，面积为：12×3×4＝6．总结提升：此题主要考查了二次根式的应用，正确应用二次根式的性质是解题关键．专题2 二次根式大小比较方法1 平方法1．（2022•思路引领：++解：2=202=∴20+故答案为：＜．总结提升：（1）此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．（2）解答此题的关键是比较出两个数的平方的大小关系．方法2 分子有理化法2．认真阅读下列解答过程：比较2―解：∵2―（2―1，=1，又20即22的大小关系．思路引领：认真阅读题目，然后依据题目所给的方法进行比较即可．―2=21，2＞0，＜1．2．总结提升：1，―2=1是解题的关键．方法3 作商法3．利用作商法比较大小思路引领：根据作商比较法，看最后的比值与1的大小关系，从而可以解答本题．=×=1，总结提升：本题考查分母有理化、实数大小的比较，解题的关键是明确作商法比较大小的方法．方法四定义法4思路引领：根据非负数的性质和有理数大小的比较方法即可得到结论．解：∵5﹣a≥0，∴a≤5，∴a﹣6＜0，00，总结提升：本题考查的是实数的大小比较，要善于借助一个中间数作桥梁是解决问题的关键．专题3 二次根式的运算5．（2019秋•皇姑区校级月考）计算：（1）（2）―÷（3）(1―――1)2．（4―11)―20180――2|．思路引领：（1）直接化简二次根式进而合并即可；（2）直接利用二次根式的混合运算法则进而得出答案；（3）直接利用二次根式的混合运算法则计算进而得出答案；（4）直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简进而得出答案．解：（1）原式＝+＝（2）原式＝（＝﹣1；（3）原式=+―（12+1﹣=――＝﹣―（4）原式＝3――1﹣2=总结提升：此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．专题4 二次根式的求值6．（2022秋•宁德期中）已知：x =y =（1）填空：|x ﹣y |＝ ；（2）求代数式x 2+y 2﹣2xy 的值．思路引领：（1）根据二次根式的减法运算法则计算即可．（2）将代数式转化为（x ﹣y ）2，再分别求出x ﹣y 和xy 的值，进而可得答案．解：（1）|x ﹣y |＝||＝+=故答案为：（2）x 2+y 2﹣5xy ＝（x ﹣y ）2，∵x ﹣y =∴（x ﹣y ）2﹣3xy =2=8．即代数式x 2+y 2﹣2xy 的值为8．总结提升：本题考查二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．7．（2020春•川汇区期末）计算题：已知x +1x x ―1x 的值．思路引领：根据平方差公式计算；∵x +1x∴（x +1x）22，∴x 2+2+1x 2=5，∴x 2﹣2+1x 2=5﹣4，∴（x ―1x）2＝1，∴x―1x=±1．总结提升：本题考查的是分式的化简求值、二次根式的乘法，熟记平方差公式、完全平方公式是解题的关键．8．（2017秋•昌江区校级期末）已知正数m、n满足m4n＝3，求值：思路引领：由m4n＝3得出2﹣2﹣3＝0，―13，代入计算即可．解：∵m4n＝3，2+（2﹣23＝0，2﹣2+3＝0，1）+―3）＝0，―1+=3，∴原式=3232012=12015．总结提升：本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的运用及二次根式性质．类型四中考真题：精选2022中考真题过关1．（2022•内蒙古）实数a1+|a﹣1|的化简结果是（ ）A．1B．2C．2a D．1﹣2a思路引领：根据数轴得：0＜a＜1，得到a＞0，a﹣1＜0=|a|和绝对值的性质化简即可．解：根据数轴得：0＜a＜1，∴a＞0，a﹣1＜0，∴原式＝|a|+1+1﹣a＝a+1+1﹣a＝2．故选：B．总结提升：=|a|是解题的关键．2．（2022•安顺）估计（A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间思路引领：直接利用二次根式的性质结合估算无理数的大小方法得出答案．解：原式＝2∵34，∴5＜2+6，故选：B．总结提升：此题主要考查了二次根式的混合运算，估算无理数的大小，正确估算无理数是解题关键．3．（2022•x的取值范围是（ ）A．x＞2B．x＜2C．x≤2D．x≥2思路引领：根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数即可得出答案．解：∵3x﹣6≥0，∴x≥2，故选：D．总结提升：本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件：被开方数是非负数是解题的关键．4．（2022•广州）代数式1有意义时，x应满足的条件为（ ）A．x≠﹣1B．x＞﹣1C．x＜﹣1D．x≤﹣1思路引领：直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案．解：代数式1有意义时，x+1＞0，解得：x＞﹣1．故选：B．总结提升：此题主要考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．5．（2022•聊城）射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式v=a为子弹的加速度，s 为枪筒的长．如果a＝5×105m/s2，s＝0.64m，那么子弹射出枪口时的速度（用科学记数法表示）为（ ）A．0.4×103m/s B．0.8×103m/s C．4×102m/s D．8×102m/s思路引领：把a＝5×105m/s2，s＝0.64m代入公式v=解：v=8×102（m/s），故选：D．总结提升：此题主要考查了二次根式的性质与化简以及科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．6．（2022•x﹣2在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）A．x＞﹣1B．x≥﹣1C．x≥﹣1且x≠0D．x≤﹣1且x≠0思路引领：根据二次根式的被开方数是非负数，a﹣p=1a p（a≠0）即可得出答案．解：∵x+1≥0，x≠0，∴x≥﹣1且x≠0，故选：C．总结提升：本题考查了二次根式有意义的条件，负整数指数幂，掌握二次根式的被开方数是非负数，a﹣p=1a p（a≠0）是解题的关键．7．（2022•荆州）若3―a，小数部分为b，则代数式（2+）•b的值是 ．思路引领：3―a、b的值，代入所求式子计算即可．解：∵12，∴1＜3―2，∵若3―a，小数部分为b，∴a＝1，b＝31＝2∴（2+）•b＝（2+（2―2，故答案为：2．总结提升：本题考查了估算无理数的大小的应用，解题的关键是求出a、b的值．8．（2022•随州）已知m为正整数，=m有最小值3×7＝21．设n1的整数，则n的最小值为 ，最大值为 ．思路引领：n最小为31越小，300 n越小，则n=2时，即可求解．∴n最小为3，1的整数，越小，300n越小，则n 越大，2时，300n=4，∴n ＝75，故答案为：3；75．总结提升：本题考查二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，解题的关键是读懂题意，根据关键词“大于”，“整数”进行求解．9．（2022•遂宁）实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简|a +1|― ．思路引领：根据数轴可得：﹣1＜a ＜0，1＜b ＜2，然后即可得到a +1＞0，b ﹣1＞0，a ﹣b ＜0，从而可以将所求式子化简．解：由数轴可得，﹣1＜a ＜0，1＜b ＜2，∴a +1＞0，b ﹣1＞0，a ﹣b ＜0，∴|a +1|＝a +1﹣（b ﹣1）+（b ﹣a ）＝a +1﹣b +1+b ﹣a＝2，故答案为：2．总结提升：本题考查二次根式的性质与化简、实数与数轴，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．10．（2022•内蒙古）已知x ，y 是实数，且满足y+18，则的值是 ．思路引领：根据负数没有平方根求出x 的值，进而求出y 的值，代入计算即可求出值．解：∵y =18，∴x ﹣2≥0，2﹣x ≥0，∴x ＝2，y =18，则原式==12，故答案为：12总结提升：此题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．11．（2022•济宁）已知a ＝2+b ＝2―a 2b +ab 2的值．思路引领：利用因式分解，进行计算即可解答．解：∵a ＝2b ＝2∴a 2b +ab 2＝ab （a +b ）＝（2+（2（2+2―＝（4﹣5）×4＝﹣1×4＝﹣4．总结提升：本题考查了二次根式的混合运算，代数式求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．12．（2022•河池）计算：|﹣3﹣1―（π﹣5）0．思路引领：先去绝对值，计算负整数指数幂，零指数幂和二次根式乘法，再合并即可．解：原式＝―13―1=23．总结提升：本题考查实数的混合运算，解题的关键是掌握实数相关运算的法则．13．（2022•泰州）（1×（2）按要求填空：小王计算2x x 24―1x 2的过程如下：解：2x x 24―1x 2=2x (x 2)(x 2)―1x 2⋯⋯第一步=2x (x 2)(x 2)―x 2(x 2)(x 2)⋯⋯第二步=2x x2(x2)(x2)⋯⋯第三步=x2(x2)(x2)⋯⋯第四步=1x2．……第五步小王计算的第一步是 （填“整式乘法”或“因式分解”），计算过程的第 步出现错误．直接写出正确的计算结果是 ．思路引领：（1）原式利用二次根式乘法法则计算，合并即可得到结果；（2）观察解题的过程，分析第一步变形的依据，找出出错的步骤，计算出正确的结果即可．解：（1）原式＝＝＝（2）2xx24―1x2=2x(x2)(x2)―1x2=2x(x2)(x2)―x2(x2)(x2)=2x(x2) (x2)(x2)=2x x2 (x2)(x2)=x2(x2)(x2)=1x2，小王计算的第一步是因式分解，计算过程的第三步出现错误．直接写出正确的计算结果是1x2．故答案为：因式分解，三，1x2．总结提升：此题考查了二次根式的混合运算，因式分解﹣运用公式法，以及分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．。
八年级数学下册《二次根式》知识点+解题技巧+章节测试(含答案)
五、求值：（每小题 7 分，共 14 分）
3 2
3 2
x3 xy2
25．已知 x＝
，y＝
，求
的值．
3 2
3 2
x4 y 2x3y2 x2 y3
x
2x x2 a2
1
26．当 x＝1－ 2 时， 求
＋
＋
的值．
x2 a2 x x2 a2 x2 x x2 a2
x2 a2
六、解答题：（共 20 分）
＝______．
ab c2d 2
1
1
12．比较大小：－ _________－ ．
27
43
13．化简：(7－5
2
2018
) ·(－7－5
2
2017
) ＝______________．
14．若
x 1＋
y
3
2
2
＝0，则(x－1) ＋(y＋3) ＝____________．
15．x，y 分别为 8－ 11 的整数部分和小数部分，则 2xy－y2＝____________．
四、巧配方，独占鳌头
例 4. 计算 分析：因为
都有意义，所以
所以
所以
解：原式
五、整体代入，别开生面
例 5. 已知
，求下列各式的值。
（1）
（2）
分析：根据 x、y 值的特点，可以求得
，如果能将所求的值的
式子变形为关于
或 xy 的式子，再代入求值要比直接代入求值简单得多。
解：因为 所以 （1）
（2） （也可以将
1
32
2、【提示】
＝
＝－（ 3 ＋2）．【答案】×．
32 34
3、【提示】 (x 1)2 ＝|x－1|， ( x 1)2 ＝x－1（x≥1）．两式相等，必须 x≥1．但等式左边 x 可取任
二次根式 相关概念难点及答案解析
二次根式16.1二次根式的相关概念16.1.1二次根式的定义一般地，我们把形如______（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号【答案】a16.1.2．二次根式有无意义的条件二次根式有意义：被开方数(式)为______,a有意义______.二次根式无意义：被开方数(式)为______,a无意义______.【答案】非负数;a≥0;负数;a＜0.16.1.3．二次根式的性质在二次根式a中，a的取值必须满足______，即二次根式的被开方数必须是______ a(a≥0)表示非负数a的算术平方根，由算术平方根的定义可知a______0.所以：二次根式a具有______，即a≥0，a≥0【答案】a≥0;非负数;≥；双重非负性.16.2二次根式的乘除法运算16.2.1.二次根式的乘法法则（1）二次根式的乘法法则:______，(a≥0,b≥0)（2）二次根式的乘法法则的逆用:______，(a______0,b______0)（3）二次根式相乘,把______相乘,根______不变（4）注意此法则成立的前提条件是______（5）拓展a b c abc（6）a b c d ______【答案】a b ab，ab a b，≥，≥，被开方数，指数，a≥0,b≥0，ac bd，（3）因为是两个二次根式相除,所以被开方数必须是非负数,又分母不为0所以此法则成立的前提条件是______.【答案】b>016.2.3．同类二次根式某些二次根式化成最简二次根式后，如果______相同，则这样的二次根式可以______.这几个二次根式就叫同类二次根式.【答案】被开方数;合并。
16.2.4．最简二次根式（1）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．被开方数不含______；(2)被开方数中不含能开得尽方的______.（2）在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含______（3）注意：二次根式化成最简二次根式，要注意以下几点：1)被开方数是带分数的要化成______；2)被开方数是小数的要化成______；3)被开方数中含有能开方的因式时，要分解因式并将能开方的因式______；4)化简结果为分数形式时，要保证______和______.【答案】分母;因数或因式;二次根式;假分数;分数;开方;分母中不含根号;根号中不含分母.16.2.5．分母有理化二次根式的除法可以用化去分母中的______的方法来进行，这种化去分母中根号的变形叫做分母有理化分母有理化的方法是根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上______，化去分母中的根号【答案】根号;分母的有理化因式.16.3二次根式的加减法运算16.3.1.同类二次根式的定义:某些二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数______，这几个二次根式就叫______.【答案】相同、同类二次根式16.3.2.二次根式的加减法则：一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成______，再将被开方数相同的二次根式进行合并.【答案】最简二次根式16.3.3.二次根式加减运算的一般步骤：(1)化:将每个二次根式都化成______;(2)找:找出被开方数______的二次根式;(3)合:类似于______同类项,将被开方数相同的二次根式合并成一项.4.二次根式的加减混合运算法则：一般地，二次根式加减混合时，可以先将二次根式化成______，再将被开方数的二次根式（可以看成同类项）按照整式加减混合运算法则进行合并.【答案】最简二次根式、相同、合并、最简二次根式、相同、16.4二次根式的混合运算（1）二次根式的混合运算种类:二次根式的加、减、乘、除、______(或开方)的混合运算.（2）二次根式的混合运算顺序:先______,再______,最后______,有括号的先算里面的(或先去掉括号).与整式的混合运算顺序相同.（3）二次根式的混合运算依据:有理数的运算律(______、______、______)、多项式乘法法则和乘法公式(______、______)在二次根式的运算中仍然适用.【答案】（1）乘方；（2）乘方、乘除、加减、括号；（3）交换律、结合律、分配律、平方差公式、完全平方公式16.5二次根式的大小比较（1）直接估值法：在二次根式______的条件之内，根据二次根式的性质进行大小比较.（2）作差法：就是将比较大小的两个数______，根据所得的差来看两数的大小，也是平时比较大小最常用的方法.视其差值的正负就可以判断它们的大小，若等于零，即说明两者______；若大于零，则说明前者______后者；若小于零，则说明前者______后者.（3）特殊值法就是通过对比较大小的代数式子赋______的方法来确定大小的方法.对于含有字母比较的式子，可以根据实际有意义的条件赋予特殊值比较大小.（4）乘方法是对要比较大小的两个数先______，根据乘方后数的大小来确定原数的大小.1）乘方发适用于一个含根号的数与不含根号的数相比较。
专题02 二次根式综合(压轴33题10个考点)(解析版)
专题02二次根式综合（压轴33题10个考点）一．二次根式的定义（共1小题）1．若是整数，则正整数n的最小值是51．【答案】51．【解答】解：∵204＝4×51，∴，∴，∵是整数，且n是整数，∴n的最小值为：51．故答案为：51．二．二次根式有意义的条件（共3小题）2．使式子有意义的x的取值范围是（）A．x≥﹣1B．﹣1≤x≤2C．x≤2D．﹣1＜x＜2【答案】B【解答】解：根据题意，得，解得，﹣1≤x≤2；故选：B．3．已知|2004﹣a|+＝a，则a﹣20042＝2005．【答案】2005．【解答】解：∵有意义，∴a﹣2005≥0，解得：a≥2005，∴|2004﹣a|+＝a﹣2004+＝a，故＝2004，∴a﹣2005＝20042，∴a﹣20042＝a﹣（a﹣2005）＝a﹣a+2005＝2005．故答案为：2005．4．已知，则x2022y2023＝﹣．【答案】．【解答】解：∵，即，解得：，∴x＝2，∴，∵x2022y2023＝（xy）2022•y，将x＝2，代入，∴x2022y2023＝（xy）2022•y＝[2×（﹣）]2022×（﹣）＝（﹣1）2022×（﹣）＝﹣．故答案为：．三．二次根式的性质与化简（共8小题）5．已知x＜1，则化简的结果是（）A．x﹣1B．x+1C．﹣x﹣1D．1﹣x【答案】D【解答】解：＝＝|x﹣1|∵x＜1，∴原式＝﹣（x﹣1）＝1﹣x，故选：D．6．实数a，b表示的点在数轴上的位置如图，则将化简的结果是（）A．4B．2a C．2b D．2a﹣2b【答案】A【解答】解：由数轴知：﹣2＜a＜﹣1，1＜b＜2，a＜b，∴a+2＞0，b﹣2＜0，a﹣b＜0．∴＝|a+2|+|b﹣2|+|a﹣b|＝a+2+2﹣b+b﹣a＝4．故选：A．7．如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n﹣3）个数是（用含n的代数式表示）（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：由图中规律知，前（n﹣1）行的数据个数为2+4+6+…+2（n﹣1）＝n（n ﹣1），所以第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n﹣3）个数的被开方数是n（n﹣1）+n﹣3＝n2﹣3，所以第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n﹣3）个数是．故选：C．8．已知T1＝＝＝，T2＝＝＝，T3＝＝＝，…T n＝，其中n为正整数．设S n＝T1+T2+T3+…+T n，则S2021值是（）A．2021B．2022C．2021D．2022【答案】A【解答】解：由T1、T2、T3…的规律可得，T1＝＝1+（1﹣），T2＝＝1+（﹣），T3＝＝1+（﹣），……T2021＝＝1+（﹣），所以S2021＝T1+T2+T3+…+T2021＝1+（1﹣）+1+（﹣）+1+（﹣）+…+1+（﹣）＝（1+1+1+…+1）+（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）＝2021+（1﹣）＝2021+＝2021，故选：A．9．已知a≠0，b≠0且a＜b，化简的结果是﹣a．【答案】﹣a．【解答】解：由题意：﹣a3b≥0，即ab≤0，∵a＜b，∴a＜0＜b，所以原式＝|a|＝﹣a，故答案为：﹣a．10．已知|x+2|+|1﹣x|＝9﹣﹣，则x+y的最小值为﹣3．【答案】﹣3．【解答】解：∵|x+2|+|1﹣x|＝9﹣﹣，∴|x+2|+|x﹣1|+|y+1|+|y﹣5|＝9，∵|x+2|+|x﹣1|可理解为在数轴上，数x的对应的点到﹣2和1两点的距离之和；|y+1|+|y ﹣5|可理解为在数轴上，数y的对应的点到﹣1和5两点的距离之和，∴当﹣2≤x≤1，|x+2|+|x﹣1|的最小值为3；当﹣1≤y≤5时，|y+1|+|y﹣5|的最小值为6，∴x的范围为﹣2≤x≤1，y的范围为﹣1≤y≤5，当x＝﹣2，y＝﹣1时，x+y的值最小，最小值为﹣3．故答案为﹣3．11．若，则m的取值范围是m≤4．【答案】见试题解答内容【解答】解：，得4﹣m≥0，解得m≤4，故答案为：m≤4．12．若x＜2，化简|﹣x|的正确结果是2x+2或﹣4x+2．【答案】2x+2或﹣4x+2．【解答】解：当0≤x＜2时，原式＝|x﹣2|+3x＝2﹣x+3x＝2x+2；当x＜0时，原式＝|x﹣2|﹣3x＝2﹣x﹣3x＝﹣4x+2．故答案为：2x+2或﹣4x+2．四．二次根式的乘除法（共4小题）13．使式子成立的条件是（）A．a≥5B．a＞5C．0≤a≤5D．0≤a＜5【答案】B【解答】解：由题意得：，解得：a＞5．故选：B．14．“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：＝＝7+ 4，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于﹣，设x＝﹣，易知＞，故x＞0，由x2＝（﹣）2＝3++3﹣﹣2＝2，解得x＝，即﹣＝．根据以上方法，化简+﹣后的结果为（）A．5+3B．5+C．5﹣D．5﹣3【答案】D【解答】解：设x＝﹣，且＞，∴x＜0，∴x2＝6﹣3﹣2+6+3，∴x2＝12﹣2×3＝6，∴x＝，∵＝5﹣2，∴原式＝5﹣2﹣＝5﹣3，故选：D．15．若a，b为有理数且满足，则a+b＝4．【答案】1．【解答】解：∵，∴＝．∴a＝3，b＝1．∴a+b＝3+1＝4．故答案为：4．16．阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题化简：．解：隐含条件1﹣3x≥0，解得：．∴1﹣x＞0．∴原式＝（1﹣3x）﹣（1﹣x）＝1﹣3x﹣1+x＝﹣2x．【启发应用】（1）按照上面的解法，试化简．【类比迁移】（2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：．（3）已知a，b，c为A B C的三边长．化简：．【答案】（1）1；（2）﹣a﹣2b；（3）2a+2b+2c．【解答】解：（1）隐含条件2﹣x≥0，解得：x≤2，∴x﹣3＜0，∴原式＝（3﹣x）﹣（2﹣x）＝3﹣x﹣2+x＝1；（2）观察数轴得隐含条件：a＜0，b＞0，|a|＞|b|，∴a+b＜0，b﹣a＞0，∴原式＝﹣a﹣a﹣b﹣b+a＝﹣a﹣2b；（3）由三角形的三边关系可得隐含条件：a+b+c＞0，a﹣b＜c，b﹣a＜c，c﹣b＜a，∴a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c﹣b﹣a＜0，∴原式＝（a+b+c）+（﹣a+b+c）+（﹣b+a+c）+（﹣c+b+a）＝a+b+c﹣a+b+c﹣b+a+c﹣c+b+a＝2a+2b+2c．五．分母有理化（共1小题）17．阅读材料：我们已经知道，形如的无理数的化简要借助平方差公式：例如：．下面我们来看看完全平方公式在无理数化简中的作用．问题提出：该如何化简？建立模型：形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，这样＝m，，那么便有：（a＞b），问题解决：化简：，解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即＝7，∴．模型应用1：利用上述解决问题的方法化简下列各式：（1）；（2）；模型应用2：（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4﹣，AC＝，那么BC边的长为多少？（结果化成最简）．【答案】（1）1+；（2）2﹣；（3）2﹣2．【解答】解：（1）这里m＝6，n＝5，由于1+5＝6，1×5＝5，即12+（）2＝6，1×＝，所以：＝＝＝1+；（2）首先把化为，这里m＝13，n＝40，由于5+8＝13，5×8＝40，即（）2+（）2＝13，×＝，所以＝＝＝＝﹣＝2﹣；（3）在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，所以，所以，．六．同类二次根式（共1小题）18．已知最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为（）A．16B．0C．2D．不确定【答案】B【解答】解：∵＝3，而最简二次根式与是同类二次根式，∴a+2＝2，解得a＝0．故选：B．七．二次根式的加减法（共1小题）19．若，则x﹣x2的值为﹣6．【答案】﹣6．【解答】解：由题意得，x﹣2≥0．∴x≥2．∴1﹣x＜0．∴．∴x﹣1+＝x．∴．∴x＝3．∴x﹣x2＝3﹣9＝﹣6．故答案为：﹣6．八．二次根式的混合运算（共4小题）20．已知，，则2y﹣3x的平方根为±4．【答案】±4．【解答】解：∵，∴96﹣x≥0，∴x≤96，∴100﹣x+96﹣x＝200，解得x＝﹣2，∵，∴m+23≥0，m﹣2≥0，2﹣m≥0，解得m＝2，∴y＝5，∴±＝±＝±4，故答案为：±4．21．计算的结果是+．【答案】+．【解答】解：原式＝[（﹣）（+）]2022×（+）＝（2﹣3）2022×（+）＝+．故答案为：+．22．已知a＝，b＝．（1）求a+b的值；（2）设m是a小数部分，n是b整数部分，求代数式4m2+4mn+n2的值．【答案】（1）2；（2）20．【解答】解：（1）a＝＝＝﹣2，b＝＝＝+2．a+b＝﹣2++2＝2，（2）∵2＜＜3，∴0＜﹣2＜1，4＜+2＜5，∴m＝﹣2，n＝4，∴4m2+4mn+n2＝（2m+n）2＝（2﹣4+4）2＝20．23．先阅读下面的材料，再解答下列问题．∵，∴．特别地，，∴．这种变形叫做将分母有理化．利用上述思路方法计算下列各式：（1）；（2）．【答案】（1）2020；（2）1．【解答】解：（1）＝＝＝2021﹣1＝2020；（2）＝＝＝＝1．九．二次根式的化简求值（共8小题）24．已知，则代数式x2﹣2x﹣6的值是（）A．B．﹣10C．﹣2D．【答案】C【解答】解：∵，∴x﹣1＝，∴x2﹣2x﹣6＝（x﹣1）2﹣7＝（）2﹣7＝5﹣7＝﹣2，故选：C．25．已知，，则a与b的关系是（）A．a＝b B．ab＝1C．ab＝﹣1D．a+b＝0【答案】D【解答】解：a＝＝＝3﹣＝﹣（﹣3），A．a＝﹣b，故本选项不符合题意；B．ab＝（3﹣）×（﹣3）＝﹣（﹣3）2＝﹣（5﹣6+3）＝﹣5+6﹣3＝﹣8+6，故本选项不符合题意；C．ab＝﹣8+6，故本选项不符合题意；D．a+b＝3﹣+﹣3＝0，故本选项符合题意．故选：D．26．若x2+y2＝1，则++的值为（）A．0B．1C．2D．3【答案】D【解答】解：∵x2+y2＝1，∴﹣1≤x≤1，﹣1≤y≤1，∵＝＝，x+1≥0，y﹣2＜0，（x+1）（y﹣2）≥0，∴x+1＝0，∴x＝﹣1，∴y＝0，∴++＝2+1+0＝3．故选：D．27．若a＝2+，b＝2﹣，则＝8．【答案】8．【解答】解：∵a＝2+，b＝2﹣，∴a2＝（2+√5）2＝4+4+5＝9+4，b2＝（2﹣）2＝4﹣4+5＝9﹣4，ab＝（2+）（2﹣）＝4﹣5＝﹣1．﹣＝＝＝8．故答案为：8．28．若m＝，则m3﹣m2﹣2017m+2015＝4030．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵m＝＝＝＝，∴原式＝m2（m﹣1）﹣2017m+2015＝（+1）2×﹣2017（+1）+2015＝（2017+2）﹣2017﹣2017+2015＝2017+2×2016﹣2017﹣2017+2015＝4032﹣2＝403029．已知a＝2+，b＝，则a2﹣3ab+b2的值为11．【答案】11．【解答】解：当a＝2+，b＝时，a2﹣3ab+b2，＝﹣+，＝，＝，＝11．30．某同学在解决问题：已知，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与求解的：先将a进行分母有理化，过程如下，，∴，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3，∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．请你根据上述分析过程，解决如下问题：（1）若，请将a进行分母有理化；（2）在（1）的条件下，求a2﹣2a的值；（3）在（1）的条件下，求2a3﹣4a2﹣1的值．【答案】（1）；（2）1；（3）．【解答】解：（1）a＝＝＝；（2）∵，∴（a﹣1）2＝2，（a﹣1）2＝a2﹣2a+1，∴a2﹣2a+1＝2，∴a2﹣2a＝1；（3）根据（2）可知，a2﹣2a＝1，∴2a3﹣4a2﹣1＝2a（a2﹣2a）﹣1＝2a﹣1，当a＝时，原式＝2（）﹣1＝2．31．小芳在解决问题：已知a＝，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解的：a＝＝2﹣，∴a＝2﹣，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3，∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．请你根据小芳的分析过程，解决如下问题：（1）计算：．（2）若a＝．①化简a，求4a2﹣8a﹣1的值；②求a3﹣3a2+a+1的值．【答案】（1）9；（2）①a＝+1，4a2﹣8a﹣1的值是3；②0．【解答】解：（1）＝﹣1+++…+＝﹣1+＝﹣1+10＝9；（2）①a＝＝＝＝+1，∴a＝+1，∴（a﹣1）2＝（）2＝2，∴a2﹣2a+1＝2，∴a2﹣2a＝1，∴4a2﹣8a﹣1＝4（a2﹣2a）﹣1＝4×1﹣1＝4﹣1＝3；②由①知a2﹣2a＝1，∴a3﹣3a2+a+1＝a（a2﹣2a）﹣（a2﹣2a）﹣a+1＝a×1﹣1﹣a+1＝a﹣1﹣a+1＝0．十．二次根式的应用（共2小题）32．俊俊和霞霞共同合作将一张长为，宽为1的矩形纸片进行裁剪（共裁剪三次），裁剪出来的图形刚好是4个等腰三角形（无纸张剩余）．霞霞说：“有一个等腰三角形的腰长是1”；俊俊说：“有一个等腰三角形的腰长是﹣1”；那么另外两个等腰三角形的腰长可能是1或或2﹣．【答案】1或或2﹣．【解答】解：如图1方式裁剪，另两个等腰三角形腰长是或；如图2方式裁剪，另两个等腰三角形腰长都是1．故答案为：1或或2﹣．33．古希腊几何学家海伦通过证明发现：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c．记，那么三角形的面积为，俗称海伦公式，若在△ABC中，AB＝3，BC＝6，AC＝7，则用海伦公式求得△ABC的面积为．【答案】【解答】解：由题意可得：a＝6，b＝7，c＝3，∴，∴＝＝＝，故答案为：．。
二次根式定义及性质+测试题及答案(培优) 基础 好 打印
二次根式定义及性质化简公式：)0()(2≥=a a a 和⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a例1 求下列二次根式有意义的条件：(1)1-x (2)x x -⋅+31 (3)31+x (4) 12+x(5)xx -+31 (6)2)1(-x (7)962+-x x (8)1062+-x x例2 已知满足求的平方根.例3 已知a 、b 满足等式．（1）求出a 、b 的值分别是多少？（2）试求的值．例4 已知△ABC 的三边长a ，b ，c 均为整数，且a 和b 满足试求△ABC 的c边的长．例5 已知，求的值.课堂同步练习一、选择题：1、下列各式一定是二次根式的是（）A. B. C. D.2、若式子有意义，则x的取值范围是（）A．x≥3 B．x≤3 C．x＞3 D．x=33、函数的自变量x的取值范围是（）A．B．C．D．4、，则的值为（）A．－6 B． 9 C．6 D．－96、如果，那么（）A. B. C. D.7、若的整数部分为，小数部分为，则的值是（）A. B. C. D.8、在Rt△ABC中,∠C=90°,c为斜边,a、b为直角边,则化简的结果为（）A.3a+b﹣cB.﹣a﹣3b+3cC.a+3b﹣3cD.2a9、若，为实数，且，则的值为（）A.－1B.1C.1或7D.710、已知实数a满足，那么a﹣20002的值是( )A.1999B.2000C.2001D.2002二、填空题：11、函数的自变量的取值范围是____________.12、已知，则a b=13、当的值为最小值时，a的取值为．14、当1＜x＜2时，化简：+的结果为．15、已知x、y为实数，且y=﹣+4，则x﹣y=_________ ．16、实数、在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为 .17、若+|x+y﹣2|=0，则xy= ．18、若，则a的取值范围是 .19、无论取任何实数，代数式都有意义，则的取值范围为 .20、化简：得．三、简答题：21、解方程组并求的值.22、已知y=，求3x+2y的算术平方根．求的平方根.23、已知：.24、已知：=0，求实数a，b的值．25、细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题．（1）推算出S10的值；（2）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；（3）求出S12+S22+S32+…+S102的值．二次根式定义及性质同步测试题一、选择题：1、下列式子中：、、0、、、（a＞0）二次根式的个数是（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个2、若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是( )A. B. C. D.3、若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A．B．C．D．且4、函数中自变量x的取值范围是（）A． B． C. D.5、若二次根式有意义，则字母a应满足的条件是（）A． B． C． D．6、若1＜x＜3，则|x﹣3|+的值为（）A．2x﹣4 B．﹣2 C．4﹣2x D．2 7、估算+2的值是（）．A．在5和6之间 B．在6和7之间 C．在7和8之间 D．在8和9之间8、已知( )A. 2或12B. 2或-12C. -2或12D. -2或-12二、填空题：9、使得函数有意义的x的取值范围是；10、已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示：化简：的结果是：___________________．11、若，则=12、已知，则x y的平方根为______．13、若=3，=2，且 ab＜0，则 a﹣b= ．14、观察分析下列数据,寻找规律：0,,，3，2 …那么第 10 个数据应是．第n个数应是。
八年级数学二次根式32道典型题(含答案和解析)
八年级数学二次根式32道典型题（含答案和解析）1.如果式子√x+1在实数范围内有意义，那么x的取值范围是．答案：x≥－1.解析：二次根式有意义的条件是根号内的式子不小于零，所以x＋1≥0，即x≥－1. 考点：式——二次根式——二次根式的基础——二次根式有意义的条件.2.当x 时，√3x+2有意义．.答案：x≥−23解析：由题意得：3x＋2≥0.解得：x≥−2.3考点：式——二次根式——二次根式的基础——二次根式有意义的条件.3.已知化简√12−n的结果是正整数，则实数n的最大值为（）．A.12B.11C.8D.3答案：B.解析：当√12−n等于最小的正整数1时，n取最大值，则n＝11．考点：式——二次根式.4.如果式子√x+3有意义，那么x的取值范围在数轴上表示出来，正确的是（）．答案：C.解析：如果式子√x+3有意义，则x＋3≥0，即x≥－3，数轴表示为C图．考点：式——二次根式——二次根式的基础——二次根式有意义的条件.5.二次根式√3−x在实数范围内有意义，则x的取值范围是．答案：x≤3.解析：二次根式√3−x在实数范围内有意义，则需满足3－x≥0，即x≤3. 考点：式——二次根式——二次根式的基础——二次根式有意义的条件.6.下列等式成立的是（）．A.√32=±3B.√172−82=9C.(√−7)2=7D.√(−7)2=7答案：D.解析：√32=3，故A选项错误.√172−82=√225=15，故B选项错误.√−7无意义，故C选项错误.√(−7)2=7，故D选项正确．考点：式——二次根式——二次根式的基础——二次根式化简.7.若x＜2，则化简√(x−2)2的结果是（）．A.2－xB.x－2C.x＋2D.x-2√x+2答案：A.解析：∵x＜2.∴x-2＜0．∴√(x−2)2=|x−2|=2−x．考点：式——二次根式——二次根式的基础——二次根式化简.8.计算√(−2)2的结果是．答案：2.解析：√(−2)2=|−2|=2．考点：式——二次根式——二次根式的基础——二次根式化简.9.若a＜1，化简√(a−1)2−1等于．答案：－a.解析：当a＜1时，a－1＜0.∴√(a−1)2−1＝1－a－1＝－a．考点：式——二次根式——二次根式的化简求值.10.已知x＜1，那么化简√x2−2x+1的结果是（）．A.x－1B.1－xC.－x－1D.x＋1 答案：B.解析：∵x＜1.∴x－1＜0.∴√x2−2x+1=√(x−1)2=|x−1|=1−x．考点：式——二次根式——二次根式的化简求值.11.结合数轴上的两点a、b，化简√a2−√(a−b)2的结果是．答案：b.解析：由数轴可知，b＜0＜a.∴a－b＞0.∴√a2−√(a−b)2=a−a+b=b．考点：式——二次根式——二次根式的化简求值.12.下列二次根式中，是最简二次根式的是（）．A.√5abB.√4a2C.√8aD.√a2答案：A.解析：√5ab是最简二次根式，故选项A正确.√4a2=2|a|，不是最简二次根式，故选项B错误.√8a=2√2a，不是最简二次根式，故选项C错误.√a中含有分母，即不是最简二次根式，故选项D错误．2考点：式——二次根式——二次根式的基础——最简二次根式.13.下列各式中，最简二次根式是（）．A.√0.2B.√18C.√x2+1D.√x2答案：C.，不是最简二次根式，故选项A错误.解析：√0.2=√55√18=3√2，不是最简二次根式，故选项B错误.√x2=|x|，不是最简二次根式，故选项D错误.√x2+1是最简二次根式，故选项C正确.考点：式——二次根式——二次根式的基础——最简二次根式.14. 若m =√13，估计m 的值所在的范围是（ ）．A.0＜m ＜1B.1＜m ＜2C.2＜m ＜3D.3＜m ＜4 答案：D.解析：3=√9<√13<√16=4.所以3＜m ＜4．考点：数——实数——估算无理数的大小.15. 已知a 、b 为两个连续的整数，且a <√28<b ，则a +b = ． 答案：11.解析：∵52=25，62=36.∴a ＝5，b ＝6.∴a ＋b ＝11．考点：数——实数——估算无理数的大小.16. 已知：x 2−3x +1=0，求√x √x 的值．答案：√5.解析：∵x 2−3x +1=0. ∴x +1x =3.∴(√x √x )2=x +1x +2=5.∴√x √x =√5．考点：式——二次根式——二次根式的化简求值.17. 若实数a ，b 满足(a +√2)2+√b −4=0，则a 2b = ．答案：12. 解析：(a +√2)2+√b −4=0.又(a +√2)2≥0，√b −4≥0.∴{a +√2=0√b −4=0. 即a =−√2，b =4.∴a 2b =12. 考点：数——有理数——非负数的性质：偶次方.式——二次根式——二次根式的基础——二次根式化简.18. 若实数x ，y 满足√x −2+(y +√2)2=0，则代数式y x 的值是 ． 答案：2.解析：由题意得，x −2=0，y +√2=0.解得x =2，y =−√2.则y x =2．考点：数——有理数——非负数的性质：偶次方.式——二次根式——二次根式的基础——二次根式化简.19. 下列各式计算正确的是（ ）．A.√2+√3=√5B.4√3−3√3=1C.2√2×3√3=6√3D.√27÷√3=3 答案：D.解析：√2+√3无法计算，故A 错误.4√3−3√3=√3，故B 错误.2√2×3√3=6×3=18，故C 错误.√27÷√3=√273=√9=3，D 正确．考点：式——二次根式——二次根式的乘除法——二次根式的加减法.20. 下列计算正确的是（ ）．A.√a 2=aB.√a +√b =√a +bC.(√a)2=aD.√ab =√a ×√b 答案：C.解析：√a 2=±a ，所以A 错误.√a +√b 中a 和b 的值未知，故不能进行加减运算，所以B 错误. (√a)2=a ，所以C 正确.√ab =√|a |×√|b |，所以D 错误．考点：式——二次根式——二次根式的混合运算.21. 计算：13√27−√6×√8+√12．答案：−√3.解析：原式=13×3√3−4√3+2√3=−√3．考点：式——二次根式——二次根式的混合运算.22. 计算：(√2−√3)2−(√2+√3)(√2−√3)． 答案：6−2√6．解析：原式=2−2√6+3−2+3=6−2√6． 考点：数——实数——实数的运算.23. 计算：√18−4√18−2(√2−1)．答案：2.解析：原式=3√2−4×√24−2√2+2=3√2−√2−2√2+2＝2.考点：式——二次根式——二次根式的加减法.24. 计算：(12)−2−(π−√7)0+|√3−2|+4×√32．答案：5+√3.解析：原式=4−1+2−√3+2√3=5+√3. 考点：数——实数——实数的运算.25. 计算：|2−√5|−√83+(−12)−2．答案：√5.解析：原式=(√5−2)−2+1(−12)2=√5−2−2+4=√5.考点：数——实数——实数的运算.26. 计算：(√3−√2)2−√3(√2−√3)． 答案：8−3√6.解析：原式=3−2√6+2−(√6−3)=5−2√6−√6+3=8−3√6.考点：式——二次根式——二次根式的混合运算.27. 计算：√4−(π−3)0−(12)−1+|−3|．答案：2.解析：原式=2−1−2+3=2.考点：数——实数——实数的运算.28. 计算：(1−√3)0+|2−√3|−√12+√643．答案：7−3√3.解析：原式=1+2−√3−2√3+4=7−3√3.考点：数——实数——实数的运算.29.计算：(√2+1)×(√6−√3)．答案：√3.解析：原式=√12−√6+√6−√3=√12−√3=2√3−√3=√3.考点：式——二次根式——二次根式的混合运算.30.计算：√27+√6×√8−6√13．答案：5√3.解析：原式=3√3+4√3−2√3=5√3.考点：式——二次根式——二次根式的加减法.31.计算：√9−√83+|−√2|−(√3−√2)0．答案：√2.解析：原式=3−2+√2−1=√2.考点：数——实数——实数的运算.32.计算：(π−3.14)0+|√3−2|−√48+(13)−2．答案：12−5√3.解析：原式=1+2−√3−4√3+9=12−5√3. 考点：数——实数——实数的运算.。
二次根式知识点及题型详解 初中数学 全国通用版 含答案
变式 19 若最简二次根式 + 3与最简二次根式 2 是同类二次根式，则 x 的值为（ ）
A．x＝0
B．x＝1
C．x＝2
D．x＝3
【解析】∵最简二次根式 + 3与最简二次根式 2 是同类二次根式，∴x+3＝2x，解得：x＝3，选 D．
变式 20 若最简二次根式 3 + ，2 4 − 2可以合并，则 m﹣n 的值为 ．
变式 2 在式子 − 3.14， 2 + 2， + 5， −3 2， 2 + 1， | |中，是二次根式的有（ ）
A．3 个
B．4 个
C．5 个
D．6 个
【解析】在所列式子中是二次根式的有 − 3.14， 2 + 2， 2 + 1， | |这 4 个，选 B．
变式 3 下列各式中①3 8；② −( − )；③ 2；④ | |+10.1；⑤ 2 + 2 + 1一定是二次根式的有（
【解析】由数轴可知：c＜a＜0＜b，∴a﹣c＞0，b﹣c＞0， ∴原式＝|a|+|a﹣c|+|b﹣c|﹣|b|＝﹣a+（a﹣c）+（b﹣c）﹣b＝﹣2c．
知识点六 最简二次根式的概念
最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平 方数或平方式的因数或因式．
6
【分析】由题意可知， 3 + 与 2 4 − 2同类二次根式，即被开方数相同，由此可列方程求解．
【解析】根据题意 3m+n＝4m﹣2，即﹣m+n＝﹣2，所以 m﹣n＝2．
【小结】本题考查同类二次根式的概念：化为最简二次根式后，被开方数相同的根式称为同类二次根式；
二次根式知识点归纳及题型
一.利用二次根式的双重非负性来解题(及≥0 (a>O)9即一个非负数的算术平方根是一个非 负数。
)题型一：判断二次根式(1)下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：√2> A 6 (x>0).邪、我、 X -√2 > —!—、Jx+y (x≥0, y >0).(2)在式子卷Qo),√∑,√77T(y = -2),√^(χγO)M,√77i∕+.M 二次根式有( )A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个 (3)下列各式一定是二次根式的是()A.Q B .竹C. √77i D ・E题型二：判断二次根式有没有意义1、写出下列各式有意义的条件:(3)2 +4练习：1 .下列各式中一定是二次根式的是()。
A 、G ； B 、4； c 、VTTi ；D 、 Vx-T2 .x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。
____ √2∙ + 4(1)斤—(2)(3) E-2 .(5)若ATF=五G,则X 的取值范围是 ⑹ 若、∣ΞL 疟，则X 的取值范围是。
x+1 JX+13 .若ki 有意义，则m 能取的最小整数值是；若师是一个正整数，则正整数m 的最小值 ⅛ ______ .4 .当X 为何整数时，√iδT≡T +1有最小整数值，这个最小整数值为。
5 . ⅛∣2OO4-tz ∣ + √6∕-2OO5=67,则"-2004?=;若y = √Γ^ + √Γ^ + 4 ,则t+y =(1) √3x -42、有意义，则；3、若J宅成立,则X 满足6.设m、n满足"="l -9 +丫―〃？+2 ,则而=。
m-38.若三角形的三边a、b、C满足/-4α+4+E=0,则第三边C的取值范围是10.^∣4x-8∣+7x-y-w = O > 且y>0 时9 贝U ( ) A、O < /M < 1 B、τn≥2 C、m<2D、m≤2二,利用二次根式的性质而= IaI=］：->［（即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值）4 0（。
新初中数学二次根式难题汇编含解析(1)
新初中数学二次根式难题汇编含解析(1)一、选择题1．式子2a +有意义，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a≥-1B ．a≤1且a≠-2C ．a≥1且a≠2D ．a>2【答案】B【解析】【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．【详解】式子2a +有意义，则1-a≥0且a+2≠0， 解得：a≤1且a≠-2．故选：B ．【点睛】 此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．2．下列各式中计算正确的是（）A +=B ．2+=C =D ．22= 【答案】C【解析】【分析】结合选项，分别进行二次根式的乘法运算、加法运算、二次根式的化简、二次根式的除法运算，选出正确答案．【详解】解：不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误；B.2=D.2=1，原式计算错误，故本选项错误． 故选：C.【点睛】本题考查二次根式的加减法和乘除法，在进行此类运算时，掌握运算法则是解题的关键．3．下列式子为最简二次根式的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】【详解】解：选项A ，被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式， A 符合题意； 选项B ，被开方数含能开得尽方的因数或因式，B 不符合题意；选项C ，被开方数含能开得尽方的因数或因式， C 不符合题意；选项D ，被开方数含分母， D 不符合题意，故选A ．4．1x -x 的取值范围是（ ）A ．x ＜1B ．x ≥1C ．x ≤﹣1D ．x ＜﹣1【答案】B【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件判断即可．【详解】解：由题意得，x ﹣1≥0，解得，x ≥1，故选：B ．【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟悉掌握是关键.5．67x -x 的取值范围是（ ） A ．x≥76 B ．x ＞76 C ．x≤76 D ． x ＜76【答案】B【解析】【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．【详解】∵67x -是被开方数，∴670x -≥，又∵分母不能为零，∴670x ->，解得，x ＞76； 故答案为：B.本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数，解题的关键是熟练掌握其意义的条件.6．把-( )AB ．C ．D 【答案】A【解析】【分析】由二次根式-a 是负数，根据平方根的定义将a 移到根号内是2a ，再化简根号内的因式即可.【详解】 ∵10a-≥，且0a ≠， ∴a<0，∴-，∴-= 故选：A.【点睛】此题考查平方根的定义，二次根式的化简，正确理解二次根式的被开方数大于等于0得到a 的取值范围是解题的关键.7．若代数式y =有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A ．0x ≥B ．0x ≥且1x ≠C ．0x >D ．0x >且1x ≠【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x 的范围．【详解】 根据题意得：010x x ≥⎧⎨-≠⎩， 解得：x≥0且x≠1．【点睛】此题考查分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，解题关键在于掌握分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．8．下列运算正确的是()A B．1)2＝3－1 C D5－3【答案】C【解析】【分析】根据二次根式的加减及乘除的法则分别计算各选项，然后与所给结果进行比较，从而可得出结果．【详解】解：≠，故本选项错误；1)2＝3－，故本选项正确；= =4，故本选项错误．故选C.【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待．9．在实数范围内有意义，则a的取值范围是（）A．a≤﹣2 B．a≥﹣2 C．a＜﹣2 D．a＞﹣2【答案】B【解析】【分析】在实数范围内有意义，则其被开方数大于等于0；易得a＋2≥0，解不等式a＋2≥0，即得答案.【详解】在实数范围内有意义，∴a＋2≥0，解得a≥－2．故选B.【点睛】本题是一道关于二次根式定义的题目，应熟练掌握二次根式有意义的条件；10．如果一个三角形的三边长分别为12、k 、72|2k ﹣5|的结果是( )A ．﹣k ﹣1B ．k +1C ．3k ﹣11D ．11﹣3k【答案】D【解析】【分析】 求出k 的范围，化简二次根式得出|k-6|-|2k-5|，根据绝对值性质得出6-k-（2k-5），求出即可．【详解】 ∵一个三角形的三边长分别为12、k 、72， ∴72-12＜k ＜12+72， ∴3＜k ＜4，，=-|2k-5|，=6-k-（2k-5），=-3k+11，=11-3k ，故选D ．【点睛】本题考查了绝对值，二次根式的性质，三角形的三边关系定理的应用，解此题的关键是去绝对值符号，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．11．估计值应在（ ） A ．3到4之间B ．4到5之间C ．5到6之间D ．6到7之间 【答案】A【解析】【分析】先根据二次根式乘法法则进行计算，得到一个二次根式后再利用夹逼法对二次根式进行估算即可得解．【详解】解：=∵91216<<<<∴34<<∴估计值应在3到4之间． 故选：A【点睛】本题考查了二次根式的乘法、无理数的估算，熟练掌握相关知识点是解决问题的关键．12．a =-成立，那么a 的取值范围是（ ）A ．0a ≤B ．0a ≥C ．0a <D ．0a >【答案】A【解析】【分析】由根号可知等号左边的式子为正，所以右边的式子也为正,所以可得答案.【详解】得-a≥0，所以a≤0，所以答案选择A 项.【点睛】本题考查了求解数的取值范围，等号两边的值相等是解答本题的关键.13．下列计算错误的是( )A ．BCD 【答案】A【解析】【分析】【详解】选项A ，不是同类二次根式，不能够合并；选项B ，原式=2÷=选项C ，原式=选项D ，原式==. 故选A.14．有意义时，a 的取值范围是（ ） A ．a ≥2B ．a ＞2C ．a ≠2D ．a ≠－2【答案】B【解析】解：根据二次根式的意义，被开方数a ﹣2≥0，解得：a ≥2，根据分式有意义的条件：a ﹣2≠0，解得：a≠2，∴a＞2．故选B．15．计算÷的结果是（）A B C．23D．34【答案】A【解析】【分析】根据二次根式的运算法则，按照运算顺序进行计算即可．【详解】解：÷1(24=⨯÷=16=⨯=．故选：A．【点睛】此题主要考查二次根式的运算，根据运算顺序准确求解是解题的关键．16．下列计算正确的是（）A．=B=C．=D-=【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的加减乘除运算法则逐一计算可得.【详解】A、-B、，此选项正确；C 、() 75153-÷=（53-15）÷3=5-5，此选项错误；D 、 1818339-=2222-=-，此选项错误； 故选B【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式混合运算顺序和运算法则.17．已知1212a b ==+-，，则,a b 的关系是（ ） A ．a b =B ．1ab =-C ．1a b =D ．=-a b 【答案】D【解析】【分析】根据a 和b 的值去计算各式是否正确即可．【详解】A. 1122212121212a b -+-+-=--==---，错误； B. 12112ab +=≠--，错误； C. 12112ab +=≠-，错误； D. 112221201212a b +-+-+=++==--，正确； 故答案为：D ．【点睛】本题考查了实数的运算问题，掌握实数运算法则是解题的关键．18．如图，矩形内三个相邻的正方形面积分别为4,3和2，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．2B 6C ．236223D ．23225【答案】D【解析】【分析】将面积为2和3的正方形向下平移至下方边长和长方形的长边重合，可得两个阴影部分的图形的长和宽，计算可得答案.【详解】将面积为2和3的正方形向下平移至下方边长和长方形的长边重合，如下图所示：则阴影面积=()()222323⨯-+⨯-=222233-+-=23225+-故选：D【点睛】本题考查算术平方根，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答．19．若x 2+在实数范围内有意义，则x 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A ．B ．C ．D ． 【答案】D【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数可得x+2≥0，再解不等式即可．【详解】2x +∴被开方数x+2为非负数，∴x+2≥0，解得：x≥-2.故答案选D.【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练的掌握二次根式有意义的条件.20．已知实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简|a +b 2()b a - ）A ．2a -B ．2aC ．2bD ．2b - 【答案】A【解析】【分析】 2a ，再结合绝对值的性质去绝对值符号，再合并同类项即可．【详解】解：由数轴知b ＜0＜a ，且|a|＜|b|，则a+b ＜0，b-a ＜0，∴原式=-（a+b ）+（b-a ）=-a-b+b-a=-2a ，故选A ．【点睛】 2a ．。
二次根式知识点+例题分析+难题拓展+测试
二次根式的知识点汇总知识点一： 二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。
例1（x>0、、（x ≥0，y•≥0）．”；第二，被开方数是正数或0．知识点二：取值范围1、 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a ≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
2、 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a ﹤0时，没有意义。
例2．当x例3．当x +在实数范围内有意义？ 知识点三：二次根式（）的非负性（）表示a 的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。
注：因为二次根式（）表示a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负1x1x y+11x +数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。
这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。
例4(1)已知+5，求的值．(2)=0，求a 2004+b 2004的值 知识点四：二次根式（）的性质1（） 文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。
上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.例1计算12 2．（2 32 4）2 例2在实数范围内分解下列因式: （1）x 2-3 （2）x 4-4 (3) 2x 2-3 知识点五：二次根式的性质2文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注：1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a 是正数还是负数，若是正数或0，则等于a 本身，即；若a 是负数，则等于a 的相反数-a,即；2、中的a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 取何值，一定有意义；3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。
二次根式(知识解读+题型精讲+随堂检测)(原卷版)
第07讲 二次根式知识点1：二次根式1. 二次根式的概念一般地，我们把形如 )0a a （的式子的式子叫做二次根式，”“称为 称为二次根号．如321.0,3，都是二次根式。
【题型1：根据二次根式概念判断二次根式】【典例1】（2023春•青秀区校级期中）下列式子属于二次根式的是（ ） A ．B ．C ．D ．【变式1-1】（2022秋•诏安县期中）给出下列各式：；②6；；④（m ≤0）；⑤；⑥．其中二次根式的个数是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5【变式1-2】（2022春•顺平县期中）若是二次根式，则a，b应满足的条件是（）A．a，b均为非负数B．a，b同号C．a≥0，b＞0D．【题型2：根据二次根式的定义求字母的值】【典例2】（2022春•都安县校级月考）已知是整数，则正整数n的最小值为（）A．3B．4C．6D．12（2022春•朝阳区期末）若是整数，则正整数n的最小值是（）【变式2-1】A．3B．7C．9D．63【变式2-2】（2022春•桦南县校级月考）若是整数，则a能取的最小整数为（）A．0B．1C．2D．3【变式2-3】（2022春•荔城区校级期中）已知是整数，则正整数n的最小值是．【变式2-4】（2022春•曾都区校级期中）已知是整数，则正整数n的最小值为．知识点2：二次根式有无意义的条件【题型3：根据二次根式有意义条件求范围】【典例3】（2023春•浏阳市期末）要使二次根式有意义，则x的取值范围为（）A．x≠8B．x＞﹣8C．x≥8D．x≤8【变式3-1】（2022•海曙区校级开学）若x＝2能使下列二次根式有意义，则这个二次根式可以是（）A ．B ．C ．D ．【变式3-2】（2022•包头模拟）在y ＝中，x 的取值范围为 ．【变式3-3】（2022春•潼关县期中）若二次根式有意义，则x 的取值范围是 ．【题型4：根据二次根式有意义求值】【典例4】（2023春•包河区校级月考）已知：，则x +y 的值是（ ） A ．9B ．8C ．7D ．6【变式4-1】（2023春•潮南区期中）已知x 、y 为实数，且y ＝+1，则x +y 的值是（ ） A ．2022B ．2023C ．2024D ．2025【变式4-2】（2023春•上高县校级月考）若y ＝﹣3，则（x +y ）2021等于（ ） A ．1B ．5C ．﹣5D ．﹣1【变式4-3】（2023•佛冈县二模）设x ，y 为实数，且，则（x﹣2y ）2022的值是 ． 知识点3：二次根式的性质1.)0a a ≥（的性质 2.)0a a 2≥（）（的性质 符号语言 )0a a ≥（文字语言 一个非负数的算数平方根是非负数提示)0a a ≥（有最小值，为0符号语言 )0a a a 2≥=（）（应用（1）正用：（2）逆用：若a ≥0，则3.a2的性质【题型5：利用二次根式的性质化简（数字型）】【典例5】（2023春•虞城县期末）下列各式计算错误的是（ ） A ．B ．C ．D ．【变式5-1】（2023春•金乡县期末）下列各式中，正确的是（ ） A ．B ．﹣C ．D ．【变式5-2】（2023春•肇源县期末）在下列各式中，计算正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．【变式5-3】（2023春•嘉定区期末）下列运算中，正确的是（ ） A ．＝﹣3 B ．﹣＝5 C ．＝aD ．＝5【题型6：根据二次根式性质化简（字母及复合型）】【典例6】（2023春•乌鲁木齐期末）实数a 在数轴上的位置如图所示，则化简+结果为（ ）A ．7B ．﹣7C ．2a ﹣15D ．无法确定【变式6-1】（2023春•莱芜区期末）实数a 在数轴上对应点的位置如图所示，则+1﹣|a ﹣1|＝（ ）逆用可以再实数范围内分解因式：如3332-=-=-ΠΠΠ）（A．2B．﹣2a C．2a D．2a+2【变式6-2】（2023春•合川区期末）实数m对应的点在数轴上的位置如图，则化简的结果为（）A．2m﹣9B．﹣5C．5D．9﹣2m【变式6-3】（2022秋•恩施市期中）已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简代数式的结果是（）A．﹣2b B．﹣2a C．0D．2b﹣2a【变式6-4】（2023•宁南县校级模拟）实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（）A．B．C．D．【题型7：根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式】【典例7】（2023•新化县三模）当1＜a＜2时，代数式+|a﹣2|的值是（）A．﹣1B．1C．2a﹣3D．3﹣2a【变式7-1】（2023春•禹州市期中）已知1＜a＜2，则化简的结果为（）A．2a﹣4B．4﹣2a C．2D．﹣2（2023春•莘县期末）若2＜a＜3，则等于（）【变式7-2】A．5﹣2a B．1﹣2a C．2a﹣5D．2a﹣1【题型8：含隐含条件的参数范围化简二次根式】【典例8】（2023春•赵县期末）已知，ab＞0，化简二次根式a的正确结果是（）A．B．C．﹣D．﹣【变式8-1】（2023春•张店区期中）把根号外的因式移入根号内，化简的结果是（）A．B．C．D．【变式8-2】（2022春•阿拉善左旗期末）若xy＜0，则化简后的结果是（）A．B．C．D．【变式8-3】（2023春•蓬莱区期末）化简二次根式得（）A．B．C．D．1．（2022春•宁波期中）要使二次根式有意义，x的值可以是（）A．2B．1C．0D．﹣1 2．（2022春•重庆期中）下列式子一定是二次根式的是（）A．B．C．D．3．（2022春•澄城县期末）若是整数，则正整数n的最小值是（）A．4B．5C．6D．7 4．（2022•宁海县校级开学）若x，y为实数，且++2y＝4，则x+y的值为（）A．2B．3C．5D．不确定5．（2022秋•福田区校级期中）在下列各式中，计算正确的是（）A．＝﹣9B．3＝3C．（﹣）2＝﹣2D．＝﹣16．（2022秋•安溪县校级月考）把代数式（a﹣1）中的a﹣1移到根号内，那么这个代数式等于（）A．﹣B．C．D．﹣7．（2022春•大观区校级期中）实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简+|a+b|的结果为（）A．2a﹣b B．﹣3b C．b﹣2a D．3b 8．（2022春•曾都区校级期中）把x根号外的因数移到根号内，结果是（）A．B．C．﹣D．﹣9．（2022春•博山区校级期中）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简+﹣的结果是（）A．0B．﹣2C．﹣2a D．2b 10．（2022春•安新县期末）若＝3﹣b，则b满足的条件是（）A．b＞3B．b＜3C．b≥3D．b≤3 11．（2022春•定远县校级期末）如果y＝++5，那么y x的值是．12．（2022春•隆安县期中）阅读下面解题过程，并回答问题．化简：解：由隐含条件1﹣3x≥0，得x∴1﹣x＞0∴原式＝（1﹣3x）﹣（1﹣x）＝1﹣3x﹣1+x＝﹣2x按照上面的解法，试化简：．13．（2022春•海淀区期中）阅读下列解题过程例：若代数式的值是2，求a的取值范围．解：原式＝|a﹣1|+|a﹣3|，当a＜1时，原式＝（1﹣a）+（3﹣a）＝4﹣2a＝2，解得a＝1（舍去）；当1≤a≤3时，原式＝（a﹣1）+（3﹣a）＝2＝2，符合条件；当a＞3时，原式＝（a﹣1）+（a﹣3）＝2a﹣4＝2，解得a＝3（舍去）所以，a的取值范围是1≤a≤3上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题（1）当2≤a≤5时，化简：＝；（2）若等式＝4成立，则a的取值范围是；（3）若＝8，求a的取值．。
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二次根式的知识点汇总知识点一: 二次根式的概念形如（)的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根,所以是为二次根式的前提条件，如,,等是二次根式，而,等都不是二次根式。
例1.下列式子,、ｘ＞0）、、（x ≥0，y≥0）．分析：二次根式应满足两个条件:；第二，被开方数是正数或0．知识点二：取值范围1、 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知,当ａ≧0时，有意义,是二次根式,所以要使二次根式有意义,只要使被开方数大于或等于零即可。
２、 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根,所以当a ﹤0时,没有意义。
例2.当x 在实数范围内有意义？例3＋在实数范围内有意义？ 知识点三：二次根式（)的非负性()表示a 的算术平方根,也就是说,(）是一个非负数,即0(）。
注:因为二次根式（）表示ａ的算术平方根,而正数的算术平方根是正数，０的算术平方根1x1x y+11x +是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数,即0(）,这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。
这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=０,b=０；若，则a=0,b ＝0；若,则ａ＝0,ｂ＝0。
例4(１)+5，求的值．(2)０,求a 200４+b 2004的值 知识点四：二次根式（）的性质1(） 文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注：二次根式的性质公式（)是逆用平方根的定义得出的结论。
上面的公式也可以反过来应用：若,则，如:，.例1 计算1.）22.23.２ ４.（）2例2在实数范围内分解下列因式:（1）x ２-3 （2)ｘ4-4 (３） ２x 2－3知识点五:二次根式的性质2文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注：1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a 是正数还是负数,若是正数或０,则等于a 本身,xy2即；若ａ是负数，则等于a的相反数－a,即;2、中的a的取值范围可以是任意实数,即不论a取何值，一定有意义；3、化简时,先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。
例1 化简（1（(3(4例2 填空：当a≥0＿；当ａ＜0＿__，并根据这一性质回答下列问题.（1)a,则a可以是什么数?（2)a,则a是什么数？（３，则ａ是什么数？例３当x>2,.知识点六:与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的,表示一个正数ａ的算术平方根的平方,而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中,而中ａ可以是正实数，０,负实数。
但与都是非负数,即，。
因而它的运算的结果是有差别的,,而2、相同点:当被开方数都是非负数，即时,＝；时，无意义，而. 知识点七：二次根式的乘除1、＝（ａ≥0，b≥0）反过来＝·(a≥0，b≥0)2（a ≥0，b>0) （a ≥0，b>0) (思考:b 的取值与a 相同吗?为什么?不相同，因为b 在分母,所以不能为0) 例１.计算（2(4例2 化简(１(2( （４例3．判断下列各式是否正确,不正确的请予以改正:(1(2=4==4例4．计算:（1（3例5．化简：(1（（例6.，且ｘ为偶数，求(1＋的值．３、最简二次根式应满足的条件:(1）被开方数不含分母或分母中不含二次根式； (２）被开方数中不含开得尽方的因数或因式（熟记２0以内数的平方；因数或因式间是乘积的关系,当被开方数是整式时要先判断是否能够分==解因式,然后再观察各个因式的指数是否是2（或２的倍数)，若是则说明含有能开方的因式,则不满足条件，就不是最简二次根式)例1.把下列二次根式化为最简二次根式（１) ; (2) ; （３)４、化简最简二次根式的方法:(1） 把被开方数(或根号下的代数式)化成积的形式，即分解因式； (2） 化去根号内的分母(或分母中的根号）,即分母有理化;(３) 将根号内能开得尽方的因数(或因式)开出来.(此步需要特别注意的是:开到根号外的时候要带绝对值，注意符号问题) 5.有理化因式:一般常见的互为有理化因式有如下几类:①与; ②与;③与; ④与．说明：利用有理化因式的特点可以将分母有理化.13、同类二次根式：被开方数相同的(最简)二次根式叫同类二次根式。
判断是否是同类二次根式时务必将各个根式都化为最简二次根式。
如知识点八:二次根式的加减1、二次根式的加减法：先把各个二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式(即同类二次根式）进行合并。
(合并方法为：将系数相加减，二次根式部分不变）,不能合并的直接抄下来。
例1.（例2．计算（1）-9（２）例3.已知4x 2+y ２－4ｘ-6ｙ＋10=0,求（+y）-（x)的值．２、二次根式的混合运算:先计算括号内,再乘方（开方），再乘除,再加减3、二次根式的比较：（1)若,则有;（2）若,则有．（3）将两个根式都平方，比较平方后的大小，对应平方前的大小 例4．比较与【典型例题】1、概念与性质例1、下列各式1， 其中是二次根式的是＿______＿＿(填序号). 例2、求下列二次根式中字母的取值范围(１）x x--+315;（2）22)-(x例3、 在根式1）,最简二次根式是（ )Ａ.1） ２) B.3) 4） C ．1) ３) D.１) 4)23-例4、已知:的值。
求代数式22,211881-+-+++-+-=xyyxxyyxxxy例5、已知数a，b，若=b－a，则()Ａ. a＞b B．a<ｂ C. a≥bＤ.a≤b2、二次根式的化简与计算例１.将根号外的a移到根号内，得(）Ａ. ；Ｂ. －;C．－；Ｄ．例２．把(a－ｂ)错误!化成最简二次根式例３、计算:例4、先化简，再求值：，其中ａ=,b=．例5、如图，实数a 、b 在数轴上的位置,化简 ：222()a b a b ---3、比较数值(1）、根式变形法当0,0a b >>时,①如果a b >a b >②如果a b <,a b < 例1、比较35与3的大小。
（2）、平方法当0,0a b >>时,①如果22a b >，则a b >;②如果22a b <，则a b <。
例2、比较3223 （3)、分母有理化法通过分母有理化，利用分子的大小来比较。
例331-21- 11()b a b b a a b ++++512512（4)、分子有理化法通过分子有理化,利用分母的大小来比较。
例4(5)、倒数法例5-的大小。
(6）、作差比较法在对两数比较大小时,经常运用如下性质： ①0a b a b ->⇔>;②0a b a b -<⇔< 例6的大小。
４、规律性问题例1. 观察下列各式及其验证过程:, 验证：;验证:．（1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果,并进行验证； (2）针对上述各式反映的规律,写出用n(n≥2,且n 是整数）表示的等式，并给出验证过程. 例3、已知ａ>b>0，ａ＋的值为（ )Ａ．B.2D ． 例4、甲、乙两个同学化简时，分别作了如下变形:212甲：＝＝;乙：=。
其中( )Ａ. 甲、乙都正确 B. 甲、乙都不正确 Ｃ. 只有甲正确 D. 只有乙正确 课堂练习：1. 使式子有意义的条件是 。
2． 当__________３. 11m +有意义，则m 的取值范围是 。
４. 当__________x 是二次根式。
5． 在实数范围内分解因式：429__________,2__________x x -=-+=。
６. 2x =，则x 的取值范围是 。
7. 2x =-,则x 的取值范围是 。
８. 化简：)1x 的结果是 。
９. 当15x≤5_____________x -=。
10. 把的根号外的因式移到根号内等于 。
１1． 使等式11x =+成立的条件是 。
12. 若1a b -+互为相反数,则()2005_____________a b -=。
13． 在式子)()()230,2,12,20,3,1,x y y x xx x y +=--++中,二次根式有( )A.2个 Ｂ. 3个 Ｃ. 4个 D. 5个 14. 下列各式一定是二次根式的是( )Ｃ D ．15. 若23a ( ）A. 52a - B ． 12a - C. 25a - D ． 21a -16． 若A ==（ ）A ． 24a + B. 22a + C. ()222a + D ． ()224a +17. 若1a ≤( ）A. (1a - B ． (1a -C. (1a -Ｄ. (1a -1８. 能使等式=x 的取值范围是（ ) A. 2x ≠ B ． 0x ≥ C. 2x D. 2x ≥１9. 的值是( ）A. ０B. 42a -C. 24a - D ． 24a -或42a -2１. 2440y y -+=,求xy 的值。
22. 当a 1取值最小,并求出这个最小值。
２４． 已知2310x x -+=,25. 已知,a b 为实数,(10b -=，求20052006a b -的值。
26. 化简:())10,0a b ≥≥ ()2()3a二次根式的乘除１. 当0a ≤，0b__________=。
2.,则_____,______m n ==。
３. 计算:__________==。
4. 计算:_____________=。
5. ,则长方形的长约为 (精确到０.01）。
6． 下列各式不是最简二次根式的是（ )Ｂ Ｃ.47. 已知0xy ,化简二次根式( ）A. C. Ｄ.8. 对于所有实数,a b ,下列等式总能成立的是( ）A.2a b =+ a b =+C ．22a b =+ D ．a b =+9. -和-( )A. 32-- B ． 32-- C. -=- Ｄ． 不能确定10. ）A ． 它是一个非负数B ． 它是一个无理数 Ｃ. 它是最简二次根式 D. 它的最小值为3 11． 计算：()1()2()(()30,0a b -≥≥ ())40,0ab21.3 二次根式的加减1. ( ）C. D. ２. 下面说法正确的是( )Ａ. 被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式C. Ｄ. 同类二次根式是根指数为2的根式３． 与 ）A.． D ． ４． 下列根式中,是最简二次根式的是( ）A ． C.Ｄ5. 若12x( ）A. 21x -B. 21x -+C. 3 D ． －36. 10=,则x 的值等于( ) A ． 4 B. 2± C. 2 Ｄ. 4±7. x ，小数部分为y y -的值是（ )A ． 3 C. 1 D. ３ 8. 下列式子中正确的是（ )= B ．a b =-C. (a b =- 2==9. 是同类二次根式的是 。