2010全国大学生数学建模竞赛A题

2010全国大学生数学建模竞赛A题

合作人：何争流，史剑作者：

学院：计算机科学与技术；学号：

文摘：加油站、燃油生产厂一般都用储油罐来储存燃油，并通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。但许多储油罐在使用一段时间后，罐体位置会因地基变形等原因发生变化，从而导致罐容表发生改变，故需定期对罐容表进行重新标定。

关键词：储油罐，变位，重新标定，几何法，拟合--插值法。

正文：储油罐可能发生纵向倾斜和横向偏转，故需从这两方面研究罐体变位后的标定问题，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转角度）之间的一般关系，进而对罐容表进行重新标定。

两端平头的小椭圆形储油罐情形

拟合—插植法

首先我们根据所给的数据，求出拟合函数：

设x为测得油位高度，y为罐内油量。

(1)进油情形：1、无变位进油，初值为262L。设v为测量体积，h为测量高度，对表中数据进行拟合。2、斜变位进油（θ=4.1），初始值为215L。设v2为测量体积，h2为测量高度，则由表中数据进行拟合。

对无变位（θ=0）和斜变位（θ=4.1）进油时的数据作图、拟合得到油位高度与罐内储油量的函数关系。

函数的差别为系数不同，而系数不同是由角度不同引起的，所以我们想到对系数关于θ插值，得出θ为变位角，转化为弧度表示则

a7 = -2.7165e-005*g-5.5000e-008

a6=0.0134*g+2.4000e-005

a5= -2.7332*g+0.0043

a4=315.3631*g+0.42

a3= -2.0587e+004*g-26

a2=8.0726e+005*g+1200

a1= -1.6824e+007*g+4600

a0=1.5337e+008*g+19000

当θ=1.8时，g=0.0314,带入上面的式子得到：

y=-9.0841e-007*x^7+4.4497e-004*x^6-0.0816*x^5+10.3274*x^4-672.7597*x^3+

2.6561e+004*x^2-5.2394e+005*x+4.8373e+006

根据这个方程，计算得出罐体变位后油位高度间隔为1cm的实际罐容量。

（2）出油情形：1、无变位出油，初值为3706.91. 设v1为测量体积，h1为测量高度，对表中数据进行拟合。2、斜变位出油，初值3299.74.设v3为测量体积，h3为测量高度，对表中数据拟合。

以上是无变位（θ=0）和斜变位（θ=4.1）出油所给数据做出的油位高度与实际罐内储油量的函数关系。

同理，我们仍采用插值法关于θ进行线性插值，近似讨论在某一θ时的变位出油的方程。设插值后的函数为解得：

a7=-8.8128e-0068*g-2.9000e-008

a6=0.0046*g+1.2000e-005

a5=-0.0166*g-0.0022

a4=121.08948*g+0.23

a3=-8.4358e+003*g-16

a2=3.5084e+005*g+880

a1=-7.9553e+006*g+9600

a0=7.1267e+007*g-2700

同样的，设当θ=1.8时，g=0.0314,代入上面的式子得到：

y=-2.9000e-008*x^7+1.5644e-004*x^6-0.0017*x^5+4.0322*x^4-280.8841*x^3+

1.1896e+004*x^2-

2.4020e+005*x+-2.4020e+005 （18）

根据上述方程，计算得出罐体变位后油位高度间隔1cm的实际罐容量。

几何法

记图两端平头小椭圆型储油罐发生变位的纵向倾斜角为a。油浮子处油的高度（即显示油位）为h，罐体倾斜时最低油位为h1，最高油位为h2，油位实际高度为h3，罐内储油量为V（h）。

小椭圆型储油罐无变位（即a=0，h=h3）时，罐内储油量与油位高度的一般关系。

小椭圆油罐截面中a=1.2/2=0.6m,b=1.78/2=0.89m（采用积分法）：油位高度记为h，横截面面积记为是S（h）。当ha时，求出椭圆切面上的油面面积，最后得罐内储油量。

小椭圆型储油罐发生纵向倾斜变位（即a>0）时，。油浮子处油的高度（即显示油位）为h，罐体倾斜时最低油位为h1，最高油位为h2，油位实际高度为h3。罐内储油量为V（h）。

分析：实际使用中若油罐内油量太少而导致油罐闲置，且倾斜角a应该很小，故只讨论油面将罐底完全覆盖的情形，即h1>0的情形,将h1<0视为不可能情形。采用截图法。小椭圆油罐倾斜，利用三角形相似关系得：

h-h1=2.05tan(a)则h1=h-2.05 tan(a)

h2-h1=(2.05 +0.4)tan(a)则h2=h+0.4tan(a)

则V(1)与罐体无变位且油位为h1时的油体积V（h1）相等，得V（1）= V（无变位）（h1）由图形对称性可得V（2）= V（3）=[V(h2)-V（h1）]/2,其中V(h2) 等于罐体无变位且油位为h2时的油体积进而可得罐内储油总量：

V(h)=[V(h2)-V（h1）]/2+V(h1)= [V(h2)+V（h1）]/2

取a=1.8度，代入公式求出h从7cm开始，间隔为1cm，到118cm进行求解。

两端为球冠体的实际储油罐情形

记实际储油罐发生变位的纵向倾斜角为a，横向偏转角为b。油浮子处油的高度（即显示油位）为h，罐体倾斜时最低油位为h1，最高油位为h2，油位实际高度为h3，罐内储油量为V（h）。

对实际储油罐，研究其无变位（即a=0，β=0,h3=h）时，罐内储油量与油位高度之间的一般关系。用分割拼补法将油的体积分为三部分（中间圆柱体和两端球冠体）,通过积分法建模

对于圆柱部分，记横截面积S1(h)，记高度为h时，圆柱内储油量为V(圆柱)(h)，V(圆柱)(h)。对于两端球冠体，由对称性知他们体积相等。记一端球冠内油的体积为V(球冠)（h），球冠半径为r,得r=1.625m球冠体内高度为h时油面所在圆面的半径为r1，t为俯视储油罐时的夹角，可得cost=(r-1)/r=(1.625-1)/1.625=5/13,油面切面积S2(h)=S(扇形)-S（三角形）。一端球冠内油的体积为V(球冠)（h）。所以罐内储油总量为V(h)=V(圆柱)(h)+2 V(球冠)（h）

对实际储油罐，研究其发生纵向倾斜但无横向偏转（即a>0，β=0）时，罐内储油量与油位高度之间及纵向倾斜角度a之间的一般关系。记油浮子处油的高度（即显示油位）为h，罐体倾斜时最低油位为h1，最高油位为h2，油位实际高度为h3，罐内储油量为V（h）。储油罐发生纵向倾斜变位，与上例同理，只讨论油面将罐底完全覆盖的情形，即h1>0的情形,将h1<0视为不可能情形。（仍采用图形分割、拼补方法）将油体分割为V(1)、V(2)两部分则由于a是微小变化，所以y处距离很短，可忽略不计将x1近似等于x,从而有h2-h1=（2x+8）tan(a)，解得h1=h+(x+2) tan(a) 。由h-h1=（x+6）* tan(a)，解得h2=h-(x+6)tan(a) 。则V(1)与罐体无变位时油高为h1时的体积V（h1）相等，由图形对称性可得V（2）= V（3）=[V(h2)-V （h1）]/2,其中V(h2) 等于罐体无变位时油高为h2时的体积,进而可得油量总体积

V(h)=[V(h2)-V（h1）]/2+V(h1)= [V(h2)+V（h1）]/2

对实际储油罐，研究其发生横向偏转但无纵向倾斜（即a=0，β>0）时，研究罐内储油量与油位高度之间及横向偏转角度β之间的一般关系。记油浮子处油的高度（即显示油位）为h，罐体倾斜时最低油位为h1，最高油位为h2，油位实际高度为h3，罐内储油量为V（h）。储油罐发生横向偏转变位，得h,h3, β之间的关系：

h= (h3-R)/ cosβ+R

罐内油的体积与罐体无变位且罐内油的高度为h3时的体积V(h3)相同,得此时油的体积为

V(h)=V(h3)。

对实际储油罐，研究其同时发生横向偏转和纵向倾斜（即a>0，β>0）时，罐内储油量与油位高度之间及变位参数a、β之间的一般关系。记油浮子处油的高度（即显示油位）为h，罐体倾斜时最低油位为h1，最高油位为h2，油位实际高度为h3，罐内储油量为V（h）。

则由上面例子可知固定a时，h关于a的函数关系为

h（a ）=(h3-R)/ cosβ+R

得V关于h, a,β之间的函数关系，其中，L=8m，R=1.5m为已知,r=1.625m，A=t-sin t*cos t，cost=5/13，h1=h+(x+2) tan(a)，h2=h-(x+6)tan(a)。