专题08 一元二次方程根与系数关系(学案)
一元二次方程根与系数的关系导学案(重要)
一元二次方程根与系数的关系导学案一、学习目标1、熟练掌握一元二次方程的根与系数关系.2、灵活运用一元二次方程的根与系数关系解决实际问题.运用基础知识分析解决较复杂问题的能力.二、重点、难点重点：一元二次方程的根与系数的关系．难点：让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系．三、教学过程（一）复习引入1、一元二次方程的一般形式？2、一元二次方程有实数根的条件是什么？3、当△＞0，△=0，△＜0 根的情况如何？4、一元二次方程的求根公式是什么？通过前面的学习我们发现，一元二次方程的根完全由它的系数确定，求根公式就是根与系数关系的一种形式。
除此之外，一元二次方程的根与系数之间还有什么形式的关系呢？（二）探索并归纳一元二次方程根与系数的关系1、解方程并观察x1＋x2, x1·x2与系数的关系x2－2x=0x2＋3x－4=0x2－5x+6=0 x2＋5x－24=0问题：观察两根之和，两根之积与方程的系数之间有什么关系？归纳：一元二次方程根与系数的关系(1).当二次项系数为1的关于x的方程x2 +px+q=0两根为x1 、x2(p,q 为常数).则：x1＋x2= , x1·x2=3、解方程并观察x1＋x2, x1·x2与系数的关系2x2－x－6=02x2＋x－6=05x2－4x－12=0问题：观察两根之和，两根之积与方程的系数之间有什么关系？归纳：（三）例题讲解例1、根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的x1 ，x2的和与积。
(1) x2+7x+6=0(2) 2x2－3x－2=0变式题：50页随堂练习1、2例2：已知方程5x2+k x－6=0的一个根是2，求另一个根及k值。
变式：50页随堂练习3（四）典型题训练题型一：已知一元二次方程，求有关两根的代数式的值。
例：若方程x 2－3x －1＝0的两根为x 1、x 2，则11x ＋21x 的值为（ ） A ．3 B ．－3C ．13D ．－13变式题1、已知方程2520x x -+=的两个解分别为1x 、2x ，则1212x x x x +-⋅的值为（ ） A ．7- B ．3- C ．7 D ．3 题型二：利用一元二次方程的根与系数的关系判断方程的根的符号。
《一元二次方程根与系数的关系》教案
一元二次方程根与系数的关系教学目标：1、掌握一元二次方程根与系数的关系。
2、会利用定理求解一元二次方程两根之和与两根之积。
3、通过学生自己探索，发现根与系数关系，增强学生信心，激发学生对于数学的学习兴趣和探究欲望。
教学重点1、根与系数关系及运用 教学难点1、如何通过求根公式发现韦达定理。
2、如何运用韦达定理解决一些一元二次方程的求解问题。
过程一、复习提问（1）写出一元二次方程的一般式和求根公式。
ax 2+bx+c=0 (a ≠0) x= (b 2-4ac ≥0)(2)求一个一元二次方程，使它两根分别为①2和3;②-4和7;③3和-8;④-5和-2 二、新课讲解如果方程x 2+px+q=0有两个根是x 1,x 2 那么有x 1+ x 2=-p, x 1 •x 2=q猜想：2x 2-5x+3=0,这个方程的两根之和，两根之积是与各项系数之间有什么关系？问题2；对于一元二次方程的一般式是否也具备这个特征？设x 1 、x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)的两个根，则两根之和与两根之积与各项系数之间有什么样的关系？ x 1+x 2= x 1·x 2=三、巩固练习a acb b 242-±-a b-ac口答下列方程的两根之和和与两根之积。
1）x 2-3x+1=0 2) x 2-2x=2 3) 2x 2-3x=0 4) 3x 2=1 判断对错，如果错了，说明理由。
1) 2x 2-11x+4=0两根之和11,两根之积4。
2） x 2+2=0两根之和0，两根之积2。
3） x 2+x+1=0两根之和-1，两根之积1。
四、能力提高例题1 已知方程x 2+kx+k+2=0的两个实数根是x 1,x 2且x 12+x 22=4求k 的值 解：（略）引申:（1、若ax 2+bx +c =0 (a ≠0 且 ∆≥0) （1）若两根互为相反数,则b =0; （2）若两根互为倒数,则a =c;（3）若一根为0,则c =0 ; （4）若一根为1,则a +b +c =0 ;（5）若一根为-1,则a -b +c =0; （6）若a 、c 异号,方程一定有两个实数根例题2 方程mx 2-2mx+m-1=0(m ≠0 ) 有一个正根，一个负根，求m 的取值范围。
2.5《一元二次方程的根与系数的关系》教案
本节内容旨在帮助学生理解一元二次方程的根与系数之间的关系，为解决实际问题和进行后续学习打下基础。
最后，我感到欣慰的是，尽管存在一些挑战，但大多数学生还是能够跟上课程的节奏，并在小组讨论和实践中展现出积极的学习态度。我会根据今天的反思，调整教学方法，以期在下一节课中更好地帮助学生理解和掌握一元二次方程的根与系数关系。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-核心知识：一元二次方程的根与系数的关系，特别是根的判别式Δ=b²-4ac的意义及其与根的关系。
-举例解释：重点讲解判别式Δ的应用，如何通过判别式判断方程有几个实数根、无实数根或有重根，以及如何利用根与系数的关系求出方程的根的和与积。
-核心内容强调：
a.判别式Δ的计算方法及其与一元二次方程根的数量的关系。
-难点突破方法：
a.通过具体的例子，逐步引导学生理解判别式的计算过程，并解释其在判断根的性质时的作用。
b.设计不同类型的实际问题，指导学生如何将问题转化为一元二次方程，并运用根与系数的关系解决问题。
c.采用直观的图表或动画辅助教学，帮助学生形象理解根与系数之间的关系。
d.组织小组讨论，让学生在合作交流中互相启发，共同解决难点问题。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解一元二次方程的根与系数关系的基本概念。这是指在ax²+bx+c=0的一元二次方程中，根x1、x2与系数a、b、c之间的数学关系。这种关系在数学分析和问题解决中具有重要地位。
初中数学初二数学下册《一元二次方程根与系数的关系》教案、教学设计
-与其他学科教师合作，开展跨学科的教学活动，增强学生的综合运用能力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.首先，通过一个实际问题引入新课，如：“某工厂生产的产品，每件产品的成本为a元，每件产品的售价为b元，如果工厂希望每件产品的利润为c元，那么工厂至少需要生产多少件产品才能达到这个目标？这个问题可以转化为一元二次方程，让学生回顾一元二次方程的基本概念。”
2.新课导入：提出问题，引导学生思考一元二次方程的根与系数之间是否存在某种关系。
3.自主探究：让学生通过观察、猜想、验证等方法，发现一元二次方程根与系数的关系。
4.小组合作：将学生分成小组，讨论一元二次方程根与系数关系的应用，分享学习心得。
5.教师讲解：针对学生的疑问和难点，进行详细的讲解，巩固学生对一元二次方程根与系数关系的理解。
作业要求：
1.学生需认真完成作业，书写工整，保持卷面整洁。
2.对于思考题和小组讨论，鼓励学生发挥创新思维，提出独特见解。
3.作业完成后，学生应进行自我检查，确保解答正确，对疑问进行标注，以便课堂讨论时解决。
4.教师将根据作业完成情况进行评价，关注学生的进步和问题，给予针对性的指导和反馈。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.理解并掌握一元二次方程根与系数的关系，特别是判别式的概念及其应用。
2.能够运用公式法求解一元二次方程，并理解公式推导的过程。
3.将一元二次方程根与系数的关系应用于解决实际问题，建立数学模型。
（二）教学设想
1.对于教学重点的突破：
-通过直观的图形展示，如一元二次方程的图像，帮助学生形象地理解根与系数的关系。
一元二次方程根与系数的关系导学案
一元二次方程根与系数的关系导学案一、新课导入1.导入课题：如果一个方程的两根和为1，两根积为-2，你能说出这个方程吗？今天我们学习进一步一元二次方程根与系数的关系.2.目标展示：知道一元二次方程的根与系数的关系.3.学习重、难点：重点：一元二次方程根与系数的关系.难点：能应用一元二次方程根与系数的关系解决问题.4.自学指导（1）自学内容：P15至P16的内容.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：独立探索一元二次方程根与系数的关系.（4）探究提纲：①已知方程x 2+px+q=0的两根分别是x 1，x 2，则x 1+ x 2= ，x 1 x 2= .你是怎么得到的？②已知方程ax 2+bx+c=0)0(≠a ，当042≥-ac b 时两根分别为x 1=__________,x 2=__________. x 1+2x =_____________，x 1 x 2= . 你是怎么得到的？③独立完成例4，说说运用根与系数的关系求一元二次方程两根和与两根积时应注意什么？④不解方程，求下列方程两根的和与积.x 2-3x=15； 3x 2+2=1-4x.5x 2-1=4x 2+x ； 2x 2-x+2=3x+1.二、自学：学生可参考自学指导进行自学.三、助学：（1）师助生：①明了学情：了解学生探索两个方程的根与系数的关系的方式和易错点.②差异指导：指导学生通过比较探索方程x 2+px+q=0的根与系数,通过直接计算的方式探索方程ax 2+bx+c=0)0(≠a 的根与系数. 对推导有困难的学生予以指导，并帮他们分析其结果与系数之间的关系.（2）生助生：同桌之间可以互动、研讨.四、强化：1.若方程x 2+px+q=0，有两个实根1x ，2x ，则1x +2x =-p,1x 2x =q.2.方程ax 2+bx+c=0中，在a ≠0，b 2-4ac ≥0的条件下，ac x x a b x x =-=+2121,. 3.运用一元二次方程根与系数的关系求方程的两根和，两根积时要注意：①先把方程化成一般形式，明确方程的二次项系数，一次项系数和常数项的值，然后直接代入关系式. ②确定方程的各项系数时一定要包括其符号.③只有在一元二次方程有实根的前提下，才能使用根与系数的关系 .即如果所给一元二次方程没有实数根，那也就不存在根与系数的关系.五、评价1．学生学习的自我评价：说说运用一元二次方程根与系数的关系时应注意的问题.2．教师对学生的评价：（1）表现性评价：点评学生的学习态度、积极性、学习方法、效果及不足之处等.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3．教师的自我评价（教学反思）.。
《一元二次方程根与系数的关系》教案
《一元二次方程根与系数的关系》教案教学目标:1、发现、了解一元二次方程的根与系数的关系,培养学生善于独立思考、合作交流的学习习惯。
2、探索、运用一元二次方程的根与系数关系，由一元二次方程的一个根求出另一个根及未知系数，提升学生的合作意识和团队精神。
3、在不解一元二次方程的情况下，会求直接（或变形后）含有两根积的代数式的值,并从中体会整体代换的数学思想，促进学生数学思维的养成。
教学重点：一元二次方程的根与系数的关系及简单应用。
教学难点：一元二次方程的根与系数的关系的推导。
数学思考与问题解决：通过创设一定的问题情境，注重由学生自己发现、探索，让学生参与“韦达定理”的发现、不完全归纳验证以及演绎证明等整个数学思维过程。
一、自学互研 探索发现(每小题10分，共30分)(自主完成，组长检查）【师生活动】：教师引导，巡视,随时发现问题、了解学生导学案完成情况并点拨；评价、鼓励、调动学生参与的主动性和积极性。
学生独立完成导学案,观察、对比、发现问题，逐步由易到难,探索出一元二次方程的根与系数的关系;小组长检查小组成员完成情况;分小组汇报自学成果。
【设计意图】：本环节为“一元二次方程的根与系数的关系”的发现过程，即感性认识过程。
通过几个具体的方程，经过观察、比较、分析、归纳，感性地得出一元二次方程的根与系数的关系的一般规律。
培养学生发现问题、探求规律的学习习惯和注重自主加合作的学习方式。
【学案内容】:1、方程:X 2+3X –4=0（1)二次项系数是_____ ,一次项系数是______，常数项是______.（2）解得方程的根X 1=______ ，X 2=______ .(3）则X 1+X 2=_______， 方程中（）二次项系数一次项系数=- (4） X 1·X 2=_______， 方程中 （）二次项系数常数项=2、方程3 X 2+X-2=0（1)二次项系数是_____，一次项系数是______ ，常数项是______。
根与系数关系教案
根与系数关系教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解一元二次方程的根与系数之间的关系；（2）学会运用根与系数的关系解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过探究一元二次方程的根与系数的关系，培养学生的观察、分析、归纳能力；（2）运用根与系数的关系解决实际问题，提高学生的解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣和自信心；（2）培养学生勇于探究、合作学习的良好品质。
二、教学内容1. 教学重点：一元二次方程的根与系数之间的关系。
2. 教学难点：运用根与系数的关系解决实际问题。
三、教学过程1. 导入新课：（1）复习一元二次方程的定义及解法；（2）引导学生思考：一元二次方程的根与系数之间有什么关系？2. 探究活动：（1）让学生分组探讨，总结出一元二次方程的根与系数之间的关系；（2）教师引导学生归纳总结，得出结论。
3. 知识应用：（1）让学生运用根与系数的关系解决实际问题；（2）教师引导学生总结解题方法，巩固知识。
四、作业布置1. 请学生总结一元二次方程的根与系数之间的关系；2. 运用根与系数的关系解决实际问题。
五、教学反思1. 教师对本节课的教学效果进行自我评价；2. 学生对本节课的学习效果进行自我评价；3. 针对教学过程中的不足，提出改进措施。
六、教学评价1. 评价目标：（1）学生能理解并运用一元二次方程的根与系数关系；（2）学生能解决实际问题，展示数学应用能力；（3）学生能积极参与探究活动，表现合作学习能力。
2. 评价方法：（1）课堂提问，观察学生对概念的理解程度；（2）作业批改，检查学生运用知识解决问题的能力；（3）小组讨论，评估学生在探究活动中的表现。
七、教学拓展1. 课题研究：探究其他类型的方程（如二次三项式方程）的根与系数关系；2. 数学竞赛：组织学生参加有关一元二次方程的数学竞赛，提高解题技巧；3. 数学日记：鼓励学生记录在学习本节课过程中的心得体会，培养反思习惯。
数学《一元二次方程根与系数的关系》教案
数学《一元二次方程根与系数的关系》教案教学目标：1. 知道一元二次方程的定义和一般形式；2. 能够求解一元二次方程的根；3. 知道一元二次方程根与系数的关系，掌握这种关系的应用。
教学重点：1. 一元二次方程的根与系数的关系；2. 解一元二次方程。
教学难点：1. 如何确定一元二次方程的解；2. 如何掌握一元二次方程根与系数的关系。
教学方法：1. 经验教学法；2. 归纳法；3. 演示法；4. 课堂讨论。
教学资源：1. 教材；2. ppt。
教学过程：Step 1. 引入新知识介绍今天的教学内容，告诉学生今天会讲一元二次方程的根与系数的关系。
Step 2. 一元二次方程的定义及一般形式教师简单介绍一下一元二次方程的定义，然后让学生看下面的一元二次方程的一般形式：ax^2+bx+c=0解释一下式子中的各个符号的含义，a，b，c分别代表什么。
Step 3. 如何求解一元二次方程的根让学生看下面这个一元二次方程的实例：x^2+6x+5=0请问这个一元二次方程的根是多少？教师引导学生使用求根公式：x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} 将a，b，c的值代入公式，求出x的值。
x=\frac{-6\pm\sqrt{6^2-4\times1\times5}}{2\times1}=-1或-5解释这个结果是什么意思，根是如何求得的。
Step 4. 一元二次方程根与系数的关系让学生看下面这个一元二次方程的实例：x^2+mx+n=0请问这个一元二次方程的根是多少？教师引导学生使用求根公式：x=\frac{-m\pm\sqrt{m^2-4n}}{2}然后让学生思考，如果我们知道了这个方程的根，是否可以求出m和n呢？引导学生进行讨论，发现可以求出m和n。
Step 5. 应用案例分析提供一些应用案例，让学生掌握一元二次方程根与系数的关系的应用。
例如：1. 设一元二次方程的两个根分别是3和4，求方程的一般形式。
《根与系数的关系》教案
《根与系数的关系》教案一、教学目标1. 让学生理解一元二次方程的根与系数之间的关系。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生对一元二次方程的解法及应用的理解。
二、教学内容1. 一元二次方程的一般形式：ax^2 + bx + c = 0。
2. 根的判别式：Δ= b^2 4ac。
3. 根与系数的关系：(1) 若有两个实数根，则根的值为：x1 = (-b + √Δ) / (2a)，x2 = (-b √Δ) / (2a)。
(2) 若有两个相等的实数根，则根的值为：x1 = x2 = -b / (2a)。
(3) 若没有实数根，则方程无实数解。
三、教学重点与难点1. 教学重点：根与系数之间的关系。
2. 教学难点：理解根的判别式Δ的意义及应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生探究根与系数的关系。
2. 通过实例分析，让学生感受数学知识在实际问题中的应用。
3. 利用数形结合法，帮助学生直观地理解根与系数之间的关系。
五、教学准备1. 教学课件：展示一元二次方程的图像，直观地展示根与系数之间的关系。
2. 实例：准备一些实际问题，让学生运用根与系数的关系解决问题。
3. 练习题：设计一些有关根与系数关系的练习题，巩固所学知识。
六、教学过程1. 引入新课：通过复习一元二次方程的一般形式和根的判别式，引导学生思考根与系数之间的关系。
2. 讲解根与系数的关系：结合课件和实例，讲解一元二次方程的根与系数之间的关系。
3. 互动环节：学生分组讨论，尝试解决实例中的问题，教师巡回指导。
4. 练习环节：学生独立完成练习题，教师选取部分题目进行讲解和解析。
5. 总结与反思：学生分享学习心得，教师总结根与系数之间的关系及其应用。
七、教学拓展1. 探讨二元二次方程的根与系数之间的关系。
2. 研究多项式方程的根与系数之间的关系。
3. 引导学生思考根与系数关系在实际问题中的应用，如线性规划、优化问题等。
八、课后作业1. 复习根与系数的关系，巩固所学知识。
八年级数学下册《一元二次方程的根与系数的关系》教案、教学设计
（一）教学重难点
1.重点：一元二次方程的根与系数的关系，求根公式的推导与应用，以及在实际问题中的运用。
2.难点：
-理解判别式的概念及其在一元二次方程根的性质判断中的应用。
-对求根公式的记忆和熟练运用，尤其是公式中各个符号的含义和它们之间的关系。
-将实际问题抽象成一元二次方程模型，运用数学知识解决实际问题。
-借助几何图形或动画，形象地展示求根公式的推导过程。
-通过实际例题，指导学生如何运用求根公式解题。
（三）学生小组讨论
1.将学生分成若干小组，针对以下问题进行讨论：
-一元二次方程的根与系数之间存在哪些关系？
-如何利用判别式判断方程的根的情况？
-求根公式在解题过程中的作用是什么？
2.各小组汇报讨论成果，老师进行点评和补充。
4.教学策略与方法：
-采用差异化教学，针对不同学生的学习风格和能力水平，提供个性化的指导和帮助。
-利用信息技术，如数学软件、在线平台等，为学生提供丰富的学习资源和工具，提高学习效率。
-定期进行学习反馈，通过作业、小测验等形式，及时了解学生的学习情况，调整教学进度和方法。
5.情感态度与价值观的培养：
-在教学过程中，注重鼓励学生，增强他们的自信心，培养面对困难的勇气和解决问题的毅力。
二、学情分析
八年级学生已经具备了一定的数学基础，掌握了一元一次方程的解法及其应用，对于一元二次方程也有初步的认识。在此基础上，学生对于本章节《一元二次方程的根与系数的关系》的学习，既有知识储备上的优势，也存在一定难度。大部分学生能够理解根与系数的关系，但可能在运用求根公式解题时，对公式的记忆和运用上存在困难。此外，学生在解决实际问题时，可能难以将问题抽象成一元二次方程模型。因此，在教学过程中，教师应关注以下几点：
一元二次方程根与系数的关系导学案
一元二次方程根与系数的关系【教学目标】1、知识与技能：掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步运用。
2、过程与方法：探索一元二次方程的根与系数的关系。
3、情感态度与价值观：通过观察、归纳提出数学猜想，体验数学活动充满着探索性和创造性。
【教学重难点】1、重点：根与系数的关系及其推导。
2、难点：根与系数的关系的拓展运用。
【教学过程】一、情景导入1、如何用判别式b2–4ac来判断一元二次方程根的情况？2、一元二次方程的求根公式是什么？二、合作探究探究点：一元二次方程根与系数的关系1、请完成下列表格2、观察表格中的结果，你有什么发现？3、如何证明你的猜想？归纳总结：当Δ≥0时，一元二次方程的两根之和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比，即，。
三、典例精析例1、利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.(1) x2–6x–15 = 0；(2) 3x2+7x–9 = 0；(3) 5x–1= 4x2.例2、关于x的一元二次方程x2+mx−6=0的一个根是3，求另一个根与m的值。
例3、已知关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两根分别为x1=1，x2=2，则b=________，c=________．四、拓展延伸1、关于x的方程x2−(k+3)x+3k=0的两根为x1，x2，1x1+1x2=23，则k值为多少？2、设x1，x2是方程2x2+4x−3=0的两个根，则x12+x22=________．3、已知α，β是方程x2+2x−3=0的两个实数根，求α2β+αβ2的值.4、关于x的方程x2−2√3x+1=0的两根分别为x1，x2，则x1x2+x2x1=________．五、当堂检测1、已知关于x的一元二次方程x2−2(k−1)x+k2−1=0有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)若该方程的两根分别为x1，x2，且满足|x1+x2|=2x1x2，求k的值．2、已知关于x的一元二次方程x2+4x+m−1=0．(1)若m是使得方程有两个不相等的实数根的最大正整数，求m的值；(2)设x1、x2是(1)中你所得到的方程的两个实数根，求：−x1−x2+x1x2的值．。
2.5一元二次方程根与系数的关系(八年级导学案)
八年级数学导学案课题 2.5 一元二次方程根与系数的关系学习目标 1.探索一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根x1，x2与系数a、b、c之间的关系．2.能根据根与系数的关系式和已知一个根的条件下，求出方程的另一根，以及方程中的未知数．3.会求已知方程的两根的倒数和与平方和、两根的差．学习重点探索一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根x1，x2与系数a、b、c之间的关系，利用一元二次方程根与系数的关系解决问题．学习过程一、自主学习1.一元二次方程的一般形式？2.一元二次方程有实数根的条件是什么？3.当△＞0，△=0，△＜0 根的情况如何？4.一元二次方程的求根公式是什么？二、合作探究5.探索发现：(1)快速的说出下列一元二次方程的两根和与两根积？①x2+3x+4=0 ②6x2+x-2=0 ③2x2-3x+1=0（2）计算填表（验证第一环节的结果）（3）你找到快速求出一元二次方程的两根和与两根积的方法了吗？班级姓名日期次数（4）刚才我们列举了部分方程发现两根和、两根积与系数的关系，那么是不是所有的一元二次方程根与系数都有这样的关系呢？（5）请根据以上的观察发现进一步猜想：方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根x1，x2与a、b、c之间的关系：____________.（6）你能证明上面的猜想吗？请证明，并用文字语言叙述说明.三、应用巩固6.根据根与系数的关系写出下列方程的两根之和与两根之积（方程两根为x1，x2、k是常数）（1）2x2-3x-1=0 x1+x2= ________ x1x2= ________（2）3x2+5x=0 x1+x2= ________ x1x2= ________（3）x2+7x=-6 x1+x2= ________ x1x2= ________（4）5x2+kx-6=0 x1+x2= ________ x1x2= ________7.利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2-3x+5=0的两个根的（1）平方和（2）倒数和（3）差四、达标检测8.课本P50页随堂练习题.9.已知三角形的两边长a、b是方程x2-12x+k==0的两个根，三角形的第三条边c=4,求这个三角形的周长.五、反思延伸你通过本节课的探索解决了哪些问题？还有哪些困惑？有哪些新的发现、想法？说出来一起分享．六、布置作业、预习思考1.必做题：习题2.8第1、2、3题．2.选做题：习题2.8第4题．3.预习课本P52—53页的内容体会：一元二次方程是刻画现实世界中数量关系的有效数学模型.。
初中八年级数学《一元二次方程的根与系数的关系》教案教学设计
初中八年级数学《一元二次方程的根与系数的关系》教案教
学设计
教学目标：
知识与技能：
1.了解一元二次方程的根与系数的关系.
2.利用一元二次方程的根与系数的关系解决简单问题.
过程与方法：
培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力．
情感态度与价值观：
1．渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律；
2．培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神
教学重难点：
【重点】
利用一元二次方程的根与系数的关系解决简单问题.
【难点】。
一元二次方程根与系数的关系导学案
一元二次方程根与系数的关系导学案一、学习目标要求学生在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一元二次方程两个根的倒数和与平方数，两根之差。
通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神。
二、学习重点和难点 :1、重点：一元二次方程根与系数的关系。
2、难点：让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系，并用语言表述，以及由一个已知方程求作新方程，使新方程的根与已知的方程的根有某种关系，比较抽象，学生真正掌握有一定的难度，是教学的难点。
三、学习过程1、回忆一元二次方程的求根公式是什么？2、思考一元二次方程两根分别是ax2+bx+c=0的两根分别是x1和x2,x1+x2=x1·x2=3、归纳（1）一元二次方程根与系数的关系ax2+bx+c=0的两根x1,x2x1+x2=x1·x2=（2）方程x2+px+q=0两根x1+x2=x1·x2=（3）以x1和x2为根的方程是4、探究：1、利用根与系数的关系，求作一个一元二次方程，使它的两根为2和3.2、如果是方程2X2+mX+3=0的一个根，求它的另一个根及m的值.3、已知关于x的方程x2+(2k+1)+k2-2=0的两根的平方和比两根之积的3倍少10，求k的值.5、当堂检测1、如果-1是方程2X2－X+m=0的一个根，则另一个根是___，m =____。
2、设X1、X2是方程X2－4X+1=0的两个根，则X1+X2 = ___ ,X1X2 = ____，X12+X22 = ( X1+X2)2 - ___ = ___( X1-X2)2 = ( ___ )2 - 4X1X2 = ___3、判断正误：以2和-3为根的方程是X2－X-6=0 （）4、已知两个数的和是1，积是-2，则这两个数是_____ 。
《根与系数的关系》教案
一、教学目标1. 让学生理解根与系数的关系,掌握一元二次方程的求根公式。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生对数学学科的兴趣和自信心。
二、教学内容1. 根与系数的关系。
2. 一元二次方程的求根公式。
三、教学重点与难点1. 教学重点:根与系数的关系,一元二次方程的求根公式。
2. 教学难点:根与系数的关系在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法,引导学生通过探索和发现来掌握知识。
2. 利用多媒体课件,生动形象地展示根与系数的关系。
3. 创设情境,让学生在解决实际问题中运用所学知识。
五、教学过程1. 导入新课:通过展示一些实际问题,引导学生思考根与系数的关系。
2. 讲解新课:讲解根与系数的关系,让学生掌握一元二次方程的求根公式。
3. 课堂练习:让学生通过练习,巩固所学知识。
4. 情境创设:让学生运用所学知识解决实际问题。
5. 总结反思:让学生总结本节课所学内容,反思自己的学习过程。
六、教学评价1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况以及小组合作表现，评估学生的学习兴趣和积极性。
2. 练习完成情况评价：检查学生课堂练习和课后作业的完成质量，评估学生对知识的掌握程度。
3. 实际问题解决评价：评估学生在情境创设环节中解决问题的能力，以及对根与系数关系在实际问题中的应用。
七、教学资源1. 多媒体课件：通过生动形象的方式展示根与系数的关系，帮助学生更好地理解概念。
2. 实际问题案例：提供一些与生活实际相关的问题，让学生能够将所学知识应用于解决实际问题。
3. 练习题库：准备一系列练习题，帮助学生巩固知识，并提供及时反馈。
八、教学进度安排1. 课时安排：本节课计划安排2课时，每课时40分钟。
2. 教学环节时间分配：导入新课（10分钟），讲解新课（15分钟），课堂练习（10分钟），情境创设（5分钟），总结反思（5分钟）。
九、教学拓展1. 深入了解一元二次方程的求根公式的推导过程，进一步探究根与系数之间的关系。
初中数学初二数学下册《一元二次方程的根与系数的关系》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解一元二次方程的根的概念，了解一元二次方程的根与系数之间的关系。
2.学会使用根的判别式来判断一元二次方程的根的情况，并能根据判别式的值来确定方程的根的性质。
3.掌握一元二次方程的求解公式，能够运用公式法求解一元二次方程，并解决实际问题。
-激发学生的学习兴趣，通过表扬和鼓励，增强学生的学习信心。
-关注学习困难的学生，给予个别辅导，帮助他们克服学习中的困难。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.创设情境：通过一个关于抛物线的实际例子，如“一个篮球在抛出后，其运动轨迹形成一个抛物线，假设我们知道篮球的初始速度和抛出角度，如何确定篮球落地的时间？”来引入一元二次方程的根与系数的关系。
-讲解：在学生探究的基础上，教师进行总结讲解，强调重难点，并配合典型例题进行解释。
-练习：设计梯度明显的练习题，让学生在课堂上即时巩固所学知识，并及时给予反馈。
-应用：结合实际生活情境，设计综合应用题，让学生运用所学知识解决问题，提高学生的数学应用能力。
3.教学评价：
-过程评价：关注学生在课堂上的参与度、合作探究能力和解决问题的策略。
-利用多媒体辅助教学，通过动态演示和图形展示，帮助学生形象地理解抽象的数学概念。
-实施分层次教学，针对不同水平的学生设计不同难度的练习题，使每个学生都能在课堂上得到有效的训练。
2.教学过程：
-导入：通过一个实际问题引入本节课的内容，激发学生的好奇心和学习兴趣。
-探索：引导学生通过小组合作、讨论的方式，探究一元二次方程根与系数的关系，总结根的判别式的使用方法。
4.能够运用一元二次方程的根与系数的关系解决一些简单的应用问题，提高数学应用能力。
专题08 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系(解析版)
九年级数学全册北师大版版链接教材精准变式练专题08 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系【典例1】已知关于x 的方程x 2+2x+a ﹣2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围； （2）当该方程的一个根为1时，求a 的值及方程的另一根． 【点拨】（1已知方程有两个不相等的实数根，即判别式△=b 2﹣4ac ＞0．即可得到关于a 的不等式，从而求得a 的范围．（2）设方程的另一根为x 1，根据根与系数的关系列出方程组，求出a 的值和方程的另一根． 【解析】解：（1）∵b 2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×（a ﹣2）=12﹣4a ＞0，解得：a ＜3．∴a 的取值范围是a ＜3；（2）设方程的另一根为x 1，由根与系数的关系得：⎩⎨⎧-=•-=+212111a x x ， 解得：⎩⎨⎧-=-=311x a ，则a 的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3．【总结】熟练掌握一元二次方程根的判别式与根之间的对应关系．【典例2】关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是 ．【点拨】此题要考虑两方面：判别式要大于0，二次项系数不等于0. 【答案】k ＜2且k ≠1；【解析】解：∵关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根， ∴k ﹣1≠0且△=（﹣2）2﹣4（k ﹣1）＞0，典例解读解得：k ＜2且k ≠1． 故答案为：k ＜2且k ≠1．【总结】不能忽略二次项系数不为0这一条件.【典例3】已知关于x 的一元二次方程2(1)10m x x -++=有实数根，则m 的取值范围是________ 【答案】54m ≤且m ≠1 【解析】因为方程2(1)10m x x -++=有实数根，所以214(1)450m m =--=-+≥△，解得54m ≤， 同时要特别注意一元二次方程的二次项系数不为0，即(1)0m -≠， ∴ m 的取值范围是54m ≤且m ≠1． 【总结】注意一元二次方程的二次项系数不为0，即(1)0m -≠，m ≠1． 【典例4】已知方程2560x kx +-=的一个根是2，求另一个根及k 的值．【点拨】根据方程解的意义，将x ＝2代入原方程，可求k 的值，再由根与系数的关系求出方程的另外一个根． 【解析】方法一：设方程另外一个根为x 1，则由一元二次方程根与系数的关系，得125k x +=-，1625x =-，从而解得：135x =-，k ＝-7． 方法二：将x ＝2代入方程，得5×22+2k-6＝0，从而k ＝-7．设另外一根为x 1，则由一元二次方程根与系数的关系，得1725x +=，从而135x =-， 故方程的另一根为35-，k 的值为-7．【总结】根据一元二次方程根与系数的关系12bx x a+=-，12cx x a=易得另一根及k 的值． 【典例5】关于x 的一元二次方程x 2+2x+2m=0有两个不相等的实数根． （1）求m 的取值范围；（2）若x 1，x 2是一元二次方程x 2+2x+2m=0的两个根，且x 12+x 22=8，求m 的值．【点拨】（1）根据方程根的个数结合根的判别式，可得出关于m 的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；（2）根据方程的解析式结合根与系数的关系找出x 1+x 2=﹣2，x 1•x 2=2m ，再结合完全平方公式可得出x 12+x 22=()221x x +﹣2x 1•x 2，代入数据即可得出关于关于m 的一元一次方程，解方程即可求出m 的值，经验值m=﹣1符合题意，此题得解． 【解析】解：（1）∵一元二次方程x 2+2x+2m=0有两个不相等的实数根， ∴△=22﹣4×1×2m=4﹣8m ＞0， 解得：m ＜21． ∴m 的取值范围为m ＜21． （2）∵x 1，x 2是一元二次方程x 2+2x+2m=0的两个根， ∴x 1+x 2=﹣2，x 1•x 2=2m ，∴x 12+x 22=()221x x +﹣2x 1•x 2=4﹣4m=8，解得：m=﹣1．当m=﹣1时，△=4﹣8m=12＞0．∴m 的值为﹣1．【总结】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、解一元一次不等式以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）结合题意得出4﹣8m ＞0；（2）结合题意得出4﹣4m=8．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程根的个数结合根的判别式得出不等式是关键．【典例6】求作一个一元二次方程，使它的两根分别是方程25230x x +-=各根的负倒数． 【解析】设方程25230x x +-=的两根分别为x 1、x 2，由一元二次方程根与系数的关系， 得1225x x +=-，1235x x =-．设所求方程为20y py q ++=，它的两根为y 1、y 2， 由一元二次方程根与系数的关系得111y x =-，221y x =-，从而12121212122111125()335x x p y y x x x x x x -⎛⎫+=-+=---=+=== ⎪⎝⎭-，12121211153q y y x x x x ⎛⎫⎛⎫==--==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故所求作的方程为225033y y +-=，即23250y y +-=． 【总结】所求作的方程中的未知数与已知方程中的未知数要用不同的字母加以区别．同时“以两个数x 1、x 2为根的一元二次方程是()021212=++-x x x x x x .”可以用这种语言形式记忆“2x -和x +积＝0”，或“减和加积”，此处的一次项系数最容易出现符号上的错误．【教材知识必背】一、一元二次方程根的判别式 1.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.诠释：利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定c b a .,的值；③计算ac b 42-的值；④根据ac b 42-的符号判定方程根的情况. 2. 一元二次方程根的判别式的逆用 在方程()002≠=++a c bx ax 中，（1）方程有两个不相等的实数根⇒ac b 42-﹥0；（2）方程有两个相等的实数根⇒ac b 42-=0；教材知识链接（3）方程没有实数根⇒ac b 42-﹤0.诠释：（1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件； （2）若一元二次方程有两个实数根则 ac b 42-≥0. 二、一元二次方程的根与系数的关系1.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，， 那么a b x x -=+21，ac x x =21. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.2.一元二次方程的根与系数的关系的应用(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x 1、x 2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：①222121212()2x x x x x x +=+-；②12121211x x x x x x ++=； ③2212121212()x x x x x x x x +=+；④2221121212x x x x x x x x ++=2121212()2x x x x x x +-=； ⑤22121212()()4x x x x x x -=+-；⑥12()()x k x k ++21212()x x k xx k =+++； ⑦12||x x -==；⑧22212121222222121212()211()x x x x x x x x x x x x ++-+==；⑨2212121212()()4x x x x x x x x -=±-=±+-； ⑩22212121212||||(||||)+2||x x x x x x x x +=+=+2121212()22||x x x x x x =+-+．(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程； 以两个数2\1x x 为根的一元二次方程是()021212=++-x x x x x x .(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围； （6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号. 设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为1x 、2x ，则 ①当△≥0且120x x >时，两根同号．当△≥0且120x x >，120x x +>时，两根同为正数； 当△≥0且120x x >，120x x +<时，两根同为负数． ②当△＞0且120x x <时，两根异号．当△＞0且120x x <，120x x +>时，两根异号且正根的绝对值较大；当△＞0且120x x <，120x x +<时，两根异号且负根的绝对值较大．诠释：（1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的∆．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱；（2）若有理系数一元二次方程有一根a b +，则必有一根a b -（a ，b 为有理数）．【变式1】下列一元二次方程没有实数根的是（ ） A ．x 2+2x+1=0 B ．x 2+x+2=0 C ．x 2﹣1=0 D ．x 2﹣2x ﹣1=0【点拨】求出每个方程的根的判别式，然后根据判别式的正负情况即可作出判断． 【答案】B ． 【解析】精准变式题解：A 、△=22﹣4×1×1=0，方程有两个相等实数根，此选项错误； B 、△=12﹣4×1×2=﹣7＜0，方程没有实数根，此选项正确；C 、△=0﹣4×1×（﹣1）=4＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；D 、△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误； 故选：B ．【总结】本题主要考查一元二次方程根的情况，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．【变式2】若关于x 的一元二次方程kx 2﹣4x+3=0有实数根，则k 的非负整数值是（ ）A. 1B. 0,1C. 1,2D. 1,2,3 【答案】A.提示：根据题意得：△=16﹣12k ≥0，且k ≠0，解得：k ≤34，且k ≠0. 则k 的非负整数值为1．【变式3】m 为任意实数，试说明关于x 的方程x 2-（m-1）x-3（m+3）= 0恒有两个不相等的实数根. 【答案】∵Δ=[-(m-1)]2-4×[-3(m+3）]=m 2+10m+37=(m+5)2+12＞0，∴关于x 的方程x 2-（m-1）x-3（m+3）= 0恒有两个不相等的实数根【变式4】已知：关于x 的方程2(1)04kkxk x +++=有两个不相等的实数根,求k 的取值范围. 【答案】102k k ≠＞－且.【变式5】已知方程220x x c -+=的一个根是3，求它的另一根及c 的值．【答案】另一根为-1；c 的值为-3．【变式6】不解方程，求方程22310x x +-=的两个根的（1）平方和；（2）倒数和．【答案】（1）134； （2）3．1. 关于x 的方程2210mx x ++=无实数根，则m 的取值范围为( )． A ．m ≠0 B ．m ＞1 C ．m ＜1且m ≠0 D ．m ＞-1综合提升变式练【答案】B ；【解析】当m ＝0时，原方程的解是12x =-；当m ≠0时，由题意知△＝22-4·m ×1＜0，所以m ＞1． 2．若1x 、2x 是一元二次方程2210x x +-=的两根，则1211x x +的值为（ ）． A ．-1 B ．0 C ．1 D ．2 【答案】C ；【解析】由一元二次方程根与系数的关系知：1212x x +=-，1212x x =-，从而121212111x x x x x x ++==． 3. 一元二次方程x 2﹣4x+4=0的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．无实数根 D ．无法确定 【答案】B.【解析】在方程x 2﹣4x+4=0中，△=（﹣4）2﹣4×1×4=0，∴该方程有两个相等的实数根．4．一元二次方程20(0)ax bc c a ++=≠有两个不相等的实数根，则24b ac -满足的条件是（ ）A ．240b ac -=B ．240b ac ->C ．240b ac -<D ．240b ac -≥ 【答案】B ；【解析】20ax bx c ++=(a ≠0)有两个不相等实数根240b ac ⇔->．5．若关于x 的一元二次方程（a ﹣1）x 2﹣2x+2=0有实数根，则整数a 的最大值为（ ）A ．﹣1B ．0 C.1 D.2 【答案】B ；【解析】∵关于x 的一元二次方程（a ﹣1）x 2﹣2x+2=0有实数根，∴△=（﹣2）2﹣8（a ﹣1）=12﹣8a ≥0且a ﹣1≠0， ∴a ≤且a ≠1，∴整数a 的最大值为0．故选：B ．6．关于方程2230x x ++=的两根12,x x 的说法正确的是（ ）A. 122x x +=B.123x x +=-C. 122x x +=-D.无实数根 【答案】D ；【解析】求得Δ=b 2-4ac=-8＜0，此无实数根，故选D .7．关于x 的一元二次方程x 2+4x+k=0有实数解，则k 的取值范围是（ ）A.k ≥4B.k ≤4C.k ＞4D.k=4【答案】B ；【解析】∵关于x 的一元二次方程x 2+4x+k=0有实数解，∴b 2﹣4ac=42﹣4×1×k ≥0， 解得：k ≤4，故选B ．8．一元二次方程22630x x -+=的两根为α、β，则2()αβ-的值为（ ）． A ．3 B ．6 C ．18 D ．24 【答案】A ；【解析】由一元二次方程根与系数的关系得：3αβ+=，32αβ=， 因此22()()4963αβαβαβ-=+-=-=9．等腰三角形边长分别为a ，b ，2，且a ，b 是关于x 的一元二次方程x 2﹣6x+n ﹣1=0的两根，则n 的值为（ ）.A ．9B ．10C ．9或10D ．8或10 【答案】B ；【解析】∵三角形是等腰直角三角形，∴①a=2，或b=2，②a=b 两种情况， ①当a=2，或b=2时，∵a ，b 是关于x 的一元二次方程x 2﹣6x+n ﹣1=0的两根， ∴x=2，把x=2代入x 2﹣6x+n ﹣1=0得，22﹣6×2+n ﹣1=0， 解得：n=9，当n=9，方程的两根是2和4，而2，4，2不能组成三角形， 故n=9不合题意，②当a=b 时，方程x 2﹣6x+n ﹣1=0有两个相等的实数根， ∴△=（﹣6）2﹣4（n ﹣1）=0 解得：n=10， 故选B ．10．设a ，b 是方程220130x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为（ ）． A ．2010 B ．2011 C ．2012 D ．2013 【答案】C ；【解析】依题意有22013a a +=，1a b +=-，∴222()()201312012a a b a a a b ++=+++=-=．11．若ab ≠1，且有25201290a a ++=，及29201250b b ++=，则ab的值是（ ）． A ．95 B ．59 C ．20125- D ．20129- 【答案】A ；【解析】因为25201290a a ++=及29201250b b ++=，于是有25201290a a ++=及2115()201290bb+•+=， 又因为1ab ≠，所以1a b ≠，故a 和1b可看成方程25201290x x ++=的两根， 再运用根与系数的关系得195a b •=，即95a b =．12．已知关于x 的方程221(3)04x m x m --+=有两个不相等的实数根，那么m 的最大整数值是________．【答案】1；【解析】由题意知△＝221[(3)]404m m ---⨯⨯>，所以32m <，因此m 的最大整数值是1． 13．关于x 的一元二次方程22(21)10x m x m -+++-=无实数根，则m 的取值范围是__ ___． 【答案】54m <-； 【解析】因为关于x 的一元二次方程22(21)10x m x m -+++-=无实数根，所以22(21)4(1)(1)0m m +-⨯--<，解得54m <-． 14．关于x 的方程kx 2﹣4x ﹣=0有实数根，则k 的取值范围是 ． 【答案】k ≥﹣6； 【解析】当k=0时，﹣4x ﹣=0，解得x=﹣，当k ≠0时，方程kx 2﹣4x ﹣=0是一元二次方程，根据题意可得：△=16﹣4k ×（﹣）≥0， 解得k ≥﹣6，k ≠0，综上k ≥﹣6．15．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣2x ﹣1=0的两根，则+= ．【答案】-2.【解析】∵一元二次方程x 2﹣2x ﹣1=0的两根为x 1、x 2，x 1+x 2=2，x 1•x 2=﹣1，∴+= =﹣2．故答案是：﹣2． 16．若方程的两根是x 1、x 2，则代数式的值是 。
《一元二次方程的根与系数的关系》教案
教学文档
（一元二次方程的根与系数的关系）教案
一、教学目标
（知识与技能）
学生了解一元二次方程根与系数的关系，并利用根与系数关系求出两根之和、两根之积。
（过程与方法）
学生能够借助问题的引导，发觉、归纳并证明一元二次方程根与系数的关系，在探究过程中，感受由特别到一般地认识事物的规律。
（感情态度价值观）
通过探究一元二次方程的根与系数的关系，培养观察分析和综合、推断的能力。
激发发觉规律的积极性，鼓舞勇于探究的精神。
二、教学重难点
（教学重点）
一元二次方程根与系数的关系的证明。
（教学难点）
发觉一元二次方程根与系数的关系。
三、教学过程
(一)引入新课
提出问题：一元二次方程的根与方程中的系数之间有怎样的关系呢
师生活动：复习回忆一元二次方程的一般形式以及求根公式。
(二)探究新知
.。
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专题8 一元二次方程根与系数关系（学案）
前言：
设1x 和2x 是一元次方程20(0)ax bx c a ++=?的两个根，则12b x x a +=-，12c x x a
?（其中a b c 、、均为实数）。
一、专题知识
利用根与系数的关系（韦达定理），可以不直接求方程20(0)ax bx c a ++=?的根，而知其根的正负性质：
一元二次方程20(0)ax bx c a ++=?在2
40b ac D=-?的条件下： （1）
0c a
<时，方程的两根必然一正一负； （2）0b a
-?时，方程的正根不小于负根的绝对值； （3）0b a
-<时，方程的正根小于负根的绝对值； （4）0c a <时，方程的两根同正或同负。
二、例题分析
例题1 如果,a b 是关于x 的方程()()1x c x d +?=的两个根，求()()a c b c +?的值。
例题2 方程22320x x --=的实数根为a b 、，求
+ab a b
的值。
例题3 如果正整数,a b 是关于x 的方程22
91056520552013a x x b b --++++=的两个根，求,a b 的值。
例题4 已知实数a b 、满足条件：423240a a +-=，4230b b +-=，求代数式444a
b -+的值。
三、专题训练
专题练习
1. 已知113a b a b
-
=-=且0a b +>，求33a b b a -的值。
2. 已知关于x 的方程260x ax a ++=只有整数解，求实数a 的值。
3. 已知关于x 的方程222(2)40x a x a -++-=只有一个正根，求实数a 的取值范围。
4. 已知a b 、均为实数，证明：关于x 的方程()()1x a x a b ---=有两个实数根，其中一个大于a ，另一个小于a 。
5. 已知实数a b 、满足条件： 25201280a a ++=，28201250b b ++=，求
a b 的值。
6. 解方程：
()()23234x x ++-=。
7. 若a b 、是方程2
10x x +-=的两个实根，计算43a b -的值。
8. 已知12x x 、 是关于x 的方程22(2)(35)0x k x k k --+++=的两个实数根，求2212x x +的最大值。
9. 设n 为正整数，关于x 的方程22(21)0x n x n +++=的两根为n n a b 、，计算代数式 33442020111(1)(1)(1)(1)(1)(1)
a b a b a b +++++++++ 的值。
10. 已知实数x y z 、、满足条件：6x y +=，2
9xy z =+，比较x y 、的大小，并说明理由。
专题作业
1. 设x y 、都是正整数，且满足条件：211x y -+、211y x -+的和与积都是整数，证明：211
x y -+、211y x -+都是整数。
2. 已知关于x 的方程一元二次方程20ax bx c ++=没有实数解，甲同学由于看错了二次项系数，误求得两根
为2和4，乙同学由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为-1和4，求
23b c a
+的值。
3. 已知方程2(23)230x x -++=的一根为直角三角形的斜边c ，另一根为直角边a ，求此直角三角形的第三边b 。