等差数列与等比数列的证明方法

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等差数列与等比数列的证明方法
高考题中,有关证明、判断数列是等差(等比)数列的题型比比皆是,如何 处理这些题目呢?
证明或判断等差(等比)数列的方法常有四种:定义法、等差或等比中项法、 数学归纳法、反证法。

一、定义法
10.证明数列是等差数列的充要条件的方法:
a n 1 a n d (常数)a n 是等差数列
a 2n 2 a 2n d (常数) a 2n 是等差数列
a sn 3 a 3n d (常数) a 3n 是等差数列
20
.证明数列是等差数列的充分条件的方法:
a n a n [ d (n 2) 為是等差数列 a n 1 a n a n a n 1(n 2) 寺是等差数列
30.证明数列是等比数列的充要条件的方法: q (q 0且为常数,a 1 0)
a n 为等比数列 a n
40
.证明数列是等比数列的充要条件的方法:
a n a n 1
必须加上“ n > 2”否则n 1时a o 无意义,等比中一样有: (常数0 );②门N 时,有也
a n
1
n。

a
n a
n 1
a
1a
n 1
证明:先证必要性
注意事项:用定义法时常米用的两个式子 a n a n 1 d 和a
1 a
n d 有差别,前者
例1.设数列a i ,a 2, |||,an,|||中的每一项都不为
0。

证明:a n 为等差数列的充分必要条件是:对任何 n
N ,都有
a n
q (n>2, q 为常数且工0) a n 为等比数列
n > 2时,有旦
a n 1
a i a
2
a
2a 3
设{a n}为等差数列,公差为d,则
当d =0时,显然命题成立
1 1 ________ 1_
a
i a n 1
d a
n
a
n 1
再证充分性:
②-①得:
1
a
n 1 S
n 2
Si
a n 2 a 1 a n
同理:a 1 na n (n 1)a n 1
例2.设数列{a n }的前n 项和为S n ,试证{a n }为等差数列的充要条件是
证:)若{a n }为等差数列,则
1 "fl 1
—■ 1 十 I --------
21幻丿也aj
1 a
日引
fl
+ —
I L
祗 ^IH-1
fl.
a i a 2
a ? a 3
a
3 a 4
1
a
n a n 1
n
a
l a
n 1
a
1 a 2
a
2 a 3
1
a
3 a 4
1
a n
a n 1
1
S n 1 S n 2
a 1
41 2
两边同以a n a n 131 得:
(n 1)a n 1 na
③—④得:2n a n 1 n(a n a n 2)
艮卩.a
n 2 a
n1 a
n1 a
n
a n 为等差数列
S n
n(a1
2
^, (n N *)。

证明一:S2k —S k = (a i a2 a3 H a2k) —( a i a2 a3 a k)
S k, 2S n
S n
(a1 a n) (a2 a®
n(a1 a n)
2
)当n A2时,由题设,S n
所以a n S n
a2)
(a n aj
(n 1)(a1 a n 1)
S
,S i
n(a1 a n)
2
同理有a n
从而a n 1a
n
(n 1)(a i a ni)
(n 1)佝a n 1)
n(a1 aj
2
(n 1)(…nJ n(a1 a n) (n 1)(a1 a n』
整理得:a n+1 —a n=a n —a n-1,对任意n A 2成
立.
从而{a n}是等差数
列.
3.已知数列a n是等比数列(q
S2k S k, S3k S2k,…,仍成等比数列。

证明一:
当q=1时,结论显然成立;
当q M1时, S k
a1 1 q k
1 q
,S2k
S2k S k
. 2k
a1 1 q a1
k .
ae 1
S3k S2k
. 3k
a1 1 q
. 2k
a1 1 q
S
2k S
k
2k 1 q k 2
(1 q)2S k (S3k S?k)
S k
2
=S k ( S3k S2k)
S n 是其前n项的和,则
…S k, S2k
. 2k
a1 1 q
1 q
,S3k
2k1
S k, S3k S2k成等比数列.
2 2k . k
2
a1 q 1 q
(1 q)2
冋理,S 3k — S 2 k = a
2k 1
a
2k 2
a 2k 3
二 S k , S 2k S k , S 3k S 2k 成等比数列。

、中项法
(1).(充要条件)
(注:三个数a,b,c 为等差数列的充要条件是:2b a c ) (充分条件)
2a n a n 1 a n1(n 2) {a .}是等差数列, (2) •(充要条件)
任意两数a 、c 不一定有等比中项,除非有ac >0,则等比中项一定有两个.
三、通项公式与前n 项和法
1.通项公式法
(1)右数列通项a n 能表示成a n an b ( a, b 为常数)的形式,
则数列a n 是等差数列。

(充要条件)
=a k 1 a k 2 a
k 3
k a 2k =q
(a i a 2 a 3
k a k
) =
q S
k 0
2k c c
a 3k =
q S
k
右 2a
n 1
a
n
a
n 2
a n 是等差数列
右 a n a
n 2 a
1 (a n
0)
{a n
}是等比数列
(充分条件)
2
a
n a n 1 a
n 1
(n > 1) {a n }是等比数列,
A /O G 且(a c
T ac
T ac (a 0) 是a 、b 、c 等比数列的充分不必要条件
是a 、b 、c 等比数列的必要不充分条件.
c 0) 是a 、b 、c 等比数列的充要条件.
证明一:S 2k — S
k = (
a i a 2 a 3
H a
2k ) —
( a i a 2 a
3 a k
)
若数列{a n }是公比为q 的等比数列,
数列{a n }{ a n }(为不等于零的常数)仍是公比为q 的等比数列; 若{b n }是公比为q 的等比数列,则数列{ajb n }是公比为qq 的等比数列; 数列丄是公比为1
的等比数列;
(2).若通项a n 能表示成a n cq n
(c q 均为不为 0的常数,n N )的形式,
则数列a n 是等比数列.(充要条件)
2.前n 项和法
(1).若数列a n 的前n 项和S n 能表示成S n an 2
bn (a , b 为常数)的形式,
则数列a n 是等差数列;(充要条件)
⑵.若S 能表示成S n Aq n
A (A q 均为不等于
0的常数且q M 1)的形式,
则数列a n 是公比不为1的等比数列.(充要条件) 四、 归纳一猜想---数学归纳证明法
先根据递推关系求出前几项,观察数据特点,猜想、归纳出通项公式,再用 数学归纳法给出证明。

这种方法关键在于猜想要正确,用数学归纳法证明的步骤要熟练,从“ n k 时 命题成立”到“ n k 1时命题成立”要会过渡.
五、 反证法
解决数学问题的思维过程,一般总是从正面入手,即从已知条件出发,经过 一系列的推理和运算,最后得到所要求的结论,但有时会遇到从正面不易入手 的情况,这时可从反面去考虑.
八、
等差数列与等比数列的 一些常规结论
a n q
{|an|}是公比为I d的等比数列;
在数列{a n}中,每隔k(k N )项取出一项,按原来顺序排列,所得新数列仍
5) m , n , p (m , n , p N ) 成等差数列时, a m , a n , a p 成等差数列. mn
为等比数列且公比为 q k 1

若 m , n , p (m , n , p N )成等差数列时, a m , a n , a p 成等比数列; S n , S 2n &, S 3n $2"均不为零时,贝J S n , S 2n
S sn S 2n 成等比数列;
若{log b a n }是一个等差数列,则正项数列{a n }是一个等比数列.
若数列{a n }是公差为d 等差数列,
{ka n b }成等差数列,公差为kd (其中k 0, k ,b 是实常数); {S (ni )k S kn } ,( k N , k 为常数),仍成等差数列,其公差为k 2d ;
若{a n }{ b n }都是等差数列,公差分别为d i, d 2,则{a n b n }是等差数列,公差
当数列{a n }是各项均为正数的等比数列时,数列{Ig a n }是公差为Igq 的等差
数列;
7) 8) 为 d 1 d 2 ;。

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