二次根式知识点+例题分析+难题拓展+测试

二次根式的知识点汇总

知识点一: 二次根式的概念

形如

（

)的式子叫做二次根式。

注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根,所以是

为二次根式的前提条件，如

,

,

等是二

次根式，而

,

等都不是二次根式。

例1.下列式子,

、

ｘ＞0）

、

、

（x ≥0，y

≥0）．

分析：二次根式应满足两个条件:；第二，被开方数是正数或0．

知识点二：取值范围

1、 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知,当ａ≧0时，有意义,是二次根式,

所以要使二次根式有意义,只要使被开方数大于或等于零即可。 ２、 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根,所以当a ﹤0时,

没有意义。

例2.当x 在实数范围内有意义？

例3＋

在实数范围内有意义？ 知识点三：二次根式

（)的非负性

(

)表示a 的算术平方根,也就是说,

(

）是一个非负数,即

0(

）。

注:因为二次根式（

）表示ａ的算术平方根,而正数的算术平方根是正数，０的算术平方根

1

x

1

x y

+1

1

x +

是0，所以非负数（

）的算术平方根是非负数,即

0(

）,这个性质也就是非负数的算

术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，

则a=０,b=０；若

，则a=0,b ＝0；若

,则ａ＝0,ｂ＝0。

例4(１)

+5，求

的值．(2)

０,求a 200４+b 2004的值 知识点四：二次根式（）的性质1

(

） 文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。

注：二次根式的性质公式（)

是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以

反过来应用：若,则，如:，

.

例

1 计算

1.）2

2.2

3.２ ４.（）

2

例2在实数范围内分解下列因式:

（1）x ２-3 （2)ｘ4-4 (３） ２x 2－3

知识点五:二次根式的性质2

文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。注：

1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a 是正数还是负数,若是正数或０,则等于a 本身,

x

y

2

即；若ａ是负数，则等于a的相反数－a,即;

2、中的a的取值范围可以是任意实数,即不论a取何值，一定有意义；

3、化简时,先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。

例1 化简

（1

（

(3

(4

例2 填空：当a≥

0＿；当ａ＜0

＿__，

并根据这一性质回答下列问题.

（1)

a,则a可以是什么数?（2)

a,则a是什么数？

（３，则ａ是什么数？

例３当x>2,

.

知识点六:与的异同点

1、不同点：与表示的意义是不同的,表示一个正数ａ的算术平方根的平方,而

表示一个实数a的平方的算术平方根；在中,而中ａ可以是正实数，０,负实数。

但与都是非负数,即，。因而它的运算的结果是有差别的,

,而

2、相同点:当被开方数都是非负数，即时,＝；时，无意义，而. 知识点七：二次根式的乘除

1、＝（ａ≥0，b≥0）反过来＝·(a≥0，b≥0)

2

（a ≥0，b>0) （a ≥0，b>0) (思考:b 的取值与a 相同吗?为什么?不相同，因为b 在分母,所以不能为0) 例１.计算

（

2

(4

例

2 化简

(１

(2

( （４

例

3．判断下列各式是否正确,不正确的请予以改正

:

(1

(2

=4

=

=4

例4．计算:（1

（3

例5

．化简：

(1

（

（

例6.

，且ｘ为偶数，求(1＋

的值．

３、最简二次根式应满足的条件:

(1）被开方数不含分母或分母中不含二次根式； (２）被开方数中不含开得尽方的因数或因式

（熟记２0以内数的平方；因数或因式间是乘积的关系,当被开方数是整式时要先判断是否能够分

==

解因式,然后再观察各个因式的指数是否是2（或２的倍数)，若是则说明含有能开方的因式,则不满足条件，就不是最简二次根式)

例1.把下列二次根式化为最简二次根式（１) ; (2) ; （３)

４、化简最简二次根式的方法:

(1） 把被开方数(或根号下的代数式)化成积的形式，即分解因式； (2） 化去根号内的分母(或分母中的根号）,即分母有理化;

(３) 将根号内能开得尽方的因数(或因式)开出来.(此步需要特别注意的是:开到根号外的时候要

带绝对值，注意符号问题) 5.有理化因式:一般常见的互为有理化因式有如下几类:

①与; ②

与

;

③

与

; ④

与

．

说明：利用有理化因式的特点可以将分母有理化.

13、同类二次根式：被开方数相同的(最简)二次根式叫同类二次根式。

判断是否是同类二次根式时务必

将各个根式都化为最简二次根式。如

知识点八

:二次根式的加减

1、

二次根式的加减法：先把各个二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式(

即同类二次根式）进行合并。(合并方法为：将系数相加减，二次根式部分不变）,

不能合并的直接抄下来。

例1.

（

例

2．计算

（1）

-9

（２）