2011版高中数学二轮专题复习学案-专题七 第二讲 数形结合思想

专题七：思想方法专题

第二讲数形结合思想

【思想方法诠释】

一、数形结合的思想

所谓的数形结合，就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决，数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从形的直观和数的严谨两方面思考问题，拓宽了解题思路，是数学的规律性与灵活性的有机结合．数形结合的实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化．

二、数形结合思想解决的问题常有以下几种：

1．构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；

2．构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；

3．构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；

4．构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；

5．构建立体几何模型研究代数问题；

6．构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；

7．构建方程模型，求根的个数；

8．研究图形的形状、位置关系、性质等。

三、数形结合思想是解答高考数学试题的一种常见方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥奇特功效，具体操作时，应注意以下几点：

1．准确画出函数图象，注意函数的定义域；

2．用图象法讨论方程（特别是含参数的方程）的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调整，以便于作图）然后作出两个函数的图象，由图求解。

四、在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以下四点：

1．要清楚一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征；

2．要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化；

3．要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏；

4．精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，以便于问题求解。【核心要点突破】

要点考向1：利用数学概念或数学式的几何意义解题

例1：实系数一元二次方程x2+ax+2b=0有两个根，一个根在区间（0，1）内，另一个根在区间（1，2）内，求：

（1）点（a,b）对应的区域的面积；

（2）的取值范围；

（3）(a-1)2+(b-2)2的值域．

思路精析：列出a,b满足的条件→画出点(a,b)对应的区域→求面积→根据的几何意义求范围→根据(a-1)2+(b-2)2的几何意义求值域．

解析：方程x2+ax+2b=0的两根在区间（0，1）和（1，2）上的几何意义分别是：函数y=f(x)= x2+ax+2b 与x轴的两个交点的横坐标分别在区间（0，1）和（1，2）内，

由此可得不等式组

由，解得A（-3，1）．由，解得C（-1，0）．

∴在如图所示的aOb坐标平面内，满足条件的点(a,b)对应的平面区域为△ABC（不包括边界）．

（1）△ABC的面积为（h为A到Oa轴的距离）．

（2）几何意义是点(a,b)和点D(1,2)边线的斜率．

由图可知

（3）∵(a-1)2+(b-2)2表示的区域内的点(a,b)与定点(1,2)之间距离的平方，

注：如果等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，就要考虑用数形结合的思想方法来解题，即所谓的几何法求解，比较常见的对应有：

（1）连线的斜率；

（2）之间的距离；

（3）为直角三角形的三边；

（4）图象的对称轴为x=．只要具有一定的观察能力，再掌握常见的数与形的对应类型，就一定能得心应手地运用数形结合的思想方法．

要点考向2：用数形结合求方程根的个数，解决与不等式有关的问题

（1）已知：函数f(x)满足下面关系：①f(x+1)=f(x-1);②当x∈[-1,1]时，f(x)=x2,则方程f(x)=lgx 例2：

解的个数是（）

(A)5 (B)7 (C)9 (D)10

(2)设有函数f(x)=a+ 和g(x)= ,已知x∈[-4,0]时，恒有f(x)≤g(x)，求实数a的范围．

思路精析：（1）画出f(x)的图象→画出y=lgx的图象→数出交点个数．

（2）f(x)≤g(x)变形为→画出的图象→画出的图象→寻找成立的位置

解析：（1）选C．由题间可知，f(x)是以2为周期，值域为[0，1]的函数．又f(x) =lgx，则x∈（0，10]，画出两函数图象，则交点个数即为解的个数．由图象可知共9个交点．

（2）f(x)≤g(x)，即，变形得，令…………①，………………②

①变形得，即表示以（-2，0）为圆心，2为半径的圆的上半圆；

②表示斜率为，纵截距为1-a的平行直线系．设与圆相切的直线为AT，其倾斜角为α，则有tanα=,,

要使f(x)≤g(x)在x∈[-4,0]时恒成立，则②成立所表示的直线应在直线AT的上方或与它重合，故有1-a≥6,∴a≤-5．

注：（1）用函数的图象讨论方程（特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程）的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式（不熟悉时，需要作适当变形转化为两熟悉的函数），然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数．

（2）解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个（或多个）函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决不等式的解的问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答．

（3）函数的单调性经常联系函数图象的升、降；奇偶性经常联系函数图象的对称性；最值（值域）经常联系函数图象的最高、最低点的纵坐标．

要点考向2：数形结合在解析几何中的应用

例3：已知椭圆C的中心在原点，一个焦点

(0,2)

F

，且长轴长与短轴长的比是2:1．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若椭圆C在第一象限的一点P的横坐标为1，过点P作倾斜角互补的两条不同的直线PA，PB分别交椭圆C于另外两点A，B，求证：直线AB的斜率为定值；

（Ⅲ）求PAB

∆面积的最大值．

解析：（Ⅰ）设椭圆C的方程为

22

22

1(0)

y x

a b

a b

+=>>

．

由题意

222,

:2

2.

a b c

a b

c

⎧=+

⎪⎪

=

⎨

⎪

=

⎪⎩

………………………………………………2分