坐标变换矩阵

坐标变换矩阵 从单元分析进入整体分析时，需要将参照坐标系统一为整体坐标系，才便于建立结点平衡方程；整体分析结束后，需计算单元杆端力以求取单元内力，此时又需将参照坐标系重新设为各单元坐标系。因此，有必要建立两套坐标系的转换关系。 .

图1

上图将杆单元 e 在单元坐标系中的杆端力和整体坐标系xOy 中的杆端力一同绘出。 若设从整体坐标系x 轴转向单元坐标系轴的夹角为a （顺时针为正），根据投影关系，可得

式1

写成矩阵形式

xi

F F i

M =M i

式2

或简写为

式3

其中

式4

称为单元坐标转换矩阵。它是一个正交矩阵，即有

（式5）

如需将（符号1）转换为（符号2），则可使用下式

（式6）

上述转换关系也同样适用于杆端位移（符号3）和（符号4）

之间的转换，即有

（式7）

()

()

Q N Q cos sin 0000sin cos 0000001000000cos sin 0000sin cos 00

1e e Ni xi i yi i i xj j yj j j j F F F F M M F F F F M M α

α

αααααα⎡⎤⎡⎤

⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

⎣

⎦⎣⎦

1

T

-=T

T

-1T e

e

e

==F T F T F

e F e F

符号1 符号2

符号3 符号4

e

F e

δ