沪教版(上海)高中数学2019-2020学年度高三数学一轮复习其他系列之命题②

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2019年上海高考数学第一轮复习第01讲集合

第01讲集合及运算[基础篇]一、集合的概念：1. 把能够确切指定的一些对象组成的整体叫做，简称。

集合中的各对象叫做这个集合的。

2．集合中的元素属性具有：(1) ； (2) ； (3) ．二、集合的分类：（1）集合的分类：1.按照元素的种类： 2.3. 4.1.按照元素的数量： 2. 3.（2）常见的数集：自然数集：正整数集：整数集：有理数集：实数集：复数：三、集合的表示方法：（1）列举法：（2）描述法：（3）图像法：备注：有限集常用，无限集常用，图示法常用于表示集合之间的相互关系．⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧四、元素与集合之间的关系：（1）属于：（2）不属于：五、集合与集合之间的关系：1.集合间的关系：（1）包含关系：（2）真包含关系：（3）不包含关系：（4）相等关系：2.子集与真子集的概念：子集：若集合A 中都是集合B 的元素，就说集合A 包含于集合B （或集合B 包含集合A ），记作．真子集：如果就说集合A 是集合B 的真子集，记作．注意事项：空集∅是一个特殊而又重要的集合，它不含任何元素，∅是任何集合的，∅是任何非空集合的，解题时不可忽视∅．3.子集数和真子集数的计算：若集合A 含有n 个元素，则A 的子集有个，真子集有个，非空真子集有个．六、集合间的运算：（1）交集、并集、补集的概念：1．交集：由的元素组成的集合，叫做集合A 与B 的交集，记作A∩B，即A∩B＝．2．并集：由的元素组成的集合，叫做集合A 与B 的并集，记作A∪B，即A∪B＝．3．补集：集合A 是集合S 的子集，由的元素组成的集合，叫做S 中子集A 的补集，记作S C A ，即S C A ＝．（2）集合的常用运算性质：1．A ∩A ＝，A ∩∅＝，A ∩B= ，A ∪A ＝，A ∪∅＝，A ∪B ＝B ∪A2．U A C A ⋂＝，U A C A ⋃＝，()U C C A = ．3．()U C A B ⋃= ，()U C A B ⋂= ，4．A∪B＝A ⇔ A ∩B ＝A ⇔[技能篇]题型一：集合的表示方法：例题1-1 用描述法表示下列集合：（1）偶数组成的集合；（2）平面直角坐标系内第一象限的点组成的集合。

沪教版(上海)高中数学2019-2020学年高三数学一轮复习直线与圆的方程系列之直线的综合应用：线对

沪教版（上海）高中数学2019-2020学年度高三数学一轮复习直线与圆的方程系列之直线的综合应用：线对称问题③教学目标1.掌握关于已知直线的对称题型的解题方法；2.掌握直线对称题型的应用，会把相关问题转化成直线对称题型知识梳理1.点关于线对称（1）(,)P x y 关于x a =的对称点为(2,)a x y -（2）(,)P x y 关于y b =的对称点为(,2)x b y -（3）(,)P x y 关于y x b =+的对称点为(,)y b x b -+（巧记：代入x 求y ，代入y 求x ）（4）(,)P x y 关于y x b =-的对称点为(,)y b x b +-（巧记：代入x 求y ，代入y 求x ）（5）求解(,)P x y 关于:0l Ax By C ++=的对称点一般步骤：①设对称点(,)P a b '②列方程0()22()()0()a xb y A B C PP l B a x A b y PP l ++⎧'⋅+⋅+=⎪⎨⎪'---=⎩中点在上与垂直③求解,a b2.其他的（线、圆、二次曲线、一般曲线）关于线对称（1）转化成点关于线对称（2）其他好方法（具体题目具体分析）典例精讲例 1.（★★★）一条光线从()5,3M 点射出后，被直线:1l x y +=反射，入射光线与l 的夹角为β，且tan 2β=，求反射光线所在的直线方程。

【答案】：设M 关于l 的对称点为M '，则(2,4)M '--，反射光线的反向延长线应过点M '由于入射光线与反射光线同l 的夹角应该相等，也为β设反射光线的斜率为k ，则121k k +=-，解得3k =或13所以反射光线：320x y -+=或3100x y --=例2.（★★★）光线从A (3,4)-点射出，到x 轴上的B 点后，被x 轴反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射线恰好过点(1,6)D -，求BC 所在直线的方程。

沪教版(上海)2019-2020学年度高中数学高三年级综合备考三角系列之三角函数的值域与最值 ③

沪教版（上海）高中数学2019-2020学年度高三数学综合备考三角系列之三角函数的值域与最值 ③教学目标掌握三角函数值域与最值的几种形式与求解方法；【熟练掌握函数sin y a x b =+；sin cos y a x b x =+；2sin sin y a x b x c =++；22sin sin cos cos y a x b x x c x =++ 等转化为sin()y A x ωϕ=+的方法，从而进一步研究他们的值域和最值等。

】知识梳理求三角函数最值与值域问题常见四种类型：（1）sin ,y a x b x D =+∈.利用三角函数有界性，确定sin x 的范围，再确定y 的最值或值域.（2）sin cos ,a x b y x x D +=∈.利用辅助角公式得()x y ϕ=+（其中tan b a ϕ=），再求y 的最值或值域. （3）2sin sin ,.a x b x y c x D ++∈=利用换元法设sin t x =，则2,at c y bt ++=，转化为二次函数求最值或值域. （4）22sin sin cos cos ,.a x b x x c x x D y =++∈ 利用降次公式221cos 21cos 2sin ,cos ,22x x x x -+==1sin cos sin 22x x x =转化为类型（2）. 典例精讲例1. （★★★）求函数()tan cot 2sin 2,0,2f x x x a x x π⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭的最小值.解：()sin cos 22sin 22sin 2cos sin sin 2x x f x a x a x x x x=++=+，令(]0,1t ∈则22,y at t=+(]0,1t ∈， 0a ∴≤①时22y at t =+在(]0,1上单调递减，min 22.y a =+ 0a >②时22y at t =+在⎛ ⎝上单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增， 01a ∴<≤时22y at t=+在(]0,1上单调递减min 22.y a =+ 1a >时22y at t =+在⎛ ⎝上单调递减，在⎫⎪⎪⎭上单调递增，min y =min 22,1.1a a y a +<⎧⎪∴=⎨≥⎪⎩ 例2. （★★★★）求下列函数的值域：（1）3cos 1sin 2x y x -=+；（2）sin cos 2sin cos 2,0,2y x x x x x π⎡⎤=+++∈⎢⎥⎣⎦. 解：（1）sin 23cos 1y x y x +=-，即sin 3cos 12y x x y -=--()12,x y ϕ-=--()sin x ϕ-=因为()sin 1x ϕ-≤1≤，即22129y y +≤+，解得y ≤≤. 【若本题中分子中含有sin x ，分母中含有cos x ，也可以利用数形结合思想解决，方法详见巩固练习5。

2019年上海高考数学·第一轮复习讲义第26讲排列组合

2019年上海高考数学·第一轮复习（第26讲排列组合）[基础篇]一、知识梳理1、乘法原理与排列乘法原理：如果完成一件事需要n 个步骤，第一步有1m 种不同的方法，第二步有2m 种不同的方法，……，第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有123n N m m m m =⋅⋅⋅种不同的方法。

乘法原理的核心：分步在乘法原理的应用中，首先要正确分清做一件事的步骤，其次要搞清楚每一个步骤的方法数。

排列的概念：从n 个不同元素中任取m 个元素，按照一定的次序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。

排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数。

【说明】如果两个排列相同，那么必须满足：1、元素完全相同；2、元素的排列次序相同。

排列数：从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号m n P 表示。

排列数公式：!(1)(2)(1)()!m n n P n n n n m n m =--⋅⋅⋅-+=-；规定：0!1= 2、加法原理与组合做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有 12n N m m m =+++种不同的方法。

【说明】计数原理⎩⎨⎧乘法原理（分步）且加法原理（分类）或组合的概念：从n 个不同元素中任取m 个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合，组合的个数叫组合数，用C mn 表示.组合数公式C mn =!)!(!m m n n -. 组合数的两个性质：（1）C m n =C m n n -；（2）C m n 1+=C m n +C 1-m n . 排列与组合的区别与联系：都是从n 个不同元素中取出m 个不同的元素，都是研究无重复元素问题，但排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关。

上海市2020届高三数学一轮复习典型题专项训练：函数

上海市2020届高三数学一轮复习典型题专项训练函数一、选择、填空题1、（上海市封浜中学2019届高三上学期期中）方程1)21(log 2-=-x的解=x __________．2、（静安区市西中学2019届高三上学期期中）设常数a ∈R ，若函数2()log ()f x x a =+的反函数图像经过点(3,1)，则a =3、（七宝中学2019届高三上学期期中）已知函数34()f x x =，则的解集是________4、（华东师范大学第二附中2019届高三10月考）设函数f （x ）是奇函数，当x ＜0时，f （x ）=3x +x ，则当x ＞0时，f （x ）=______5、（2019届崇明区高三二模）设函数2()f x x =（0x >）的反函数为1()y f x -=，则1(4)f -=6、（2019届黄浦区高三二模）若函数221()lg ||1x x f x x m x ⎧-≤=⎨->⎩在区间[0,)+∞上单调递增，则实数m的取值范围为7、（2019届闵行松江区高三二模）若函数||||2()4(2||9)29||18x x f x x x x =+-+-+有零点，则其所有零点的集合为（用列举法表示）8、（2019届浦东新区高三二模）已知2()22f x x x b =++是定义在[1,0]-上的函数，若[()]0f f x ≤在定义域上恒成立，而且存在实数0x 满足：00[()]f f x x =且00()f x x ≠，则实数b 的取值范围是9、（2019届青浦区高三二模）已知a 、b 、c 都是实数，若函数2()1x x af x b a x c x⎧≤⎪=⎨+<<⎪⎩的反函数的定义域是(,)-∞+∞，则c 的所有取值构成的集合是10、（2019届杨浦区高三二模）若幂函数()k f x x =的图像过点(4,2)，则(9)f = 11、（2019届嘉定长宁区高三二模）设函数()f x x a =-其中a 为常数)的反函数为()1f x -，若函数()1fx -的图像经过点()0,1，则方程()12f x -=的解为12、（2019届嘉定长宁区高三二模）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当01x ≤≤时，()()2log f x x a =+，若对于x 属于[]0,1都有2211log 32()f x tx -++≥-，则实数t的取值范围为13、（2019届普陀区高三二模）已知函数f （x ）＝，若存在唯一的整数x ，使得不等式＞0成立，则实数a 的取值范围是．14、（2019届徐汇区高三二模）已知点(2,5)在函数()1x f x a =+（0a >且1a ≠）的图像上，则()f x 的反函数1()f x -=15、（2019届徐汇区高三二模）已知函数4()1f x x x =+-，若存在121,,,[,4]4n x x x ⋅⋅⋅∈使得 121()()()()n n f x f x f x f x -++⋅⋅⋅+=，则正整数n 的最大值是16、（浦东新区2019届高三一模）若函数()y f x =的图像恒过点(0,1)，则函数1()3y f x -=+的图像一定经过定点17、（松江区2019届高三一模）已知函数()y f x =的图像与函数x y a =(0,1)a a >≠的图像关于直线y x =对称，且点(4,2)P 在函数()y f x =的图像上，则实数a =18、（杨浦区2019届高三一模）下列函数中既是奇函数，又在区间[1,1]-上单调递减的是（） A. ()arcsin f x x = B. ()lg ||f x x = C. ()f x x =- D. ()cos f x x = 19、（闵行区2019届高三一模）已知函数()|1|(1)f x x x =-+，[,]x a b ∈的值域为[0,8]，则a b +的取值范围是20、（虹口区2019届高三一模）函数8()f x x x=+，[2,8)x ∈的值域为 21、（虹口区2019届高三一模）已知函数2()1f x ax x =-+，1,1(),111,1x g x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，若函数()()y f x g x =-恰有两个零点，则实数a 的取值范围为（）A. (0,)+∞B. (,0)(0,1)-∞C. 1(,)(1,)2-∞-+∞ D. (,0)(0,2)-∞22、（浦东新区2019届高三一模）已知函数()2||1f x x x a =+-有三个不同的零点，则实数a 的取值范围为23、（普陀区2019届高三一模）设11{,,1,2,3}32α∈--，若()f x x α=为偶函数，则α=24、（松江区2019届高三一模）已知函数()f x 的定义域为R ，且()()1f x f x ⋅-=和(1)(1)4f x f x +⋅-=对任意的x ∈R 都成立，若当[0,1]x ∈时，()f x 的值域为[1,2]，则当[100,100]x ∈-时，函数()f x 的值域为25、（金山区2019届高三一模）已知函数52|log (1)|1()(2)21x x f x x x -<⎧⎪=⎨--+≥⎪⎩，则方程1(2)f x a x +-=（a ∈R ）的实数根个数不可能为（）A. 5个B. 6个C. 7个D. 8个参考答案：一、选择、填空题1、－12、73、4、3x x --5、26、910m ≤7、{2,1,1,2}-- 8、13[,)28-- 9、{0} 10、3 11、1x = 12、[]0,3 13、[0，3]∪[4，15]． 14、2log (1)x -(1)x >15、答案：6 解析：由4()1f x x x=+-，得：24'()10f x x =-=，得：x ＝2，1[,2]4x ∈时，()f x 递减，(2,4]x ∈时，()f x 递增，161()44f =，(2)f ＝3，(4)f ＝4，所以，61()[3,]4f x ∈ 因为121()()()()n n f x f x f x f x -=++⋅⋅⋅+ 所以，613(1)()4n n f x -≤≤，即7312n ≤，即正整数n 的最大值是6 16、(1,3) 17、2 18、C 19、[2,4] 20、2,9) 21、B 22、(,2)-∞- 23、－2 24、100100[2,2]- 25、A二、解答题1、（上海市封浜中学2019届高三上学期期中）已知函数2|1|)(--+=x m x x f ，0>m 且1)1(-=f ．（1）求实数m 的值；（2）判断函数)(x f y =在区间]1,(--∞m 上的单调性，并用函数单调性的定义证明；（3）求实数k 的取值范围，使得关于x 的方程kx x f =)(分别为：① 有且仅有一个实数解；② 有两个不同的实数解；③ 有三个不同的实数解．2、（2019届青浦区高三二模）已知a ∈R ，函数2()2x x af x a-=+.（1）求a 的值，使得()f x 为奇函数；（2）若0a ≥且2()3a f x -<对任意x ∈R 都成立，求a 的取值范围.3、（2019届宝山区高三二模）对年利率为r 的连续复利，要在x 年后达到本利和A ，则现在投资值为rx B Ae -=，e 是自然对数的底数；如果项目P 的投资年利率为6%r =的连续复利.（1）现在投资5万元，写出满n 年的本利和，并求满10年的本利和；（精确到0.1万元）（2）一个家庭为刚出生的孩子设立创业基金，若每年初一次性给项目P 投资2万元，那么，至少满多少年基金共有本利和超过一百万元？（精确到1年）.4、（虹口区2019届高三一模）已知函数16()1x f x a a+=-+(0a >且1)a ≠是定义在R 上的奇函数.（1）求实数a 的值及函数()f x 的值域；（2）若不等式()33x t f x ⋅≥-在[1,2]x ∈上恒成立，求实数t 的取值范围.5、（金山区2019届高三一模）设函数()21x f x =-的反函数为1()f x -，4()log (31)g x x =+. （1）若1()()f x g x -≤，求x 的取值范围D ；（2）在（1）的条件下，设11()()()2H x g x f x -=-，当x D ∈时，函数()H x 的图像与直线 y a =有公共点，求实数a 的取值范围.6、（松江区2019届高三一模）已知函数2()21x f x a =-+（常数a ∈R ）（1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）当()f x 为奇函数时，若对任意的[2,3]x ∈，都有()2x mf x ≥成立，求m 的最大值.7、（徐汇区2019届高三一模）已知函数2(),2ax f x x -=+其中.a R ∈ （1）解关于x 的不等式()1f x ≤-；（2）求a 的取值范围，使()f x 在区间(0,)+∞上是单调减函数.8、（奉贤区2018高三上期末）已知函数()()()x x x f --+=3log 3log 22 （1）判断函数的奇偶性；（2）()1sin =αf ，求α的值．9、（青浦区2018高三二模）设函数()2()5f x ax a x=-+∈R ．（1）求函数的零点；（2）当3a =时，求证：()f x 在区间(),1-∞-上单调递减；（3）若对任意的正实数a ，总存在[]01,2x ∈，使得0()f x m ≥，求实数m 的取值范围．10、（杨浦区2018高三上期末）已知函数1()ln 1xf x x+=-的定义域为集合A ，集合(,1)B a a =+，且B A ⊆.（1）求实数a 的取值范围；（2）求证：函数()f x 是奇函数但不是偶函数.参考答案：二、解答题1、解：（1）由1)1(-=f ，得11||-=-m ，1||=m ，∵ 0>m ，∴ 1=m ． ……（4分）（2）由（1），1=m ，从而2||)(-=x x x f ，只需研究)(x f 在]0,(-∞上的单调性．当]0,(-∞∈x 时，2)(--=x xx f ．设]0,(,21-∞∈x x ，且21x x <，则)2)(2()(222)()(2121221121---=-----=-x x x x x x x x x f x f ， …（6分）∵ 021≤<x x ，∴ 021<-x x ，021<-x ，022<-x ， ∴ 0)()(21<-x f x f ，即)()(21x f x f <．∴ 函数)(x f 在区间]0,(-∞上是单调递增函数． ……（10分）（3）原方程即为kx x x =-2|| ……①0=x 恒为方程①的一个解． ……（11分）若0<x 时方程①有解，则kx x x =--2，解得kx 12-=，由012<-k ，得 210<<k ； ……（13分）若0>x 且2≠x 时方程①有解，则kx x x =-2，解得kx 12+=，由012>+k 且212≠+k ，得21-<k 或0>k ． ……（15分）综上可得，当⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈0,21k 时，方程kx x f =)(有且仅有一个解；当⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞--∞∈,21)21,( k 时，方程kx x f =)(有两个不同解；当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈21,0k 时，方程kx x f =)(有三个不同解． ……（18分） 2、（1）f （－x ）＝－f （x ），22()2x x a a f x a +-=+212x aa =-+ 212xa a --+＝212x aa -++， 2x a a +＋2x aa-+＝1， 22222122x x x x a a a a a a a --+++=+++，解得：1a =±3、【答案】（1）9.1万元；（2）至少满23年基金共有本利和超过一百万元. 【解析】（1）由题意：6%6%55n n Ae A e -=⇒=⋅；当10n =时，本利和为6%100.6559.1A e e ⋅=⋅=⋅≈（万元）；（2）由题意：2B =；设n 年后共有本利和超过一百万元，则n 年后：第一年年初的投资所得的为：6%12nA e=⋅；第二年年初的投资所得的为：()6%-122n A e=⋅；以此类推：第n 年年初的投资所得的为：6%2n A e=⋅；则满n 年后，基金共有本利和：()()6%6%16%6%126%122221nn n n e A A A e e e e --+++=⋅+⋅++⋅=⋅-；由题意：()6%6%6%6%6%150502100log 122.71ne ee n n e e -⎛⎫-⋅⋅>⇒>-⇒> ⎪-⎝⎭；故至少满23年基金共有本利和超过一百万元.4、5、6、解：（1）若)(x f 为奇函数，必有(0)10f a =-= 得1a =，……………………2分当1a =时，221()12121x x x f x -=-=++，2112()()2121x xx x f x f x -----===-++∴当且仅当1a =时，)(x f 为奇函数 ………………………4分又2(1)3f a =-，4(1)3f a -=-，∴对任意实数a ，都有(1)(1)f f -≠∴)(x f 不可能是偶函数 ………………………6分（2）由条件可得：222()2(1)(21)32121x x xx xm f x ≤⋅=-=++-++恒成立， ……8分记21x t =+，则由[2,3]x ∈ 得[5,9]t ∈， ………………………10分此时函数2()3g t t t=+-在[5,9]t ∈上单调递增， ………………………12分所以()g t 的最小值是12(5)5g =， ………………………13分所以125m ≤ ，即m 的最大值是125 ………………………14分7、解：（1）不等式()1f x ≤-即为2(1)10.22ax a xx x -+≤-⇔≤++……….3分当1a <-时，不等式解集为[)(,2)0,-∞-+∞； ……………….4分当1a =-时，不等式解集为(,2)(2,)-∞--+∞； ……………….5分当1a >-时，不等式解集为(]2,0.- ……………….6分（2）任取120,x x <<则12121222()()22ax ax f x f x x x ---=-=++12122(1)(),(2)(2)a x x x x +-++……….9分120x x <<12120,20,20,x x x x ∴-<+>+>……………….11分所以要使()f x 在(0,)+∞递减即12()()0,f x f x ->只要10a +<即1,a <- ………13分故当1a <-时，()f x 在区间(0,)+∞上是单调减函数 ……………….14分 8、解：（1）定义域()3,3- 3分关于原点对称 1分 ()()()()22log 3log 3f x x x f x -=-+-+=- 2分所以()f x 是奇函数 2分（2）()3sin 3sin 2sin log 1f ααα+-== 2分sin 1α= 2分2,2k k Z παπ=+∈ 2分9、解：（1）①当0a =时，函数的零点为25x =-； ②当2508a a ≥-≠且时，函数的零点是52x a ±=；③当258a <-时，函数无零点；（2）当3a =时，2()3+5f x x x =-，令2()3+5g x x x=- 任取12,(,1)x x ∈-∞-，且12x x <，则()211212121212()2322()()3535x x x x g x g x x x x x x x -+⎛⎫-=-+--+= ⎪⎝⎭因为12x x <，12,(,1)x x ∈-∞-，所以210x x ->，121x x >，从而()211212()230x x x x x x -+>即1212()()0()()g x g x g x g x ->⇒>故()g x 在区间(),1-∞-上的单调递减当(),1x ∈-∞-时，()()6,g x ∈+∞22()3+5=3+5()f x x x g x x x∴=--= 即当3a =时，()f x 在区间(),1-∞-上单调递减；（3）对任意的正实数a ，存在[]01,2x ∈使得0()f x m ≥，即0max ()f x m ≥，当()0,x ∈+∞时，25,02()+5255,2ax x x f x ax x ax x xa ⎧-+<<⎪⎪=-=⎨⎪-+-≥⎪⎩ 即()f x在区间50,2a ⎛ ⎝⎭上单调递减，在区间⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增；所以{}{}0max ()max (1),(2)max 7,62f x f f a a ==--，又由于0a >，{}8max 7,623a a --≥，所以83m ≤．10、解：（1）令101xx+>-，解得11x -<<，所以(1,1)A =-， ……3分因为B A ⊆，所以111a a ≥-⎧⎨+≤⎩，解得10a -≤≤，即实数a 的取值范围是[1,0]- ……6分（2）函数()f x 的定义域(1,1)A =-，定义域关于原点对称 ……8分1()()ln 1()x f x x ---=+-1111ln ln ln ()111x x x f x x x x -+--⎛⎫===-=- ⎪-++⎝⎭……12分而1()ln32f =，11()ln 23f -=，所以11()()22f f -≠ ……13分所以函数()f x 是奇函数但不是偶函数. ……14分。

2019年上海高考数学第一轮复习第26讲数学归纳法

第26讲数学归纳法[基础篇]一、用数学归纳法证明命题的步骤：（1）证明当n 取初始值0n ，0n ∈*N 时命题成立；（2）假设当n ＝k ，k ∈*N ，k ≥0n 时命题成立，证明n ＝k+1时命题也成立；在完成上述两个步骤后，就可以断定命题对于从0n 开始的所有正整数都成立二、归纳—猜想—论证：“归纳—猜想—论证”的数学思想方法的应用：检验有限个n 的值，寻找一定规律，猜想一个结论，而后用数学归纳法证明所猜想的结论正确[技能篇]例题1 已知222222212)1(21)(+++++++++= n n n n f ，则=)1(f _______________。

例题2 设1312111)(++++++=n n n n f ，那么=-+)()1(k f k f __________ 例题3 用数学归纳法证明：*1111(,1)2321n n n N n +++⋅⋅⋅+<∈>-时 ,第一步验证不等式成立；在证明过程的第二步从k n =到1+=k n 成立时，左边增加的项数是例题4 若命题P(n)对一切的n=2成立，且由P(k)成立可以推证P(k+2)也成立，则一定有（）A 、P(n)对所有正整数都成立B 、P(n)对所有大于等于2的正整数都成立C 、P(n)对所有正偶数都成立D 、P(n)对所有正奇数都成立例题5 设)(x f 是定义在正整数集上的函数，且)(x f 满足：“当2()f k k ≥成立时，总可推出(1)f k +≥2)1(+k 成立”．那么，下列命题总成立的是（）.A 若(3)9f ≥成立，则当1k ≥时，均有2()f k k ≥成立.B 若(5)25f ≥成立，则当5k ≤时，均有2()f k k ≥成立.C 若49)7(<f 成立，则当8k ≥时，均有2)(k k f <成立.D 若25)4(=f 成立，则当4k ≥时，均有2()f k k ≥成立例题6 正数数列{}n a 前n 项和为n S ，若11()2n n nS a a =+，猜测通项n a ，并用数学归纳法证明例题7 设无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对于任意自然数n ∈N*，n ≥3，都有1()2n n n a a S +=，用数学归纳法证明{}n a 是等差数列例题8 用数学归纳法证明：21(1)*410()4,5n n n N -+⋅<∈例题9 是否存在自然数m ,使得 ()(27)39n f n n =+⋅+ 对于任意*n N ∈都能被m 整除,若存在,求出m ;若不存在,请说明理由．例题10 数列{}{},n n a b 中，112,4a b ==，且1,,n n n a b a +成等差数列，11,,n n n b a b ++成等比数列（*n N ∈），求234,,a a a 及234,,b b b ，由此猜测{}{},n n a b 的通项公式，并证明你的结论．[竞技篇]一、填空题：1、用数学归纳法证明22111...(1)1n n a a a a a a++-++++=≠-，在验证n ＝1时，左端计算所得项为 2、利用数学归纳法证明“对任意偶数n （n ∈N*），n n a b -能被a b +整除”时，其第二步论证应该是3、若1111...(*)23n S n N n =++++∈，用数学归纳法证明21(2,*)2n n S n n N >+≥∈，n 从k 到k+1时，不等式左边增加的项为4、若21*718,,n m m n N -+=∈，则21718n m ++=+ 5、利用数学归纳法证明22n n >，第一步应该论证6、若 1＝1；1－4＝－（1＋2）；1－4＋9＝1＋2＋3；1－4＋9－16＝－（1＋2＋3＋4）；……找出一般规律的数学表达式：7、数学归纳法证明：111111111......234212122n n n n n-+-++-=+++-++（n ∈N*）时，当n 从k 到k+1时等式左边增加的项为；等式右边增加的项为8、设平面内有n 条直线（n ≥3），其中有且只有两条互相平行，任意三条直线不过同一点，若用()f n 表示这n 条直线交点的个数，则(4)f = ；当n ＞4时，()f n ＝9、观察以下等式：211=，22343++=，2345675++++=，……，将上述等式推广到一般情形：对n N *∈，有等式： 10、设平面内有n 条直线（3n ≥），其中有且只有两条互相平行，任意三条直线不过同一点，若用()f n 表示这n 条直线交点的个数，则(4)f = ；当4n >时，()f n ＝．11、若)(n f 为12+n 所表示的数字的各位数字之和，(n 为正整数)，例如：因为1971142=+，17791=++，所以17)14(=f ，)()(1n f n f =，[])()(2n f f n f =，，[])()(1n f f n f k k =+(k 为正整数)，则)11(2010f =12、设*n N ∈，用()N n 表示n 的最大奇因数，如：()()33,105N N ==，设 ()()()()()123212n n n S N N N N N =++++-+L ，则数列{}()12n n S S n --≥的前n 项和的表达式为二、选择题：13、利用数学归纳法证明不等式“1111 (2321)n n ++++<-，2,n n N ≥∈”的过程中，由“n k =”变到“1n k =+”时，左边增加了（）A ． 1项B ． k 项C ． 12k -项D ． 2k 项．14、数列2,0,4,0,6,0,...的一个通项公式是（）A ． [1(1)]2n n n a +-=B ． (1)[1(1)]2n n n a ++-=C ． 1[1(1)]2n n n a ++-= D ． 1(1)[1(1)]2n n n a +++-=．15、等式22222574123...2n n n -+++++= （） A ． n 为任何正整数时都成立 B ．仅n ＝1，2，3时成立C ． n ＝4时成立，n ＝5时不成立D ． n ＝4时不成立，其他成立．16、用数学归纳法证明1－21＋31－)(2121112112141N n nn n n n ∈+++++=--++ ，则从k 到k ＋1时,左边应添加的项为（） (A) 121+k (B) 421221+-+k k (C) －221+k (D) 121+k －221+k三、解答题：17、数列{}n a 中，111111,0,,(*)n n a a a a a a n N a a +≠>=+=-∈，求出234,,a a a 的值，猜测n a 的表达式，并用数学归纳法加以证明。

上海市(沪教版)2020届高三数学一轮复习讲义——第18讲-指数方程和对数方程-基础

指数方程和对数方程教学目标理解指数方程、对数方程的概念；会解简单的指数、对数方程知识梳理1、指数方程与对数方程的定义：在指数上含有未知数的方程，叫做指数方程；在对数符号后面含有未知数的方程，叫做对数方程。

2、解指数、对数方程的基本思想：化同底或换元。

3、指数方程的基本类型：（1）(0,0,0),x a c a a c =>≠>其解为log a x c =；（2）()()(0,1)f x g x aa a a =>≠，转化为代数方程()()f x g x =求解；（3）()()(0,1,0,1)f x g x ab a a b b =>≠>≠，转化为代数方程()lg ()lg f x a g x b =求解；（4）()0(0,0)xF a a a =>≠，用换元法先求方程()0F y =的解，再解指数方程x a y =。

4. 对数方程的基本类型：（1）log (0,1)a x b a a =>≠,其解为b x a =；（2）log ()log ()(0,1)a a f x g x a a =>≠，转化为()()()0()0f x g x f x g x =⎧⎪>⎨⎪>⎩求解；（3）(log )0(0,0)a F x a a =>≠，用换元法先求方程()0F y =的解，再解对数方程log a x y =。

典例精讲例1.解下列方程：（1）95360x x -⋅+=；（2）44956x x x +⋅=⋅；解：（1）原方程可化为 235360x x -⋅+=。

令3x y =，得2560y y -+=，解得12y =，23y =。

由12y =得，32x =，3log 2x =；由33x =，得1x =.所以,方程的解是1x =或3log 2x =.(2) 原方程可化为456490x x x -⋅+⋅=,两边同除以9x ,得222()5()4033x x -⋅+=,令2()3x y =,得2540y y -+=,解得11y =,24y = 由2()13x =得0x =；由2()43x =，得23log 4x =232log 2=.所以,方程的解是0x =或232log 2x =.例2.解下列方程：（1）lg(2)(3)lg12x x -+-=；（2）224(log )log 22x x +=；（3）3log (92)1x x +=+。

沪教版(上海)高中数学2019-2020学年度高三数学一轮复习向量系列之平面向量的分解定理 -4

沪教版（上海）高中数学2019-2020学年度高三数学一轮复习向量系列之平面向量分解定理 -4教学目标理解和掌握平面向量的分解定理，能写出任一向量关于给定两不平行的向量的分解式，并能够利用平面向量分解定理去解一些复杂的题。

【解读：主要是让学生会用两个不平行向量表示题目中给定向量。

】知识梳理 1、平面向量分解定理：如果21,e e 是同一平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数21,λλ，使2211e e a λλ+=.我们把不平行的向量21,e e 叫做这一平面内所有向量的一组基.注意：[来源:]（1）基底不共线；（2）将任一向量a 在给出基底1e u r 、2e u u r的条件下进行分解；（3）基底给定时，分解形式唯一，12,λλ是被a ，1e u r ，2e u u r唯一确定的数量几何角度证明：【通过作图举例给学生讲解】如图，在平面内取一点O ，作 OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，OC c =u u u r r，再作直线OA 、OB .设点C 不在直线 OA 和O B 上，过点C 分别作直线 OA 、OB 的平行线，由于向量,a b r r不平行，可知所作两直线分别与直线OB 、OA 有唯一的交点，记为N 、M. 作向量OM u u u u r 、ON u u u r. 因为//OM a u u u u r r ，所以存在唯一的实数 x ，使 OM xa =u u u u r r. 因为//ON b u u u r r ，所以存在唯一的实数 y ，使 ON yb =u u u r r.而四边形 OMCN 是平行四边形，因此OC OM ON xa yb =+=+u u u r u u u u r u u u r r r .即 c xa yb =+r r r.如果点 C 在直线OA 或 OB 上，那么//,c a r r或//c b r r .这时得 0c xa xa b ==+r r r r 或0c yb a yb ==+r r r r . 所以c r 关于a r 、b r的分解式总是确定的.代数角度：证明唯一性：（1）当=时，2100e ⋅+⋅=（2）当0≠a 时，假设1122a e e λλ''=+r r u u r ，则有NMCA B1122e e λλ+u r u u r =1122e e λλ''+r u u r , 111222()()0e e λλλλ''-⋅+-⋅=r u u r r .由于21,e e 不平行，故1122()0,()0λλλλ''-=-=，即1122,λλλλ''==.【老师上课时证明这个定理也可以作图举例，不一定要用代数方法给学生证明】2、重要结论设 OA OB u u u r u u u r、不平行，点P 在AB 上⇔存在实数λμ，使得OP OA OB λμ=+u u u r u u u r u u u r 1()R λμλμ+=∈且，证明：如图，设向量,AP AB PB AB μλ==u u u r u u u r u u u r u u u r ， 1AP PB AB λμ+=⇒+=u u u r u u u r u u u rQ OP OA AP OA AB μ=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r()OA OB OA μ=+-u u u r u u u r u u u r()1OA OB μμ=-+u u u r u u u rOA OB λμ=+u u u r u u u r【,λμ的正负可以给学生讲一下】典例精讲【题目如果过多的话，老师可以筛选一些给学生做】例1. （★★★）如图，1||||==OB OA ，OA 与的夹角为ο120，与OA 的夹角为ο30，5||=，a ρ=，b ρ=，若=μλ+，则μλ+= 。

2019高考一轮复习——上海市各地市11年试题分类大汇编第3部分函数与导数共14页文档

上海市各地市2019-2019学年下学期高考数学最新试题分类大汇编：第3部分函数与导数一、选择题：1．(上海市十三校2019年高三第二次联考理科) “函数)(x f 在],[b a 上为单调函数”是“函数)(x f 在],[b a 上有最大值和最小值”的（ A ）（A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）非充分非必要条件2．(上海市闵行区2019届高三下学期质量调研文科)设函数141()log ()4xf x x =-、2141()log ()4x f x x =-的零点分别为12x x 、，则[答]（ D ）(A) 122x x ≥. (B) 1212x x <<. (C) 121x x =. (D) 1201x x <<.3. (上海市杨浦区2019年4月高三模拟理科)已知⎩⎨⎧≥<--=)1(log )1()3()(x xx ax a x f a 是),(+∞-∞上的增函数，那么a 的取值范围是 ……………………………( D )(A) (1，+∞) ； (B) (0，3)； (C) （1，3）； (D) [32，3）． 4. (上海市卢湾区2019年4月高考模拟理科)已知234101()1234101x x x x f x x =+-+-+⋅⋅⋅+，234101()1234101x x x x g x x =-+-+-⋅⋅⋅-，若函数()f x 有唯一零点1x ，函数()g x 有唯一零点2x ，则有（ B ）A ．12(0,1),(1,2)x x ∈∈B ．12(1,0),(1,2)x x ∈-∈C ．12(0,1),(0,1)x x ∈∈D ．12(1,0),(0,1)x x ∈-∈二、填空题：5．(上海市黄浦区2019年4月高考二模试题理科)函数()f x =是．[10)(0)，，-??6．(上海市黄浦区2019年4月高考二模试题理科)已知函数1()y fx -=是函数1()2(1)x f x x -=≥的反函数，则1()f x -= (要求写明自变量的取值范围)．21log (1)y x x =+?7．(上海市黄浦区2019年4月高考二模试题理科)已知01()m m R <<∈，α是方程210x mx ++=的根，则||α= 1 ．8．(上海市黄浦区2019年4月高考二模试题文科)函数()f x =是．[10)(0)，，-?? 9．(上海市黄浦区2019年4月高考二模试题文科)已知函数1()y fx -=是函数1()2(1)x f x x -=≥的反函数，则1()f x -= (要求写明自变量的取值范围)．21log (1)y x x =+?10．(上海市十校2019-2019学年第二学期高三第二次联考理科)函数22()log (43)log (2)f x x x =---的定义域是___ ．3(,2)411．(上海市十校2019-2019学年第二学期高三第二次联考理科)已知函数21(0)()log (0)x a x f x x x ⎧++≤=⎨>⎩有三个不同零点，则实数a 的取值范围为．[1,0)- 12、(上海市虹口区2019-2019学年第二学期高三教学质量测试理科)关于x 的方程0922=-++a x a x （R a ∈）有唯一的实数根，则=a 3 ．13、(上海市虹口区2019-2019学年第二学期高三教学质量测试理科)定义在R 上的偶函数)(x f ，对任意的R x ∈均有)()4(x f x f =+成立，当]2,0[∈x 时，3)(+=x x f ，则直线29=y 与函数)(x f y =的图像交点中最近两点的距离等于 1 ． 14. (上海市五校2019年联合教学调研理科设f x ()的反函数为1()fx -，若函数f x ()的图像过点(1,2)，且1211fx ()-+=，则x = 。

2019年上海高考·高三数学第一轮复习

高三“三角函数”专题的复习分析与指导一、“三角函数”专题内容分析（一）“三角函数”专题知识体系的梳理 1、地位与价值在教学中，三角函数是描述周期现象的重要数学模型，它具有十分重要的地位，由于其思考性、方法性、技巧性和目的性都较强，对于提高学生数学素养，培养学生思维能力都有很重要的作用。

从三角函数的起源来看，三角函数起源于生活中的天文学，被广泛应用于解决航海通商问题，此后在自动控制、电子领域、工程领域等都有重要意义。

从历年高考的情况来看，三角恒等变换、三角函数的图像和性质、正余弦定理与解三角形等都是高考的热点问题，并常与其他交汇以解答题的形式考查，难度适中。

2、知识网络图 3、核心知识①研究三角函数的概念、图像和性质，其突出特征是具有周期性的函数，尤其是正、余弦函数具有边界和零点；难点是函数()()sin +f x A x k ωϕ=+的图像变换，落实“五点法”画图技能.A 的确定：()()max min =2f x f x A - ；k 的确定：()()max min k=2f x f x +；ω的确定：()20T πωω=> ；ϕ的确定：初始角=ϕω-，与平移单位有关.②三角恒等变换的综合应用，主要应用于两个方面：一是化简函数与三角函数的性质相结合；二是解三角形与正弦定理和余弦定理结合在平面几何图形中求解相关的几何量，解三角形就是有条件的恒等变换.（二）“三角函数”专题中研究的核心问题 1、问题类型①三角函数的图像和性质综合问题，常涉及三角恒等变换、图像变换、周期性、单调性、对称性和最值等；②解三角形问题，只要涉及两角和与差的正、余弦公式、二倍角公式、正弦定理和余弦定理等； ③三角函数性质与解三角形的综合问题，其本质是解决有条件的三角恒等变换问题，因此注意角的范围对变形过程的影响. 2、问题研究与解决①三角函数求值与化简的常用方法：弦切互化：包括“切割化弦”、“齐次式化切”等；和积互化：包括“平方关系”、“降幂公式”和利用()2sin cos 12sin cos x x x x ±=± 进行变形转化；巧用“1”的变换：22221sin cos sec tan tan (4)πθθθθ=+=-==②转化为与三角函数有关的基本类型：sin y a x b =+ 设sin t x =，[]1,1t ∈- 转化为一次函数；sin cos y a x b x c =++ 借助辅助角公式转化为)y x c ϕ=++； 2sin sin y a x b x c =++ 设sin t x =，[]1,1t ∈- 转化为二次函数（闭区间内）；sin cos (sin cos )y a x x b x x c =+±+ 设sin cos t x x =±，t ⎡∈⎣则21sin cos =2t x x -±，转化为二次函数；tan cot y a x b x =+，设tan t x =，当0a b >时可用均值定理；③函数()()sin f x A x ωϕ=+的奇偶性、对称性及图像变换对称轴一定经过图像的最高点或最低点，对称中心一定与函数零点有关；由()sin f x x =的图像通过变换得到()()sin f x A x ωϕ=+的图像有两种途径：“先平移后伸缩”或“先伸缩后平移”，可用“五点法”作为突破口.④通过三角恒等变换解决三角求值问题，做到三变：“变角——变名——变式” 给角求值：关键是转化成特殊角或消去非特殊角；给值求值：现变同角再求值；给值求角：转化为“给值求值”，注意角的范围. ⑤利用正、余弦定理解三角形的两种途径：“化边为角”通过三角恒等变换得出三角形内角之间的关系； “化角为边”通过解方程求边；都要注意三角函数值的符号与角的范围，防止出现增解、漏解.（三）“三角函数”专题蕴含的核心观点、思想和方法 1、学生学习三角函数的主要困难 2、三角函数知识的核心观点张景中院士认为，在数学课程中三角函数至关重要，它是几何与代数的一座桥梁，沟通初等数学与高等数学的一条通道，函数、向量、坐标、复数等许多重要数学知识与三角有关，大量实际问题的解决要用到三角知识.① 强调三角函数中的函数思想，三角函数已经不仅仅是解三角形的工具，而是一个重要的函数模型； ② 数形结合解决三角函数的图形变换；③ 加强三角函数的应用意识，特别是用于解三角形问题. 3、核心思想方法与核心技能“三种思想”+“三个技能”：函数与方程的思想、化归与转化的思想、数形结合思想；运算技能：对三角函数解析式的恒等变形以及转化为sin()y A x ωϕ=+型函数的运算，正余弦定理公式的合理选择和化简运算等；作图技能：根据任务需求绘制相应要求精度的三角函数图象，五点法画图等；推理技能：依据三角函数解析式的结构进行推理判断运算方向，以及对三角形形状的判断.二、“三角函数”高考的典型考题结构（一）近年北京高考题中三角函数考查的内容试题特点：试题总体比较平稳，不管是位置还是考查的知识点和难度都是比较稳定的，高考降低了复杂的三角恒等变形公式的考查，回归到双基和通性通法的考查上，文科基本小题考解三角形，大题就是用三角公式变形为正弦型函数，再讨论它的性质（特殊值、周期、值域）。

上海市2020届高三数学一轮复习函数典型题专项试题及评分标准

上海市2020届高三数学一轮复习函数典型题专项试题函数一、选择、填空题1、（上海市封浜中学2019届高三上学期期中）方程的解__________．2、（静安区市西中学2019届高三上学期期中）设常数a ∈R ，若函数2()log ()f x x a =+的反函数图像经过点(3,1)，则a =3、（七宝中学2019届高三上学期期中）已知函数34()f x x =，则的解集是________4、（华东师范大学第二附中2019届高三10月考）设函数f （x ）是奇函数，当x ＜0时，f （x ）=3x +x ，则当x ＞0时，f （x ）=______5、（2019届崇明区高三二模）设函数2()f x x =（0x >）的反函数为1()y f x -=，则1(4)f -=6、（2019届黄浦区高三二模）若函数221()lg ||1x x f x x m x ⎧-≤=⎨->⎩在区间[0,)+∞上单调递增，则实数m 的取值范围为7、（2019届闵行松江区高三二模）若函数||||2()4(2||9)29||18x x f x x x x =+-+-+有零点，则其所有零点的集合为（用列举法表示）8、（2019届浦东新区高三二模）已知2()22f x x x b =++是定义在[1,0]-上的函数，若[()]0f f x ≤在定义域上恒成立，而且存在实数0x 满足：00[()]f f x x =且00()f x x ≠，则实数b 的取值范围是9、（2019届青浦区高三二模）已知a 、b 、c 都是实数，若函数2()1x x af x b a x c x⎧≤⎪=⎨+<<⎪⎩的反函数的定义域是(,)-∞+∞，则c 的所有取值构成的集合是1)21(log 2-=-x =x10、（2019届杨浦区高三二模）若幂函数()k f x x =的图像过点(4,2)，则(9)f = 11、（2019届嘉定长宁区高三二模）设函数()f x (其中a 为常数)的反函数为()1f x -，若函数()1f x -的图像经过点()0,1，则方程()12f x -=的解为12、（2019届嘉定长宁区高三二模）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当01x ≤≤时，()()2log f x x a =+，若对于x 属于[]0,1都有2211log 32()f x tx -++≥-，则实数t 的取值范围为13、（2019届普陀区高三二模）已知函数f （x ）＝，若存在唯一的整数x ，使得不等式＞0成立，则实数a 的取值范围是．14、（2019届徐汇区高三二模）已知点(2,5)在函数()1x f x a =+（0a >且1a ≠）的图像上，则()f x 的反函数1()f x -=15、（2019届徐汇区高三二模）已知函数4()1f x x x =+-，若存在121,,,[,4]4n x x x ⋅⋅⋅∈使得121()()()()n n f x f x f x f x -++⋅⋅⋅+=，则正整数n 的最大值是16、（浦东新区2019届高三一模）若函数()y f x =的图像恒过点(0,1)，则函数1()3y f x -=+的图像一定经过定点17、（松江区2019届高三一模）已知函数()y f x =的图像与函数x y a =(0,1)a a >≠的图像关于直线y x =对称，且点(4,2)P 在函数()y f x =的图像上，则实数a = 18、（杨浦区2019届高三一模）下列函数中既是奇函数，又在区间[1,1]-上单调递减的是（）A. ()arcsin f x x =B. ()lg ||f x x =C. ()f x x =-D. ()cos f x x = 19、（闵行区2019届高三一模）已知函数()|1|(1)f x x x =-+，[,]x a b ∈的值域为[0,8]，则a b +的取值范围是20、（虹口区2019届高三一模）函数8()f x x x=+，[2,8)x ∈的值域为21、（虹口区2019届高三一模）已知函数2()1f x ax x =-+，1,1(),111,1x g x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，若函数()()y f x g x =-恰有两个零点，则实数a 的取值范围为（） A. (0,)+∞ B. (,0)(0,1)-∞ C. 1(,)(1,)2-∞-+∞ D. (,0)(0,2)-∞ 22、（浦东新区2019届高三一模）已知函数()2||1f x x x a =+-有三个不同的零点，则实数a 的取值范围为23、（普陀区2019届高三一模）设11{,,1,2,3}32α∈--，若()f x x α=为偶函数，则α= 24、（松江区2019届高三一模）已知函数()f x 的定义域为R ，且()()1f x f x ⋅-=和(1)(1)4f x f x +⋅-=对任意的x ∈R 都成立，若当[0,1]x ∈时，()f x 的值域为[1,2]，则当[100,100]x ∈-时，函数()f x 的值域为25、（金山区2019届高三一模）已知函数52|log (1)|1()(2)21x x f x x x -<⎧⎪=⎨--+≥⎪⎩，则方程1(2)f x a x+-=（a ∈R ）的实数根个数不可能为（）A. 5个B. 6个C. 7个D. 8个参考答案：一、选择、填空题1、－12、73、4、3x x --5、26、910m ≤7、{2,1,1,2}-- 8、13[,)28-- 9、{0} 10、311、1x = 12、[]0,3 13、[0，3]∪[4，15]． 14、2log (1)x -(1)x > 15、答案：6解析：由4()1f x x x=+-，得：24'()10f x x =-=，得：x ＝2， 1[,2]4x ∈时，()f x 递减，(2,4]x ∈时，()f x 递增， 161()44f =，(2)f ＝3，(4)f ＝4，所以，61()[3,]4f x ∈ 因为121()()()()n n f x f x f x f x -=++⋅⋅⋅+所以，613(1)()4n n f x -≤≤，即7312n ≤，即正整数n 的最大值是616、(1,3) 17、2 18、C 19、[2,4] 20、 21、B 22、(,-∞ 23、－2 24、100100[2,2]- 25、A 二、解答题1、（上海市封浜中学2019届高三上学期期中）已知函数2|1|)(--+=x m x x f ，0>m 且1)1(-=f ．（1）求实数m 的值；（2）判断函数)(x f y =在区间]1,(--∞m 上的单调性，并用函数单调性的定义证明；（3）求实数k 的取值范围，使得关于x 的方程kx x f =)(分别为：① 有且仅有一个实数解；② 有两个不同的实数解；③ 有三个不同的实数解．2、（2019届青浦区高三二模）已知a ∈R ，函数2()2x xaf x a-=+. （1）求a 的值，使得()f x 为奇函数；（2）若0a ≥且2()3a f x -<对任意x ∈R 都成立，求a 的取值范围. 3、（2019届宝山区高三二模）对年利率为r 的连续复利，要在x 年后达到本利和A ，则现在投资值为rxB Ae -=，e 是自然对数的底数；如果项目P 的投资年利率为6%r =的连续复利.（1）现在投资5万元，写出满n 年的本利和，并求满10年的本利和；（精确到0.1万元）（2）一个家庭为刚出生的孩子设立创业基金，若每年初一次性给项目P 投资2万元，那么，至少满多少年基金共有本利和超过一百万元？（精确到1年）. 4、（虹口区2019届高三一模）已知函数16()1x f x a a+=-+(0a >且1)a ≠是定义在R 上的奇函数.（1）求实数a 的值及函数()f x 的值域；（2）若不等式()33x t f x ⋅≥-在[1,2]x ∈上恒成立，求实数t 的取值范围.5、（金山区2019届高三一模）设函数()21x f x =-的反函数为1()f x -，4()log (31)g x x =+.（1）若1()()f x g x -≤，求x 的取值范围D ；（2）在（1）的条件下，设11()()()2H x g x f x -=-，当x D ∈时，函数()H x 的图像与直线y a =有公共点，求实数a 的取值范围.6、（松江区2019届高三一模）已知函数2()21xf x a =-+（常数a ∈R ）（1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）当()f x 为奇函数时，若对任意的[2,3]x ∈，都有()2xmf x ≥成立，求m 的最大值.7、（徐汇区2019届高三一模）已知函数2(),2ax f x x -=+其中.a R ∈ （1）解关于x 的不等式()1f x ≤-；（2）求a 的取值范围，使()f x 在区间(0,)+∞上是单调减函数. 8、（奉贤区2018高三上期末）已知函数()()()x x x f --+=3log 3log 22 （1）判断函数的奇偶性；（2）()1sin =αf ，求α的值． 9、（青浦区2018高三二模）设函数()2()5f x ax a x=-+∈R ．（1）求函数的零点；（2）当3a =时，求证：()f x 在区间(),1-∞-上单调递减；（3）若对任意的正实数a ，总存在[]01,2x ∈，使得0()f x m ≥，求实数m 的取值范围．10、（杨浦区2018高三上期末）已知函数1()ln1xf x x+=-的定义域为集合A ，集合(,1)B a a =+，且B A ⊆.（1）求实数a 的取值范围；（2）求证：函数()f x 是奇函数但不是偶函数.参考答案：二、解答题1、解：（1）由1)1(-=f ，得11||-=-m ，1||=m ，∵ 0>m ，∴ 1=m ． ……（4分）（2）由（1），1=m ，从而2||)(-=x x x f ，只需研究)(x f 在]0,(-∞上的单调性．当]0,(-∞∈x 时，2)(--=x xx f ．设]0,(,21-∞∈x x ，且21x x <，则)2)(2()(222)()(2121221121---=-----=-x x x x x x x x x f x f ， …（6分）∵ 021≤<x x ，∴ 021<-x x ，021<-x ，022<-x ， ∴ 0)()(21<-x f x f ，即)()(21x f x f <．∴ 函数)(x f 在区间]0,(-∞上是单调递增函数． ……（10分）（3）原方程即为kx x x =-2|| ……① 0=x 恒为方程①的一个解． ……（11分）若0<x 时方程①有解，则kx x x =--2，解得kx 12-=，由012<-k，得 210<<k ； ……（13分）若0>x 且2≠x 时方程①有解，则kx x x =-2，解得kx 12+=，由012>+k且212≠+k，得21-<k 或0>k ． ……（15分）综上可得，当⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈0,21k 时，方程kx x f =)(有且仅有一个解；当⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞--∞∈,21)21,( k 时，方程kx x f =)(有两个不同解；当⎪⎭⎫⎝⎛∈21,0k 时，方程kx x f =)(有三个不同解． ……（18分）2、（1）f （－x ）＝－f （x ），22()2x x a af x a +-=+212x a a =-+212xaa --+＝212x a a -++， 2x a a +＋2xaa-+＝1， 22222122x x x x a a a a a a a --+++=+++，解得：1a =±3、【答案】（1）9.1万元；（2）至少满23年基金共有本利和超过一百万元. 【解析】（1）由题意：6%6%55n n Ae A e -=⇒=⋅；当10n =时，本利和为6%100.6559.1A e e ⋅=⋅=⋅≈（万元）；（2）由题意：2B =；设n 年后共有本利和超过一百万元，则n 年后：第一年年初的投资所得的为：6%12n A e =⋅；第二年年初的投资所得的为：()6%-122n A e =⋅；以此类推：第n 年年初的投资所得的为：6%2n A e =⋅；则满n 年后，基金共有本利和：()()6%6%16%6%126%122221nn n n e A A A e e e e --+++=⋅+⋅++⋅=⋅-；由题意：()6%6%6%6%6%150502100log 122.71ne e e n n e e -⎛⎫-⋅⋅>⇒>-⇒> ⎪-⎝⎭；故至少满23年基金共有本利和超过一百万元.4、5、6、解：（1）若)(x f 为奇函数，必有(0)10f a =-= 得1a =，……………………2分当1a =时，221()12121x x x f x -=-=++，2112()()2121x xx x f x f x -----===-++∴当且仅当1a =时，)(x f 为奇函数 ………………………4分又2(1)3f a =-，4(1)3f a -=-，∴对任意实数a ，都有(1)(1)f f -≠∴)(x f 不可能是偶函数 ………………………6分（2）由条件可得：222()2(1)(21)32121x x xx x m f x ≤⋅=-=++-++恒成立， ……8分记21x t =+，则由[2,3]x ∈ 得[5,9]t ∈， ………………………10分此时函数2()3g t t t=+-在[5,9]t ∈上单调递增， ………………………12分所以()g t 的最小值是12(5)5g =， ………………………13分所以125m ≤ ，即m 的最大值是125 ………………………14分 7、解：（1）不等式()1f x ≤-即为2(1)10.22ax a xx x -+≤-⇔≤++……….3分当1a <-时，不等式解集为[)(,2)0,-∞-+∞； ……………….4分当1a =-时，不等式解集为(,2)(2,)-∞--+∞； ……………….5分当1a >-时，不等式解集为(]2,0.- ……………….6分（2）任取120,x x <<则12121222()()22ax ax f x f x x x ---=-=++12122(1)(),(2)(2)a x x x x +-++……….9分120x x <<12120,20,20,x x x x ∴-<+>+> ……………….11分所以要使()f x 在(0,)+∞递减即12()()0,f x f x ->只要10a +<即1,a <- ………13分故当1a <-时，()f x 在区间(0,)+∞上是单调减函数 ……………….14分 8、解：（1）定义域()3,3- 3分关于原点对称 1分 ()()()()22log 3log 3f x x x f x -=-+-+=- 2分所以()f x 是奇函数 2分（2）()3sin 3sin 2sin log 1f ααα+-== 2分sin 1α= 2分 2,2k k Z παπ=+∈ 2分9、解：（1）①当0a =时，函数的零点为25x =-； ②当2508a a ≥-≠且时，函数的零点是x =③当258a <-时，函数无零点；（2）当3a =时，2()3+5f x x x =-，令2()3+5g x x x=- 任取12,(,1)x x ∈-∞-，且12x x <，则()211212121212()2322()()3535x x x x g x g x x x x x x x -+⎛⎫-=-+--+= ⎪⎝⎭ 因为12x x <，12,(,1)x x ∈-∞-，所以210x x ->，121x x >，从而()211212()230x x x x x x -+>即1212()()0()()g x g x g x g x ->⇒>故()g x 在区间(),1-∞-上的单调递减当(),1x ∈-∞-时，()()6,g x ∈+∞22()3+5=3+5()f x x x g x x x∴=--= 即当3a =时，()f x 在区间(),1-∞-上单调递减；（3）对任意的正实数a ，存在[]01,2x ∈使得0()f x m ≥，即0max ()f x m ≥，当()0,x ∈+∞时，255,022()+5255,2ax x x a f x ax x ax x xa ⎧-+<<⎪⎪=-=⎨⎪-+-≥⎪⎩ 即()f x在区间⎛ ⎝⎭上单调递减，在区间52a ⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增；所以{}{}0max ()max (1),(2)max 7,62f x f f a a ==--，又由于0a >，{}8max 7,623a a --≥，所以83m ≤．10、解：（1）令101x x +>-，解得11x -<<，所以(1,1)A =-， ……3分因为B A ⊆，所以111a a ≥-⎧⎨+≤⎩，解得10a -≤≤，即实数a 的取值范围是[1,0]- ……6分（2）函数()f x 的定义域(1,1)A =-，定义域关于原点对称 ……8分1()()ln 1()x f x x ---=+-1111ln ln ln ()111x x x f x x x x -+--⎛⎫===-=- ⎪-++⎝⎭ ……12分而1()ln32f =，11()ln 23f -=，所以11()()22f f -≠ ……13分所以函数()f x 是奇函数但不是偶函数. ……14分。

上海市2020届高三数学一轮复习典型题专项训练：集合与常用逻辑用语_最新修正版

上海市2020届高三数学一轮复习典型题专项训练集合与常用逻辑用语一、集合1、（上海市封浜中学2019届高三上学期期中）设集合},1|2|{R ∈<-=x x x A ，集合Z =B ，则=B A _____________．2、（静安区市西中学2019届高三上学期期中）已知集合{|1}A x x =≤，集合{|}B t t a =≥，且A B =R ，则a 的取值范围为3、（七宝中学2019届高三上学期期中）集合A ＝｛0，1，2018｝的真子集有________个4、（松江区2018高三上期末）已知集合{|03}A x x =<<，2{|4}B x x =≥，则AB = ▲ ．5、（2019届崇明区高三二模）已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2,3,4}A =，{1,3,5}B =，则()U A B =ð6、（2019届闵行松江区高三二模）已知集合{||1|1}A x x =-<，{|1}B x x =>，则A B =7、（2019届浦东新区高三二模）若集合{|5}A x x =>，集合{|7}B x x =≤，则A B =8、（2019届青浦区高三二模）已知{|}A y y x ==，2{|log }B y y x ==，则AB =（）A. (0,)+∞B. [0,)+∞C. {2}D. {(4,2)}9、（2019届宝山区高三二模）已知i 为虚数单位，则集合{}Z n i x x A n ∈==;中元素的个数为_____________10、（2019届嘉定长宁区高三二模）已知集合{}1,2,3,4A =，{}25,B x x x R =<<∈，则A B =11、（2019届普陀区高三二模）已知集合A ＝{x ||x ﹣1|＞3}，U ＝R ，则∁U A ＝． 12、（2019届徐汇区高三二模）设全集U =R ，若集合{1,2,3,4}A =，{|23}B x x =≤≤，则U A B =ð13、（奉贤区2019届高三一模）已知{|31}x A x =<，{|lg(1)}B x y x ==+，则AB =14、（虹口区2019届高三一模）设全集U =R ，若{2,1,0,1,2}A =--，3{|log (1)}B x y x ==-，则()U AB =ð15、（松江区2019届高三一模）设集合{|1}A x x =>，{|0}3xB x x =<-，则A B = 16、（闵行区2019届高三一模）已知全集U =R ，集合2{|30}A x x x =-≥，则U A =ð17、（静安区2018高三二模）已知集合{1,3,5,7,9}A =，{0,1,2,3,4,5}B =，则图中阴影部分集合用列举法表示的结果是18、（静安区2018高三二模）已知集合2{(,)|()20}A x y x y x y =+++-≤，222{(,)|(2)(1)}2aB x y x a y a a =-+--≤-，若AB ≠∅，则实数a 取值范围为19、（普陀区2018高三二模）设集合1|,2xM y y x R ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，()()()1|1112,121N y y x m x x m ⎧⎫⎛⎫==+-+--≤≤⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎩⎭，若N M ⊆，则实数m 的取值范围是 .参考答案：一、集合1、}2{2、1a ≤3、74、[)2,3 5、{2,4,5} 6、(1,2) 7、(5,7] 8、B 9、4 10、{}3,4 11、[﹣2，4] 12、{1,4} 13、R 14、{1,2} 15、(1,3)16、(0,3) 17、{0,2,4} 18、19109[,0]14+- 19、(1,0)-二、常用逻辑用语1、（上海市封浜中学2019届高三上学期期中）若集合}4,3,2,1{=P ，},50{R x x x Q ∈<<=，则“P x ∈”是“Q x ∈”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2、（静安区市西中学2019届高三上学期期中）若0a >，0b >，则x y a b xy ab +>+⎧⎨>⎩是x ay b >⎧⎨>⎩成立的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件 3、（七宝中学2019届高三上学期期中）“函数存在反函数”是“函数在上为增函数”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4、（华东师范大学第二附属中学2019届高三10月考试）设集合A=，B=，则“AB=R”是“a =1”的______条件（填写：充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件之一）5、（2019届崇明区高三二模）对于实数x ，“||1x <”是“1x <”的（）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要6、（2019届黄浦区高三二模）设x ∈R ，“0x >”是“(1)0x x +>”的（） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件 7、（2019届青浦区高三二模）已知△ABC 是斜三角形，则“A B >”是“|t a n ||t a n |A B >”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件8、（2019届杨浦区高三二模）已知命题α：“双曲线的方程为222x y a -=（0a >）”和命题β：“双曲线的两条渐近线夹角为2π”，则α是β的（） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件9、（2019届宝山区高三二模）设121212(,),(,),(,)A a a B b b C c c 点均非原点，则“OC 能表示成OA 和OB 的线性组合”是“方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩有唯一解”的（）A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 10、（2019届嘉定长宁区高三二模）已知x R ∈，则“11x>”是“1x <”的（） A)充分非必要条件(B)必要非充分条件 (C)充要条件(D)既非充分又非必要条件11、（2019届徐汇区高三二模）设*n ∈N ，则“数列{}n a 为等比数列”是“数列{}n a 满足312n n n n a a a a +++⋅=⋅”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件 12、（宝山区2019届高三一模）“,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦”是“sin(arcsin )x x =”的（）条件．（A ）充分非必要．（B ）必要非充分．（C ）充要．（D ）既非充分又非必要．13、（奉贤区2019届高三一模）若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件14、（金山区2019届高三一模）给定空间中的直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件15、（青浦区2019届高三一模）“4n =”是“1()n x x+的二项展开式存在常数项”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 16、（徐汇区2019届高三一模）设R θ∈，则“=6πθ”是“1sin =2θ”的（）（A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）既非充分也非必要条件17、（黄浦区2018高三二模）在空间中，“直线m ⊥平面α”是“直线m 与平面α内无穷多条直线都垂直 ”的答( )． (A )充分非必要条件 (B )必要非充分条件 (C )充要条件 (D )非充分非必要条件18、（普陀区2018高三二模）设n S 是无穷等差数列{}n a 的前n 项和（*N n ∈），则“lim n n S →∞存在”是“该数列公差0d =”的 ……………………………………………………………………………（）)A (充分非必要条件 ()B 必要非充分条件()C 充要条件 ()D 既非充分也非必要条件19、（青浦区2018高三二模）设,αβ是两个不同的平面，b 是直线且b β⊂≠．则“b α⊥”是“αβ⊥”的（）．（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分又不必要条件20、（青浦区2018高三上期末）“a b >” 是“22a b ab +⎛⎫> ⎪⎝⎭”成立的……………………（）．（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分又不必要条件参考答案：二、常用逻辑用语1、A2、B3、B4、必要不充分条件5、A6、A7、C8、A9、B10、A11、A12、B13、A14、B15、A16、A17、A18、A19、A20、A。

沪教版高三数学第一轮复习集合与命题单元教学质量评估卷

上海市高中数学教学质量评估卷集合与命题(时间：120分钟，满分120分) 姓名_________ 得分_________一、选择题（4×12=48分）1、已知集合{}{}2,1,,0==N x M ，若{}2=⋂N M ，则=⋃N M （） A ．{}2,1,,0xB ．{}2,1,0,2C ．{}2,1,0D ．不能确定2、已知集合{}{}4),(,2),(=-==+=y x y x N y x y x M ，那么集合N M ⋂为（）A ．1,3-==y xB ．)1,3(-C ．{}1,3-D ．{})1,3(-3、设}4|{<=x x M ，}4|{2<=x x N ，则( )A ．M ⊆NB ．N ⊆MC ．M ⊆R C ND ．N ⊆R C M 4、设不等式b a x <-的解集为{}21<<-x x ，则a 与b 的值为（） A ．3,1==b aB ．3,1=-=b aC ．3,1-=-=b aD ．23,21==b a 5、已知A 与B 是两个命题，如果A 是B 的充分不必要条件，那么A 是B 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6、⎩⎨⎧>>3321x x 是⎩⎨⎧>>+962121x x x x 成立的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7、设集合M =},412|{Z k k x x ∈+=，N =},214|{Z k k x x ∈+=，则( ) A .M =N B.M ⊆N C.M ⊇N D.M N =Φ8、已知全集U {}8,7,6,5,4,3,2,1=，集合A ={}5,4,3，B ={}6,3,1，那么集合C ={}8,7,2是（）A ．BC UB ．B A ⋂C ．)()(B C A C U U ⋂D ．)()(B C A C U U ⋃9、已知集合}3,1,{2-+=a a M ,}1,12,3{2+--=a a a N , 若}3{-=N M , 则a 的值是( )A .-1 B.0 C.1 D.210、对任意实数x , 若不等式k x x >+++|1||2|恒成立, 则实数k 的取值范围是 ( ) A.k ≥1 B.k >1 C 、k ≤1 D 、k <111、设命题甲:0122>++ax ax 的解集是实数集R;命题乙:10<<a ,则命题甲是命题乙成立的 ( )A . 充分非必要条件 B.必要非充分条件 C . 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 12、二次不等式02>++c bx ax 的解集为全体实数的条件是（）A ．⎩⎨⎧>∆>0aB ．⎩⎨⎧<∆>0aC ．⎩⎨⎧>∆<0aD ．⎩⎨⎧<∆<0a二、填空题（5×5=25分）1、若不等式02<-ax x 的解集是{}10<<x x ，则=a2、已知全集U {}5,4,3,2,1=，A {}3,1=，B {}4,3,2=，那么=⋃)(B C A U 3、已知集合A ＝{x |x ≤1}，B ＝{x |x ≥a }，且A ∪B ＝R ，则实数a 的取值范围是________． 4、已知{}2,2,1xx ∈，则实数x =5.设二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f ，若)()(21x f x f =（其中21x x ≠），则)2(21x x f +等于三、解答题（47分）1、设全集U ＝R, 集合A=｛x| x 2- x -6<0｝, B=｛x|| x|= y+2, y ∈A ｝, 求C U B, A ∩B, A ∪B, A ∪(C U B), A ∩(C U B), C U (A ∪B), (C U A)∩(C U B).（7分）2、若不等式022>++bx ax 的解集为)31,21(-，求b a +的值（7分）3、已知集合A {}0652=+-=x x x ，B {}01=+mx x ，且A B A =⋃，求实数m 的值组成的集合。

2019年上海高考数学·第一轮复习讲义第15讲等比数列

2019年上海高考数学·第一轮复习（第15讲等比数列）[基础篇]一等比数列1．等比数列的定义：)()(＝q （q 为不等于零的常数）． 2．等比数列的通项公式：⑴ a n ＝a 1q n －1 ⑵ a n ＝a m q n －m3．等比数列的前n 项和公式：S n ＝ ⎪⎩⎪⎨⎧=≠)1()1(q q 4．等比中项：如果a ，b ，c 成等比数列，那么b 叫做a 与c 的等比中项，即b 2＝（或b ＝）．5．等比数列{a n }的几个重要性质：⑴ m ，n ，p ，q ∈N *，若m ＋n ＝p ＋q ，则．⑵ S n 是等比数列{a n }的前n 项和且S n ≠0，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成数列．⑶ 若等比数列{a n }的前n 项和S n 满足{S n }是等差数列，则{a n }的公比q ＝．二等差数列、等比数列常用综合性质1．等差数列的常用性质：⑴ m ，n ，p ，r ∈N *，若m ＋n ＝p ＋r ，则有．⑵ {a n }是等差数列，则{a kn } (k ∈N *，k 为常数)是数列．⑶ S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 构成数列．2．在等差数列中，求S n 的最大(小)值，关键是找出某一项，使这一项及它前面的项皆取正(负)值或0，而它后面的各项皆取负(正)值．⑴ a 1> 0，d <0时，解不等式组 ⎩⎨⎧<≥+001n n a a 可解得S n 达到最值时n 的值． ⑵ a 1<0，d>0时，解不等式组 ⎨可解得S n 达到最小值时n 的值．3．等比数列的常用性质：⑴ m ，n ，p ，r ∈N *，若m ＋n ＝p ＋r ，则有．⑵ {a n }是等比数列，则{a 2n }、{na 1}是数列． ⑶ 若S n ≠0，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 构成数列．[技能篇]题型一：等比数列定义例题1-2 已知等比数列{}n a 的前三项依次为1a -，1a +，4a +，则n a =A ．342n ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭B ．243n ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭C ．1342n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭D ．1243n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭题型二：等比中项例题2-1 方程2640x x -+=的两根的等比中项是（）A ．3B ．2±C ．D ．2例题2-2 已知数列{}n a 是等比数列,且>0n a ,n N ∈*,354657281a a a a a a ++=，则46a a +=_______ 例题2-3 各项均为正数的等比数列{}n a 中，569a a ⋅=，则3132310log log log a a a +++=题型三：“方程法”求通项例题3-1 （1）已知{}n a 为等比数列，32a =，24203a a +=，求{}n a 的通项公式。

上海市高三数学第一轮复习集合与命题集合的运算

课题：集合的运算教学目标：理解交集、并集、全集、补集的概念，掌握集合的运算性质，能利用数轴文氏图进行集合的运算，进一步掌握集合问题的常规处理方法．教学重点：交集、并集、补集的求法，集合语言、集合思想的运用．知识点归纳： 1．有关概念①交集：}{B x A x x B A ∈∈=且ABA BA B②并集：{}AB x x A x B =∈∈或ABABA B③全集：如果集合S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，通常用U 表示。

④补集：}{A x U x x A C U ∉∈=且AU C U A2．常用运算性质及一些重要结论 ①A A A A AB B A =∅=∅= ②A A A A A A B B A =∅==③C B A C B A C B A ==)()( C B A C B A C B A ==)()( ④)()()(C A B A C B A = )()()(C A B A C B A = ⑤U U A C A A C A U =∅= ⑥B A B B A B A A B A ⊆⇔=⊆⇔= ⑦)()()()()()(B C A C B A C B C A C B A C U U U U U U == ⑧)()()()(B A Card B Card A Card B A Card -+=方法归纳：1．求交集、并集、补集，要充分发挥数轴或文氏图的作用；2．含参数的问题，要有讨论的意识，分类讨论时要防止在空集上出问题； 3．集合的化简是实施运算的前提，等价转化常是顺利解题的关键。

例题选讲：例1：设{}{}24,21,,9,5,1A a a B a a =--=--，已知{}9AB =，求a 的值。

例2：设{}240A x x x =+=，{}222(1)10B x x a x a =+++-=，（1）若A B B =，求a 的值；（2）若A B B =，求a 的值。

沪教版(上海)高中数学2019-2020学年度高三数学一轮复习其他系列之线性规划②

沪教版（上海）高中数学2019-2020学年度高三数学一轮复习其他系列之线性规划②在有限的人力、有限的设备、有限的物资等条件下，如何获得最大的效益，这就需要进行规划.反应在数学上，就是要在某种约束条件下，寻求目标函数的最优解.线性规划是一种比较简单的规划，具有广泛的应用. 教学目标1. 会用二元一次不等式表示平面区域，解决简单的问题；2. 初步掌握简单的线性规划问题的解法；知识梳理 1. 线性规划的概念线性规划是指在线性约束条件下求目标函数的最值，这里的线性约束条件是指 2. 可行解满足线性约束条件的解(,)x y 叫做可行解. 3. 可行域所有可行解表示的平面区域称为可行域，画可行域的方法是“直线定界，特殊点定域”. 4. 简单线性规划的图解法用图解法解简单的线性规划可分为三个步骤：（1）画出可行域；（2）作出目标函数的等值线；（3）求出最值；典例精讲【例题讲解中要注意：1.不要直接画出可行域，要动手与学生一起或让学生单独画出可行域；2.要讲清楚目标函数的最值为什么可以转化为截距的最值问题.】例1. (★★★)在平面直角坐标系xOy ，已知平面区域{(,)|1,A x y x y =+≤且0,0}x y ≥≥，则平面区域{(,)|(,)}B x y x y x y A =+-∈的面积为（）A ．2B ．1C ．12 D ．14分析：将x y +和x y -看成整体，设u x yv x y =+⎧⎨=-⎩，由题意列出关于,u v的约束条件，画出区域求面积即可．解：令u x y v x y =+⎧⎨=-⎩，∴100u u v u v ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩，作出区域是等腰直角三角形，可求出面积1212s =⨯⨯. 选B.例2. (★★★)在平面直角坐标系中，若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥-+010101x y ax y x (a 为常数)所表示的平面区域的面积为2，则a的值为( ).A 、-5B 、1C 、2D 、3【本题属于含参数的线性规划问题，有一定难度.】解：可行域如图，根据约束条件先作出1010x y x +-≥-≤与所表示的平面区域，然后再去处理含参数的二元一次不等式10ax y -+=，即1y ax =+，则直线恒过(0,1)A ，假设1y ax =+所表示的直线为L ，与1x =交于C ，过A 作BC 垂线交BC 于D ，由ABC ∆的面积为2，则4BC =，所以(1,4)C ，因为C 在L 上，于是由41a =+,得3a =，则选D.例3. (★★★)将甲、乙两种长短不同的钢管截成A 、B 、C 三种规格，每根钢管可同时截得三种规格的短钢管的根数如下表所示：A 规格B 规格C 规格甲种钢管 2 1 1 乙种钢管123现在需要A 、B 、C 三种规格的钢管分别为13、16、18根，问应分别截甲、乙两种钢管各多少根，才能使材料利用率最高？解：设截甲、乙两种钢管分别为x 根、y 根，z x y =+，依题意得xyA BCDLx+y-1=0x=1图52213316418,*.x y x y x y x y N +≥⎧⎪+≥⎪⎨+≥⎪⎪∈⎩ 作可行域，由图知，当直线x y z +=过点A 时，z 为最小.由418,316x y x y +=⎧⎨+=⎩得3811,4611x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 所以点3846(,).1111A 因为,*x y N ∈，在可行域内与点A 邻近的整点有(4,4),(4,5).显然(4,4)是最优解，且min 8z =.故分别截取甲、乙两种钢管各4根，才能使材料利用率最高. 【（1）解线性规划应用题的一般步骤：① 设出未知数；② 列出约束条件（要注意考虑数据、变量、不等式的实际含义及计量单位的统一）； ③ 建立目标函数； ④ 求最优解．（2）若实际问题要求的最优解是整数解,而我们利用图解法得到的解为非整数解(近似解),应作适当的调整．】课堂检测1. (★★)已知实数,x y 满足约束条件110x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则其围成的平面区域的面积为（）A ．8 B.4 C.2 D.1 【画出约束条件表示的可行域，然后求出可行域的面积即可．】解：因为实数,x y 满足约束条件110x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，所以它表示的可行域为：则其围成的平面区域的面积为：1212s =⨯⨯；故选D ． 2. (★★)已知实数x 、y 满足条件490103x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩则3x y -的最大值为________.解：-13.(★★★)某班举行晚会，布置会场要制作“中国结”，班长购买了甲、乙两种颜色不同的彩绳，把它们截成A、B、C三种规格.甲种彩绳每根8元，乙种彩绳每根6元，已知每根彩绳可同时截得三种规格彩绳的根数如下表所示：A规格B规格C规格甲种彩绳 2 1 1乙种彩绳 1 2 3今需要A、B、C三种规格的彩绳各15、18、27根，问各截这两种彩绳多少根，可得所需三种规格彩绳且花费最少？解：设需购买甲种彩绳x根、乙种彩绳y根，共花费z元,则215218,327,x yx yx yx y N+≥⎧⎪+≥⎪⎨+≥⎪⎪∈⎩且86z x y=+.作可行域，由图可知，直线l经过可行域内的点A时，z最小.由215,327x yx y+=⎧⎨+=⎩得3.6,7.8xy=⎧⎨=⎩所以点(3.6,7.8)A.因为,x y N∈，在可行域内与点A邻近的整点有(3,9),(4,8).显然(3,9)是最优解，且min 78z=.答：班长应购买3根甲种彩绳、9根乙种彩绳，可使花费最少.回顾总结1.解线性规划应用题的一般步骤：①设出变量，找出约束条件和线性目标函数；②利用图像在约束条件下找出变量使目标函数达到最大或最小.2.若实际问题要求的最优解是整数解,而我们利用图解法得到的解为非整数解(近似解),应作适当的调整.。

沪教版(上海)高中数学2019-2020学年度高三数学一轮复习立体几何系列之平面及其基本性质①(1)

沪教版（上海）高中数学2019-2020学年度高三数学一轮复习立体几何系列之平面及其基本性质①教学目标（1）理解平面的基本性质；（2）能用三个公理三个推论解决简单的空间线面问题；（3）了解一些简单的证明.培养空间想象能力，提高学习数学的自觉性和兴趣.知识梳理1.平面的特征：无限伸展，没有厚度.2.公理一：若一条直线上有两个点在一个平面内，则该直线上所有点都在这个平面内.3.公理二：如果两个平面有一个公共点，那么，它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线.4.公理三：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.5.推论一：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.6.推论二：经过两条相交直线，有且只有一个平面.7.推论三：经过两条平行直线，有且只有一个平面.公理一的作用：（1）作为判断和证明直线是否在平面内的依据（2）证明点在某平面内的依据（3）检验某面是否平面的依据公理二的作用：（1）作为判断和证明两平面否相交（2）证明点在某直线上（3）证明三点共线公理三及其推论的作用：是空间中确定平面的依据，也是证明两个平面重合的依据.典例精讲例1.（★）观察下面图形，说明它们的摆放位置不同．【答案】：我们看到了这个几何体的前后两个面.【说明】：培养学生的空间想象能力.例2.（★）正方体的各顶点如图所示，正方体的三个面所在平面1111,,AC A B B C ，分别记作,,αβχ，试用适当的符号填空.【答案】：(1),;(2),;(3),;(4),;(5),,∈∈∈∈∈∉⋂⋂⊂⊂⊄≠≠【说明】：能够熟练运用集合符号来说明点、线、面间的位置关系.课堂检测1.（★）根据下列符号表示的语句，说出有关点、线、面的关系，并画出图形. ,_______)1(1αA 1_______B α,_______)2(1γB 1_______C γ,_______)3(1βA 1_______D β11_______)4(B A =βα1_______BB βγ=,________)5(11αB A 1________BB β11________A B γ【答案】：（1）点A在平面α内，点B不在平面α内；（2）直线l在平面α上，直线m不在平面α上；lmα（3）平面α交平面β与直线L；（4）点P在直线L上，不在平面α上；点Q在直线L上，也在平面α上.αQP(1),A Bαα∈∉(2),l mαα⊂⊄≠(3)lαβ⋂=(4),,,P l P Q l Qαα∈∉∈∈回顾总结。

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沪教版(上海)高中数学2019-2020学年度高三数学一轮复习其他系列之命题②
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
沪教版（上海）高中数学2019-2020学年度高三数学一轮复习
其他系列之命题 ②
考纲解读
1. 了解一些基本的逻辑关系及其运用，了解集合与命题之间的联系，体会逻辑语言在数学表达和论证中的作用。

理解否命题、逆否命题、明确命题的四种形式及其相互关系，建立命题与集合之间的联系。

体会分类、判断、推理的思想方法。

【解读】对命题的学习，首先理解四种命题之间的关系，即由一种命题形式能够正确地写出其他三种形式，并
能够理解他们之间的相互关系，特别是命题之间的等价性。

同时能够建立命题与集合之间的联系，根据集合之间的包含关系判断命题之间的推出关系。

2. 理解充分条件、必要条件、充分必要条件的意义。

能在简单的问题情景中判断条件的充分性、必要性或充分必要性。

【解读】这时高考中常考知识点，要求是能够正确判断条件的充分性、必要性和充分必要性。

关键在于正确理
解这些条件的意义，如A 是B 的充分条件，那么B 的充分条件是A 。

3. 知道子集与推出关系之间的联系。

初步体会利用集合知识理解逻辑关系。

【解读】从考试要求来看，对本知识点的要求不高，从最近几年的试题分析出现的频率不很高，但学习本知识
点的关键在于正确领会集合之间的包含关系和命题之间的推出关系的相关性，构造这方面的题目很容易，主要由集合包含关系转化为命题推出关系再进行条件判断。

复习中关键注意如何由集合之间的包含关系得出命题的推出关系。

知识梳理 . 一. 命题的形式及等价命题：
1. 命题的概念：可以判断真假的语句叫做命题；
2. 四种命题形式：原命题，逆命题，否命题，逆否命题；原命题：若α，则β；逆命题：若β，则α；
否命题：若α，则β；（α表示α的否定，β表示β的否定）逆否命题：若β，则α；
3. 等价命题：如果B A 、是两个命题，A B B A ⇒⇒,，那么B A 、叫等价命题。

4. 四种命题形式及其相互关系:
►注意：否命题是命题的否定吗？答：不是。

命题的否命题既否定命题的条件，又否定命题的结论；而命题的否定只否定命题的结论。

5. 常见结论的否定形式：（拓展内容）
原结论否定形式原结论否定形式是不是至少有一个没有都是不都是至多有一个至少有二个大于小于或等于至少有n 个至多有n -1个小于大于或等于至多有n 个
至少有n +1个对所有的x 成立存在x 不成立 p 或q 非p 且非q 对任何的x 不成立
存在x 成立
p 且q
非
p 或非q
二. 充分条件与必要条件：
1. 概念：如果βα⇒，那么α叫做β的充分条件，β叫做α的必要条件；
2. 等价形式：
①α是β的充分条件 ⇔ βα⇒ ②α是β的必要条件 ⇔ αβ⇒
③α是β的充分非必要条件 ⇔ ⎩
⎨⎧⇒αββ
α不能推出
④α是β的必要非充分条件 ⇔ ⎩⎨
⎧⇒β
αα
β不能推出
⑤α是β的充要条件 ⇔ ⎩
⎨
⎧⇒⇒αββ
α ⇔ βα⇔
3. 字集与推出关系：设B A 、是两个非空集合，{}α具有性质a a A =
，{}β具有性质b b B =，则
B A ⊆与βα⇒等价。

典例精讲
例1. （★★）命题“若一个数是负数，则他的平方是正数”的逆命题是（） A 、“若一个数是负数，则它的平方不是正数” B 、“若一个数的平方是正数，则它是负数” C 、“若一个数不是负数，则它的平方不是正数” D 、“若一个数的平方不是正数，则它不是负数” 解：答案选B
【本题考查命题的逆命题，结论和条件交换位置】
例2. （★★）-22a ≤≤“”
是2
10x ax ++=“实系数一元二次方程有虚根”的（） A 、必要不充分条件 B 、充分不必要条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件解：答案选A
【本题考查命题的充分条件，必要条件，关键抓住小范围能推大范围】
例3. （★★）已知命题
:431p x -≤；命题2:(21)(1)0q x a x a a --++≤。

若p 是q 的充分不必要条
件，则实数a 的取值范围是___________________。

解：答案选A
【本题考查命题的充分条件、必要条件，关键抓住小范围能推大范围】
例4. （★★）设函数
32
()log x f x x =+a b ，，0a b +≥成立是式子
()()0f a f b +≥成立的（）
A.充分必要条件
B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件
D.既不充分也不必要条件解：答案选 A.
【本题考查命题的充分条件、必要条件，以及函数的奇偶性】例5. （★★）下列结论错误的是
（）
A ．命题“若p ，则q ”与命题“若非p 则非q ”互为逆否命题
B ．命题
p ：任意[0,1]1x x e ∈≥，，命题q ：存在210x R x x ∈++，＜则p q 为真
C ．“若2
2
am bm ＜则a b ＜”的逆命题为真命题
D ．若p
q 为假命题，则p 、q 均为假命题．a b ＜⇒22am bm ＜
解：答案选C
分析：根据命题的知识逐个进行判断即可。

解析：根据四种命题的构成规律，选项A 中的结论是正确的；选项B 中的命题p 是真命题，命题q 是假命
题，故p
q 为真命题，选项B 中的结论正确；当0m =时，a b ＜⇒22am bm ＜，故选项C 中的结论不正
确；选项D 中的结论正确。

考点：常用逻辑用语
点评：本题属于以考查知识点为主的试题，要求考生对常用逻辑用语的基础知识有较为全面的掌握。

课堂检测
1.（★★）“1a =”是“直线2
60a x y -+=与直线4(3)90x a y --+=互相垂直”的（） .A 充分不必要条件
.B 必要不充分条件
.C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件解： B
2. （★★）已知非零向量a 、b ，“函数2
()()f x ax b =+为偶函数”是“a b ⊥”的（）
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既非充分也非必要条件
解：C
3. （★★）命题A ：若函数
()y f x =是幂函数，则函数()y f x =的图形不经过第四象限，那么命题A 的逆
命题，否命题，逆否命题这三个命题中假命题的个数是（）
A ．0；
B ．1；
C ．2；
D ．3．
解：C
4. （★★）“2a =”是“函数()||f x x a =-在)3[∞+上是增函数”的（ )
A ．充分非必要条件；
B ．必要非充分条件；
C ．充要条件；
D ．非充分非必要条件．
解：A
5. （★★）在下列结论中，正确的是（） ①“p q ”为真是“p q ”为真的充分不必要条件； ②“p q ”为假是“p q ”为真的充分不必要条件； ③“
p q ”为真是“非p ”为假的必要不充分条件；
④“非
p ”为真是“p q ”为假的必要不充分条件
A. ①②
B. ①③
C. ②④
D. ③④ 解：B
6. （★★）“0a ＜”是方程“2
210ax x ++=”至少有一个负数根的
（）
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
解： C
回顾总结 ►充分条件与必要条件的等价形式：
①α是β的充分条件 ⇔ βα⇒ ②α是β的必要条件 ⇔ αβ⇒
③α是β的充分非必要条件 ⇔ ⎩
⎨⎧⇒αββ
α不能推出
④α是β的必要非充分条件 ⇔ ⎩⎨
⎧⇒β
αα
β不能推出
⑤α是β的充要条件 ⇔ ⎩
⎨⎧⇒⇒αββ
α ⇔ βα⇔。