A4 估算一元二次方程的近似解
一元二次方程的解法详细
一元二次方程的解法详细一元二次方程，这个名字听起来就有点儿高深莫测，但其实它就像生活中的小麻烦，解决起来其实并不难。
你想想，每当你遇到一些棘手的问题，脑子里总会冒出一两个公式，解开那些烦人的心结，没错，一元二次方程也一样。
咱们先来认识一下它的基本样子。
它的标准形式是 (ax^2 + bx + c = 0)，其中 (a)、(b)、和 (c) 是常数，(x) 就是你要找的那颗“星”。
哈哈，听起来有点像寻宝，是吧？得搞明白这个公式的含义。
举个例子，想象一下你在草地上玩滑板，不小心撞到了一个小坡，摔了个四脚朝天。
这个坡就像方程里的(ax^2) 部分，能让你的滑板飞起来。
而 (bx) 就像是你在努力修正方向，避免摔倒。
最后的 (c) 就是你摔倒之前的高度，没错，摔得高也要摔得痛。
所以啊，弄懂了这个关系，你就能轻松面对方程。
解决这个方程的方法主要有三种，第一种叫“开平方法”，其实就是把方程变成一个更简单的形式。
想象一下把一个大蛋糕切成两半，最后你会得到两个小蛋糕。
方程里，你需要把它整理成一个完全平方的样子，嗯，比如说把 (ax^2 + bx) 变成 ((px + q)^2)，这时候就能轻松得出答案啦。
听起来有点复杂，但其实就像切蛋糕，轻轻松松。
再来说说第二种方法，“求根公式”。
这个公式就像万能钥匙，随便一插，锁就开了。
公式长得有点复杂，是这样的：(x = frac{b pm sqrt{b^2 4ac{2a)。
别怕，听起来吓人，实际上这就是帮你找到 (x) 的秘密武器！只要把 (a)、(b)、和 (c) 代进去，按部就班地计算，就能发现隐藏的根。
简直就像打开了一个宝藏，挖掘出那些不为人知的答案。
还有最后一种，图像法。
对，没错，画图也是一种解法！想象一下，拿起笔，在纸上画出抛物线。
这个抛物线的交点，就是你要找的 (x) 值。
用图像来解方程，简直是一种艺术享受，像是在画画一样，既能放松心情，又能解决问题。
解方程的时候也可能会遇到一些小麻烦，比如说判别式 (b^2 4ac)。
知识卡片-估计一元二次方程的近似解
估计一元二次方程的近似解
能量储备
一元二次方程解的估算依据是代数式的值的求法，当某一x的取值使得这个方程中的ax2＋bx＋c的值无限接近0时，x的值即可看做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解．
通关宝典
★基础方法点
方法点1：估算一元二次方程的解，只是估算“解”的取值范围，比如在哪两个数之间．例：写出一个一元二次方程，使其二次项系数为1，一次项系数为－2，常数项为－4，并求出方程的近似解(精确到个位)．
解：这个一元二次方程是x2－2x－4＝0.列表计算：
所以－2<x<－1或3<x<4.
进一步列表计算：
所以x≈－1或x≈3.
方法点2：求方程的近似解，首先应确定解的大致范围，再令x的取值逐渐使ax2＋bx＋c的值接近0，从而可求其解或近似解．
蓄势待发
考前攻略
完胜关卡。
九年级下册第5章二次函数5、4二次函数与一元二次方程第2课时利用函数图像求一元二次方程根的近似值教学
x2，不妨设x1<x2.先求在0和1之间的根
-2
-3
的近似值，利用计算器进行探索，列
-4
表如下：
-5 -6
-7
二次函数与x轴的交点与一元二次方程根的关系
y
x 0.1 … 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
4
y＝x2-5x+3 3
y 2.51
…
0.75 0.36 -0.01 -0.36 -0.69
二次函数与x轴的交点与一元二次方程根的关系
练一练：下表是二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，
判断方程ax2+bx+c=0(a≠0，a，b，c为常数)的一个解x的范围
是( C )
x y=ax2+bx+c
… 6.17 6.18 6.19 6.20 … -0.03 -0.01 0.02 0.04
x
…
－1
0
1
3
…
y
…
－3
1
3
1
…
现给出下列说法：
①该函数图像开口向下；
②该函数图像的对称轴为过点(1，0)且平行于y轴的直线； ③当x＝2时，y＝3； ④方程ax2+bx+c＝－2的正根在3与4之间． 其中正确的说法为___①__③__④____．(只需写出序号)
CONTENTS
4
利用二次函数的图像求-元二次方 程根的近似值的一般步骤: 1.画出二次函数y=ax2 +bx+c的图像; 2.确定函数图像与x轴公共点的位置，看公共点的横坐标介于哪两个 数之间，初步估值；
3.在（2）的范围内，借助计算器并利用缩小范围逐次逼近的方法进 行取值计算；
山东省潍坊市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-02填空题知识点分类
山东省潍坊市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-02填空题知识点分类一．二次根式的混合运算（共1小题）1．（2023•潍坊）从﹣，，中任意选择两个数，分别填在算式（□+〇）2÷里面的“□”与“〇”中，计算该算式的结果是 ．（只需写出一种结果）二．解二元一次方程组（共1小题）2．（2022•潍坊）方程组的解为 ．三．估算一元二次方程的近似解（共1小题）3．（2023•潍坊）用与教材中相同型号的计算器，依次按键，显示结果为2.236067977．借助显示结果，可以将一元二次方程x2+x﹣1＝0的正数解近似表示为 ．（精确到0.001）四．解分式方程（共1小题）4．（2021•潍坊）若x＜2，且+|x﹣2|+x﹣1＝0，则x＝ ．五．规律型：点的坐标（共1小题）5．（2021•潍坊）在直角坐标系中，点A1从原点出发，沿如图所示的方向运动，到达位置的坐标依次为：A2（1，0），A3（1，1），A4（﹣1，1），A5（﹣1，﹣1），A6（2，﹣1），A7（2，2），…．若到达终点A n（506，﹣505），则n的值为 ．六．一次函数图象上点的坐标特征（共1小题）6．（2021•潍坊）甲、乙、丙三名同学观察完某个一次函数的图象，各叙述如下：甲：函数的图象经过点（0，1）；乙：y随x的增大而减小；丙：函数的图象不经过第三象限．根据他们的叙述，写出满足上述性质的一个函数表达式为 ．七．反比例函数系数k的几何意义（共1小题）7．（2021•潍坊）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，函数y＝与y＝（a＞b＞0）在第一象限的图象分别为曲线C1，C2，点P为曲线C1上的任意一点，过点P作y轴的垂线交C2于点A，作x轴的垂线交C2于点B，则阴影部分的面积S△AOB ＝ ．（结果用a，b表示）八．翻折变换（折叠问题）（共1小题）8．（2022•潍坊）小莹按照如图所示的步骤折叠A4纸，折完后，发现折痕AB′与A4纸的长边AB恰好重合，那么A4纸的长AB与宽AD的比值为 ．九．坐标与图形变化-旋转（共1小题）9．（2022•潍坊）如图，在直角坐标系中，边长为2个单位长度的正方形ABCO绕原点O逆时针旋转75°，再沿y轴方向向上平移1个单位长度，则点B″的坐标为 ．一十．相似三角形的应用（共1小题）10．（2023•潍坊）在《数书九章》（宋•秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，AB表示塔的高度，CD表示竹竿顶端到地面的高度，EF表示人眼到地面的高度，AB、CD、EF在同一平面内，点A、C、E在一条水平直线上．已知AC＝20米，CE＝10米，CD＝7米，EF＝1.4米，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度．根据以上信息，塔的高度为 米．一十一．位似变换（共1小题）11．（2022•潍坊）《墨子•天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形ABCD的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A'B'C'D'，若A'B'：AB＝2：1，则四边形A'B'C'D'的外接圆的周长为 ．一十二．列表法与树状图法（共1小题）12．（2023•潍坊）投掷两枚骰子，朝上一面的点数之和为7的概率是 ．山东省潍坊市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-02填空题知识点分类参考答案与试题解析一．二次根式的混合运算（共1小题）1．（2023•潍坊）从﹣，，中任意选择两个数，分别填在算式（□+〇）2÷里面的“□”与“〇”中，计算该算式的结果是 ﹣2（答案不唯一） ．（只需写出一种结果）【答案】﹣2（答案不唯一）．【解答】解：若“□”是﹣，“〇”是，则（﹣+）2÷＝（5﹣2）÷＝﹣2；若“□”是﹣，“〇”是，则（﹣+）2÷＝（8﹣2）÷＝4﹣2；若“□”是，“〇”是，则（+）2÷＝（9+2）÷＝+6；故答案为：﹣2（答案不唯一）．二．解二元一次方程组（共1小题）2．（2022•潍坊）方程组的解为 ．【答案】．【解答】解：，由①×2得4x+6y＝26③，由②×3得9x﹣6y＝0④，由③+④得13x＝26，解得x＝2，将x＝2代入②得3×2﹣2y＝0，解得y＝3，所以原方程组的解为．故答案为：．三．估算一元二次方程的近似解（共1小题）3．（2023•潍坊）用与教材中相同型号的计算器，依次按键，显示结果为2.236067977．借助显示结果，可以将一元二次方程x2+x﹣1＝0的正数解近似表示为 0.618 ．（精确到0.001）【答案】0.618．【解答】解：∵x2+x﹣1＝0，∴a＝1，b＝1，c＝﹣1，Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×1×（﹣1）＝5，∴x＝＝，∴x1＝≈﹣1.618，x2＝≈0.618，故答案为：0.618．四．解分式方程（共1小题）4．（2021•潍坊）若x＜2，且+|x﹣2|+x﹣1＝0，则x＝ 1 ．【答案】1．【解答】解：+|x﹣2|+x﹣1＝0，∵x＜2，∴方程为+2﹣x+x﹣1＝0，即＝﹣1，方程两边都乘x﹣2，得1＝﹣（x﹣2），解得：x＝1，经检验x＝1是原方程的解，故答案为：1．五．规律型：点的坐标（共1小题）5．（2021•潍坊）在直角坐标系中，点A1从原点出发，沿如图所示的方向运动，到达位置的坐标依次为：A2（1，0），A3（1，1），A4（﹣1，1），A5（﹣1，﹣1），A6（2，﹣1），A7（2，2），…．若到达终点A n（506，﹣505），则n的值为 2022 ．【答案】2022．【解答】解：∵到达终点A n（506，﹣505），且此点在第四象限，根据题意和到达位置的坐标可知：A6（2，﹣1），A10（3，﹣2），A14（4，﹣3）•，∵6＝2+4×（2﹣1），10＝2+4×（3﹣1），14＝2+4×（4﹣1），•n＝2+4×（506﹣1）＝2022．故答案为：2022．六．一次函数图象上点的坐标特征（共1小题）6．（2021•潍坊）甲、乙、丙三名同学观察完某个一次函数的图象，各叙述如下：甲：函数的图象经过点（0，1）；乙：y随x的增大而减小；丙：函数的图象不经过第三象限．根据他们的叙述，写出满足上述性质的一个函数表达式为 y＝﹣x+1（答案不唯一） ．【答案】见试题解答内容【解答】解：设一次函数解析式为y＝kx+b，∵函数的图象经过点（0，1），∴b＝1，∵y随x的增大而减小，∴k＜0，取k＝﹣1，∴y＝﹣x+1，此函数图象不经过第三象限，∴满足题意的一次函数解析式为：y＝﹣x+1（答案不唯一）．七．反比例函数系数k的几何意义（共1小题）7．（2021•潍坊）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，函数y＝与y＝（a＞b＞0）在第一象限的图象分别为曲线C1，C2，点P为曲线C1上的任意一点，过点P作y轴的垂线交C2于点A，作x轴的垂线交C2于点B，则阴影部分的面积S△AOB＝ a﹣ ．（结果用a，b表示）【答案】a﹣．【解答】解：设B（m，），A（，n），则P（m，n），∵点P为曲线C1上的任意一点，∴mn＝a，∴阴影部分的面积S△AOB＝mn﹣b﹣b﹣（m﹣）（n﹣）＝mn﹣b﹣（mn﹣b﹣b+）＝mn﹣b﹣mn+b﹣＝a﹣．故答案为：a﹣．八．翻折变换（折叠问题）（共1小题）8．（2022•潍坊）小莹按照如图所示的步骤折叠A4纸，折完后，发现折痕AB′与A4纸的长边AB恰好重合，那么A4纸的长AB与宽AD的比值为 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：由第②次折叠知，AB＝AB'，由第①次折叠知，∠B'AB＝45°，∴△AD'B'是等腰直角三角形，∴AB'＝AD'，∴AB与宽AD的比值为，故答案为：，九．坐标与图形变化-旋转（共1小题）9．（2022•潍坊）如图，在直角坐标系中，边长为2个单位长度的正方形ABCO绕原点O逆时针旋转75°，再沿y轴方向向上平移1个单位长度，则点B″的坐标为 （﹣，+1） ．【答案】见试题解答内容【解答】解：过B'作B'D⊥y轴于D，连接OB，OB'，如图：∵边长为2个单位长度的正方形ABCO绕原点O逆时针旋转75°，∴∠BOB'＝75°，∠BOC＝45°，OB＝OB'＝2，∴∠B'OD＝30°，∴B'D＝OB'＝，OD＝B'D＝，∴B'（﹣，），∵再沿y轴方向向上平移1个单位长度，∴B''（﹣，+1），故答案为：（﹣，+1）．一十．相似三角形的应用（共1小题）10．（2023•潍坊）在《数书九章》（宋•秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，AB表示塔的高度，CD表示竹竿顶端到地面的高度，EF表示人眼到地面的高度，AB、CD、EF在同一平面内，点A、C、E在一条水平直线上．已知AC＝20米，CE＝10米，CD＝7米，EF＝1.4米，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度．根据以上信息，塔的高度为 18.2 米．【答案】18.2．【解答】解：过点F作FG⊥CD，垂足为G，延长FG交AB于点H，由题意得：FH⊥AB，AH＝CG＝EF＝1.4米，AC＝GH＝20米，CE＝FG＝10米，∴∠DGF＝∠BHF＝90°，∵CD＝7米，∴DG＝CD﹣CG＝7﹣1.4＝5.6（米），∵∠DFG＝∠BFH，∴△FDG∽△FBH，∴＝，∴＝，∴BH＝16.8，∴AB＝BH+AH＝16.8+1.4＝18.2（米），∴塔的高度为18.2米，故答案为：18.2．一十一．位似变换（共1小题）11．（2022•潍坊）《墨子•天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形ABCD的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A'B'C'D'，若A'B'：AB＝2：1，则四边形A'B'C'D'的外接圆的周长为 4π ．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，连接B′D′．设B′D′的中点为O．∵正方形ABCD∽正方形A′B′C′D′，相似比为1：2，又∵正方形ABCD的面积为4，∴正方形A′B′C′D′的面积为16，∴A′B′＝A′D′＝4，∵∠B′A′D′＝90°，∴B′D′＝A′B′＝4，∴正方形A′B′C′D′的外接圆的周长＝4π，故答案为：4π．一十二．列表法与树状图法（共1小题）12．（2023•潍坊）投掷两枚骰子，朝上一面的点数之和为7的概率是 ．【答案】．【解答】解：列表如下：1 234 5 61（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）2（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）3（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）4（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（4，6）5（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）（5，6）6（6，1）（6，2）（6，3）（6，4）（6，5）（6，6）由表可知共有36种等可能的情况，其中朝上一面的点数之和为7的结果有6种，∴投掷两枚骰子，朝上一面的点数之和为7的概率为＝，故答案为：．。
一元二次方程的解法总结
一元二次方程的解法（直接开平方法、配方法、公式法和分解法）一元二次方程定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程。
一般形式:ax²+bx+c=0(a,b，c为常数，x为未知数，且a≠0）.顶点式: y=a（x—h）²+k（a≠0，a、h、k为常数）交点式：y=a（x—x₁）（x—x₂）(a≠0）［有交点A（x₁，0)和B（x₂，0)的抛物线，即b²-4ac≥0］ .直接开平方法：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。
用直接开平方法解形如(x—m）²=n(n≥0）的方程，其解为x=m±配方法：1.将此一元二次方程化为ax²+bx+c=0的形式（此一元二次方程满足有实根）2.将二次项系数化为13.将常数项移到等号右侧4。
等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方5.将等号左边的代数式写成完全平方形式6。
左右同时开平方7.整理即可得到原方程的根公式法:1。
化方程为一般式：ax²+bx+c=0 (a≠0）2。
确定判别式，计算Δ(=b²—4ac)；3。
若Δ〉0，该方程在实数域内有两个不相等的实数根：x=若Δ=0,该方程在实数域内有两个相等的实数根:x₁=x₂=若Δ〈0,该方程在实数域内无实数根因式分解法:因式分解法又分“提公因式法”;而“公式法”（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种），另外还有“十字相乘法”，因式分解法是通过将方程左边因式分解所得，因式分解的内容在八年级上学期学完。
用因式分解法解一元二次方程的步骤1. 将方程右边化为0;2. 将方程左边分解为两个一次式的积;3. 令这两个一次式分别为0,得到两个一元一次方程；4. 解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。
用待定系数法求二次函数的解析式（1）当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时,可设解析式为一般形式：y=ax²+bx+c(a≠0）.(2）当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴或极大（小）值时,可设解析式为顶点式：y=a（x-h）²+k（a≠0)。
2.1.2一元二次方程的解及其估算
知识点 2 一元二次方程的近似解
用估算法求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的近似解的方 法及步骤： (2)步骤：
①列表：根据实际情况确定方程解的大致范围，分别计算 方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中ax2＋bx＋c的值；
②在表中找出当ax2＋bx＋c的值可能等于0的未知数的范 围；
③进一步在②的范围内列表、计算、估计范围，直到找出 符合要求的范围．
ax2 +bx + c = 0(a , b , c为常数, a≠0)
学习目标 1 理解方程的解的概念. 2 经历对一元二次方程解的探索过程并理解其意义.(重点) 3 会估算一元二次方程的解.（难点）
知识点 1 一元二次方程的解
一元二次方程的解：使一元二次方程等号两边相等的未 知数的值叫作一元二次方程的解（又叫做根）. 能使一元二次方程ax2 +bx + c = 0(a , b , c为常数, a≠0) 成立的x值
探究新知
下面哪些数是方程x2－x－2＝0的根？ －3，－2，－1，0，1，2，3
导引：根据一元二次方程的根的定义，将这些数作为未 知数的值分别代入方程中，能够使方程左右两边 相等的数就是方程的根．
解：－1，2. 你一注元意二到次什方么程？可能不止一个根.
解题技巧 1
判断一个数值是不是一元二次方程的根的方法： 将这个值代入一元二次方程，看方程的左右两
边，就可得到以b为未知数的一元一次方程，求 解即可．
随堂检测
已知a是方程 x2+2x－2=0 的一个实数根,
求 2a2+4a+2017的值.
解：由题意得 a2 2a 2 0 即a2 2a 2 2a2 4a 2017 2(a2 2a) 2017 2 2 2017 2021
一元二次方程的解法ppt课件
是
公式法推导过程
这叫做一元二次方程的求根公式，解一元二次方程时，
2
把各项系数的值直接代入这个公式，若 -4ac≥0就可以
求得方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
尝试与交流
2
2
在一元二次方程 +bx＋c=0(a≠0)中，如果 -4ac<0那
解:原方程可变形为(2x-1+x)(2x-1-x)=0
即(3x-1)(x-1)=0
3x-1=0或x-1=0
所以x1=
，x
2=1
观察与思考
2=4(x+2)
(x＋2)
解方程
小丽、小明的解法如下：
小丽、小明的解法，哪个正确?
因式分解法练习
1.用因式分解法解下列方程
①x2－3x=0
② 3x2= x
③2（ x－1 ） ＋ x （ x－1 ） =0
叫做因式分解法
例题8
解下列方程
① = −
② + − + =
原方程可变形为x2+4x=0
原方程可变形为
x(x+4)=0
(x+3)(1-x)=0
x=0或x+4=0
x+3=0或1-x=0.
所以x1=0，x2=-4
所以x1=-3，x2=1
例题9
解方程
(2x-1)2－x2=0
的矩形割补成一个正方形
数学实验室
一个矩形通过割、拼、补，成为一个正方形的过程配方
的过程
数学实验室
数学实验室
数学实验室
数学实验室
北师大版九年级数学上第二章一元二次方程2
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思维拓展
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九年级 数学 上册 北师版
典例导学 一名跳水运动员进行 10 m 跳台跳水训练，运动员必须在距水面 5 m
以上完成规定动作，否则容易出现失误，假设运动员起跳后的运动时间 t(s)和距离水面高度 h(m)满足：h＝10＋3t－5t2，那么他最多有多长时 间完成规定动作？(精确到 0.1 s) 【思路分析】先把函数关系转化成一元二次方程，并把方程化成一元二 次方程的一般形式．结合实际问题在 t 的取值范围内列表，采用“夹逼” 的方法求 t 的近似值．
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九年级 数学 上册 北师版
17．如图，现有篱笆长 11 m，一面靠墙，要建一个矩形养鸡场．
(1)设宽为 xm，则长为((1111－－22xx)) m，面积为((－－22xx22＋＋1111xx) )m2；
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(2)填写下列表格：
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14．一元二次方程(a＋1)x2＋ax＋1－a2＝0 的一个根为 0，求 a 的值． a＋1≠0，
解：由题意，得1－a2＝0， ∴a＝1.
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15．关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一个根为 1，且 a，b 满足等式 b＝ a－3＋ 3－a＋3，求 c 的值．
＝2 的根是
（D ）
x
2022年北师版数学《一元二次方程的解及其估算》精品教案
第2课时一元二次方程的解及其估算1．经历一元二次方程的解或近似解的探索过程，增进对方程解的认识；(重点)2．会用“夹逼法”估算方程的解，培养学生的估算意识和能力．(难点)一、情景导入在上一课时情境导入中，苗圃的宽满足方程x(x＋2)＝120，你能求出该方程的解吗？二、合作探究探究点一：一元二次方程的解下列哪些数是方程x2－6x＋8＝0的根？0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10.解析：把0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10分别代入方程x2－6x＋8＝0中，发现当x＝2和x＝4时，方程x2－6x＋8＝0成立，所以x＝2，x＝4是方程x2－6x＋8＝0的根．解：2，4是方程x2－6x＋8＝0的根．方法总结：(1)使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫一元二次方程的根．(2)判断一个数是否为某个一元二次方程的根，我们只需要将这个数当作未知数的值分别代入原方程的左右两边，看左右两边代数式的值是否相等，若相等，则这个数是一元二次方程的根；若不相等，则这个数不是一元二次方程的根．探究点二：估算一元二次方程的近似解请求出一元二次方程x2－2x－1＝0的正数根(精确到0.1)．解析：先列表取值，初步确定正数根x在哪两个整数之间，然后再用类似的方法逐步确定出x的近似正数根．解：(1)列表，依次取x＝0，1，2，3，…x 0123…x2－2x－1－1－2－12…由上表可发现，当2＜x＜3时，－1＜x－2x－1＜2；(2)x …x2－2x－1…由上表可发现，当2.4＜x＜2.5时，－0.04＜x－2x－1＜0.25；(3)取x＝2.45，则x2－2x－1≈0.1025.∴2.4＜x＜2.45，∴x≈2.4.方法总结：(1)利用列表法估算一元二次方程根的取值范围的步骤是：首先列表，利用未知数的取值，根据一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)分别计算ax2＋bx＋c的值，在表中找到使ax2＋bx＋c可能等于0的未知数的大致取值范围，然后再进一步在这个范围内取值，逐步缩小范围，直到所要求的精确度为止．(2)在估计一元二次方程根的取值范围时，当ax2＋bx＋c(a≠0)的值由正变负或由负变正时，x的取值范围很重要，因为只有在这个范围内，才能存在使ax2＋bx＋c＝0成立的x的值，即方程的根．三、板书设计一元二次方程的解的估算，采用“夹逼法”：(1)先根据实际问题确定其解的大致范围；(2)再通过列表，具体计算，进行两边“夹逼”，逐步获得其近似解．“估算”在求解实际生活中一些较为复杂的方程时应用广泛．在本节课中让学生体会用“夹逼”的思想解决一元二次方程的解或近似解的方法．教学设计上，强调自主学习，注重合作交流，在探究过程中获得数学活动的经验，提高探究、发现和创新的能力.【知识与技能】1.经历运用拼图的方法说明勾股定理是正确的过程，在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯.2.掌握勾股定理和它的简单应用.【过程与方法】1.通过从实际问题中抽象出直角三角形这一模型，初步掌握转化和数形结合的思想方法.2.经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程，感受勾股定理的应用方法.【情感态度】在数学活动中发展了学生的探究意识和合作交流的习性；体会勾股定理的应用价值，通过本节课学习，让学生体会到数学来源于生活，又应用到生活中，增加学生应用数学知识解决实际问题的经验和感受.【教学重点】能熟练应用拼图法证明勾股定理.【教学难点】用面积证勾股定理.一、创设情境，导入新课我们已经通过数格子的方法发现了直角三角形三边的关系，究竟是几个实例，是否具有普遍的意义，还需要加以论证，下面就是今天所要研究的内容.【教学说明】让学生经历从特殊到一般的数学方法，明白数学问题是需要通过一定的论证才能说明它的正确性，为后面学习证明打下埋伏.二、思考探究，获取新知勾股定理的验证及简单运用做一做：1.画一个直角三角形，分别以这个直角三角的三边为边长向外作正方形，你能利用这个图证明勾股定理的正确性吗？你是如何做的？与同伴进行交流.【教学说明】让学生进一步体会探索勾股定理的过程，体会数形结合的思想.—4中大正方形的面积，小明对这个大正方形适当割补后，得到教材P51—5、1—6图.（1）将所有三角形和正方形的面积用a，b，c的关系式表示出来；（2）教材图1—5、1—6中正方形ABCD的面积分别是多少？你们有哪些表示方式？与同伴进行交流.（3）你能分别利用教材图1—5、1—6验证勾股定理吗？【教学说明】学生通过各种方法验证勾股定理的正确性，加深对勾股定理的理解，又让学生体会到一题多解.【归纳结论】勾股定理的证明方法达300多种，请同学们利用业余时间探究、讨论并阅读教材P7-8的其它证明勾股定理的方法，以开阔事学们的视野.三、运用新知，深化理解1.一块长3m，宽2.2m的薄木板能否从一个长2m，宽1m的门框内通过，为什么？2.飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？【教学说明】让学生从实际生活的角度大胆的去考虑，用生活经验和学过的知识去解答.并学会把实际问题抽象为直角三角形的数学模型的过程，能够熟练地将勾股定理应用到现实生活中去.【答案】1.能，让薄木板的宽从门框的对角线斜着通过.2.分析：根据题意，可以先画出符合题意的图形.如图，图中△ABC的∠C=90°，AC=4000米，AB=5000米欲求飞机每时飞行多少千米，就要知道20秒时间里飞行的路程，即图中的CB的长，由于△ABC的斜边AB=5000米，AC=4000米，这样BC就可以通过勾股定理得出，这里一定要注意单位的换算.解：由勾股定理得BC2=AB2-AC2=52-42=9（km2）即BC=3千米飞机20秒飞行3千米.那么它1小时飞行的距离为：3600/20×3=540（千米/时）答：飞机每小时飞行540千米.四、师生互动，课堂小结通过这节课的学习，你学会了哪几种证明勾股定理的方法？还有哪些疑问？【教学说明】总结归纳帮助学生进一步掌握解决实际问题的关键是抽象出相应的数学模型.完成练习册中本课时相应练习.了解多种证明勾股定理的方法，有助于加深对勾股定理内容的理解，但这需要花一定的时间，可以让学生课外了解.并运用所学知识解决实际问题，体验数学来源于生活，生活中也蕴含着许多数学道理.。
2023-2024学年江苏省苏州市姑苏区五校联考九年级(上)期中数学试卷+答案解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.关于x 的方程是一元二次方程，则a 满足的条件是( )A.B.C.D.2.下列四个函数中，图象的顶点在y 轴上的函数是( )A. B. C.D.3.方程的解为2023-2024学年江苏省苏州市姑苏区五校联考九年级（上）期中数学试卷( )A.，B. ，C.，D.，4.如图，在中，，，则下列结论中正确的是( )A. B. C. D.5.若关于x 的一元二次方程有一根是3，则的值是( )A. 3B.C. 1D.6.根据下列表格对应值：x判断关于x 的方程的一个解x 的范围是( )A.B.C.D.7.如图，在一笔直的海岸线l 上有相距3km 的A ，B 两个观测站，B 站在A 站的正东方向上，从A 站测得船C 在北偏东的方向上，从B站测得船C在北偏东的方向上，则船C到海岸线l的距离是( )A.B.C.D.8.如图，O为坐标原点，边长为1的正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，将正方形OABC绕顶点O顺时针旋转，使点B落在某抛物线的图象上，则该抛物线的解析式为( )A.B.C.D.9.一次足球训练中，小明从球门正前方将球射向球门，球射向球门的路线呈抛物线.当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面已知球门高是，若足球能射入球门，则小明与球门的距离可能是( )A. 10mB. 8mC. 6mD. 5m10.如图①，在正方形ABCD中，点E是AB的中点，点P是对角线AC上一动点，设，，图②是y关于x的函数图象，则图象上最低点Q的坐标可能为( )A. B. C. D.二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.二次函数图象的对称轴是直线__________.12.已知方程的两根分别是和，则的值为__________.13.某商品进货价为每件10元，售价每件30元时平均每天可售出20件，经调查发现，如果每件降价2元，那么平均每天可以多出售4件，若想每天盈利450元，设每件降价x元，可列出方程为__________. 14.将抛物线的图象绕坐标原点旋转所得的新的抛物线的解析式为__________.15.若点，，都在抛物线上，则、、大小关系为__________用“<”连接16.如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中．点A，B，C，D都在这些小正方形的格点上，AB、CD相交于点E，则的值为__________.17.将正方形沿虚线其中剪成①，②，③，④四块图形，用这四块图形恰好能拼成一个如图所示的矩形，则__________.18.如图①，在平面直角坐标系中，点A、C分别在y轴和x轴上，轴，点P从B点出发，以的速度沿边BA匀速运动，点Q从点A出发，沿线段匀速运动．点P与点Q同时出发，其中一点到达终点，另一点也随之停止运动．设点P运动的时间为，的面积为，已知S与t之间的函数关系如图②中的曲线段OE、线段EF与曲线段以下说法正确的是__________填序号①点Q的运动速度为；②点B的坐标为；③线段EF段的函数解析式为；④曲线FG段的函数解析式为；⑤若的面积是四边形OABC的面积的，则时间或三、计算题：本大题共2小题，共12分。
2021-2022学年-有答案-河南省南阳市某校初三(上)期中考试数学试卷
2021-2022学年河南省南阳市某校初三（上）期中考试数学试卷一、选择题1. 方程x2=x的解是( )A.x1=3，x2=−3B.x1=1，x2=0C.x1=1，x2=−1D.x1=3，x2=−12. 下列计算正确的是( )A.√2+√3=√5B.2+√3=2√3C.3√5−√5=3D.√27−√12√3=13. 将一元二次方程x2−8x−5=0化成(x+a)2=b（a，b为常数）的形式，则a，b 的值分别是()A.−4，21B.−4，11C.4，21D.−8，694. 下面四组线段中，成比例的是( )A.a=2，b=3，c=4，d=5B.a=1，b=2，c=2，d=4C.a=4，b=6，c=5，d=10D.a=√2，b=√3，c=3，d=√25. 如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BC，AC上，且∠ADE=60∘，AB=9，BD=3，则CE的长等于( )A.1B.43C.53D.26. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的斜边OA在第一象限，并与x轴的正半轴夹角为30∘.C为OA的中点，BC=1，则点A的坐标为( )A.(√3, √3)B.(√3, 1)C.(2, 1)D.(2, √3)7. 直线l:y＝(m−3)x+n−2（m，n为常数）的图象如图，化简：|m−3|−√n2−4n+4得( )A.3−m−nB.5C.−1D.m+n−58. 在实数范围内定义运算“★”，其规则为a★b=2a−b2，则方程(2★1)★x=−10的解为( )A.±4B.±3C.±2D.±19. 如图，在△ABC中，∠ABC=90∘，AB=8cm，BC=6cm.动点P，Q分别从点A，B 同时开始移动，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15cm2的是( )A.2秒钟B.3秒钟C.4秒钟D.5秒钟10. 如图，在矩形ABCD中，点E为AD上一点，且AB=8，AE=3，BC=4，点P为AB边上一动点，连接PC，PE，若△PAE与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数为( )A.1B.2C.3D.4二、填空题若二次根式√3−4x有意义，则x的取值范围是________.观察表格，一元二次方程x2−x−1.1=0最精确的一个近似解是________（精确到0.1）.如图，△AOB三个顶点的坐标分别为A(5, 0)，O(0, 0)，B(3, 6)，以点O为位似中心，，则点B的对应点B′的坐标是________.将△AOB缩小为原来的23如图，一根竖直的木杆在离地面3m处折断，木杆顶端落在地面上，且与地面成37∘角，则木杆折断之前高度约为________m.（参考数据：sin37∘≈0.60，cos37∘≈0.80，tan37∘≈0.75）你知道吗？对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法，以方程x2+5x−14=0，即x(x+5)=14为例加以说明．数学家赵爽（公元3∼4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是构造图（如下面左图）中大正方形的面积是(x+x+5)2，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×14+52，据此易得x=2．那么在下面右边三个构图（矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上）中，能够说明方程x2−4x−12=0的正确构图是________（填序号）.三、解答题已知y=√x−8+√8−x+18，求代数式√x−√y的值．画图题．在下面的网格中，每个小正方形的边长都是1．请画出符合下列要求的图形：(1)图1中将三角形A的各条边按1:3放大，得到三角形B；(2)图2中将长方形C的各条边按2:1缩小，得到长方形D.某市新区某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为250元，每桶水的进价是5元，规定销售单价不得高于12元/桶，也不得低于7元/桶，调查发现日均销售量p （桶）与销售单价x（元）的函数图象如图所示．(1)求日均销售量p（桶）与销售单价x（元）的函数关系；(2)若该经营部希望日均获利1350元，那么销售单价是多少？如图，Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=BC，P为△ABC内部一点，且∠APB=∠BPC=135∘．(1)求证：△PAB∼△PBC；(2)求证：PA=2PC.被誉为“中原第一高楼”的郑州会展宾馆（俗称“玉米楼”）坐落在风景如画的如意湖畔，也是来郑州观光的游客留影的最佳景点．学完了三角函数知识后，刘明和王华决定用自己学到的知识测量“玉米楼”的高度．如图，刘明在点C处测得楼顶B的仰角为45∘，王华在高台上的D处测得楼顶的仰角为40∘．若高台DE高为5米，点D到点C的水平距离EC为47.4米，A，C，E三点共线，求“玉米楼”AB的高度.（参考数据：sin40∘≈0.64，cos40∘≈0.77，tan40∘≈0.84，结果保留整数）．阅读材料：各类方程的解法求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想--转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2−2x=0，可以通过因式分解把它转化为x(x2+x−2)=0，解方程x=0和x2+x−2=0，可得方程x3+x2−2x=0的解．(1)问题：方程x3+x2−2x=0的解是x1=0，x2=________，x3=________；(2)拓展：用“转化”思想求方程√2x+3=x的解；探索一个问题：“任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？”（完成下列空格）(1)当已知矩形A的边长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的：设所求矩形的两边分别是x和y，由题意得方程组：{x+y=72, xy=3,消去y化简得：2x2−7x+6=0，∵Δ=49−48>0，∴x1=________，x2=________，∴满足要求的矩形B存在．(2)如果已知矩形A的边长分别为2和1，请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形B．(3)如果矩形A的边长为m，n，请你研究满足什么条件时，矩形B存在？(1)如图1，菱形AEGH的顶点E，H在菱形ABCD的边上，且∠BAD=60∘，请直接写出HD:GC:EB的结果；（不必写计算过程）(2)将图1中的菱形AEGH绕点A旋转一定角度，如图2，求HD:GC:EB；(3)把图2中的菱形都换成矩形，如图3，且AD:AB=AH:AE=1:2，此时HD:GC:EB 的结果与(2)小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果（不必写计算过程）；若无变化，请说明理由．参考答案与试题解析2021-2022学年河南省南阳市某校初三（上）期中考试数学试卷一、选择题1.【答案】B【考点】解一元二次方程-因式分解法【解析】此题暂无解析【解答】解：原方程可化为x2−x=0，即x(x−1)=0，所以x=0或x−1=0，解得x1=1, x2=0.故选B.2.【答案】D【考点】二次根式的加法二次根式的混合运算二次根式的减法【解析】根据二次根式的加减法对A、B、C进行判断；利用二次根式的混合运算法则对D行判断．【解答】解：A，√2与√3不能合并，故A选项错误；B，2与√3不能合并，故B选项错误；C，3√5−√5=2√5，故C选项错误；D，√27−√12√3=√3−2√3√3=1，故D选项正确．故选D．3.【答案】A【考点】解一元二次方程-配方法【解析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．【解答】解：∵x2−8x−5=0，∴x2−8x=5，则x2−8x+16=5+16，即(x−4)2=21，∴a=−4，b=21.故选A.4.【答案】B【考点】比例线段【解析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案．【解答】解：A，2×5≠3×4，故选项错误；B，1×4=2×2，故选项正确；C，4×10≠5×6，故选项错误；D，√2×3≠√2×√3，故选项错误．故选B．5.【答案】D【考点】等边三角形的性质相似三角形的性质与判定【解析】通过△ABD∼△DCE，可得ABCD =BDCE，即可求解．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=9，∠ABC=∠ACB=60∘，∵BD=3，∴CD=6，∵∠ADC=∠ABC+∠BAD，∠ADC=∠ADE+∠CDE=∠ACD+∠CDE，∴∠BAD=∠CDE，∴△ABD∼△DCE，∴ABCD =BDCE，∴96=3CE，∴CE=2. 故选D．6.【答案】坐标与图形性质直角三角形斜边上的中线含30度角的直角三角形【解析】根据题画出图形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AB的值，再根据勾股定理可得OB的值，进而可得点A的坐标．【解答】解：如图，过点A作AD⊥x轴，与x轴交于点D，∵Rt△OAB的斜边OA在第一象限，并与x轴的正半轴夹角为30∘，∴∠AOD=30∘，OA，∴AD=12∵C为OA的中点，OA=AC=OC=BC=1，∴AD=12∴OA=2，∴OD=√3，则点A的坐标为：(√3, 1)．故选B.7.【答案】D【考点】一次函数图象与系数的关系绝对值二次根式的性质与化简【解析】先从一次函数的图象判断m−3的正负值，n−2的正负值，然后再化简原代数式．【解答】解：由直线l:y=(m−3)x+n−2（m，n为常数）的图象可知，m−3>0，n−2<0，|m−3|−√n2−4n+4=m−3−√(n−2)2=m−3+n−2=m+n−5.故选D.A【考点】解一元二次方程-直接开平方法定义新符号【解析】根据新定义列出方程，利用直接开平方法解出方程．【解答】解：方程(2★1)★x=−10，所以(2×2−12)★x=−10，所以3★x=−10，所以2×3−x2=−10，整理得，x2=16，解得，x=±4.故选A.9.【答案】B【考点】动点问题三角形的面积一元二次方程的应用——几何图形面积问题【解析】设运动时间为t，然后用含t的代数式表示出BP和BQ的长，最后根据面积公式即可列方程解答.【解答】解：设运动时间为t秒时，△PBQ的面积为15cm2，BP=8−t，BQ=2t，=15，根据题意，得2t(8−t)2解方程，得t1=3，t2=5(舍去).当t=5时，BQ=2×5=10>6=BC，不符合题意，舍去，所以当运动时间为3秒时，△PBQ的面积为15cm2.故选B.10.【答案】C【考点】相似三角形的性质【解析】设AP=x，则BP=8−x，分△PAE∼△PBC和△PAE∼△CBP两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．解：设AP=x，则BP=8−x，当△PAE∼△PBC时，AEBC =PAPB，即34=x8−x，解得，x=247；当△PAE∼△CBP时，AEPB =PABC，即38−x =x4，解得，x=2或6，可得满足条件的点P的个数有3个．故选C．二、填空题【答案】x≤3 4【考点】二次根式有意义的条件【解析】根据二次根式有意义的条件计算即可.【解答】解：∵ 二次根式√3−4x有意义，∴ 3−4x≥0，解得x≤34.故答案为：x≤34.【答案】1.7【考点】估算一元二次方程的近似解【解析】此题暂无解析【解答】解：由表格可知，当x=1.7时，x2−x−1.1=0.09与x2−x−1.1=0最接近. 故答案为：1.7.【答案】(2, 4)或(−2, −4)【考点】坐标与图形性质位似的有关计算利用相似三角形的性质求解即可．【解答】解：如图，∵△OAB∼△OA′B′，相似比为3:2，B(3，6)，∴B′(2, 4)，根据对称性可知，△OA″B″在第三象限时，B″(−2, −4)，∴满足条件的点B′的坐标为(2, 4)或(−2, −4).故答案为：(2, 4)或(−2, −4).【答案】8【考点】解直角三角形的应用【解析】在Rt△APC中，由AC的长及sinB的值可得出AB的长，即可解答．【解答】解：如图：AC=3m，∠B=37∘，∴ AB= AC sin37∘≈30.6=5(m)，∴ 木杆折断之前高度=AC+AB=3+5=8(m)．故答案为：8．【答案】②【考点】一元二次方程的应用一元二次方程的解【解析】仿造案例，构造面积是(x+x−4)2的大正方形，由它的面积为4×12+42，可求出x解：∵x2−4x−12=0即x(x−4)=12，∴构造如图②中大正方形的面积是(x+x−4)2，∵ 它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，∴ 4×12+42=(x+x−4)2，解得x=6．故答案为：②.三、解答题【答案】解：由题意得，x−8≥0，8−x≥0，则x=8，y=18，√x−√y=√8−√18=2√2−3√2=−√2．【考点】二次根式有意义的条件二次根式的混合运算【解析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，求出x、y，根据二次根式的性质计算即可．【解答】解：由题意得，x−8≥0，8−x≥0，则x=8，y=18，√x−√y=√8−√18=2√2−3√2=−√2．【答案】解：(1)如图，三角形B即为所求：(2)如图，长方形D即为所求.【考点】此题暂无解析【解答】解：(1)如图，三角形B即为所求：(2)如图，长方形D即为所求.【答案】解：(1)设日均销售量p（桶）与销售单价x（元）的函数关系为p=kx+b，根据题意得{7k+b=50012k+b=250,解得k=−50，b=850，所以日均销售量p（桶）与销售单价x（元）的函数关系为p=−50x+850.(2)根据题意得(x−5)(−50x+850)−250=1350，解得x1=9，x2=13，∵销售单价不得高于12元/桶，也不得低于7元/桶，∴x=13不合题意，答：若该经营部希望日均获利1350元，那么销售单价是9元．【考点】待定系数法求一次函数解析式一元二次方程的应用——利润问题【解析】（1）设日均销售p（桶）与销售单价x（元）的函数关系为：p=kx+b(k≠0)，把(7, 500)，(12, 250)代入，得到关于k，b的方程组，解方程组即可；（2）设销售单价应定为x元，根据题意得，(x−5)⋅p−250=1350，由（1）得到p=−50x+850，于是有(x−5)⋅(−50x+850)−250=1350，然后整理，解方程得到x1=9，x2=13，满足7≤x≤12的x的值为所求；解：(1)设日均销售量p（桶）与销售单价x（元）的函数关系为p=kx+b，根据题意得{7k+b=50012k+b=250,解得k=−50，b=850，所以日均销售量p（桶）与销售单价x（元）的函数关系为p=−50x+850.(2)根据题意得(x−5)(−50x+850)−250=1350，解得x1=9，x2=13，∵销售单价不得高于12元/桶，也不得低于7元/桶，∴x=13不合题意，答：若该经营部希望日均获利1350元，那么销售单价是9元．【答案】证明：(1)∵∠ACB=90∘，AB=BC，∴∠ABC=45∘=∠PBA+∠PBC，又∠APB=135∘，∴∠PAB+∠PBA=45∘，∴∠PBC=∠PAB，且∠APB=∠BPC=135∘，∴△PAB∼△PBC.(2)∵△PAB∼△PBC，∴PAPB =PBPC=ABBC，在Rt△ABC中，BC=AC，∴AB=√2BC，∴PB=√2PC，PA=√2PB，∴PA=2PC．【考点】相似三角形的判定相似三角形的性质与判定【解析】（1）由三角形的内角和定理可证∠PBC＝∠PAB，即可证△PAB∽△PBC；（2）由相似三角形的性质可得PAPB =PBPC=ABBC，且AB=√2BC，可得结论．【解答】证明：(1)∵∠ACB=90∘，AB=BC，∴∠ABC=45∘=∠PBA+∠PBC，又∠APB=135∘，∴∠PAB+∠PBA=45∘，∴∠PBC=∠PAB，且∠APB=∠BPC=135∘，∴△PAB∼△PBC.(2)∵△PAB∼△PBC，∴PAPB =PBPC=ABBC，在Rt△ABC中，BC=AC，∴AB=√2BC，∴PB=√2PC，PA=√2PB，∴PA=2PC．解：作DM⊥AB于M，交BC于F，作CG⊥DM于G，设BM=x米，由题意得，DG=47.4，CG=5，∠BFM=45∘，∠BDM=40∘，则GF=CG=5，DF=DG+GF=52.4，FM=BM=x，∴DM=BMtan∠BDM =x0.84，∵DM−FM=DF，∴x0.84−x=52.4，解得，x≈275，275+5=280（米）．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【解析】作DM⊥AB于M，交BC于F，作CG⊥DM于G，设BM=x米，根据题意和正切的定义表示出DM、FM，列出方程，计算即可．【解答】解：作DM⊥AB于M，交BC于F，作CG⊥DM于G，设BM=x米，由题意得，DG=47.4，CG=5，∠BFM=45∘，∠BDM=40∘，则GF=CG=5，DF=DG+GF=52.4，FM=BM=x，∴DM=BMtan∠BDM =x0.84，∵DM−FM=DF，∴x0.84−x=52.4，解得，x≈275，275+5=280（米）．【答案】−2,1(2)√2x+3=x，方程的两边平方，得2x+3=x2，即x2−2x−3=0，(x−3)(x+1)=0，∴x−3=0或x+1=0，∴x1=3，x2=−1，当x=−1时，√2x+3=√1=1≠−1，所以−1不是原方程的解．所以方程√2x+3=x的解是x=3.【考点】一元二次方程的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)x3+x2−2x=0，x(x2+x−2)=0，x(x+2)(x−1)=0，所以x=0或x+2=0或x−1=0，∴x1=0，x2=−2，x3=1.故答案为：−2；1.(2)√2x+3=x，方程的两边平方，得2x+3=x2，即x2−2x−3=0，(x−3)(x+1)=0，∴x−3=0或x+1=0，∴x1=3，x2=−1，当x=−1时，√2x+3=√1=1≠−1，所以−1不是原方程的解．所以方程√2x+3=x的解是x=3.【答案】2,32(2)设所求矩形的两边分别是x和y，由题意得{x+y=32, xy=1,消去y，化简得2x2−3x+2=0, ∵Δ=9−16<0，∴不存在矩形B.(3)设所求矩形的两边分别为x和y，由题意得{x+y=m+n2,xy=mn2,消去y化简得2x2−(m+n)x+mn=0，要使矩形B存在，则Δ=(m−n)2−4mn≥0.即Δ=(m−n)2−4mn≥0时，矩形B存在.【考点】一元二次方程的应用根的判别式【解析】首先根勾股定理求得B的长，后三函数的定义即可求解．【解答】解：(1)由上可知(x−2)(2x−3)=0,∴x1=2,x2=32.故答案为：2；32.(2)设所求矩形的两边分别是x和y，由题意得{x+y=32, xy=1,消去y，化简得2x2−3x+2=0, ∵Δ=9−16<0，∴不存在矩形B.(3)设所求矩形的两边分别为x和y，由题意得{x+y=m+n2,xy=mn2,消去y化简得2x2−(m+n)x+mn=0，要使矩形B存在，则Δ=(m−n)2−4mn≥0.即Δ=(m−n)2−4mn≥0时，矩形B存在.【答案】解：(1)连接AG，∵菱形AEGH的顶点E，H在菱形ABCD的边上，且∠BAD=60∘，∴∠GAE=∠CAB=30∘，AE=AH，AB=AD，∴A，G，C共线，AB−AE=AD−AH，∴HD=EB，延长HG交BC于点M，延长EG交DC于点N，连接MN，交GC于点O，则GMCN也为菱形，∴OGGN =cos30∘=√32，∵GC=2OG，∴GNGC =√3，∵HGND为平行四边形，∴HD=GN，∴HD:GC:EB=1:√3:1．(2)如图2，连接AG，AC，∵△ADC和△AHG都是等腰三角形，∴AD:AC=AH:AG=1:√3，∠DAC=∠HAG=30∘，∴∠DAH=∠CAG，∴△DAH∼△CAG，∴HD:GC=AD:AC=1:√3，∵∠DAB=∠HAE=60∘，∴∠DAH=∠BAE，在△DAH和△BAE中，{AD=AB，∠DAH=∠BAE，AH=AE，∴△DAH≅△BAE(SAS)∴HD=EB，∴HD:GC:EB=1:√3:1．(3)有变化．如图3，连接AG，AC，∵AD:AB=AH:AE=1:2，∠ADC=∠AHG=90∘，∴△ADC∼△AHG，∴AD:AC=AH:AG=1:√5，∵∠DAC=∠HAG，∴∠DAH=∠CAG，∴△DAH∼△CAG，∵∠DAB=∠HAE=90∘，∴∠DAH=∠BAE，∵DA:AB=HA:AE=1:2，∴△ADH∼△ABE，∴DH:BE=AD:AB=1:2，∴HD:GC:EB=1:√5:2.【考点】相似三角形综合题全等三角形的性质与判定【解析】（1）连接AG，由菱形AEGH的顶点E、H在菱形ABCD的边上，且∠BAD＝60∘，易得A，G，C共线，延长HG交BC于点M，延长EG交DC于点N，连接MN，交GC于点O，则GMCN也为菱形，利用菱形对角线互相垂直，结合三角函数可得结论；（2）连接AG，AC，由△ADC和△AHG都是等腰三角形，易证△DAH∽△CAG与△DAH≅△BAE，利用相似三角形的性质及菱形的性质可得结论；（3）连接AG，AC，易证△ADC∽△AHG和△ADH∽△ABE，利用相似三角形的性质可得结论．【解答】解：(1)连接AG，∵菱形AEGH的顶点E，H在菱形ABCD的边上，且∠BAD=60∘，∴∠GAE=∠CAB=30∘，AE=AH，AB=AD，∴A，G，C共线，AB−AE=AD−AH，∴HD=EB，延长HG交BC于点M，延长EG交DC于点N，连接MN，交GC于点O，则GMCN也为菱形，∴GC⊥MN，∠NGO=∠AGE=30∘，∴OGGN =cos30∘=√32，∵GC=2OG，∴GNGC =1√3，∵HGND为平行四边形，∴HD=GN，∴HD:GC:EB=1:√3:1．(2)如图2，连接AG，AC，∵△ADC和△AHG都是等腰三角形，∴AD:AC =AH:AG=1:√3，∠DAC=∠HAG=30∘，∴∠DAH=∠CAG，∴△DAH∼△CAG，∴HD:GC=AD:AC=1:√3，∵∠DAB=∠HAE=60∘，∴∠DAH=∠BAE，在△DAH和△BAE中，{AD=AB，∠DAH=∠BAE，AH=AE，∴△DAH≅△BAE(SAS)∴HD=EB，∴HD:GC:EB=1:√3:1．(3)有变化．如图3，连接AG，AC，∵AD:AB=AH:AE=1:2，∠ADC=∠AHG=90∘，∴△ADC∼△AHG，∴AD:AC=AH:AG=1:√5，∵∠DAC=∠HAG，∴∠DAH=∠CAG，∴△DAH∼△CAG，∴HD:GC=AD:AC=1:√5，∵∠DAB=∠HAE=90∘，∴∠DAH=∠BAE，∵DA:AB=HA:AE=1:2，∴△ADH∼△ABE，∴DH:BE=AD:AB=1:2，∴HD:GC:EB=1:√5:2.试卷第21页，总21页。
1 第2课时 一元二次方程的根及近似解
全品教学课件
数学
九年级 上册
新课标（BS）
第二章 一元二次方程
1 认识一元二次方程
第二章 一元二次方程
第2课时 一元二次方程的根
及近似解
知识回顾
情知景识导回入顾
获取新知
例知题识讲回解顾
随堂演练
课堂小结
第2课时 一元二次方程的根及近似解 问1：一元二次方程有哪些特点？
① 只含有一个未知数; ②未知数的最高次项系数是2; ③整式方程； ④二次项的系数不能为0
问2：一元二次方程的一般形式是什么？ ax2 +bx + c = 0(a , b , c为常数, a≠0)
第2课时 一元二次方程的根及近似解
情景导入
上节中我们遇到了这样一个问题 １．从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去， 横着比门框宽４尺，竖着比门框高２尺，另一个醉汉教他沿着门 的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了．你 知道竹竿有多长吗？ 我们得到了方程x2－12 x ＋20 ＝ 0 如何求解x呢？
第2课时 一元二次方程的根及近似解
（2）继续列表,依次取x=2.1,2.2,2.3,2.4,2.5,…
x
2.2
2.3
2.4
2.5
…
x2 - 2x - 1 -0.79 -0.31 -0.04
0.25
…
由表发现，当2.4＜x＜2.5时,-0.04＜ x2 -2x-1＜0.25; （3）取x=2.45,则x2 - 2x - 1≈0.1025. ∴2.4＜x＜2.45, ∴x≈2.4.
根据题意,x的取值范围大致是0 < x < 11. 解方程 x2 + 2x - 120 = 0. 完成下表(在0 < x < 11这个范围内取值计算,逐步逼近):
求一元二次方程的近似解
(8 － 2x) (5 － 2x) = 18. 即：2x2-13x+11 = 0.
你能求出x吗?怎么去估计x呢？
（1）你能猜得出x取值 x 的大致范围吗?
（2）X可能小于等于0 x
（8－2x）
吗?说说你的理由. 5 （3）X可能大于等于4
18m2
吗?可能大于等于2.5吗?
说说你的理由.
8
因此,x取值的大致范围是:0<x<2.5.
如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个 数依次可表示为：X＋1 ，X＋2 ，X＋3 ，X＋4 ． 根据题意，可得方程：
X2 ＋ (X＋1)2＋ (X＋ 2)2 ＝ (X＋3)2＋ (X＋4)2
即: x2-8x-20=0.
你能求出这五个整数分别是多少吗?
随堂练习
可列表如下:
培养能力之源泉
x
做一做☞
估算一元二次方程的解
在0<x<2.5这个范围中,x具体的值时
才能使2x2-13x+11 = 0成立? 完成下表(取值计算,逐步逼近):
x
… 0.5 1 1.5 2 …
2x2-13x+11 … 5 0 -4 -7 …
由此看出,可以使2x2-13x+11的值为0的x=1. 故可知花边宽为1m.
你能总结出估算的方法步骤吗?
估算法解一元二次方程步骤：
第一步：化为一般形式 ，如：2x2 –13x+11=0 第二步：根据实际情况确定x大体的取值范围。
第三步:在x范围内取整数值,能够使方程左边等于0,则
这个数就是方程的一个解.
第四步：若在x的范围内取值，没有一个整数能够
使方程的左边等于0, 则找出值最接近于0的数，这 个数就是方程的近似取值。