位移计算的一般公式(力学)

荷载作用 支座移动 温度变化 制造误差
有内力 无内力 无内力
有变形 无变形 有变形
.
有位移
4. 基本假定
位移计算限定结构在线性弹性范围内工作。即结构的 位移与荷载的大小成正比，且当荷载撤除后，结构的 位移也随之消失。并应满足如下基本假定：
１. 应力和应变服从虎克定律（线弹性）；
２. 位移是微小位移，即可用结构原尺寸和叠加法计
力状态 （虚力状态）
位移状态 （虚位移状态）
12
.
（4）广义力和广义位移
一个力系作的总虚功 W=P× P—广义力; —广义位移
P
WP
M
WM
M
M
P A
A
B
W M A M B M (A B ) M .
B P
W P A PB P( A B ) P
2. 变形体系的虚功原理
（1）刚体体系的虚功原理
在具有理想约束的刚体体系上，如果力状态中 的力系能满足平衡条件，位移状态中的刚体位移能 与几何约束相容，则外力虚功之和等于零。
两种应用： 虚位移原理：虚设位移状态求力——理论力学学过 虚力原理：虚设力状态求位移——支座移动时结构位移计算
.
（2）变形体系的虚功原理
材料力学变形公式：
拉压变形（应变）： 弯曲变形（曲率）： 剪切变形（剪切角）：
NP,kQ P,MP
EA GA EI
适用于线弹性 直杆体系,
ip
N E PN A kG Q PQ A M E PM I d x
.
N l
EA l
M 1 EI
k Q
GA
内力虚功：
当力状态的外力在结构位移状态的位移作虚 功时，力状态的内力也在位移状态的相对变形上 作虚功，这种虚功称为内力虚功（虚应变能）， 用“V”表示。
.
微段外力:
M
q MdM
N
NdN
Q ds QdQ
微段变形:
拉伸
ds
ds
ds 剪切
V
l
的计算； 6. 掌握弹性体的互等定理。
.
1. 结构的位移
A
A
P
AV
A A
AH
计算位移的目的？ 产生位移的原因？
.
变形与位移
线位移 位移
转角位移
绝对位移 广义位移
相对位移
2. 计算位移的目的
(1) 满足刚度要求； (2) 为超静定、动力和稳定计算打基础； (3) 施工要求。
.
3. 产生位移的原因
第四章 静定结构的位移计算
4.1 结构位移的概念
Concept of Structural Displacement
.
本章的基本要求
1. 了解变形体系的虚功原理及其应用； 2. 掌握计算静定结构位移的单位荷载法； 3. 熟练掌握图乘法； 4. 熟练掌握荷载作用下各类静定结构的位移计
算； 5. 掌握结构因支座移动、温度变化引起的位移
.
第四章 静定结构的位移计算
4.3 单位荷载法
Unit Load Method
.
1. 位移计算的一般公式
k
iP
P1
变形协调的 位移状态(P)
平衡的力 状态(i)
l
l
l
l
iP 0 ( N Q M ) d x 0 N d u 0 Q d v 0 M d
i
i
i
i
.
对于由线弹性直杆组成的结构，有：
YAb/a
1YAc0 bc/a
这是单位荷载法，它是 Maxwell, 1864和Mohr, 1874提出， 故也称为Maxwell-Mohr Method .
(1)虚力原理所建立的虚功方程，实质上是几何方程。 (2)虚设的力状态与实际位移状态无关，故可设单位
广义力 P=1 (3)求解时关键是找出虚力状态的静力平衡关系。 (4)实质是用静力平衡法来解几何问题。
.
A. 虚位移原理
例： 求 A 端的支座反力。
直线
A
B
P
P
X
C
C
a
b
(a)
X (b) 待分析力状态
(c)
虚设位移状态
解：去掉A端约束并代以反力 X，构造相应的虚位移状态.
由外力虚功总和为零，即： XXPC0
将 X/Ca/b代入得:
XbP /a
通常取 1
X
x
单位位移法
.
(1)对静定结构，这里实际用的是刚体虚位移原理， 实质上是实际受力状态的平衡方程：
2. 原理的证明（参考相关教材）表明: 虚功原理适用于任何 (线性和非线性)的变形体，适用于
任何结构。刚体体系虚功原理是变形为零时的特例。
3. 原理可有两种应用： 虚位移原理：实际待分析的力状态，虚设的位移状态，
将平衡问题化为几何问题来求解。 虚力原理：实际待分析的位移状态，虚设的力状态，
将位移分析化为平衡问题来求解。
W（外力虚 V功 （） 内力虚功）
.
对于杆件结构，虚功原理可以表示为：
l
l
l
W 0N 1 d2 u 0Q 1 d2 v 0M 1 d2
i
i
i
上式称为杆件结构的虚功方程。
.
原理的说明
1. 虚功原理存在两个状态： 力状态必须满足平衡条件；位移状态必须满足协调
条件。因此原理仅是必要性命题。
算其位移（小变形）；
３. 所有约束为理想约束，即约束力不作功（理想约
束）。
叠加原理
.
适用
第四章 静定结构的位移计算
4.2 变形体系的虚功原理
Principle of Virtual Work for Elastic Body
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1. 几个概念
（1）功：力对物体作用的累计效果的度量 功=力×力作用点沿力方向上的位移
MB 0
(2)虚位移与实际力状态无关，故可设：
x 1
(3)求解时关键是找出虚位移状态的位移关系； (4)实质是用几何法来解静力平衡问题。
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B. 虚力原理
例：求 A 端支座发生竖向位移 c 时C点的竖向位移 .
A
c
BC
1
A
B
A
C
a
b C
YA
解：首先构造出相应的虚设力状态。即在拟求位移点（C点） 沿拟求位移方向（竖向）施加单位荷载。
（2）实功：力在自身所产生的位移上所作的功
P
W 1 P 2
（3）虚功：力在非自身所产生的位移上所作的功
t C
P
t
.
WPt
21
P2
22
P2
注意：
ห้องสมุดไป่ตู้
P1 11
12
（1）两种状态属同一体系； （2）均为可能状态。即
位移应满足变形协调条件；
力状态应满足平衡条件。
（3）位移状态与力状态完全无关；
P1
0(N1 2
Q12
M12)ds
i
l
l
l
i
0N1du2 i
0Q . 1dv2 i
0M1d 2
弯曲
变形体的虚功原理：
变形体系在力系作用下处于平衡状态（力状态），而 由于其他原因产生符合约束条件的微小连续变形（位 移状态），则力状态的外力在位移状态的位移上所作 的虚功，恒等于力状态的内力在位移状态的相应变形 上所作的虚功。