第三章 (3) 乘子法
浙教版七年级数学下册第三章《3.3多项式的乘法(1)》公开课课件
你能根据这个规律解决下面的问题吗？
(xa)x(b)x2_ (a _b) x__ab____
口答：
(x + 3 )(x ＋ 5 ) x 2 _ 8_ x _ 1_ 5
1.若 x+2 x2+ax+b 中不含x的二次项和
一次项，求a与b的值。
小结：
一、多项式与多项式相乘法则： (a+n)(b+m) =ab+am+nb+nm
单项式与多项式相乘的法则:
单项式与多项式相乘，就是用单项式分别去乘
多项式的每一项,再把所得的积相加。
如：a(b+c)=ab+ac
单项乘以多项式的依据是:
分配律
3.3 多项式的乘法（1）
利用如下的长方形卡片拼成更大的长方形 （ 每种卡片有1张）.
aபைடு நூலகம்
n
b
b
m
a
m
n
a b
n b
m
m
a
n
你能用不同的形式表示所拼图形的面积吗？
• 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/7/302021/7/302021/7/307/30/2021 8:26:00 AM
• 11、一个好的教师，是一个懂得心理学和教育学的人。2021/7/302021/7/302021/7/30Jul-2130-Jul-21
• 12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/7/302021/7/302021/7/30Friday, July 30, 2021
1.先化简，再求值： z，xxk
(2x-1)(-3y)-(1-3x)(1+2y)，
拉格朗日乘子法、对偶问题、KKT条件、半二次方分裂法、ADMM
拉格朗⽇乘⼦法、对偶问题、KKT 条件、半⼆次⽅分裂法、ADMMTo Be Continued~共轭函数假设 f :R n →R ，函数 f ∗:R →R 。
若两函数满⾜：f ∗(y )=sup x ∈domf (y T x −f (x ))则 f ∗ 是 f 的共轭函数，共轭函数是使上式的上确界⼩于 ∞ 的部分。
可以理解为对于每⼀个确定的 y ，y T x 都是⼀个线性函数，此时 y T x −f (x ) 变为线性函数与原函数在 x 的定义域上的差值，这个差值即为 y T x −f (x ) 的值域，若此时确定的 y 不能使值域的上确界⼩于⽆穷⼤，则不保留，反之则保留。
所有保留的 y 构成共轭函数的定义域，⽽所有 y T x −f (x ) 不是 ∞的上确界构成共轭函数的值域。
易知共轭函数是凸函数⽰例放射函数：f (x )=ax +b 的共轭函数为：f ∗(y )=sup (yx −ax −b )观察易得，如果 y ≠a ，那么⽆论 y 取值多少，yx −ax −b 的上确界都是 ∞。
但是当 y =a 时，yx −ax −b 为常数 −b ，上确界为 −b ，即此共轭函数定义域为 a ，值域为 −b 。
负对数函数：f (x )=−log x 的共轭函数为：f ∗(y )=sup x >0(yx +log x )⾸先f ∗(y )′′<0， 对于某⼀ y 有 f ∗(y )′=y +1x =0 时，共轭函数取得最⼤值，此时 x =−1y 使得共轭函数取得上确界，即共轭函数简化为 f ∗(y )=−log(−y )−1拉格朗⽇乘⼦法⾸先解释拉格朗⽇函数的形式的原因由简单的⼆维形式，并且受到等式约束的例⼦出发min f (x ,y )s .t .g (x ,y )=c其中 g (x ,y )=c 可以理解为等⾼线，即 z =g (x ,y ) 为三维曲⾯，当 z =c 时，可以想象为⽤平⾯ z =c 去截 z =g (x ,y ) 这个三维曲⾯所获得的曲线，⽽这条曲线上满⾜g (x ,y )=c 。
乘子法
2012-2013（1）专业课程实践论文乘子法葛禹泽，0818180109，R数学08-1班李元东，0818180107，R数学08-1班王岳，0818180108，R数学08-1班一、算法理论乘子法是Powell 和Hestenes 于1969年针对等式约束优化问题同时独立提出的一种优化算法,后于1973年经Rockfellar 推广到求解不等式约束优化问题。
其基本思想是从原问题的拉格朗日函数出发,再加上适当的罚函数,从而将原问题转化为求解一系列的无约束优化子问题。
由于外罚函数法中的罚参数+∞→k σ ,因此增广目标函数变得“越来越病态”。
增广目标函数的这种病态性质是外罚函数法的主要缺点, 而这种缺陷在乘子法中由于引入拉格朗日函数及加上适当的罚函数而得以有效的克服。
我们考虑同时带有等式和不等式约束的优化问题的乘子法:()()(),,,1,0,,,1,0..,min m i x g l i x h t s x f i i =≥==其基本思想是把解等式约束优化问题的乘子法推广到不等式约束优化问题,即先引进辅助变量把不等式约束化为等式约束,然后再利用最优性条件消去辅助变量。
为叙述的方便计,我们先考虑如下只带有不等式约束的最优化问题()(),,,1,0..,min m i x g t s x f i =≥引进辅助变量(),,,1m i y i =，可以将上面的优化问题化为等价的等式约束优化问题：()(),,,1,0..,min 2m i y x g t s x f i i ==-利用外发函数法求解，此时增广拉格朗日函数为()()()[]()[]212212,,,~∑∑==-+--=mi iiiimi i y x g y x g x f y x σλσλψ 为了消去辅助变量y ，可考虑ψ~关于变量y 的极小化，由一阶必要条件，令()0,,,~=∇σλψy x y 可得()[],,,1,0222m i y x g y y i i i i i ==--σλ即()()[],,,1,02m i x g y y i i i i ==--λσσ故当()0>-i i x g λσ时，有()[]()i i i i i x g x g y λσλσσ112-=-=否则，由()[]02≥-+x g y i i i σλσ可推得0y i =。
拉格朗日乘子法
拉格朗⽇乘⼦法拉格朗⽇乘数法（Lagrange multiplier）有很直观的⼏何意义。
举个2维的例⼦来说明：假设有⾃变量x和y，给定约束条件g(x,y)=c，要求f(x,y)在约束g下的极值。
我们可以画出f的等⾼线图，如下图。
此时，约束g=c由于只有⼀个⾃由度，因此也是图中的⼀条曲线（红⾊曲线所⽰）。
显然地，当约束曲线g=c 与某⼀条等⾼线f=d1相切时，函数f取得极值。
两曲线相切等价于两曲线在切点处拥有共线的法向量。
因此可得函数f(x,y)与g(x,y)在切点处的梯度（gradient）成正⽐。
于是我们便可以列出⽅程组求解切点的坐标(x,y)，进⽽得到函数f的极值。
想法就是：能够碰到极⼤极⼩值点的必要条件是：梯度场与切空间垂直，也就是梯度场不能够有任何流形切空间上的分量，否则在切空间⽅向有分量，在流形上沿分量⽅向⾛，函数值会增加，沿反⽅向⾛，函数值会减少，不可能为局部极⼩或者极⼤值点。
⼀.⼀个基本的例⼦：假设你⽣活在三维欧⽒空间中，z⽅向的坐标数值上代表海拔⾼度。
如果你会飞，那么anyway，你想飞多⾼飞多⾼，所以你的海拔可以任意⾼也可以任意⼩，根本就没有最⼤值。
假定你是⼀个普通⼈类，你在⼀座⼭上，你的⽬标是爬到⼭顶，也就是说你希望⾃⼰的海拔⾜够⾼：当你真正到达⼭腰时，很容易“只缘⾝在此⼭中，不识此⼭真⾯⽬”，这时候如何判断是真的在往上爬呢，还是在往下⾛呢？在⾁眼所能看见的⼩范围内，你可以通过周边的局部地形来判断，假设它⼤概是这样：你就知道应该往⾼处（⼤概为红箭头⽅向）⾛，⽽不是绿箭头⽅向。
当然不⼀定⼀直沿这个⽅向直线式上升，可能还需要⾛到某个地⽅，再次做⼀下这种局部的考察，调整⼀下⽅向，保证⾃⼰能向⾼处⾛。
不过，什么是“⾼”的⼀边？这个概念究竟是如何形成的？我们知道，海拔，我们希望能够找到⼭⾯上的海拔最⾼点（⼭顶）。
梯度关于梯度⼀个很⾃然的结论就是：沿梯度⽅向是f增长最快的⽅向，反⽅向是下降最快的⽅向。
罚函数之乘子法
罚函数之乘⼦法外罚函数主要⽤于对于等式约束问题的求解，内点法主要是对于不等式问题的求解，⼀般问题中包含等式约束以及不等式约束，故需要使⽤乘⼦法解决问题。
1、乘⼦法概述（1）等式约束乘⼦法描述：min f(x)s.t. g i(x) =0⼴义乘⼦法是拉格朗⽇乘⼦法与罚函数法的结合，构造增⼴函数：φ (x,λ,σ)=f(x)+λT g(x)+1/2σg T(x)g(x)在罚函数的基础上增加了乘⼦项，⾸先在σ⾜够⼤的基础上，获得ϕ的极⼩值，然后在调整λ获得原问题的最优解。
（2）包含等式约束以及不等式约束问题描述：min f(x)s.t. h i(x) =0,i=1,...,lg i(x)≥0,i=1,...m其基本思想是：先引进辅助变量把不等式约束化为等式约束，然后利⽤最优性条件消去辅助变量，主要是通过构造增⼴拉格朗⽇函数，进⾏外迭代与内迭代综合，带⼊乘⼦迭代公式，进⽽得出得出，故针对上述⼀般问题构造拉格朗⽇函数为：4、其代码实现为function [x,mu,lambda,output]=multphr(fun,hf,gf,dfun,dhf,dgf,x0)%功能：⽤乘⼦法解⼀般约束问题：min f(x),s.t. h(x)=0.g(x)>=0%输⼊：x0是初始点，fun，dfun分别是⽬标函数及其梯度；%hf，dhf分别是等式约束（向量）函数及其jacobi矩阵的转置；%gf，dgf分别是不等式约束（向量）函数及其jacobi矩阵的转置；%输出：x是近似最优点，mu，lambda分别是相应于等式约束和不等式% 等式约束的乘⼦向量；output是结构变量，输出近似极⼩值f，迭代次数，内迭代次数等%%%%%%c初始化相关参数%%%%%%%%%%%maxk=500; %最⼤迭代次数sigma=2.0; %罚因⼦eta=2.0; theta=0.8; %PHR算法中的实参数k=0; ink=0; %k,ink分别是外迭代和内迭代次数epsilon=1e-5;%终⽌误差值x=x0;he=feval(hf,x);gi=feval(gf,x);%he=feval(hf,x)=hf(x)n=length(x);l=length(he);m=length(gi);%选取乘⼦向量的初始值mu=0.1*ones(1,1);lambda=0.1*ones(m,1);%ones为⽣成m*n的全1矩阵btak=10; btaold=10; %⽤来检验终⽌条件的两个值while (btak>epsilon & k<maxk)%%%%%%c先求解⽆约束问题%%%%%%%%%%%%调⽤BFGS算法程序求解⽆约束⼦问题[x,v,ik]=bfgs('mpsi','dmpsi',x0,fun,hf,gf,dfun,dhf,dgf,mu,lambda,sigma);%%其中x为最优点，val为最优值，ik为迭代次数 ink=ink+ik;he=feval(hf,x);gi=feval(gf,x);%%%%%%%%%%计算btak%%%%%%%%%%%btak=0.0;for(i=1:l),btak=btak+he(i)^2; endfor(i=1:m)temp=min(gi(i),lambda(i)/sigma);btak=btak+temp^2;endbtak=sqrt(btak);if btak>epsilon%%%%%%%%%%%更新罚参数%%%%%%%%%%%if(k>=2 & btak>theta*btaold)sigma=eta*sigma;end%%%%%%%%%%%更新乘⼦向量%%%%%%%%%%%%for(i=1:l),mu(i)=mu(i)-sigma*he(i);endfor(i=1:m)%lambda(i)=max(0.0,lambda(i)-sigma*gi(i));lambda(i)=max(0.0,lambda(i)-gi(i));endend%%%%%%%%%%%迭代%%%%%%%%%%%%k=k+1;btaold=btak;x0=x;endf=feval(fun,x);output.fval=f;output.iter=k;output.inner_iter=ink;output.bta=btak;BFGS算法部分：function [x,val,k]=bfgs(fun,gfun,x0,varargin)%功能：⽤BFGS算法求解⽆约束问题：minf（x）%输⼊：x0是初始点，fun，gfun分别是⽬标函数及其梯度%varargin是输⼊的可变参数变量，简单调⽤bfgs时可以忽略，其他程序调⽤则尤为重要%输出：x为最优点，val为最优值，k时迭代次数maxk=500;%给出最⼤迭代次数rho=0.55;sigma=0.4;epsilon=1e-5;k=0;n=length(x0);Bk=eye(n);%Bk=feval('Hess',x0)while(k<maxk)gk=feval(gfun,x0,varargin{:});%计算梯度if(norm(gk)<epsilon),break;end%检验终⽌准则dk=-Bk\gk;%解⽅程组，计算搜索⽅向m=0;mk=0;while(m<20)%搜索求步长newf=feval(fun,x0+rho^m*dk,varargin{:});oldf=feval(fun,x0,varargin{:});if(newf<oldf+sigma*rho^m*gk'*dk)mk=m;break;endm=m+1;end%bfgs校正x=x0+rho^mk*dk;sk=x-x0;yk=feval(gfun,x,varargin{:})-gk;if(yk'*sk>0)Bk=Bk-(Bk*sk*sk'*Bk)/(sk'*Bk*sk)+(yk*yk')/(yk'*sk);endk=k+1;x0=x;endval=feval(fun,x0,varargin{:});主函数部分为：%⽬标函数⽂件function f=f1(x)f=(x(1)-2.0)^2+(x(2)-1.0)^2;%等式约束条件function he=h1(x)he=x(1)-2.0*x(2)+1.0;%不等式约束条件function gi=g1(x)gi=-0.25*x(1)^2-x(2)^2+1;%⽬标函数的梯度⽂件function g=df1(x)g=[2.0*(x(1)-2.0),2.0*(x(2)-1.0)]';%等式函数的Jacobi（转置）矩阵⽂件function dhe=dh1(x)dhe=[1.0,-2.0]';%不等式约束函数的Jacobi矩阵（转置矩阵）function dgi=dg1(x)dgi=[-0.5*x(1),-2.0*x(2)]';命令⾏指令为：x0=[3,3]'[x,mu,lambda,output]=multphr('f1','h1','g1','df1','dh1','dg1',x0)输出结果如下：。
乘子法例题讲解
乘子法例题讲解乘子法是一种数学优化技术，通常用于处理包含约束条件的优化问题。
基本步骤包括：1. 确定目标函数和约束条件：首先，需要明确要优化的目标函数以及约束条件。
2. 引入乘子：在约束条件中引入一个或多个乘子，这些乘子将用于后续的优化过程。
3. 构造增广目标函数：将目标函数和乘子加入到增广目标函数中，通常是在目标函数中增加一项或多项与约束条件相关的表达式。
4. 优化增广目标函数：使用适当的优化方法对增广目标函数进行优化，以求得最优解。
5. 解出最优解：通过优化增广目标函数，可以解出最优解以及对应的乘子值。
下面是一个简单的乘子法例题讲解：例题：假设有一个简单的优化问题，目标是最小化 f(x) = x^2，约束条件是g(x) = x - 2 不小于 0。
即 x >= 2。
首先，确定目标函数 f(x) = x^2 和约束条件 g(x) = x - 2 不小于 0。
然后，引入乘子λ，构造增广目标函数F(x, λ) = x^2 + λ (x - 2)。
这里，λ 是我们要找的乘子。
接下来，对增广目标函数F(x, λ) 进行优化。
由于这是一个简单的二次函数，我们可以直接求导数并令其为零，即2x + λ = 0，解得 x = -λ/2。
然后，我们需要解出λ 的值。
根据约束条件 g(x) >= 0，我们有 x - 2 >= 0，即 x >= 2。
将 x = -λ/2 代入得 -λ/2 >= 2，解得λ <= -4。
最后，我们可以得出最优解 x = -λ/2 = 2，以及对应的乘子值λ = -4。
这就是通过乘子法解决这个优化问题的过程。
七年级数学下册 第三章 整式的乘除 3.4 乘法公式(一)课件 (新版)浙教版
(5)增项变化：(a＋b－c)(a－b＋c)＝a2－(b－c)2.
(6)增因式变化： (a＋b)(a－b)(－a－b)(－a＋b)＝(a2－b2)(a2－b2)＝(a2－b2)2.
(7)连用公式变化： (a－b)(a＋b)(a2＋b2)(a4＋b4)＝a8－b8.
学习指要
知识要点
1．平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2. 两数和与这两数差的积等于这两数的平方差．
2．运用平方差公式进行数的简便运算：根据相乘两数的 形式特征，把相乘的两数化成两数和与两数差的乘积 形式．
重要提示
1．平方差公式的结构特征： (1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同， 另一项互为相反数． (2)右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去相反项的平方)． (3)公式中的 a，b 具有广泛的含义，可以表示一个数，一个字母， 一个单项式，还可以表示一个多项式．
(2)原式＝50－1350＋13＝502－132＝2500－19＝249989. (3)原式＝（2017－1）2（012702 17＋1）＋1 ＝2012702－1712＋1＝2200117722＝1.
【答案】
(1)－999996
8 (2)24999
(3)1
反思
2．公式的应用可以看成公式中字母取“值”的过程，关键是不要弄 错．刚开始使用公式时，运算格式可分两步，第一步先按公式特征 写出一个“框架”，如(a＋b)(a－b)＝( )2－( )2；第二步在 “框架”中填数计算．利用平方差公式计算比利用多项式与多项式 相乘的法则计算简便得多，但是，不符合平方差公式形式的两个二 项式相乘，不能用平方差公式．
交叉方向乘子法
交叉方向乘子法交叉方向乘子法（cross-directional method of multipliers）是一种求解带有约束的优化问题的方法。
它是一种用于求解线性规划问题的变形方法，可以将非线性规划问题转化为线性约束问题，并通过引入拉格朗日乘子来加入约束条件，从而得到原问题的解。
交叉方向乘子法的基本思路是，将问题分解为多个子问题，每个子问题都包含部分约束条件，并通过引入对应的拉格朗日乘子来满足这些约束条件。
然后，不断交替求解这些子问题，通过更新拉格朗日乘子的值，使得每个子问题的解逐渐逼近原问题的解。
具体来说，交叉方向乘子法的步骤如下：1.引入拉格朗日乘子。
将原问题转化为带有约束条件的优化问题，并引入拉格朗日乘子来表示约束条件。
2.分解子问题。
将原问题分解为多个子问题，每个子问题包含部分约束条件，同时保持其他变量不变。
例如，假设原问题包含n个变量和m个约束条件，那么可以将其分解为k个子问题，其中k≥m，每个子问题包含n个变量和部分约束条件。
3.求解子问题。
对于每个子问题，固定其他变量的值，将其转化为线性规划问题，并使用线性规划算法求解。
4.更新拉格朗日乘子。
利用每个子问题的解，更新对应的拉格朗日乘子的值，使得每个子问题的解逐渐逼近原问题的解。
5.重复求解子问题，更新拉格朗日乘子。
重复执行步骤3和步骤4，直到所有子问题的解都收敛到原问题的解。
交叉方向乘子法的优点是，可以处理大规模的非线性规划问题，并且可以通过分解子问题，使得每个子问题的求解过程更加简单和高效。
然而，由于需要不断交替求解子问题和更新拉格朗日乘子的值，所以其收敛速度可能较慢。
《2024年互补问题的乘子法》范文
《互补问题的乘子法》篇一一、引言在现实生活和科学研究中，我们经常遇到各种互补性问题，如资源分配、博弈论、网络流等问题。
这些问题的共同特点是，存在一种互补性关系，即某个决策或变量的变化会影响到其他相关决策或变量的取值。
乘子法作为一种有效的数学工具，被广泛应用于解决这类互补性问题。
本文将详细介绍互补问题的乘子法，探讨其原理、应用及优势。
二、乘子法的原理乘子法是一种通过引入乘子（或拉格朗日乘数）来处理互补性约束条件的方法。
它的基本思想是将原问题转化为一个无约束的优化问题，通过求解这个无约束问题来得到原问题的解。
乘子法的原理基于拉格朗日对偶性，通过将原始问题的拉格朗日函数与对偶变量（即乘子）相结合，构造出一个对偶问题。
然后通过求解对偶问题来得到原问题的解。
三、乘子法在互补问题中的应用乘子法在互补问题中的应用非常广泛。
例如，在资源分配问题中，我们可以通过引入乘子来处理各种资源之间的互补性约束条件，使得资源能够被合理地分配。
在博弈论中，乘子法可以用于解决两人或多人间策略性互动的问题，通过引入乘子来平衡各方之间的利益关系。
在网络流问题中，乘子法可以用于处理网络中节点和边之间的流量平衡问题。
四、乘子法的优势乘子法在解决互补问题中具有以下优势：1. 简洁性：乘子法可以将复杂的互补性问题转化为一个无约束的优化问题，使得问题求解过程变得简单明了。
2. 灵活性：乘子法可以处理各种不同类型的互补性约束条件，具有很高的灵活性。
3. 高效性：乘子法可以通过迭代算法快速求解，具有较高的计算效率。
4. 稳定性：乘子法在求解过程中能够保持问题的稳定性，避免出现数值计算上的困难。
五、实例分析以资源分配问题为例，假设有三种资源需要分配给四个项目，每个项目对不同资源的需求量存在互补性关系。
我们可以使用乘子法来处理这个问题。
首先，我们构建一个包含互补性约束条件的拉格朗日函数。
然后，通过引入乘子来将原问题转化为一个无约束的优化问题。
接着，我们使用迭代算法来求解这个无约束问题，得到每个项目分配到的资源量。
[理学]1120 罚函数法 罚函数法与乘子法合订_OK
![[理学]1120 罚函数法 罚函数法与乘子法合订_OK](https://img.taocdn.com/s3/m/9b64c8f0de80d4d8d05a4f23.png)
做法：作辅助函数: F x, f x P x
其中 0是常数，称为惩罚因子;
P x 是定义在Rn上的一个函数，
称为惩罚项，它满足：
(1) P x是连续的； (2) 对任意的x Rn , 有P x 0； (3) 当且仅当x是可行点时，P x =0 .
接下来求解 Min F( x, ), 并不断改变 ,不断循环求解.
根据惩罚函数表达式（构造方法的不同），形 成不同的罚函数法。我们重点介绍三种：
外点罚函数法、内点罚函数法、乘子法(外点罚函 数法的一种推广和发展)．
2
一、外点惩罚函数法—外点法
考虑如下问题：min f ( x), x Rn
s.t. gi ( x) 0, i 1, , m
hj ( x) 0, j 1, , p
处取得极小值.
令 得：
x
lim
x
5 2
,
3 2
T
.
易验证 g x 0 0, 即满足约束条件,
所以原问题的最优解及最优值分别为：
x*
5 2
,
3 2
T
,
f x* 1 . 2
11
3 算法实现
对于上述解法中, 的选取对问题的求解十分重要,
一般策略是取一个趋于无穷大的严格递增正数列 k,
罚因子 r1r1 10 , 缩小系数 c c 0.1 , 令 k 1.
Step2: 以 xk1为初始点求无约束问题：
Min
xint S
F x,r
f
x rk B x 得最优解,记作 xk
.
Step3: 若 rk B xk , 则 x* xk ,停；否则转Step4
Step4: 令 rk1 c rk , k k 1, 转 Step2.
浙教版七年级数学下册第三章《3.3多项式的乘法(1)》优质课课件
b
m
a+n
b(a+n)+m(a+n)
你能用不同 的形式表示 所拼图形的 面积吗？
b
m
a
n
ab+am+nb+nm
你能用不同 的形式表示 所拼图形的 面积吗？
你能用分配律解释上述等式成立吗？
(a+n)(b+m) =a(b+m)+n(b+m) =ab+am+nb+nm
(a+n)(cb+m) =a(cb+m)+n(cb+m) 整体思想
1.先化简，再求值： z，xxk
(2x-1)(-3y)-(1-3x)(1+2y)，
其中x=2，y=1.
2.化简 : 2 x 3 x 3 x x 6
填空： (x2 )x (3 )x2_ 5 x _ _ 6 _ (x+ 4 )(x 2 )x2 _ _ 6 x _ 8_ (x 6 )(x+ 5 )x2 1_ 1_x 3_ 0_
单项式与多项式相乘的法则:
单项式与多项式相乘，就是用单项式分别去乘
多项式的每一项,再把所得的积相加。
如：a(b+c)=ab+ac
单项乘以多项式的依据是:
分配律
3.3 多项式的乘法（1）
利用如下的长方形卡片拼成更大的长方形 （ 每种卡片有1张）.
a
n
b
b
m
a
m
n
a b
n b
m
m
a
n
你能用不同的形式表示所拼图形的面积吗？
问 题
注： 多项式与多项式相乘 的结果中，如果有同类项， 要把同类项合并。
【最新】浙教版七年级数学下册第三章《342乘法公式》公开课课件
也称乘法公式。
4.用两数差的完全平方公式计算:
(1) (a-1)2=(___)2-2(___)(___)+(___)2=
.
(2) (2a-3b)2=(___)2-2(___)(___)+(___)2=
例1.用完全平方公式计算:
(1) (x+3y)2
(2) (2a-3)2
(3) (-3s+t)2
1. 如图，大正方形的边长为a+b. 请用两种不同的方法计算这个大正方形的面积. 多项式相乘的法则推导
(a b)2 a2 2ab b2
两数和的完全平方公式：
.
请用文字叙述两数和的完全平方公式：zxxkw
3.用两数和的完全平方公式计算(填空):
(1) (a+1)2=(___)2+2(___)(___)+(___)2=
(2) (2a+3b)2=(___)2+2(___)(___)+(___)2=
.
(3) (a b)2 a (b)2
=(___)2+2(___)(___)+(___)2=
.
由(3)得两数差的完全平方公式： 请用文字叙述两数差的完全平方公式：
(4) (-4x-3y)2
例2.选择适当的公式计算： (1)（2x-1)(-1+2x) (2) (-2x-y)(2x-y)
(3) (-a+5)(-a-5) (4) (ab-1)(-ab+1)
例3：一花农有两块正方形茶花苗圃, 边长分别为30.1m,29. 现将这两块苗圃的边长都增加1.3m. 求各苗圃的面积分别增加了多少平方米.
广义乘子法
min f (x); s.t. h j (x) = 0, i = 1, 2,L , l ,
的近似最优解；否则， Step4。 的近似最优解；否则，转Step4。
转化求解法（ ）：增广乘子法 转化求解法（二）：增广乘子法
h( x k ) ≥ω 判断收敛快慢。 Step4 判断收敛快慢。若 h(x k −1 )
4.6 广义乘子法
增广乘子法
基本是想
把罚函数与Lagrange函数结合起来，构造出更合适的新目标函数， 函数结合起来，构造出更合适的新目标函数， 把罚函数与 函数结合起来 使得在罚因子适当大的情况下，借助于Lagrange乘子就能逐步达 使得在罚因子适当大的情况下，借助于 乘子就能逐步达 到原约束问题的最优解。 到原约束问题的最优解。 由于这种方法要借助于Lagrange乘子的迭代进行求解 乘子的迭代进行求解 由于这种方法要借助于 而又区别于经典的Lagrange乘子法，故称为广义乘子法。 而又区别于经典的Lagrange乘子法，故称为广义乘子法。 乘子法
∇ x L(x, σ k , v k ) = ∇f (x) + ∑ v (jk ) − σ k h j (x) ∇h j (x)
最优解为
xk
时
l
∇ x L(x, σ k , v k ) = ∇f (x k ) + ∑ v (jk ) − σ k h j (x k ) ∇h j (x k ) = 0
j =1 2 j j =1
l
l
（1） ）
( ( 次迭代中采用的Lagrange乘子 其中 v k = (v1 k ) , v2k ) ,L , vl( k ) )T 是第 k 次迭代中采用的 乘子
（1） ）
乘子法
p
则X
* 是(NP)的最优解
hj ( X ) 0,
j 1,2,, p j 1,2,, p
是其相应的Lagrange乘子
证明：
显然 若X*是 min ( X , , C ) 的最优解，且 h ( X ) 0,
f (X) 则对X , 都有： ( X , , C ) ( X , , C )
约束问题5-3
L( X , ) f ( X ) j h j ( X )
p
乘子罚函数：
f ( X ) h j ( X ) 0 j
j 1 p
p j 1
j 1 p
(NP )min f ( X ) s.t . h j ( X ) 0
j 1,2,, p
*与
min ( X , , C )的最优解的关系 n
X R
约束问题5-3
L( X , ) f ( X ) j h j ( X )
p
乘子罚函数：
j 1
(NP )min f ( X ) s.t . h j ( X ) 0
C ( X , , C ) f ( X ) j hj ( X ) 2 j 1
j 1
X
*是(NP)最优解
f ( X ) h j ( X ) 0 j
j 1
p
( 1 , 2 , , ) 称为X *相应的Lagrange乘子 p
改进罚函数法的思想：
( X , M ) f ( X ) M h2 ( X ) 罚函数： j
C ( X , , C ) f ( X ) j hj ( X ) 2 j 1
拉格朗日乘子法
拉格朗日乘子法1、拉格朗日乘子法：(又称为拉格朗日乘数法)，就是求函数f(x1,x2,...)在g(x1,x2,...)=0的约束条件下的极值的方法。
其主要思想是引入一个新的参数λ（即拉格朗日乘子），将约束条件函数与原函数联系到一起，使能配成与变量数量相等的等式方程，从而求出得到原函数极值的各个变量的解。
拉格朗日乘子（Lagrange multiplier）具体方法：假设需要求极值的目标函数(objective function) 为f(x,y)，限制条件为φ(x,y)=M设g(x,y)=M-φ(x,y)定义一个新函数F(x,y,λ)=f(x,y)+λg(x,y)则用偏导数方法列出方程：F/?x=0F/?y=0F/?λ=0求出x,y,λ的值，代入即可得到目标函数的极值扩展为多个变量的式子为：F(x1,x2,...λ)=f(x1,x2,...)+λg(x1,x2...)则求极值点的方程为：F/?xi=0（xi即为x1、x2……等自变量）F/?λ=g(x1,x2...)=0以上内容在《数学手册》当中有。
另外，可以将这种把约束条件乘以λ（即不定乘子）后加到待求函数上的求极值方法推广到变分极值问题及其它极值问题当中，理论力学当中对非完整约束的处理方法就是利用变分法当中的拉格朗日乘子法。
拉格朗日乘子法的用途：从经济学的角度来看，λ代表当约束条件变动时，目标函数极值的变化。
因为?F/?M=λ，当M增加或减少一个单位值时，F会相应变化λ。
例如，假设目标函数代表一个工厂生产产品的数量，约束条件限制了生产中投入的原料和人力的总成本，我们求目标函数的极值，就是要求在成本一定的条件下，如何分配利用人力和原料，从而使得生产量达到最大。
此时λ便代表，当成本条件改变时，工厂可达到的生产量最大值的变化率。
浙教版七年级数学下册第三章《3.4乘法公式(第一课时) 》公开课课件
a
b
解决问题
a
a
a
b
a-b
b
b
新长方形的面积为：(_a____b_)_(_a___b_)_____
原图形实际面积为：___a__2___b__2______
(ab)(ab)a2b2
(a+b)(a-b)=a2-b2
即：两数和与这两数差的积，等于这两数
的平方差
这里的字母a，b可以是数，或是单项
抢答下列各题：
(l)(-a+b)(a+b)= b__2-_a__2____ (2)(a-b)(b+a)= __a__2-_b__2___ (3)(-a-b)(-a+b)= _a_2_-_b_2___ (4)(a-b)(-a-b)= _b_2_-_a_2____
例1 运用平方差公式计算:
(1)(3x+5y)(3x-5y) =(_3_x_)2 – (_5_y_)2 =_9_x_2-_25y2
利用平方差公式计算（先确定各题的a与b再填空）
(1)(5+6x)(5-6x)=( 5 )2-( 6x)2=_2_5_-_3_6_x2 (2)(x-2y)(x+2y)=(x )2-( 2y)2=__x_2_-_4_y_2 (3)(-m+n)(-m-n)=(-m)2-( n )2=__m__2_-_n_2
式，甚至是更复杂的代数式
❖1、人才教育不是灌输知识，而是将开发文化宝库的钥匙，尽我们知道的交给学生。 ❖2、一个人的知识如果只限于学校学习到的那一些，这个人的知识必然是十分贫乏的2021/10/152021/10/152021/10/1510/15/2021 2:44:14 PM ❖3、意志教育不是发扬个人盲目的意志，而是培养合于社会历史发展的意志。 ❖4、智力教育就是要扩大人的求知范围 ❖5、最有价值的知识是关于方法的知识。 ❖6、我们要提出两条教育的诫律，一、“不要教过多的学科”；二、“凡是你所教的东西，要教得透彻”2021年10月2021/10/152021/10/152021/10/1510/15/2021 ❖7、能培养独创性和唤起对知识愉悦的，是教师的最高本领2021/10/152021/10/15October 15, 2021 ❖8、先生不应该专教书，他的责任是教人做人；学生不应该专读书，他的责任是学习人生之道。2021/10/152021/10/152021/10/152021/10/15
浙江省杭州市浙教版初中七年级下册第三章乘法公式(教师版)——景芳段本虎
乘法公式__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1、会用平方差公式22()()a b a b a b +-=- 进行计算；2、会用完全平方公式22()2a b a ab b ±=±+ 进行计算；3、乘法公式的正向、逆向的灵活应用.1．平方差公式_________ ___，这个公式叫做（乘法的）平方差公式． 形如a b +的多项式与形如a b -的多项式相乘，由于2222()()a b a b a ab ab b a b +-=-+-=-，所以对于具有与此相同形式的多项式相乘，可以直接写出计算结果，即22()()a b a b a b +-=-.2. 完全平方公式_________ ___，这个公式叫做（乘法的）完全平方式． 形如2()a b ±的多项式相乘，由于22222()()()2a b a b a b a ab ab b a ab b +=+-=+++=++，22222()()()2a b a b a b a ab ab b a ab b -=--=--+=-+，所以对于具有与此相同形式的多项式相乘，可以直接写出计算结果，即222()2a b a ab b +=++，222()2a b a ab b -=-+.3.添括号法则乘法公式计算时，去括号法则，即()a b c a b c ++=++；()a b c a b c -+=--.反过来，就得到添括号法则：()a b c a b c ++=++；()a b c a b c --=-+.也就是说，添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都_______符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都_______符号.1、运用平方差公式计算 【例1】（1）(32)(32)x x +-； （2）(23)(23)a b c a b c ++--【解析】（1）中，可以把3x 看成a ，2看成b ，即22(32)(32)(3)2x x x +-=-.22()()a b a b a b +-=-（2）中，将23b c +结合，再运用平方差公式计算.解：（1）(32)(32)x x +-=22(3)2x - =294x -（2）(23)(23)a b c a b c ++--=[(23)][(23)]a b c a b c ++-+=22(23)a b c -+.总结：运用平方差公式计算时，公式中的a 和b 可以表示单项式，也可以是多项式.练1.已知223x y -=，求22()()x y x y +-的值.2．利用平方差公式巧算【例2】计算102×98．【解析】将102变形成100+2，将98变形成100-2，再运用平方差公式计算，即可求解.解：102×98=（100+2）（100-2）=1002-22=9996.总结：有些多项式相乘，表面上不能用公式，但通过适当变形后可以用公式.练2.计算111009922⨯练3.计算24(1)(1)(1)(1)x x x x ++-+3．运用完全平方公式计算【例3】计算（1）2(4)m n +； （2）(23)(23)x y x y +--+【解析】直接运用完全平方公式计算．解：（1）2(4)m n +=22(4)2(4)m m n n ++ =22168m mn n ++．（2）(23)(23)x y x y +--+=[(23)][(23)]x y x y +---=22(23)x y --=22(4129)x y y --+=224129x y y -+-总结：（1）公式中的字母具有一般性，它可以表示单项式、多项式，只要符合公式的结构特征，就可以用公式计算；（2）在利用此公式计算时，勿丢掉中间项“2ab ”或漏了乘积项中的系数积的“2”倍.练习4、22294(32)x y x y M +=++，则M 为（ ） A ．6xy B ．6xy - C ．12xy D ．12xy -练5．（2015秋•启东市期中）计算2(2)a b c +-．4．利用完全平方公式巧算【例4】计算1022．【解析】将102变形成100+2后，再运用完全平方公式计算即得．解：2102=2(1002)+=22100210022+⨯⨯+=10000+400+4=10404．总结：计算时，应先观察所给题目的特点是否符合公式的条件，如符合，则可以直接用公式计算；如不符合，应先变形为公式的结构特点，再利用公式进行计算，如变形后仍不具备公式的结构特点，则应运用乘法法则进行计算．练6．若15a a +=，则221a a +的结果是_________．练7．（2014秋•济南市期末）计算2222(1)(1)(1)a a a +-+．5.先化简再求值【例5】计算224()4()()()m n m n m n m n +-+-+-的值，其中11,23m n ==． 【解析】首先将多项式运用完全平方的逆运算，化简后，再代入数值计算．解：224()4()()()m n m n m n m n +-+-+-=22[2()]2[2()]()()m n m n m n m n +-+-+- =2[2()()]m n m n +-- =2(22)m n m n +-+ =2(3)m n + =2269m mn n ++将11,23m n ==代入， 原式=221111()69()2233+⨯⨯+ =124． 总结：先化简再求值的解题步骤：（1）运用乘法公式（平方差公式或完全平方公式）将多项式化简成简单形式；（2）再将数据代入化简后的式子，计算即可求解．练8．当1,2a b ==-时，求2222111[()()](2)222a b a b a b ++--的值.练9．（2015秋•桥东区期末）若44225a b a b ++=，ab =2，求22a b +的值．1．下列各多项式相乘，可以利用平方差公式计算的是（ ）.①(25)(52)ab x x ab -+-+ ②(3)(3)x y x y ---③()()ab c ab c +-- ④()()ax y ax y ---A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④2、下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ）A.()()2a b a b --B.()()22a b a b -+-C.()()22a b a b +--D. ()()22a b a b ---+3.(2004·青海)下列各式中，相等关系一定成立的是( )A.(x-y)2=(y-x)2B.(x+6)(x-6)=x 2-6C.(x+y)2=x 2+y 2D.6(x-2)+x(2-x)=(x-2)(x-6)4.(2003·泰州)下列运算正确的是( )A.x 2+x 2=2x 4B.a 2·a 3= a 5C.(-2x 2)4=16x 6D.(x+3y)(x-3y)=x 2-3y 25.(2003·河南)下列计算正确的是( )A.(-4x)·(2x 2+3x-1)=-8x 3-12x 2-4xB.(x+y)(x 2+y 2)=x 3+y 3C.(-4a-1)(4a-1)=1-16a 2D.(x-2y)2=x 2-2xy+4y 26.(x+2)(x-2)(x 2+4)的计算结果是( )A.x 4+16B.-x 4-16C.x 4-16D.16-x 47．计算2242111(3)(3)(9)224a b a b a b +-+8．计算(23)(45)(23)(45)a b a b a b a b ++--．9．已知2,2A x y B x y =+=-，计算22A B -.一、选择1、下列各式中，不能用平方差公式计算的是（） A ．（﹣4x+3y ）（4x+3y ）B ．（4x ﹣3y ）（3y ﹣4x ）C ．（﹣4x+3y ）（﹣4x ﹣3y ）D ．（4x+3y ）（4x ﹣3y ）2、下列运算正确的是（ ）A ．2a+2a=2a 2B．（﹣a+b）（﹣a﹣b）=a2﹣b2C．（2a2）3=8a5D． a2•a3=a63、若x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，则m的值等于（）A． 1或5B． 5C． 7D． 7或﹣14、下列各式中，与（a﹣1）2相等的是（）A．a2﹣1B． a2﹣2a+1C． a2﹣2a﹣1D． a2+15、.已知m2+n2-6m+10n+34=0，求m+n的值6、已知a+b=2，ab=1，求a2+b2的值。
乘子(罚函数)法
对任意的 x*∈D, 有
L( x* , * ) f ( x* ) - *T h( x* ) f ( x* )
f ( x ) - *T h( x ) L( x, * )
min
s.t.
f ( x)
h j ( x) 0, j 1, 2, , l
因此, 原约束问题等价于下面的约束问题
min
f ( x)
h j ( x) 0, j 1, 2, ,l
4、乘子法的理论分析
s.t.
其中h(x)=(h1(x),· · · ,hl(x))T, 目标函数和约束函数二次 连续可微. 设 ∈Rl 为乘子向量, 则上面问题的Lagrange 函数为
L( x, ) f ( x) - T h( x),
2 1
-2
2
2 x2
当 *= -3, ≥ * = 2 时,原问题最优解 (0,0)T 是
增广Lagrange函数的最优解.
M x1 ( x, , ) 2 x1
求解无约束问题
2 1
M x2 ( x, , ) -( + 3) + ( - 2) x2
M ( x , , ) x - ( + 3) x2 +
一. 等式约束问题
二．不等式约束问题 三. 约束优化问题的Matlab求解
约束最优化问题的罚函数思想：
min
s.t.
f ( x)
g i ( x) 0 i 1, 2,, m
h j ( x) 0
j 1, 2,, l
x ( x1 , x2 , , xn )T R n 其可行（容许）解集
外罚函数法：
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外点罚函数法
l
min F (x, k ) f (x) k
h
2 j
(
x)
j 1
若x* 是等式约束优化问题的局部最优解，则 h(x*) 0, j 1,..,l
l
xF ( x*, k ) f ( x*) 2 k hj ( x*)hj ( x*) f (x*)
x1
x2
2
c 2
x1
x2
22
下面用解析法求无约束优化的驻点，令：
x1
2 x1
vk
c x1
x2
2
0
x2
2 x2
vk
c x1
x2
2
0
得：
x1
x2
2c vk 2c 2
,
xk
2c vk 2c 2
, 2c vk 2c 2
一
乘 子二 法
三
Hestenes法 Powell法
Rockafellar法
一、Hestenes法
考虑等式约束问题
min f x xRn
s.t. hi x 0,i E 1, ,l.
Hestenes乘子法
(x,v)
f (x)
l
vjhj (x)
Rockafellar乘子法
Rockafellar在1973年将乘子法推广到不等式约束优化问 题，其思想是引入松弛变量，将不等式约束转化为等式 约束。
min f x xRn
gi x zi2 0,i I 1, ,l.
s.t. gi x 0,i I 1, ,l.
（乘子法）对于增广Lagrange函数
(x, vk )
1 2
x12
1 6
x22
vk
( x1
x2
1)
ck 2
( x1
x2
1)2
可求得最优解为：
xk
ck vk 1 4ck
,
3(ck 1
vk 4ck
)
T
乘子迭代公式为
vk 1
vk
ck ( x1k
(x,v)
f (x)
l j 1
v
jhj
(x)
c 2
l j 1
h2j
(x)
L(x,
v)
c 2
l
h
2 j
(
x)
j 1
上式称为增广拉格朗日函数。
增广拉格朗日函数可以有两种机制逼近极小值点
① 令������逼近极小值点对应的拉格朗日乘子，即������ → ������∗ 。 原因：存在阈值������1>0,当������ > ������1时，������(������, ������∗)的极小值点 即为等式约束优化问题的极小值点。
迭代
j c j vj / c
存在充分大的������������，
k 1 j
k j
hj
( x(
,
k
)),
j
1,...,l
若
k j
收敛太慢或者不收敛，说明
j
选的太小，这时增大
c即可。
终止条件： h(xk ( , k ))
Powell乘子法的计算步骤与Hestenes乘子方法类似。
j 1
而附加项在x* 处的梯度
l
c
hj (x*)hj (x*) 0
j 1
所以增广拉格朗日函数的梯度 x(x*, v*) 0
x* 是 (x, v*) 的稳定点。
v*j ?, j 1,..,l
拉格朗日乘子调整策略 v*j ?, j 1,..,l
首先给定一个足够大的数 c ，然后通过迭代方法逐步调整
j 1
因此通常情况下 f (x*) 0 , 只有当 x* 是f(x)的无约束优化问 题的稳定点时才成立。
找不到一个有限的 k ，使得 xF (x, k ) f (x*) 0
只能期望
lim
k
x
F
(
x,
k
)
0
Hestenes乘子法
(x,v)
min
1 2
x12
1 6
x22
s.t. x1 x2 1
解：(外点法)对于惩罚函数
F ( x, k
)
1 2
x12
1 6
x22
k
(
x1
x2
1)2
T
可求得最优解为：
xk
1
2 k 8
k
, 6 k 1 8 k
令 k 得 x* (0.25, 0.75)T
lim
k
hj
( x(
k
,
k
))
0,
j
1,
2,..., l
x( k , k ) x*( , )
l
M (x, , ) f (x) j (hj (x) j )hj (x) j 1
l
xL(x*, v*) f (x*) v*jhj (x*) 0 j 1
hj (xk ) 0, j 1,..., l
可行解
充分性
f (x)
f (x)
l
vkj hj (x)
j 1
c 2
l
h2j (x)
j 1
(x, vk )
(xk , vk )
f (xk )
l j 1
vkj hj
(xk
)
c 2
l
h
2 j
(
xk
)
j 1
x2k
1)
1 =
1 4ck
vk
ck 1 4ck
上式中令k趋于无穷，得到 v* 0.25
得到约束问题的最优解 x* (0.25,0.75)T .
取ck 0.025 2k , v0 0, k 1, 得下表从表中Fra bibliotek见，用乘子法迭
代6次就达到外点法迭代15次 的效果．
罚因子在外点法中要增大 到M15＝3276.8，而在乘子法 中只要增大到c6=6.4．
转步骤4。
4.令
vk 1 j
vkj
chj (xk
),
j 1,...,l ，置k:=k+1，转步骤2。
例： 用乘子法求解： min f x x12 x22
s.t x1 x2 2 0
解：问题的增广Lagrange函数为：
x, vk
x12
x22
vk
结论：将等式约束优化问题转化为增广拉格朗日函数求解 问题(无约束优化问题)。给定一个足够大的������，用迭代方法 调整������������ → ������∗。
② 令������取值很大 。类似于外点罚函数法，对不可行解以
很大惩罚，在迭代的过程中，迭代点逐步向可行域逼
近，此时 ������������(������ → 0
f (x)
l j 1
vjhj
(x)
c 2
l
h
2 j
(
x)
j 1
M (x, , ) (x, v) 1
2c
l
v 2j
j 1
两种乘子方法仅差一个常数项，Powell法是一种比 Hestenes法更广泛的乘子方法。但两者的构造思想不同。
定理：设对某参数������和������，������∗(������,������)是������(������, ������, ������)的无约束极小 点，则������∗(������,������)也是问题
f (x)
l
vjhj (x)
j 1
c 2
l
h
2 j
(
x)
L(
x,
v)
j 1
c 2
l
h
2 j
(
x)
j 1
存在 v*j , j 1,..,l ，使得 (x*, v*) 为L(x, v)的稳定点，
l
K-T条件
xL(x*, v*) f (x*) v*jhj (x*) 0
(xk
)
j 1
l
而 x(x*, v*) f (x*) v*jhj (x*) 0 j 1
vk 1 j
vkj
chj (xk
),
j 1,...,l
Hestenes乘子法终止条件
若 xk是min ( x, vk ) 的最优解，则xk 是等式约束问题最优解，
vk 为其相应的拉格朗日乘子的充要条件是
(x,v)
f (x)
l j 1
v
jhj
(x)
c 2
l j 1
h2j
(
x)
L(x,
v)
c 2
l
h
2 j
(
x)
j 1
(x,v) f (x) L(x,v)