2010全国大学生数学建模竞赛A题
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛A
储油罐的变位识别与罐容表标定的积分方程模型摘要：本文通过建立积分方程组模型：()()()()()()()()()()()()()1110022010313120444235454334,0,0,,cos ,,cos ,,cos ,,x d H C V x h x x H x H C V x h x H x H x H C V H S A x B x dx h x H x H x H C C V H x h x H x H C C V H x h x h H H x H ααα==≤≤⎧⎪-⎪==≤≤⎪⎪-⎪=+--=≤≤⎨⎪⎪-=--=≤≤⎪⎪=--=≤≤⎪⎩⎰刻画、描述和揭示了储油罐由于地基变化而引起的罐体变位时储油罐内油面高度i H 与罐容表标定刻度()i h x 之间的关系。
合理的假设当储油罐在软土地基所加荷载不大时，地基变形小；当荷载增大到一定程度后．油罐地基沉降速率变快，由于地基内孔隙水来不及消散，地基变形保持体积不变，导致土体侧向移动，从而引起远罐地表土隆起，近罐地表土沉降，随着荷载的增加和时间的延续，地基内孔隙水压力逐渐消散，土体固结而产生沉降，使得隆起的地表又逐渐下沉，经过一段时间后，趋于稳定，即储油罐内油面高度i H 与罐容表标定刻度()i h x 之间的关系曲线就是先是有坡度的，然后有一个平缓的部分，还有一个有坡度的部分。
再利用非线性回归分析的方法通过附表中的数据将α与β非线性拟合出来 ，且拟合效果高度逼近理论结果，从而在模型中任意给出重要参数()S x (油面横切面的面积)，1l (倾斜时油箱左下顶点到油位探针底部的距离)，2l (倾斜时油位探针底部距油箱右下顶点的距离), 3l (倾斜时油箱右上顶点到油面的距离)的值，便可以描述出储油罐内油面高度i H 与罐容表标定刻度()i h x 之间的关系。
以此为基础，给出了两个问题较完备的答案。
关键词：积分方程；非线性回归分析；非线性拟合；油面高度；罐容表标定刻度一 问题的重述通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。
2010“高教社杯”全国大学生数学建模大赛A题论文
基于微元法的变位储油罐罐容表标定问题摘要加油站当地下储油罐发生一定程度变位时，需要重新标定其罐容表，优化“油位计量管理系统”，目的是得到地下储油罐内油量的真实值，所以研究该问题对加油站具有重要意义。
本文主要利用微元法建立积分模型，解决了储油罐的变位识别与罐容表标定的问题，得到了实验储油罐变位后罐容表新的标定值，实际储油罐变位后储油量与油位高度及变位参数之间的关系，以及实际储油罐变位后罐容表新的标定值。
问题一中，首先对纵向倾斜的小椭圆油罐进行分析，将油罐从罐中无油到加满油的过程分为7个部分来分析，分别是：（1）从罐中无油到将油加到刚好不接触油浮子；（2）从油开始接触油浮子到油灌满倾斜角但刚好不接触罐右侧壁；（3）从罐中油开始接触右侧壁到油灌到左侧壁中点水平线；（4）油从左侧壁中点灌到左侧壁终点水平线；（5）油从左侧壁终点灌到右侧壁中点水平线；（6）油从右侧壁中点灌到油浮子刚好显示油满；（7）从油浮子刚好显示油满到将油罐灌满。
分别分析这7个加油的过程，建立模型，用微元法求解每个部分罐中油体积的变化，根据体积的变化得到油面高度的变化，将变位后的油面高度与无变位时的油面高度作比较，分析得出变位对罐容表的影响。
最后由变位后油面的高度，用Matlab编程序得到变位后罐容表新的标定值。
问题二中，经过对实际储油罐的形状与倾斜及偏转角度情况的分析，我们利用割补法建立罐体变位后的数学模型，先分别分析储油罐只纵向倾斜和只横向偏转的情况，用h的函数关系式，再分析储油罐同时纵向倾微元法得到罐中油体积与变位后罐容表刻度斜和横向偏转的情况，我们将模型转变为先将储油罐横向偏转，然后在横向偏转的基础上再纵向倾斜，由所给的实际储油罐的数据，分别结合只进行纵向倾斜和只进行横向偏转的情况，用拟合的方法，利用Simpson公式，近似得到了倾斜角α=4.5230,偏转角β=1.220。
在α和β确定之后，罐内储油量与油位高度及倾斜角α、偏转角β的关系式即转化为油体积与油位高度的关系式，进而计算得到变位后油位间隔为10cm的罐容表新标定值。
全国数学建模大赛题目
附件2：实际储油罐的检测数据
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目
（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）
B题 2010年上海世博会影响力的定量评估
2010年上海世博会是首次在中国举办的世界博览会。从1851年伦敦的“万国工业博览会”开始，世博会正日益成为各国人民交流历史文化、展示科技成果、体现合作精神、展望未来发展等的重要舞台。请你们选择感兴趣的某个侧面，建立数学模型，利用互联网数据，定量评估2010年上海世博会的影响力。
许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。
（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转角度）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。
请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。
（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。
2010全国大学生数学建模竞赛成绩(浙江赛区)
113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169
省二等 省二等 省二等 省二等 省二等 省二等 省二等 省二等 省二等 省二等 省二等 省二等 省二等 省二等 省二等 省二等 省二等 省二等 省二等 省二等 省二等 省二等 省二等 省二等 省二等 省二等 省二等 省二等 省二等 省二等 省二等 省二等 省二等 省二等 省二等 省二等 省二等 省二等 省三等 省三等 省三等 省三等 省三等 省三等 省三等 省三等 省三等 省三等 省三等 省三等 省三等 省三等 省三等 省三等 省三等 省三等 省三等
许双敏 吕海杰 邹红梅 徐骏骐 李景 刘畅 毛玲雪 孙玉侠 王婷婷 邓地满 过文彬 曹煜明 郭威 陈钢 金鹏超 黄海量 虞永健 郑瑾 王星辉 包晓青 谢飞斌 余清 陈卓燕 高斌 沈佳 徐建龙 黄磊 陈阳 郑芳媛 杨逸轩 夏光杰 徐银杰 王佳伟 章露庭 王军 顾卓韦 刘江 钱嘉兰 陈樟龙 张颖超 王金廷 王明强 许荣荣 叶双挺 方伊娜 丁振灿 谢觊 戴俊彦 邵斌 陈辰 方静 徐鹏 吴玉想 张勋 黄玲 桂阳 朱济民
2010年数学建模a题
题目 储油罐的变位识别与罐容表标定许尧0811130112 张泽栋0811130115 宋力驰0811130109摘要 本文分别建立了小椭圆型储油罐及实际储油罐的变位识别模型。
针对小椭圆型储油罐的变位识别问题，采用积分方法，给出无变位时储油量与油位高度的计算公式并得到正常的罐容表标定。
对于小椭圆型储油罐纵向倾斜变位问题，讨论了其截面是三角形和梯形两种情况，利用积分法给出了纵向倾斜变位问题的计算公式，给出了修正后的罐容表标定值，并与正常标定值进行比较。
针对实际大储油罐的变位识别问题，给出无变位时储油量与油位高度的计算公式，根据计算公式得到正常罐容表标定值。
对于倾斜变位问题，用积分方法在不同油高下分别计算出球冠部分和中间圆柱体部分的油量，并求和给出大储油罐纵向倾斜变位后的修正公式。
然后对储油罐横向偏转角度进行分析，给出横向偏转后实际油面高度与正常时油面高度的关系式。
最后结合纵向倾斜角度及横向偏转角度参数公式推导得到罐内储油量与油位高度及两个变位参数间的函数式。
结合附件二中所给数据，利用非线性最小二乘法通过遍历搜索算法求出纵向倾斜角度及横向偏转角度值，最后利用附件二中的数据对模型的可靠性进行了检验，检验结果表明模型较为合理。
关键词：积分，数值积分，复化梯度法，非线性最小二乘法，罐容表，标定 一、问题的重述通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，我们可以采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。
然而许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。
按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。
我们采用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题，并解决以下两个问题。
2010江西财经大学数学建模竞赛题目A[1]
![2010江西财经大学数学建模竞赛题目A[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/f5a926340b4c2e3f572763bd.png)
2010江西财经大学数学建模竞赛题目（2010年5月21日～5月26日）（竞赛前请先仔细阅读“竞赛章程、论文格式规范和交卷要求”）A题：世博会参观线路设计2010年中国上海世界博览会5月1日正式隆重拉开帷幕。
中国的盛情诚邀得到了国际社会积极响应，最终有189个国家、57个国际组织确认参展上海世博会，轻而易举地打破了2000年德国汉诺威世博会保持的177个国家和国际组织参展的纪录，改写了历届世博会国际参展方数量的历史。
截止到5月17日，参观者已经达到295.68万人，其中5月26日一天就达到34万多人,热门场馆出现了排队几个小时的现象。
200多个场馆，使参观者应接不暇。
(1) 如果你作为一个参观者，你将参观哪些场馆？请根据不同情况设计参观线路。
(2) 针对组织者（上海世博局、各参展国或组织），你有什么建议？(3) 针对参观者，你有什么建议？附:2010上海世博会园区介绍上海世博会场地位于南浦大桥和卢浦大桥之间，沿着上海城区黄浦江两岸进行布局。
世博园区规划用地范围为5.28平方公里，其中浦东部分为3.93平方公里，浦西部分为1.35平方公里。
围栏区域（收取门票）范围约为3.28平方公里。
园区规划上海世博会规划方案综合步行适宜距离、人体尺度和参观者的认知度等因素，提出了“园、区、片、组、团”5个层次的结构布局，即：园——5.28平方公里的世博会园区建设用地范围，包括围栏区和围栏区外的配套设施用地，其中浦东3.93平方公里和浦西1.35平方公里；区――3.22平方公里的世博会围栏区，其中浦东2.47平方公里和浦西0.75平方公里；片——5个编号分别是A、B、C、D、E的功能片区，平均用地面积为60公顷；组——12个平均用地规模为10～15公顷的展馆“组”，包括浦东8个组和浦西4个组；团——26个平均用地规模约为2～3公顷的“展馆团”，每个“展馆团”可布置40～45个办展单元，每个“展馆团”的总建筑面积约2～2.5万平方米。
2010年数学建模A题论文
储油罐的变位识别与罐容表标定摘要本文主要运用了积分知识和几何知识分析解决储油罐的变位识别和罐容表标定问题。
模型一的对象是小椭圆形储油罐（两端平头的椭圆柱体）。
我们首先运用几何知识对变位罐体进行分析，得到垂直于罐体的液高1h 和储油罐水平状态下的液高2h 之间的关系，2h =1h +1L ×tan()α（倾斜角α，1L =0.4m ，为罐体长的一部分）。
然后以椭圆中心为中心，以椭圆的长轴和短轴分别为x 轴y 轴，建立空间直角坐标系，再对x 求定积分可得椭圆面上的储油面积为S =(2)f h dx ⎰，继而求得储油的体积V =S ×L （L 为罐体的水平总长度）。
并且在不同的情况下，运用分段函数的思想将罐容分为四段，解得各部分罐容表达式。
并且，以附件一中给出的油位高度为自变量，运用matlab 求得对应的罐容。
将求的的罐容与附件一中加上初始油量后的罐容相比较，分析数据得到其平均误差率为0.038371<0.05，较为合理。
因此，便可根据上述函数关系编定小椭圆罐体罐体变位后的油位高度1h 间隔为1cm 的罐容表标定。
模型二对于图4所示的实际储油罐，可由题中所给数据算出球冠形封头的半径为1.625m,所对应的圆心角为134.76度，弧长为 3.822m考虑到所对圆心角较大及弧长相对于油罐的高度D = 3m 相差不是很大，利用问题一中的模型可近似的认为 当液面由倾斜状态转化为水平状态时，两球冠形内的液面高度与卧式圆柱体内的液面高度近似相等，都等于圆柱体内的油在水平状态下的高度2h ，此时罐内液体的体积为两球冠形封头内液体的体积与圆柱体内液体的体积之和。
当油罐同时在倾斜和偏转的状态下时，利用油浮子测得的液面高度为3h ,3h 可化为仅在倾斜状态下的液面高度1h ，进而转化为水平状态下的液面高度2h ，从而h2可油位高度及纵向倾斜角α和横向偏转角β 表示出来，即()()()()()()13cos ,212tan 3cos tan h R h R h h R h R βαβα=+-=+=+-+cos(β)在已建立的较合理的模型一的基础上建立问题二的模型，将h2带入即可求得罐体变位后储油量与油位高度和变位参数α，β的关系。
2010数学建模a题广东省成绩
2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
GDA0905 GDA0215 GDA3106 GDA1204 GDA2005 GDA1703 GDA2803 GDA1405 GDA1010 GDA0108 GDA2002 GDA0122 GDA0407 GDA1604 GDA2704 GDA0503 GDA6301 GDA2507 GDA1701 GDA2401 GDA3001 GDA0802 GDA2802 GDA1410 GDA1502 GDA0301 GDA2603 GDA1006 GDA0404 GDA2109 GDA1301 GDA6704 GDA0116 GDA2601 GDA6801
3915 3819 4191 4127 3865 4144 4049 3790 4208 3177 3862 3193 4160 3718 4041 3885 3230 4027 4142 3983 4066 3837 4048 3797 3730 4092 3705 4201 4153 3954 3103 4283 3186 3701 4286
省队号 GDA2403 GDA0601 GDA0131 GDA6305 GDA2003 GDA0115 GDA0106 GDA6813 GDA3603 GDA0302 GDA0214 GDA2402 GDA1201 GDA1501 GDA1412 GDA0208 GDA1704 GDA2404 GDA0504 GDA0128 GDA1506 GDA2911 GDA0309 GDA3105 GDA1202 GDA6803 GDA1806 GDA0225 GDA1313 GDA6401 GDA0305 GDA1504 GDA0406
2010年数学建模竞赛A题的计算方法研究
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第 ２ ９卷 第 ２期
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表 ２ 变 位 后 储 油 罐 的修 正 罐 容 表
问 题 描 述 ： ０ ０年 数 学 建 模 竞 赛 Ａ 题 问题 温 常压下 ， 体 内油 的体 积不 会 随变位 的改 变而 改 ２１ 罐
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第２ ９卷 第 ２期
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周 口师 范 学 院 学 报
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２１ ０ ２年 ３ 月
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２１ ０ ０年数学建模竞赛 Ａ题的计算方法研究
吴 小 庆 ，张 合
（ 西南石 油 大学 理 学、 ， 院 四川 成都 ６ ０ ０ ） １ ５ ０
摘 要 ： 别 研 究 了 ２ ｌ 分 Ｏ Ｏ年 数 学 建模 竞 赛 Ａ 题 问题 ２ 中储 油罐 体 积 与 无 变位 高 度 的 关 系、 位 后 高 度 与 无 变
2010年数学建模试题(全部)
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）A 题 储油罐的变位识别与罐容表标定通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。
许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。
按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。
图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。
图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。
请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。
（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为α=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。
请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm 的罐容表标定值。
（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β ）之间的一般关系。
请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学的罐地平线 图1 储油罐正面示意图 油位探针2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 （请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）B 题 2010年上海世博会影响力的定量评估 20101851年伦互联网数据，定量评估2010年上海世博会的影响力。
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）C 题 输油管的布置某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。
2010杯全国大学生数学建模竞赛A解析
承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：1321305所属学校（请填写完整的全名）：湖北民族学院参赛队员（打印并签名）：1. 石超雄2. 谢高杨3. 周小明指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：数模组日期：2010年9月13日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：储油罐的变位识别与罐容表标定摘 要在液体的储运过程中,计量是一个很重要的问题。
随着计量法规的深入实施和计量手段的不断提高,要想做到精确计量已不是一件很困难的事情。
但是在某些场合,由于缺少必要的计量器具,这就要求用简单的手段来做到精确计量,最常用的办法就是通过测量液位高度来计算液体的体积。
问题一我们直接利用空间几何知识，建立具体的几何模型，先建立储油罐变位之前的模型一，由于变位之前储油罐是比较规则的空间几何体，对于其液高和罐内储油体积的关系容易通过微元和积分相关概念求得，解得的关系式为(221arcsin 12a H V L H b b b b b π⎡⎤⎛⎫=--+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，用所给附件一实际数据检验表达式，用模型计算数据与实际数据进行比对，通过Excel 计算发现平均误差为%488.3很小，计算误差不是很大，在可以接受的范围内，可以接受。
2010年全国大学生数学建模竞赛A题论文
1问题重述通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。
许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。
按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。
请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。
（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为α=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。
请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。
（2）对于实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β）之间的一般关系。
利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。
进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。
2 模型假设1.假设浮子是一个质点，不考虑浮子的大小；2.假设油量计测出的油量是绝对准确的；3.假设储油罐是完全密闭的，其中的油不会渗透，蒸发以及以其他形式流失；4.假设储油罐是理想几何体，且不考虑其厚度3符号说明符号含义S储油罐横截面面积h油位高度 α 纵向倾斜角度 β横向倾斜角度 V储油体积 (1,2,3)i f i =储油罐三个区段 l储油罐罐身纵向长度 a截面椭圆半长轴长 b 截面椭圆半短轴长d罐身边缘距油浮子水平距离（较近端）R截面圆半径'h消除纵向倾斜影响后的油位高度(1,2,)i U i n =出油量4问题一：椭球型储油罐变位的罐容表分析4.1问题分析首先，应该得出没有变位时，椭圆型储油罐中油面高度与油量的关系，若储油罐发生倾斜，油浮子测的距离不再是液面距储油罐低端的距离，因此需要建立空间坐标系，分析变位后的储油罐中测量，仍然按照无变位的情况计算储油量必然是不准确的，但是影响有多大。
2010全国大学生数学建模竞赛_A题_论文
x m k x m1 i
i 1 k
（k=1,2,„，n）
一般通过一次累加生成就能使数据呈现一定的规律，若规律不够，可增加累 加生成的次数。同理一次累加序列为
x 1 {x 1 1, x 1 2, x 1 n}
在数据生成的基础上，用线性动态模型对生成数据拟合和逼近。对 x 1 建立 模型
v
u
hj
Y I K
C
MPC
C
Y
六、模型建立、求解
6.1 模型一 6.1.1 模型分析： 经过对多篇往届世博会总结报告的感性认识， 世博会参观人次数可以作为评 估世博会影响力的重要指标之一。 目前世博会正在进行， 参观人数总量还未统计。 故建立灰色系统模型 GM（1,1） ，通过对上海近十年的入境旅游人数，对 2010 年 上海入境人数进行预测， 进而预测出参观世博会的人数。再通过现有的每天的上 海世博会进园人数估算整个世博会的参观人数，最终与模型对比，在验证模型可 靠性的同时， 得出相对准确的上海世博会参观人数。最后与历届世博会参观人次 数定量分析比较得出上海世博会的影响力。 6.1.2 模型建立： 灰色系统是指既含有已知信息、又含有未知信息或非确知信息的系统，也称 为贫信息系统。 入境旅游人数的发展变化受到错综复杂的因素影响，他们的共同
x (0) (i )
x ( m ) (i )
xij
yห้องสมุดไป่ตู้j
vi
ur
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Xj
决策单元 j 的输入量 决策单元 j 的输出量 输入权重 输出权重 效率评价指数 国民收入增量 政府投资增量 投资乘数 消费增量 边际消费倾向 人均消费 人均收入
2010全国大学生数学建模A题参考答案
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛A 题评阅要点[说明]本要点仅供参考，各赛区评阅组应根据对题目的理解及学生的解答，自主地进行评阅。
该问题是来自于加油站设备研究与生产企业的一个实际课题，问题由两大部分组成：（1）为了观察检验罐体变位对罐容表的影响，在已知变位参数的情况下，检测出油位高度和油量的对应数值，建模分析罐容表的变化规律，并给出修正的罐容表，属于“正问题”。
（2）根据实际检测数据，正确识别罐体是如何变位的，具体变了多少？同时要给出罐容表的修正标定方法和结果，属于“反问题”。
具体需要把握以下几个方面：第一部分：小椭圆型实验罐的有关问题（1）要明确给出小椭圆型油罐正常体位（无变位）的不同油位高度与储油量的计算模型和公式，正确的结果(具体表达形式不唯一)是：21[()2arcsin ]2a h b V ab h b bh h ab L b bπ-=+--+，其中,,a b L 分别为罐体截面椭圆的长半轴、短半轴和罐体长度，h 为罐内的油位高度。
通过代入几何参数计算得到正常（即标准）的罐容表对应值。
表1：正常情况下小椭圆罐的罐容表部分结果油位高度/cm油量/L 油位高度/cm油量/L 油位高度/cm油量/L 油位高度/cm油量/L 10 163.59 40 1199.31 70 2489.15 100 3659.88 20 450.27 50 1621.00 80 2910.84 110 3946.55 30803.54602055.07903306.611204110.15（2）讨论罐体变位的影响，要求给出纵向倾斜变位后修正模型，用不同方法可能有不同的表达形式，但需要分别考虑罐体两端有油/无油的不同情况。
将变位参数代入模型，计算出修正后的罐容表标定值，并与正常的标定值进行比较，分析罐体变位的影响。
实际上，对于纵向倾斜变位的影响明显，最大误差在257L 以上，平均误差达到190L 以上，平均相对误差达30%以上。
数学建模2010A题
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则． 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮 件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问 题. 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的， 如果引用别人的成果或其 他公开的资料(包括网上查到的资料),必须按照规定的参考文献的表述方式在正 文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺,严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性.如有违反竞 赛规则的行为,我们将受到严肃处理。
许多储油罐在使用一段时间后,由于地基变形等原因,使罐体的位置会发生 纵向倾斜和横向偏转等变化(以下称为变位)，从而导致罐容表发生改变.按照有 关规定,需要定期对罐容表进行重新标定.图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示 意图,其主体为圆柱体，两端为球冠体.图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图 ３是罐体横向偏转变位的截面示意图。
我们参赛选择的题号是（从Ａ／Ｂ/C/D 中选择一项填写）：
A
ﻩ我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）:
所属学校（请填写完整的全名）：
南通大学
参赛队员 （打印并签名） ：1.
２.
3。
指导教师或指导教师组负责人 （打印并签名):
7月 7日
日期: 201６ 年
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）:
请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。 （1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两 端平头的椭圆柱体）,分别对罐体无变位和倾斜角为 =4.10的纵向变位两种情况 做了实验，实验数据如附件1所示.请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影 响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。 (2)对于图1所示的实际储油罐,试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型, 即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度 和横向偏转角度 ）之 间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件２）, 根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为 10cｍ的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型 的正确性与方法的可靠性。
数学建模10年竞赛题及参考答案
第七届数学建模竞赛与第一届数学竞赛赛题2010-5-16系部 班级 学号 姓名 成绩2010桂林理工大学第一届数学竞赛赛题1、请叙述高等数学的主要内容。
（10分）2、将累次积分rdr r r f d ⎰⎰2cos 0)sin ,cos (πθθθθ化成直角坐标下的累次积分。
（5分） 3、已知正项级数∑∞=1n n a 发散，判定级数∑∞=+11n nna a 的敛散性。
（5分） 4、设)(t x x =由方程0sin 12=-⎰--t x u du et 所确定，请计算022=t dtxd 。
（10分）5、求0)1(22222=--++dy x y y x ydx x ，10==x y 的特解。
（10分） 6、设)(x f 具有二阶导数，在0=x 的某去心邻域内0)(≠x f ，且0)(lim=→xx f x ， 4)0(''=f ，请计算xx x x f 10)(1lim ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+→。
（10分） 7、设00,21,2,)21ln()(=≠->⎪⎩⎪⎨⎧+=x x x x x x f 且，请计算)0()100(f 。
（10分） 8、设)(lim 1x f x →存在，)(x f 在]1,0[上可积，且恒有)(lim 3)(243)(112x f dx x f x x x f x →--+=⎰，求)(x f 。
（10分）9、设)(x f 在),(+∞-∞内可导，且)(lim )(lim x f x f x x +∞→-∞→=，证明存在),(+∞-∞∈c 使0)('=c f 。
（10分） 10、计算dS zx ⎰⎰∑2，其中∑是柱面az z x 222=+被锥面22y x z +=所截下的部分。
（10分）11、设)(x ϕ二阶连续可导，L 为不过y 轴的任一闭曲线，且曲线积分0)('])()('[2=--+⎰dy x dx x yx x x x Lϕϕϕ，求函数)(x ϕ。
2010年数学建模全国一等奖论文(A题)
4
四 模型分析
4.1 问题一的分析 4.1.1 无变位模型分析 通过对储油罐在无变位情况下的分析，利用平行截面面积求积分的方法，建 立计算容积的数学模型，并通过计算机仿真求出罐内储油的容积， 从而得出罐内 油位高度与储油量的对应关系。另外，利用matlab仿真技术进一步对实际检测数 据来分析，检验模型的正确性与方法的可靠性。 4.1.2 纵向变位 α 度模型分析 通过对储油罐在纵向变位角为 α 情况下的分析，将储油罐油容积的求解分 成三种情况讨论。一是在油位高度小于 2.05 tan α 条件下建立数学模型；二是油 位高度大于 2.05 tan α 且小于 1.2 − 0.4 tan α 条件下建立模型；三是油位高度大于 1.2 − 0.4 tan α 且小于 1.2 条件下建立模型。根据平行截面面积求积分的方法，建 立罐内油位高度与储油量的对应关系， 并计算出罐容表标定值。 另外利用 Matlab 对该模型进行仿真，并与附录表中的实测数据进行比较， 参照比较的结果实现对 模型的优劣判断，并计算出罐体变位后油位高度间隔为 1cm 的罐容表标定值。 4.2 问题二的分析 首先分析罐内储油量和油位高度与变位参数纵向倾斜角度 α 关系，通过积分 求得体积，为简化积分，将图形分段积分，最后得到体积关于油位高度的函数表 达，再分析油罐横向偏转倾斜 β 后，罐内储油量与油位高度的关系，由于横向倾 斜对液面的垂直距离影响很小，可近似忽略， 最终可得到体积关于油位高度的数 学模型。再通过最小二乘拟合，根据附表二中的数据，得到最接近实际的偏转角 α、β ，将 α 和β 的近似值代入上述数学模型，并用 Matlab 仿真出函数曲线，与 真实曲线进行误差分析，验证模型的真实性和合理性。
2010年全国大学生数学建模竞赛A题全国一等奖论文
4012.74L V12 abL1
Ⅴ：当油面在图五中⑤线以下，即 H 0 mm 时，由于显示油面高度为 0 ，所以只能得到 此时储油罐内燃油体积的上限，此上限可在第Ⅰ种情况中得到。得
§2
问题分析
储油罐是根据无变位情况下油面高度 H 与燃油体积 V 的关系进行标定的， 若要实现 储油罐的变位识别和罐容表标定，就需要建立燃油体积 V 与油面高度 H 的数学模型。 问题一： 若要探究发生纵向变位对罐容表的影响，应首先建立无变位和发生纵向变位时，罐 容表标定值与油面高度 H 分别满足的关系。由变量 H 计算发生纵向变位后的实际燃油 体积，将其与罐容表的标定值进行比较，分析变位对罐容表的影响。由此，需要分别建 立无变位情况下和发生纵向变位情况下，储油罐内燃油体积 V 与油面测量高度 H 的模 型。利用几何知识和微积分的理论，可以很容易建立无变位情况下的模型。对于发生纵 向变位，可以用微元分析法，分情况计算储油罐内的实际燃油体积。得出模型后，对模 型计算所得数据与题目所给数据进行比较，分析误差，加以改进。 问题二： 问题二要求对这种两边是球冠体， 中间为柱体的实际储油罐建立燃油体积 V 与油面 测量高度 H 的数学模型。 由于这种储油罐的形状比椭圆型储油罐复杂， 而且又发生了 、
的纵向倾斜和横向偏转，处理起来比较麻烦。可以将这种实际储油罐分为左球冠、中
间圆柱体和右球冠三个部分，对油面测量高度为 H 的情况下，分别计算三个部分内燃油 的体积，然后将其求和即为储油罐内燃油体积。可以采用微元法分别建立三部分内燃油 体积与油面测量高度 H 的模型，不过要考虑 H 取不同范围内的值时，体积求解方法可 能不同。如果积分形式过于复杂，可以考虑采用积分的数值算法，用和逼近。考虑到模 型建立时，参数 和 是未知的，可以用回归分析的方法，求得使理论计算值与实际值
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2010全国大学生数学建模竞赛A题
合作人：何争流，史剑作者：
学院：计算机科学与技术；学号：
文摘：加油站、燃油生产厂一般都用储油罐来储存燃油，并通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。
但许多储油罐在使用一段时间后，罐体位置会因地基变形等原因发生变化，从而导致罐容表发生改变，故需定期对罐容表进行重新标定。
关键词：储油罐，变位，重新标定，几何法，拟合--插值法。
正文：储油罐可能发生纵向倾斜和横向偏转，故需从这两方面研究罐体变位后的标定问题，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转角度）之间的一般关系，进而对罐容表进行重新标定。
两端平头的小椭圆形储油罐情形
拟合—插植法
首先我们根据所给的数据，求出拟合函数：
设x为测得油位高度，y为罐内油量。
(1)进油情形：1、无变位进油，初值为262L。
设v为测量体积，h为测量高度，对表中数据进行拟合。
2、斜变位进油（θ=4.1），初始值为215L。
设v2为测量体积，h2为测量高度，则由表中数据进行拟合。
对无变位（θ=0）和斜变位（θ=4.1）进油时的数据作图、拟合得到油位高度与罐内储油量的函数关系。
函数的差别为系数不同，而系数不同是由角度不同引起的，所以我们想到对系数关于θ插值，得出θ为变位角，转化为弧度表示则
a7 = -2.7165e-005*g-5.5000e-008
a6=0.0134*g+2.4000e-005
a5= -2.7332*g+0.0043
a4=315.3631*g+0.42
a3= -2.0587e+004*g-26
a2=8.0726e+005*g+1200
a1= -1.6824e+007*g+4600
a0=1.5337e+008*g+19000
当θ=1.8时，g=0.0314,带入上面的式子得到：
y=-9.0841e-007*x^7+4.4497e-004*x^6-0.0816*x^5+10.3274*x^4-672.7597*x^3+
2.6561e+004*x^2-5.2394e+005*x+4.8373e+006
根据这个方程，计算得出罐体变位后油位高度间隔为1cm的实际罐容量。
（2）出油情形：1、无变位出油，初值为3706.91. 设v1为测量体积，h1为测量高度，对表中数据进行拟合。
2、斜变位出油，初值3299.74.设v3为测量体积，h3为测量高度，对表中数据拟合。
以上是无变位（θ=0）和斜变位（θ=4.1）出油所给数据做出的油位高度与实际罐内储油量的函数关系。
同理，我们仍采用插值法关于θ进行线性插值，近似讨论在某一θ时的变位出油的方程。
设插值后的函数为解得：
a7=-8.8128e-0068*g-2.9000e-008
a6=0.0046*g+1.2000e-005
a5=-0.0166*g-0.0022
a4=121.08948*g+0.23
a3=-8.4358e+003*g-16
a2=3.5084e+005*g+880
a1=-7.9553e+006*g+9600
a0=7.1267e+007*g-2700
同样的，设当θ=1.8时，g=0.0314,代入上面的式子得到：
y=-2.9000e-008*x^7+1.5644e-004*x^6-0.0017*x^5+4.0322*x^4-280.8841*x^3+
1.1896e+004*x^2-
2.4020e+005*x+-2.4020e+005 （18）
根据上述方程，计算得出罐体变位后油位高度间隔1cm的实际罐容量。
几何法
记图两端平头小椭圆型储油罐发生变位的纵向倾斜角为a。
油浮子处油的高度（即显示油位）为h，罐体倾斜时最低油位为h1，最高油位为h2，油位实际高度为h3，罐内储油量为V（h）。
小椭圆型储油罐无变位（即a=0，h=h3）时，罐内储油量与油位高度的一般关系。
小椭圆油罐截面中a=1.2/2=0.6m,b=1.78/2=0.89m（采用积分法）：油位高度记为h，横截面面积记为是S（h）。
当h<a时，求出椭圆切面上的油面面积，当h>a时，求出椭圆切面上的油面面积，最后得罐内储油量。
小椭圆型储油罐发生纵向倾斜变位（即a>0）时，。
油浮子处油的高度（即显示油位）为h，罐体倾斜时最低油位为h1，最高油位为h2，油位实际高度为h3。
罐内储油量为V（h）。
分析：实际使用中若油罐内油量太少而导致油罐闲置，且倾斜角a应该很小，故只讨论油面将罐底完全覆盖的情形，即h1>0的情形,将h1<0视为不可能情形。
采用截图法。
小椭圆油罐倾斜，利用三角形相似关系得：
h-h1=2.05tan(a)则h1=h-2.05 tan(a)
h2-h1=(2.05 +0.4)tan(a)则h2=h+0.4tan(a)
则V(1)与罐体无变位且油位为h1时的油体积V（h1）相等，得V（1）= V（无变位）（h1）由图形对称性可得V（2）= V（3）=[V(h2)-V（h1）]/2,其中V(h2) 等于罐体无变位且油位为h2时的油体积进而可得罐内储油总量：
V(h)=[V(h2)-V（h1）]/2+V(h1)= [V(h2)+V（h1）]/2
取a=1.8度，代入公式求出h从7cm开始，间隔为1cm，到118cm进行求解。
两端为球冠体的实际储油罐情形
记实际储油罐发生变位的纵向倾斜角为a，横向偏转角为b。
油浮子处油的高度（即显示油位）为h，罐体倾斜时最低油位为h1，最高油位为h2，油位实际高度为h3，罐内储油量为V（h）。
对实际储油罐，研究其无变位（即a=0，β=0,h3=h）时，罐内储油量与油位高度之间的一般关系。
用分割拼补法将油的体积分为三部分（中间圆柱体和两端球冠体）,通过积分法建模
对于圆柱部分，记横截面积S1(h)，记高度为h时，圆柱内储油量为V(圆柱)(h)，V(圆柱)(h)。
对于两端球冠体，由对称性知他们体积相等。
记一端球冠内油的体积为V(球冠)（h），球冠半径为r,得r=1.625m球冠体内高度为h时油面所在圆面的半径为r1，t为俯视储油罐时的夹角，可得cost=(r-1)/r=(1.625-1)/1.625=5/13,油面切面积S2(h)=S(扇形)-S（三角形）。
一端球冠内油的体积为V(球冠)（h）。
所以罐内储油总量为V(h)=V(圆柱)(h)+2 V(球冠)（h）
对实际储油罐，研究其发生纵向倾斜但无横向偏转（即a>0，β=0）时，罐内储油量与油位高度之间及纵向倾斜角度a之间的一般关系。
记油浮子处油的高度（即显示油位）为h，罐体倾斜时最低油位为h1，最高油位为h2，油位实际高度为h3，罐内储油量为V（h）。
储油罐发生纵向倾斜变位，与上例同理，只讨论油面将罐底完全覆盖的情形，即h1>0的情形,将h1<0视为不可能情形。
（仍采用图形分割、拼补方法）将油体分割为V(1)、V(2)两部分则由于a是微小变化，所以y处距离很短，可忽略不计将x1近似等于x,从而有h2-h1=（2x+8）tan(a)，解得h1=h+(x+2) tan(a) 。
由h-h1=（x+6）* tan(a)，解得h2=h-(x+6)tan(a) 。
则V(1)与罐体无变位时油高为h1时的体积V（h1）相等，由图形对称性可得V（2）= V（3）=[V(h2)-V （h1）]/2,其中V(h2) 等于罐体无变位时油高为h2时的体积,进而可得油量总体积
V(h)=[V(h2)-V（h1）]/2+V(h1)= [V(h2)+V（h1）]/2
对实际储油罐，研究其发生横向偏转但无纵向倾斜（即a=0，β>0）时，研究罐内储油量与油位高度之间及横向偏转角度β之间的一般关系。
记油浮子处油的高度（即显示油位）为h，罐体倾斜时最低油位为h1，最高油位为h2，油位实际高度为h3，罐内储油量为V（h）。
储油罐发生横向偏转变位，得h,h3, β之间的关系：
h= (h3-R)/ cosβ+R
罐内油的体积与罐体无变位且罐内油的高度为h3时的体积V(h3)相同,得此时油的体积为
V(h)=V(h3)。
对实际储油罐，研究其同时发生横向偏转和纵向倾斜（即a>0，β>0）时，罐内储油量与油位高度之间及变位参数a、β之间的一般关系。
记油浮子处油的高度（即显示油位）为h，罐体倾斜时最低油位为h1，最高油位为h2，油位实际高度为h3，罐内储油量为V（h）。
则由上面例子可知固定a时，h关于a的函数关系为
h（a ）=(h3-R)/ cosβ+R
得V关于h, a,β之间的函数关系，其中，L=8m，R=1.5m为已知,r=1.625m，A=t-sin t*cos t，cost=5/13，h1=h+(x+2) tan(a)，h2=h-(x+6)tan(a)。