函数的周期性和对称性

为周期函数，T是函数的一个周期。若所有周期 中存在一个最小正数，则称它是函数的最小正周 期。
理解（1）.是否所有周期函数都有最小正周期？
(2).若T是 y f的 x一 个周期，则kT（k是非零整
数）均是 的y 周f期 x吗 ？
(3)周期函数的定义域D可以为闭区间吗？
(1)周期函数 不一定 有最小正周期.如： 常数函数 y=c. (2)若 T≠0 是 f(x)的周期，则 kT(k∈ Z)(k≠0)也一定是 f(x)的周期. (3)周期函数的定义域无 上、下 界．
f (a x) f (a x)，f (b x) f (b x)
f f
( (
x) x)
f f
(2a (2b
x)
x)
f (2a x)
f (2b x)
令t 2a x, 则2b x t 2b 2a, f (t) f (t 2b 2a)
即f (x) f (x 2b 2a)
f (4b 4a x)
Y
O
X=b
(a,0)
X
函数的周期性应用
小结： 三个结论：若 a，b 是非零常数，且 a≠b，则 有
结论 1：(逆推式与周期关系结论) (1)若 f(x＋a)＝f(x－a)，则 T＝2|a|； (2)若 f(x＋a)＝f1x，则 T＝2|a|； (3)若 f(x＋a)＝－f(x)，则 T＝2|a|； (4)若 f(x＋a)＝11＋ －ffxx，则 T＝4|a|.
T 2a f ( x)
T 2a
(6) f ( x a) 1 f ( x)（ 7）f(x)=1- 1
1 f (x)
f(x+a)
T 2a
T 3a
(8) f ( x a) 1 f ( x)(9) f ( x a) f ( x) f ( x-a)
T 4a 1 f ( x)
(2)若 y f (x)关于点 a,b 对称
f (x a) f (a x) 2b f ( x) f (2a x) 2b
定理：若函数 f (x)满足 f (a x) f (a x)，那么函数以x a为对
称轴。
cor.若函数f (x) 满足 f (x) f (2a x) ，那么函数以x a为对称轴。
则方程 f x 0在区间 0,6 上至少有( 4 )个根。
(2)将上题中的“偶函数”改成“奇函数”，其余
条件不变，则在区间 0,6至少有( 7 )个根。
重要结论：若f x奇 ，且周期为T，则必有
令x=- T ，由f(- T +T)=f(- T )=-f( T )得f( T )=0
f
T 2
0
f (x 2b 2a)
(a,0) (b,0)
性质3.若函数 f (x) 以 a,0 为对称点，以 x b
为对称轴，那么此函数是周期函数，周期 T= 4 a b
假定 b a f (x) f (2a x)
f (2b (2a x)) f (2b 2a x)
f (2b 2a (x 2b 2a)
对称。
cor.若函数 f (x)满足 f (x) f (2a x) ，那么函数关于点(a,0) 对称 。
即：对 a,称 0为 点
f (a x) f (a x)
f (x) f (2a x)
Y
(a,0) B O
A(a x, f (a x)) A B(a x, f (a x))
练习1:定义在R上的函数f ( x) 满足 f (x) f (4 x)
且方程 f ( x) 0有1001个根，则这1001个根的
和？ 2002
2:函数 y f x
图象关于点
1 2
,
1 2
对称，则
f (3) f (2) f (1) f (0) f (1) f (2) f (3) f (4) 4
所以,函数f (x)以2 | b a | 为周期(因不知道a, b的大小关系,
为保守起见,我加了一个绝对值
X=a X=b
性质2.若函数 f (x)以 a,0, b,0 为对称点，那么
此函数是周期函数，周期T= 2 a b
假定 b a f (x) f (2a x)
f (2b (2a x))
解题准备 奇偶性和周期性都是函数的整体性质．奇偶 性是解决函数图像的对称性问题，周期性是解决函数图像的 平移问题．函数的单调性揭示函数的局部性质，灵活运用函 数性质可解决与函数相关的方程、不等式等综合问题．
[解] 由 f(x＋2)＝－f[1－(x＋1)]＝－f(－x)＝f(x)，得 f(x) 是周期函数，且周期为 2.f(x＋1)是把 f(x)的图像向左移 1 个单 位．由 x∈R，f(x)是奇函数，且 f(x)＝0 在(－1,1)上只有一个 根，知 f(0)＝0，又令 x=0 得 f(0+1)=-f(1-0)即 f(1)=0∴方程 f(x) ＝0 的第 2000 个根是 2000，∴f(x＋1)＝0 的第 2000 个根是 1999.
例4：设 f x图象关于直线 x 1对称,在,1
上，f x 1 x2, 求当 x 1, 时 , f x 的
解析式。
f x 1 x 22 , x [1, )
例5：设f x是定义在R上的偶函数，它的图
象关于直线 x 1对称，已知x 1,1时,函数
f x 1 x2,求当 x 3,1时f x的解析式
2
变化前 对称源
变化后
点(0,0) x轴
y=-f(-x) y=-f(x)
y轴
y=f(-x)
y=f(x)
y=x y=-x 直线x=m 直线y=n
y=f-1(x)
y=-f-1(-x) y=f(2m-x) y=2n-f(x)
点(m,n)
y=2n-f(2m-x)
利用对称性求解析式
（一）、互对称问题常用轨迹代入法求解析式
关于 x a b 对称.
2
2)若 f x a f b x c ,则函数 f x
关于___a_2__b_, c2__ _____对称;
对称源
性质
点(0,0) f(-x)=-f(x)
y轴 f(-x)=f(x) y=f(x)
y=x f(x)=f-1(x)
x=m f(x)=f(2m-x)
点(m,n) f(x)=2n-f(2m-x)
函数的性质
--对称性、周期性
一、函数的对称性
两个恒等式的形式均不唯一，要记住本质构造.
若函数y f x上任意一点关于某直线（或某点）
的对称点仍在 y f x上，就称 f x关于某直线
（或某点）对称，这种对称性称为自对称。
(1)若 y f (x)关于直线 x a 对称
f ( x) f (2a x) f ( x a) f (a x)
即：x a为 f (a x) f (a x)
对称轴
f (x) f (2a x)
Y
A(a x, f (a x))
A
B
O
X=a
B(a x, f (a x))
A(x, f (x))
X
B(2a x, f (2a x))
定理：若函数 f (x)满足 f (a x) f (a x)，那么函数关于点 (a,0)
3：如果
f
x
4x 4x
2
,
那么
f
1 11
f
2 11
f
3 11
L
f
10 11
__5____ .
4:如果 f x ax a 1 , 那么
f
1 10
f
2 10
L
ax a
f
9 10
9 ___2___ .
5:(1)定义在R上偶函数 y f x满足 f 2 0,T 3,
2
2
2
2
2
6：定义在R上函数 y f x 满足条件:① f x 不是 常值 函数；② f 2 x f x; ③ f x 1 f x 1. 则下
f x 1 x 22 , x 3,1
常见函数的对称性
一个函数本身的对称性称为自对称,分成 y f x
关于某直线对称或某点对称.
eg : y ax2 bx c(a 0)关于直线 x b 对称
2a
y a x b m(a 0) 关于直线 x b对称
y
x
a x
(a
0)关于 原点
T 6a
注：除了定义式是充要条件外，其余均为充分
非必要条件 即：若T 2a推不出f ( x a) - f ( x)
3.函数的对称性与周期性的几个常见性质。
性质1.若函数f (x) 以 x a, x b（a b）为对称轴，那么此
函数是周期函数，周期T= 2 a b
证明：由f (x)图象有两条对称轴x a，x b
2、常见的判断周期的恒等式(可用递推法证明)
1 f ( x a) f ( x a)（, a R且a 0） T 2a
(2) f ( x a) f ( x)(3) f ( x a) 1
f (x)
T 2a
T 2a
(4) f ( x a) 1 (5) f ( x a) 1 f ( x)
对称
y
A
B (BC Cx D
0)关于点
D C
,
A
对称
二、函数的周期性
思考：若 f x a f x b,a b,函数 f x
具有什么性质？ T= (a-b)
1.定义:对于函数 y f x, x D ，若存在非零
常数T，使得 f x T f x恒成立，则称 y f x
[答案] －(2＋ 3)
[反思感悟] 根据 f(x＋3)＝－1fx，可得到 f(x)为周期为 6 的函数.
【典例 2】 已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，对任 意的 x，都有 f(x＋1)＝－f(1－x)，且方程 f(x)＝0 在(－1,1)上 只有一个根，则方程 f(x＋1)＝0 的第 2000 个根是多少．(从 x 轴右半轴开始从左到右数起)．
A(x, f (x)) X B(2a x, f (2a x))
注：1.当 a 0时,函数关于直线 x 0 对称
偶函数----特殊的轴对称函数 f ( x) f ( x)
2.当 a时 ,0函数关于点 对(称0, 0)
奇函数----特殊的点对称函数 f ( x) f ( x) 0
一般地,1)若f x a f x b ,则函数f x
【典例 1】 已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(2)＝2－ 3，且对任意的 x 都有 f(x＋3)＝－1fx，则 f(2009)＝________.
[解析] 由题意可得 f(x＋6)＝f((x＋3)＋3)＝－fx1＋3＝ －－1f1x＝f(x)．∴函数的周期为 6.
f(2009)＝f(334×6＋5)＝f(5)，而 f(5)＝f(3＋2)＝－f12＝ －2－1 3＝－(2＋ 3)．故填－(2＋ 3)．
例2:将函数 y f (x)右移2个单位得到图像 C1，有C1和C2的图像关于点(1, 2)对称，求C2的 函数解析式。
y 4 f (x)
例3：设 f x 1 x2的图象与 g x 的图象关 于直线 x 1 对称，求 g x的解析式。
g x 1 x 22
(二)、自对称问题常联系恒等式进行x的变换
Ex:若函数 f (x), 且 f (3- x)= f (3+ x),
12 使 f (x)=
1 2
的解是x1 ,
x2
,
x3
,
wenku.baidu.comx4
,
求x1
+
x2 +
x3 +
x4 = - - - -
例1：已知y f x的图象,画出 f 1 x和 f 1 x
的图象，并指出两者的关系。 关于x=0对称
y f x 1 y f 1 x
(-1,0)
(1,0)
y f x
若函数 y f x上任意一点关于某直线（或某点） 的对称点在 y g x 上，就称 y f x和 y g x
关于某直线（或某点）对称，这种对称性称为互
对称。
一般地, 函数 y f x a 和 y f x b 关于
x___b___a_对称.记忆：令x+a=-x+b，可求得对称轴.
结论 2：(对称性与周期关系结论) (1)f(x)关于 x＝a 及 x＝b 对称，则 T＝2|b－a|； (2)f(x)关于 x＝b 及 M(a,0)对称，则 T＝4|b－a|； (3)f(x)关于 M(a,0)和 N(b,0)对称，则 T＝2|b－a|.
结论 3：(奇偶性与周期关系结论) (1)f(x)是偶函数且关于直线 x＝a 对称，则 T＝2|a|； (2)f(x)是奇函数且关于直线 x＝a 对称，则 T＝4|a|. (上述结论中的 T 为函数的周期，但不一定是最小正周 期)．