等差数列与等比数列的证明方法

等差数列与等比数列的证明方法

高考题中，有关证明、判断数列是等差（等比）数列的题型比比皆是，如何 处理这些题目呢？

证明或判断等差（等比）数列的方法常有四种：定义法、等差或等比中项法、 数学归纳法、反证法。

一、定义法

10.证明数列是等差数列的充要条件的方法：

a n 1 a n d （常数）a n 是等差数列

a 2n 2 a 2n d （常数） a 2n 是等差数列

a sn 3 a 3n d （常数） a 3n 是等差数列

20

.证明数列是等差数列的充分条件的方法：

a n a n [ d （n 2） 為是等差数列 a n 1 a n a n a n 1（n 2） 寺是等差数列

30.证明数列是等比数列的充要条件的方法： q （q 0且为常数，a 1 0）

a n 为等比数列 a n

40

.证明数列是等比数列的充要条件的方法：

a n a n 1

必须加上“ n > 2”否则n 1时a o 无意义，等比中一样有: （常数0 ）；②门N 时，有也

a n

1

n

。

a

n a

n 1

a

1a

n 1

证明：先证必要性

注意事项：用定义法时常米用的两个式子 a n a n 1 d 和a

1 a

n d 有差别，前者

例1.设数列a i ,a 2, |||,an,|||中的每一项都不为

0。

证明：a n 为等差数列的充分必要条件是：对任何 n

N ，都有

a n

q （n>2, q 为常数且工0） a n 为等比数列

n > 2时，有旦

a n 1

a i a

2

a

2a 3

设｛a n｝为等差数列，公差为d,则

当d =0时，显然命题成立

1 1 ________ 1_

a

i a n 1

d a

n

a

n 1

再证充分性:

②-①得:

1

a

n 1 S

n 2

Si

a n 2 a 1 a n

同理：a 1 na n (n 1)a n 1

例2.设数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，试证｛a n ｝为等差数列的充要条件是

证：）若｛a n ｝为等差数列，则

1 "fl 1

—■ 1 十 I --------

21幻丿也aj

1 a

日引

fl

+ —

I L

祗 ^IH-1

fl.

a i a 2

a ? a 3

a

3 a 4

1

a

n a n 1

n

a

l a

n 1

a

1 a 2

a

2 a 3

1

a

3 a 4

1

a n

a n 1

1

S n 1 S n 2

a 1

41 2

两边同以a n a n 131 得:

(n 1)a n 1 na

③—④得：2n a n 1 n(a n a n 2)

艮卩.a

n 2 a

n1 a

n1 a

n

a n 为等差数列

S n

n(a1

2

^, (n N *)。

证明一:S2k —S k = (a i a2 a3 H a2k) —( a i a2 a3 a k)

S k, 2S n

S n

(a1 a n) (a2 a®

n(a1 a n)

2

）当n A2时，由题设，S n

所以a n S n

a2)

(a n aj

(n 1)(a1 a n 1)

S

，S i

n(a1 a n)

2

同理有a n

从而a n 1a

n

(n 1)(a i a ni)

(n 1)佝a n 1)

n(a1 aj

2

(n 1)(…nJ n(a1 a n) (n 1)(a1 a n』

整理得：a n+1 —a n=a n —a n-1，对任意n A 2成

立.

从而｛a n｝是等差数

列.

3.已知数列a n是等比数列（q

S2k S k, S3k S2k，…，仍成等比数列。

证明一:

当q=1时，结论显然成立;

当q M1时, S k

a1 1 q k

1 q

,S2k

S2k S k

. 2k

a1 1 q a1

k .

ae 1

S3k S2k

. 3k

a1 1 q

. 2k

a1 1 q

S

2k S

k

2k 1 q k 2

(1 q)2S k (S3k S?k)

S k

2

=S k ( S3k S2k)

S n 是其前n项的和，则

…S k, S2k

. 2k

a1 1 q

1 q

,S3k

2k1

S k, S3k S2k成等比数列.

2 2k . k

2

a1 q 1 q

(1 q)2