专题08 一元二次方程根与系数关系(学案)

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专题8 一元二次方程根与系数关系(学案)

前言:

设1x 和2x 是一元次方程20(0)ax bx c a ++=?的两个根,则12b x x a +=-,12c x x a

?(其中a b c 、、均为实数)。

一、专题知识

利用根与系数的关系(韦达定理),可以不直接求方程20(0)ax bx c a ++=?的根,而知其根的正负性质:

一元二次方程20(0)ax bx c a ++=?在2

40b ac D=-?的条件下: (1)

0c a

<时,方程的两根必然一正一负; (2)0b a

-?时,方程的正根不小于负根的绝对值; (3)0b a

-<时,方程的正根小于负根的绝对值; (4)0c a <时,方程的两根同正或同负。

二、例题分析

例题1 如果,a b 是关于x 的方程()()1x c x d +?=的两个根,求()()a c b c +?的值。

例题2 方程22320x x --=的实数根为a b 、,求

+ab a b

的值。

例题3 如果正整数,a b 是关于x 的方程22

91056520552013a x x b b --++++=的两个根,求,a b 的值。

例题4 已知实数a b 、满足条件:423240a a +-=,4230b b +-=,求代数式444a

b -+的值。

三、专题训练

专题练习

1. 已知113a b a b

-

=-=且0a b +>,求33a b b a -的值。

2. 已知关于x 的方程260x ax a ++=只有整数解,求实数a 的值。

3. 已知关于x 的方程222(2)40x a x a -++-=只有一个正根,求实数a 的取值范围。

4. 已知a b 、均为实数,证明:关于x 的方程()()1x a x a b ---=有两个实数根,其中一个大于a ,另一个小于a 。

5. 已知实数a b 、满足条件: 25201280a a ++=,28201250b b ++=,求

a b 的值。

6. 解方程:

()()23234x x ++-=。

7. 若a b 、是方程2

10x x +-=的两个实根,计算43a b -的值。

8. 已知12x x 、 是关于x 的方程22(2)(35)0x k x k k --+++=的两个实数根,求2212x x +的最大值。

9. 设n 为正整数,关于x 的方程22(21)0x n x n +++=的两根为n n a b 、,计算代数式 33442020111(1)(1)(1)(1)(1)(1)

a b a b a b +++++++++ 的值。

10. 已知实数x y z 、、满足条件:6x y +=,2

9xy z =+,比较x y 、的大小,并说明理由。

专题作业

1. 设x y 、都是正整数,且满足条件:211x y -+、211y x -+的和与积都是整数,证明:211

x y -+、211y x -+都是整数。

2. 已知关于x 的方程一元二次方程20ax bx c ++=没有实数解,甲同学由于看错了二次项系数,误求得两根

为2和4,乙同学由于看错了某一项系数的符号,误求得两根为-1和4,求

23b c a

+的值。

3. 已知方程2(23)230x x -++=的一根为直角三角形的斜边c ,另一根为直角边a ,求此直角三角形的第三边b 。

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