3--配方法化二次型为标准型

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化二次型为标准型的方法解读

化二次型为标准型的方法二、二次型及其矩阵表示在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程是 22ax 2bxy cy f ++=. （1）为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度θ，作转轴（反时针方向转轴） ''''x x cos y sin y x sin y cos θθθθ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩ （2）把方程（1）化成标准方程。

在二次曲面的研究中也有类似的情况。

（1）的左端是一个二次齐次多项式。

从代数的观点看，所谓化标准方程就是用变量的线性替换（2）化简一个二次齐次多项式，使它只含平方项。

二次齐次多项式不但在几何中出现，而且数学的其他分支以及物理、力学中也常会碰到。

现在就来介绍它的一些最基本的性质。

设P 是一数域，一个系数在数域P 上的12n x ,x ,...,x 的二次齐次多项式22212n 11112121n 1n 2222n 2n nn n f (x ,x ,...,x )a x 2a x x ...2a x x a x ...2a x x ...a x =++++++++称为数域P 上的一个n 元二次型，或者在不致引起混淆时简称二次型。

设12n x ,x ,...,x ；12n y ,y ,...,y 是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式11111221n n 22112222n n 33113223n n n n12n22nn nx c y c y ...c y x c y c y ...c y x c y c y ...c y ...........x c y c y ...c y =++⎧⎪=++⎪⎪=++⎨⎪⎪=++⎪⎩ （4）称为由12n x ,x ,...,x 到12n y ,y ,...,y 的一个线性替换，。

如果ij c 0≠，那么线性替换（4）就称为非退化的。

在讨论二次型时，矩阵是一个有力的工具，因此把二次型与线性替换用矩阵来表示。

化二次型为标准型的方法

化二次型为标准型的方法二、二次型及其矩阵表示在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程ax 2 +2bxy+ cy 2 = f .为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度。

，作转轴（反时针方把方程（1）化成标准方程,在二次曲面的研究中也有类似的情况.（1）的左端是一个二次齐次多项式。

从代数的观点看，所谓化标准方程就是用变量的线性替换（2）化简一个二次齐次多项式，使它只含平方项。

二次齐次多项式不但在几何中出现，而且数学的其他分支以及物理、力学中也常会碰到。

现在就来介绍它的一些最基本的性质。

设P 是一数域，一个系数在数域P 上的X“X2，...,Xn 的二次齐次多项式 f （X],x^,・・・,Xn ） = a.eX.2 +2a“X]X, +... + 2a.x.x n+... + 2a. x ?x n +... + a n x n 2J xnii Ii i *in i n匕 .n 二 n nil n称为数域P 上的一个n 元二次型，或者在不致引起混淆时简称二次型。

设x p x 2,...,x n ； y,,y 2，…,yn 是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式x 1=c I1y I +c 12y 2+...c ln y nx 2=c 2iyi +c 22y 2+-c 2nyn X 3=C 3iyi +C 32y2+-C 3ny n（4）/n =C niy2+C n2y2+-C nnyn称为由X|,X2，...,Xn 到力必，…,yn 的一个线性替换，。

如果|cJ #。

，那么线性替换（4）就称为非退化的。

在讨论二次型时，矩阵是一个有力的工具，因此把二次型与线性替换用矩阵来表示。

另, i<j.由于XjXj=XjXi ,所以f （x p x 2,...,x n ） = a 11x 12 +2a 12X!X 2 +... +2a ln X!X n +a 22x 22 +... + 2a 2n x 2x n +... + a nn x n 2n n= Z»,jXjXjj —1它的系数排成一个n*n 矩阵(1)向转轴） x = x cos 0-y sin 。

化二次型为实用标准形地几种方法

化二次型为标准形的几种方法摘要二次型是代数学要研究的重要容，我们在研究二次型问题时，为了方便，通常将二次型化为标准形.这既是一个重点又是一个难点，本文介绍了一些化二次型为标准形的方法：正交变换法，配方法，初等变换法，雅可比方法，偏导数法．正文详细介绍了几种方法的定义以及具体步骤，并举出合适的例题加以说明．其中，偏导数法与配方法又相似，只是前者具有固定的步骤，而配方法需要观察去配方．关键词：正交变换法配方法初等变换法雅可比方法偏导数法reduce the quadratic forms to the standard forms Abstract：Quadratic is the important content should study algebra, in our studies of quadratic problem, for convenience, will usually be quadratic into standard form. This is both a key is a difficulty, this paper introduces some HuaEr times for the standard form of orthogonal transform method, method: match method, elementary transformation, jacobian method, partial derivative method. The text introduces several methods defined and concrete step, simultaneously gives appropriate examples to illustrate. Among them, the partial derivative method and match method and similar, but the former has the fixed steps, and match method need to observed to formula.Keywords:orthogonal transform method match method elementary transformation jacobian method partial derivative method一、引言二次型的本质是一个关于n 个变量二次齐次函数，在它的表达式中除了平方项就是交叉项，没有一次项或常数项，其具体定义为：设P 是一个数域，一个系数在数域P 中12,n x x x ⋯的二次齐次多项式2121112121211222222f(,,,,)2...2...2...n n n n n nn n x x x a x a x x a x x a x a x x a x =++++++++= 11n n ij ij j i a x x ==∑∑，称为数域P 上的一个n 元二次型．二次型具有广泛的应用性，在工程技术、经济管理、社会科学以及数学的其他分支中均需要运用到二次型，在实际运用过程中经常需要将二次型化为标准形，很多同学能够根据标准的步骤将二次型化为标准形，但是却不能很好地根据所给的题目运用最适宜的方法进行解决．本文参考已有的研究结果，总结化二次型为标准形的几种方法，分析每种方法的解题原理和过程，归纳其应用特点，帮助《线性代数》的初学者根据题目的特点和要求采取最佳的方法解决问题，达到简明快速的目的．关于二次型化为标准型的问题，许多数学学者作了较深入的研究，获得了许多具有研究价值和参考价值的成果．庄瓦金在文【11】中给出了二次型的定义及其若干性质．惠汝、红超在文【12】中将二次型和非退化线性替换用矩阵形式表示，对二次型化为标准形问题采取两种转化思路：一是联系矩阵的初等变换，把问题转化为矩阵合同变换问题；二是借助实对称矩阵特征值与特征向量的有关理论，把问题转化为用正交变换化实对称矩阵为对角形的问题．这两种转化思路产生了二次型化为标准形的两种方法，即合同变换法(也称初等变换法)和正交变换法．五明，永金，栋春在【7】中给出了实二次型化为标准形的方法．通过观察各项进行配方，其实质就是运用非退化的线性替换．使用配方法将二次型化为标准形问题时采取两种转化思路：一是含有平方项时，把平方项集中，然后配方，化为标准形；二是不含平方项时构造平方项，进行逆变换，继续第一步进行配方，这种转化思路产生了二次型化为标准形的方法，即配方法．明琼在【9】中给出了二次型化为标准形的方法．此方法是利用二次型的矩阵的顺序主子式来确定标准形中各项平方和项的系数．它要求二次形的矩阵所有的顺序主子式必须都不为零．这种转化思路产生了又一种二次型化为标准形的方法，即合雅可比方法．郭佑镇在【8】中给出了实二次型的化简及应用偏导数法与配方法的实质是相同的，但是它是根据函数与其偏导数之间关系这一原理，依据配方法而提出的化二次型为标准行的新方法，解题思路与配方法极为相似．把问题转化为用偏导数法实解决问题．这种转化思路产生了二次型化为标准形的另一种方法，即偏导数法．秀花在文【13】讨论了化二次型为标准形的两种常用方法的区别：正交变换法的第一步是将二次型写成矩阵形式，然后将二次型的矩阵通过单位正交化方法进行对角化，最后利用正交矩阵得到正交变换，利用特征值得到标准形．正交变换法需要求出二次型矩阵的全部特征值，即求特征方程的根，由于代数方程没有统一的求根公式，因此在操作上存在一定的困难．而配方法避免了求解矩阵特征值的问题，因而使用起来比较方便．以上学者的研究为本文介绍的化二次型为标准形的六种方法奠定了基础，为以后的研究工作做出了重要贡献.本文梳理了已有的研究成果，并对六种方法做出总结，希望能够对未来的相关研究作出贡献．二、化二次型为标准形的六种方法（一）正交变换法由于实对称矩阵必定与对角矩阵合同，因此任何实二次型必定可以通过一个适当的正交线性替换将此实二次型化为标准形．定理1 任意一个实二次型T AX f X =＝11n nij i j i j a x x ==∑∑（其中ij ji a a =）都可以经过正交线性替换变成平方和2221122...n n y y y λλλ+++，其中平方项的系数12,...,n λλλ就是矩阵的全部特征根．由此定理得到的化二次型为标准形的方法称为正交变换法，此法的解题步骤为：1. 将实二次型表示成矩阵形式T AX f X =，并写出矩阵A ；2. 求出矩阵A 的所有特征值12,...,i λλλ，它们的重数分别记为21,...,ik k k （21...i k k k +++=n ）○3求出每个特征值所对应的特征向量，因为21...i k k k +++=n ，所以共有n 个特征向量21...,,i ξξξ．具体方法是：列出方程1()0E A X λ→-=，解出与1λ对应的1k 个线性无关的特征向量；同理求出其他的特征值23,...,i λλλ所对应的特征向量． ○4将n 个特征向量21...,,i ξξξ，先后施行正交化和单位化，得到单位正交向量组21,,,n ηηη，并记C =21)(,,T n ηηη；○5作正交变换X CY =，则二次型f 化为标准形f =2221122...n ny y y λλλ+++．例1 用正交变换方法化二次型222212341234121314232434,,,)264462(x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x =+++-+--+-为标准形．解：（1）二次型的矩阵为A =1132112332112311⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭-------- 由A 的特征多项式E A λ-=1132112332112311λλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭--------=(3)(7)(1)(1)λλλλ+--+ 得A 的特征值为1λ=-3，2λ=7，3λ=-1，4λ=1．（2）将1λ=-3代入1()0E A X λ-=中，得到方程组12341234123412324320423032402340x x x x x x x x x x x x x x x x -+-+=⎧⎪-+-=⎪⎨-+-+=⎪⎪-+-=⎩ 解此方程组可得出基础解系1α=(1,1,1,1)T --，同样地，分别把2λ=7，3λ=-1，4λ=1代入()0E A X λ-=中，求解方程组得与2λ=7，3λ=-1，4λ=1对应的基础解系依次为2α=(1,1,1,1)T --，3α=(1,1,1,1)T --，4α=．（3）将正交化：1α=1β=2β=2α-21111(,)(,)αββββ= 3β=3α-3132121122(,)(,)(,)(,)αβαβββββββ-=4β=4α-434142123112233(,)(,)(,)(,)(,)(,)αβαβαββββββββββ--= 将正交向量组，单位化得单位正交向量组：，，，（4）令C =121111111111111111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭------，于是正交线性替换1234x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=121111111111111111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭------1234y y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭将二次型化为标准形f =2222123173y y y y +-+-．（二）配方法使用配方法化二次型为标准形时，最重要的是要消去像()i j x x i j ≠这样的交叉项，其方法是利用两数的平方和公式及平方差公式逐个消去非平方项，并构造新的平方项．定理数域P 上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和2221122...n nd x d x d x +++的形式．用配方法化二次型为标准形的关键是构造平方项，其方法是利用完全平方公式、平方差公式逐步消去交叉项，同时构造新的平方项．具体解题思路可分两种情形来处理：(1) 若二次型中含有某变量i x 的平方项和交叉项，则可先将含i x 的交叉项合并在一起，使之与2i x 配方成为完全平方项，然后类似地对剩下的1n -个变量进行配方，直到各项全部化为平方项为止；(2) 若二次型中没有平方项，则可先利用平方差公式将二次型化为含有平方项的二次型，例如，当二次型中出现交叉项i j x x 时，先作可逆线性替换i i j x y y =+，j i j x y y =-，k k x y =（,k i j ≠），使之成为含有2i y ,2j y 的二次型，然后按照情形（1）的方法进行配方．例２用配方法化二次型23(,,)f x x x =22112223224x x x x x x +++为标准形，并写出所用的线性替换矩阵．解：原二次型中含有1x 的平方项，先将含有1x 的项集中，利用平方和公式消去12x x ，然后对配平方，消去23x x 项.此过程为23(,,)f x x x =221122(2)x x x x +++222233(44)x x x x ++-234x ()()2221223324x x x x x =+++- 于是作非退化线性替换11221233+2y x x y x x y x =+⎧⎪=⎨⎪=⎩，由此得11232233322x y y y x y y x y =-+⎧⎪=-⎨⎪=⎩，即123x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=112012001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭123y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，于是二次型化为标准形23(,,)f x x x =2221234y y y +-，所用的线性替换矩阵为C =112012001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭．例3 将二次型23(,,)f x x x =121323422x x x x x x -++化为标准形，并写出所用的线性替换矩阵．解：由于所给的二次型中无平方项，故需要构造出平方项，令11221233x y y x y y x y =+⎧⎪=-⎨⎪=⎩ 即123x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=110110001⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭123y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 代入原二次型得23(,,)f x x x =12121231234()()2()2()y y y y y y y y y y -+-+++-221213444y y y y =-++此时就可以按照情形（1）中的步骤进行，将含有1y 的项集中，消去13y y ，再分别对 23,y y 配平方即可．所以有23(,,)f x x x =221213444y y y y -++2222113332444y y y y y y =-++-+()222133224y y y y =--++ 作非退化线性替换11322332z y y z y z y =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，或写成11222331122y z z y z y z ⎧=+⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，即123y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=11022010001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭123z z z ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭于是二次型化为标准形23(,,)f x x x =2221234z z z -++，所用的线性替换矩阵为C =110110001⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭11022010001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=1112211122001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 从以上配方法的过程可以看出，将一般二次型通过配方法化成标准形，实际上就是通过一系列的非退化线性替换将n 个元逐渐配方的过程，这个过程用矩阵的形式表示出来就是将二次型化为标准形的第三种方法------初等变换法．这种方法的实质就是将二次型矩阵通过一系列的合同变换（即进行矩阵的初等行、列变换），逐步地化成与它合同且在形式上又比较简单的矩阵，最后得到对角矩阵的过程．定理在数域上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵．即对于任意一个对称矩阵，都可以找到一个可逆矩阵使T C AC 成对角形．根据初等矩阵的有关性质知，用初等矩阵左乘A 相当于对A 作一次初等行变换；用初等矩阵右乘A 相当于对A 作一次初等列变换，任意对称矩阵都可用同样类型的初等行变换和初等列变换化成与之合同的对角阵，对初等矩阵施行一个初等行变换，同时要对矩阵作一次相应的列变换，以保证每对变换作过以后得到的矩阵与原来的矩阵合同．具体的解题步骤为：（1）写出二次型()12,n f x x x 的矩阵A ,A 与E 构成2n n ⨯矩阵A E ⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）对A 进行初等行变换和相同的初等列变换，化成与A 合同的但是形式较为简单的矩阵，直至将A 化成对角矩阵；但是对E 只进行其中的列变换.，用分别表示变化后的矩阵．（3）写出正交变换过程中所进行的一系列非退化线性替换X CY =，此线性替换将化原二次型化为标准形()12,n f x x x ='Y DY ．此过程可简单表示为：A E ⎛⎫ ⎪⎝⎭A E −−−−−−−−−→对进行同样的初等行、列变换对只进行其中的列变换D C ⎛⎫⎪⎝⎭．例4 用初等变换法将二次型23(,,)f x x x =22211213223322243x x x x x x x x x +-+++变为标准形．解：首先写出二次型23(,,)f x x x 的矩阵A =111122123-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭然后构造出63⨯矩阵A E ⎛⎫ ⎪⎝⎭=111122123100010001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭2113-r ,+r r r −−−−→111013032100010001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭2113-,+j j j j −−−−→100013032111010001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭26364656-3,i -9,i +3,-3i i i i i i −−−−−−−→100010037114013001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎪- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭32-3,i i −−−→ 100010007114013001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪- ⎪- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭从以上过程可以看出C =114013001-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭，最后作可逆线性替换X CY =，则23(,,)f x x x = '100010007Y Y ⎛⎫⎪ ⎪⎪-⎝⎭（四）雅可比(Jacobi)方法此方法利用二次型的矩阵的顺序主子式（也即雅可比行列式）来确定标准形中各平方项的系数 .这种方法较为简便，但是有条件限制，它需要二次型的矩阵所有的顺序主子式必须都不为零．1. 几个相关定义是数域P 上一个线性空间，是上一个二元函数，如果有下列性质：（1）；（2）；其中1212,,,,,αααβββ是中任意向量，12k ,k 是中任意数，则称为上的一个双线性函数．线性空间上的一个双线性函数，如果对中任意两个向量α,β都有=，则称为对称双线性函数．设是数域上n 维线性空间上的一个双线性函数.12n ,,...,εεε是V 的一组基，则矩阵11)1n n 1)n n)f (,f (,)A=f (,f (,εεεεεεεε⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭称为在12n ,,...,εεε下的度量矩阵．2. 解题步骤雅可比方法的计算步骤归纳如下：（1）在矩阵A 的非对角线元素中选取一个非零元素 ija .一般说来，取绝对值最大的非对角线元素;（2）由公式jj ii ija a a tan -=22θ求出θ，从而得平面旋转矩阵IJ P P =1; （3） 111AP P A T=,1A 的元素由公式(9)计算．（4）以1A 代替A ，重复第一、二、三步求出2A 及2P ，继续重复这一过程，直到m A 的非对角线元素全化为充分小(即小于允许误差)时为止．（5） m A 的对角线元素为A 的全部特征值的近似值,m P ...P PP 21=的第j 列为对应于特征值j λ(jλ为m A 的对角线上第j 个元素)的特征向量．例5 用雅可比方法将二次型123(,,)f x x x =2221231213234x x x x x x x ++++化为标准形．解：二次型的矩阵32223A =102201⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭，顺序主子式1=2∆，21=-4∆，31=-44∆都不等于零，所以能采用雅可比方法．设1231000,1,0001εεε⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，双线性函数关于基的矩阵为, 则 A=()()()()()()()()()111213212223313233f ,f ,f ,f ,f ,f ,f ,f ,f ,εεεεεεεεεεεεεεεεεε⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=32223102201⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭再设111121212223131232333c c c c c c ηεηεεηεεε=⎧⎪=+⎨⎪=++⎩系数11c 可由条件()11f ,1ηε=求出，即()111111c f ,2c 1εε==，从而得出1112c =，所以11111121020c ηεε⎛⎫ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪⎪⎝⎭，系数1222,c c 可由方程组()()()()1211221212122222,,0,,1c f c f c f c f εεεεεεεε+=⎧⎪⎨+=⎪⎩求出，并可得到122268c c =⎧⎨=-⎩，所以2121222c c ηεε=+=680⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭，系数132333,,c c c 可由方程组132333132313333220230221c c c c c c c ⎧++=⎪⎪⎪+=⎨⎪+=⎪⎪⎩求出，即1323338171217117c c c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩，所以38171217117η⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭.由此可得，由基123,,εεε到123,,ηηη的过渡矩阵为18621712081710017C ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭．因此123(,,)f x x x 经线性替换能够化成标准形：22222201212312312311z z z 8217z z z ∆∆∆++=-+∆∆∆．（五）偏导数法偏导数法与配方法的实质是相同的，但是它是根据函数与其偏导数之间的关系这一原理，依据配方法提出的化二次型为标准形的新方法，配方法需要仔细观察然后进行配方，而这种方法具有固定的程序，可以按步骤一步一步进行计算．因此，能够提高准确性，且易于理解，求解过程也更加简单．利用偏导数法将二次型()12,...n f x x x ＝11nnij i j i j a x x ==∑∑化为标准形的解题步骤如下：（注意，运用该方法时，要将二次型分为两种情形来进行讨论．）1. 情形1：二次中含有i x 的平方项，即ii a ()1,2,...i n =中至少有一个不为零的情形．（1）不妨设11a 不等于零，将f 对1x 的偏导数1f x ∂∂求出来，并记1112ff x ∂=∂. （2）根据偏导数法()2121111,...(f )g n f x x x a =+，通过计算得出g ．此时g 中已经不再含有1x ．（3）求出g 对2x 的偏导数2g x ∂∂，并记1212gg x ∂=∂，又可得()12,,...n f x x x =()()2211'112211f g ua a ++，此时u 中不再含有2x ．（4）按照这种程序继续运算，最终可以将二次型化为标准形．2. 情形2：二次型中不含i x 的平方项，即所有iia ()1,2,...i n =都等于零，但是至少有一1(1)j a j >不等于零的情形．（1）不妨设12a 不等于零，首先求出f 对1x 的偏导数1fx ∂∂，以及f 对2x 的偏导数2f x ∂∂，并记1112f f x ∂=∂，2212ff x ∂=∂，（2）将(1)结果代入，此时得到()22121212121,,...[()()]n f x x x f f f f a ϕ=+--+，其中ϕ中不含12,x x 的项．（3）进行观察：如果ϕ中含有i x 的平方项，则按照情形1中的方法去进行计算，如果ϕ中仍然不含有i x 的平方项，则按照上述步骤继续计算，直到将二次型化为标准形为止．例6 用偏导数法化二次型23(,,)f x x x =22212312232422x x x x x x x +-+-为标准形．解：原二次型中含有1x 的平方项，符合情形1，首先求出f 对1x 的偏导数1fx ∂∂=1222x x +，所以可以得到：1112ff x ∂=∂=12x x +23(,,)f x x x =()21111f g a +=()212x x g ++ 整理可得到：22232342g x x x x =--接下来求出g 对2x 的偏导数2g x ∂∂=()232x x -, 1212gg x ∂=∂=23x x -23(,,)f x x x =()()222113'1122115f g x a a +- ()()222122335x x x x x =++--令11222333y x x y x x y x=+⎧⎪=-⎨⎪=⎩经过变形可以得到112322333x y y y x y y x y =--⎧⎪⇒=+⎨⎪=⎩于是原二次型化为标准形23(,,)f x x x =2221235y y y +-所得的变换矩阵为111011001C --⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，例7 用偏导数法化二次型23(,,)f x x x =121323422x x x x x x -++为标准形．解：由于所给的二次型中不含i x 的平方项，符合情形2，所以分别求出f 对1x 的偏导数1f x ∂∂，以及f 对2x 的偏导数2fx ∂∂，其结果如下：1f x ∂∂=2342x x -+，2fx ∂∂=1342x x -+1112f f x ∂=∂=232x x -+，2132122ff x x x ∂==-+∂23(,,)f x x x =()()221212121f f f f a ϕ⎡⎤+--+⎣⎦整理上式可得：ϕ=23x于是得到23(,,)f x x x =()()2223121231222224x x x x x x ⎡⎤-----+⎣⎦=()()222312123x x x x x x ---+-+=222123y y y -++ 令经过整理可以得到1123212333111222111222x y y y x y y y x y ⎧=-++⎪⎪⎪=--+⎨⎪=⎪⎪⎩可以得到所用的可逆矩阵为111222111222001C ⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，（六）顺序主子式法对于二次型'12,1(,,...,)nn ij iji j f x x x X AX a x x===∑ （1）其中,,1,2,...,ij ji a a i j n ==，以上介绍了五种化二次型为标准形的方法，本文第六部分介绍顺序主子式法．对于二次型（1）矩阵()A=ijn na ⨯假如11121,-121222,-1111211221221-1-1,n-1-1,-1-1,-10,-0,,=n n n n n n n n a a a a a a a a a ααααα∆=≠∆=≠∆≠则二次型可化为标准形12222211111(,,...,)...n n n n f x x x y y y -∆∆=∆+++∆∆例8 化二次型32212132145),,(x x x x x x x x f -+=为标准形解：二次型的矩阵为51025022020A ⎛⎫⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪- ⎪⎪⎝⎭方法一：4,425,1321-=∆-=∆=∆ 所以1222231232516(,,)425f x x x y y y =-+方法二： 32218125255101022252502024402016025r r r r A --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪−−−→-−−−−→- ⎪ ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以1,23251,44-∆=∆=∆=-1222222231231232542516(,,)2544254f x x x y y y y y y -=-+=-+-雅可比方法是利用二次型的矩阵的顺序主子式来确定标准形中各项平方和项的系数．它要求二次形的矩阵所有的顺序主子式必须都不为零．3.1二次型在二次曲面研究中的应用二次曲面的一般方程为：2221122331213231232220a x a y a z a xy a xz a yzb x b y b zc +++++++++=其中都是实数．我们记，，其中利用二次型的表示方法，方程（1）可表示成下列形式：(2)为研究一般二次曲面的性态，我们需将二次曲面的一般方程转化为标准方程，为此分两步进行．第一步，利用正交变换将方程（2）左边的二次型的部分化成标准形：其中为正交矩阵，,相应地有于是方程(2)可化为第二步, 作平移变换，将方程(3)化为标准方程, 其中这里只要用配方法就能找到所用的平移变换.以下对是否为零进行讨论:1)当时，用配方法将方程(3)化为标准方程：(6-1)根据与d 的正负号，可具体确定方程(6-1）表示什么曲面．例如与d 同号，则方程（6-1）表示椭球面．（2）当中有一个为0，设方程（3）可化为(6-2)(6-3)根据与d 的正负号，可具体确定方程(6-2)、(6-３)表示什么曲面．例如当同号时，方程(6-2)表示椭圆抛物面．当异号时，方程(6-2)表示双曲抛物面，(6-3) 表示柱面．(3) 当中有两个为０，不妨设，方程(3) 可化为下列情况之一：此时，再作新的坐标变换：(实际上是绕x ~轴的旋转变换)，方程可化为：02221='++'y q p x λ表示抛物柱面；)0(0~~)(21≠=+p y p x b λ表示抛物柱面；)0(0~~)(21≠=+q z q x c λ表示抛物柱面；若与异号，表示两个平行平面；若与同号，图形无实点，若，表示坐标面．例二次曲面由以下方程给出，通过坐标变换，将其化为标准型，并说明它是什么曲面．222234444212100x y z xy yz x y z +++++-++= 解：将二次曲面的一般方程写成矩阵形式：，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=z y x x ，1224⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=b ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=420232022A )6)(3(18923---=-+-=-λλλλλλλE A的特征值为，分别求出它们所对应的特征向量，并将它们标准正交化：1132323p ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，2231323p ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3132323p取 P= ( p 1 , p 2 , p 3 ) , 则 P 为正交矩阵. 作正交变换x = P y , 其中(),,,111Tz y x y =则有: 212136y x x A x T +=111868)(z y x y P b b T T +-==因此，原方程可化为：配方得：令则原方程化为标准方程：0~8~3~622=++z y x该曲面为椭圆抛物面．四、总结不同方法化简的优劣对于初学者来说，配方法是最基础的方法，它的原理很容易被学生消化吸收，因此，这种方法需要熟练掌握，灵活应用.配方法是推导二次型重要理论的基础，要熟悉它的推导过程.对于简单的二次型也可以灵活使用合同变换法，有时候这种方法更具简便性，节约计算量和计算时间.正交变换法由于具有保持几何形状不变的优点而备受青睐.在用正交变换法化二次型为标准型中,如何求正交矩阵是一个难点,常见的求法只有一种,求解过程大致如下:先用二次型矩阵A的特征方程求出A的n个特征值,然后通过直接求矩阵方程的基础解系,得到对应于征值的线性无关的特征向量,再用施密特正交化过程将它们正交化、单位化,进而得到n个两两正交的单位特征向量,最后由这n 个两两正交的单位特征向量构成正交矩阵,即得所要求的正交变换和对应的标准型.这种方法综合性比较强,算比较复杂.雅可比方法是一种新的方法，它的过程与施密特正交化过程类似，思想上也有相似之处.用它解决正定性问题时比较方便.体会并深刻理解各种方法的实质与技巧，才能帮助我们快速并正确解决二次型问题.这需要多做练习，熟能生巧，方可以不变应万变.二次型是高等代数的重要容之一，二次型的基本问题是要寻找一个线性替换把它变成平方项，即二次型的标准型.二次型的理论来源于解析几何中二次曲线、二次曲面的化简问题，其理论也在网络、分析、热力学等问题中有广泛的应用.将二次型化为标准型往往是困惑学生的一大难点问题，而且它在物理学、工程学、经济学等领域有非常重要的应用，因此探索将实二次型化为标准型的简单方法有重要的理论与应用价值通过典型例题，更能体会在处理二次型问题时的多样性和灵活性，我们应熟练掌握各种方法.致谢我衷心感谢我们论文指导老师，她在论文选题和写作过程中，给予了许许多多认真细致的指导和鼓励 .我也要感谢多年来家人和朋友对我学习工作上的支持，这是我继续在求学路上不断前进的动力之一.大学生活一晃而过，回首走过的岁月，心中倍感充实，当我写完这篇毕业论文的时候，有一种如释重负的感觉，感慨良多.请允许我以此文来纪念大学四年的美好时光，时间的前进是无法挽回的，四年的求学生活让我明白了一切都来之不易，得到成果的前提是你要不断地脚踏实地地付出自己的努力本文主要就二次型化标准型的方法进行了一定的探讨，在前人的基础上综合了六种化二次型为标准型的方法，这对于二次型的研究和教学都有一定意义！参考文献[1]王萼芳，石生明.高等代数（第三版）[M]：高等教育，2007.[2]同济大学数学教研室.线性代数（第三版）[M]：高等教育，1999.[3]丘维声.高等代数（上册）[M].：高等教育，2002.[4]屠伯.线性代数－方法导引[M].：科技，1986.[5]蓝以中.高等代数简明教程[M].：大学，2003.[6]王琳.用正交变换化实二次为标准形方法研究.[J]数学通讯，1990（3）.[7]五明，永金，栋春.实二次型化为标准形的几种方法[J]和田师专科学校学报（汉文综合版）2007，27（5）[8]郭佑镇.实二次型的化简及应用[J]师专学报（自然科学版）2000（2）.[9]明琼.把二次型化为标准形的方法[J]工程数学.1998，14（1）.[10]大学数学系几何与代数教研室小组编.高等代数(第三版)[M].高等教育.2007:205-234.[11]庄瓦金编.高等代数教程[M].高等教育.2004:427.[12]惠汝,红超.浅淡二次型标准形的两种方法[J].师学院报,2004,23(2):13-15.[13]秀花.二次型的应用[J].学院报,2010,10(6):28-29[14]鱼浩,戴培良.二次型在不定方程中的应用[J].常熟理工学院报,2009,23(10):38-42[15]文杰.实二次型半正定性及应用[J].渤海大学学报,2004,25(2):127-129[16]华盛.二次型半正定性在不等式证明中的应用[J].科技通报，2002,18(30):227[17]袁仕芳,云长,曾丽容.关于二次型XAX最大值和最小值的教学思考[J].考试周刊,2010,35:74[18]JaneM.Day,DanKalmanTeachingLinearAlgebra:IssuesandResources[J]. TheCollegeMathematicsJournal.2001.。

配方法求标准型

配方法求标准型在数学中，配方法是一种用来求解二次型矩阵的标准型的方法。

在配方法中，我们通过一系列的变换，将一个二次型矩阵转化为标准型，从而更容易进行进一步的计算和分析。

首先，我们来看一个简单的例子，假设我们有一个二次型矩阵Q，我们的目标是将其转化为标准型。

我们可以通过以下步骤来实现这一目标：1. 首先，我们需要通过合同变换将二次型矩阵Q转化为对称矩阵。

这一步是非常重要的，因为只有对称矩阵才能进行配方法的运算。

2. 接下来，我们需要通过正交变换将对称矩阵转化为对角矩阵。

这一步是配方法的核心步骤，通过一系列的正交变换，我们可以将对称矩阵对角化，从而得到标准型。

3. 最后，我们将对角矩阵中的对角元素化为1或-1，得到标准型。

通过以上步骤，我们就可以将任意的二次型矩阵转化为标准型。

这样一来，我们就可以更方便地进行进一步的计算和分析。

除了上述的基本步骤外，配方法还有一些具体的技巧和方法，可以帮助我们更快地进行计算。

比如，我们可以通过配方法来求解二次型矩阵的秩、正惯性指数、负惯性指数等重要的性质。

这些性质对于我们理解二次型矩阵的结构和特性非常重要。

总的来说，配方法是一种非常重要的数学工具，它不仅可以帮助我们将二次型矩阵转化为标准型，还可以帮助我们更深入地理解二次型矩阵的性质和特性。

因此，掌握配方法是非常重要的，它不仅可以帮助我们更好地理解数学理论，还可以帮助我们在实际问题中更好地进行分析和计算。

在实际应用中，配方法常常被用于求解物理学、工程学等领域中的问题。

比如，在物理学中，配方法可以帮助我们求解二次型势能函数的标准型，从而更好地理解物理系统的性质和特性。

在工程学中，配方法可以帮助我们分析结构的稳定性和振动特性，从而指导工程设计和实际应用。

总之，配方法是一种非常重要的数学工具，它可以帮助我们更好地理解和分析二次型矩阵的性质和特性。

通过配方法，我们可以将任意的二次型矩阵转化为标准型，从而更方便地进行进一步的计算和分析。

二次型化为标准型PPT课件

0 0 1 0 0 1
1 1 3 1 1 1.
0 0 1
C 2 0.
Page 17
2024/10/16
18
3．将特征向量正交化
取 1 1, 2 2, 3 3
得正交向量组
2 ,3 2 , 2
2
,
1 (1 2,1,1)T , 2 (2,1,0)T , 3 (2 5,4 5,1)T .
Page 6
4．将正交向量组单位化，得正交矩阵 P
令
i
i i
,
i 1,2,3,
1 3
2 5
2 45
使 P1 AP ,即 PT AP .把此结论应用于二次型,有
n
定理1 任给二次型 f aij xi x j aij a ji , 总有 i, j1
正交变换x Py, 使 f 化为标准形
f 1 y12 2 y22 n yn2 ,
其中1, 2 ,, n是 f 的矩阵A aij 的特征值.
xk yk
k 1,2,,n且k i, j
化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方
法配方.
Page 11
例2 化二次型
f x12 2 x22 5 x32 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3 为标准形, 并求所用的变换矩阵.
解
含有平方项
含有 x1的项配方
f x12 2x22 5x32 2x1 x2 2x1 x3 6x2 x3
得 1 2 3, 2 1 5 , 3 4 45 .
2 3
0
5
45
所以
1 3
P 2 3
2
3
2 5 15
0
2 45
4 45 .

二次型化为标准规定型的三种方法

2x1x2
2x1x 3
2x
2 2
4x2x3
x
2 3
化为标准形
解:配方化简
x12
2x1x2
2x1x3
2x
2 2
4x2x3
x
2 3
x12 2x1(x2 x3) (x2 x3)2 (x2 x3)2 2x22 4x2x3 x32
x1 x2 x3 2 x22 2x2x3
x1 x2 x3 2 x2 x3 2 x32
再配方，得
f 2 y1 y3 2 2 y2 2 y3 2 6 y32 .
令
z1 z2
y1 y2
y3 2 y3
z3 y3
y1 y2
z1 z2
z3 2z3
,
y3 z3
y
1
1
即
y
2
y 3
0
0
0 1 0
z 1 z 2 z 1
1 ,Y 2 3
实二次型f(x1, x2, , xn )=XT AX (AT A), 由于A为实对称，则存在正交矩阵Q使得
Q 1AQ QT AQ diag(1, 2, , n ),
于是线性替换X=QY(称为正交变换)化f为
标准型1y12
2y
2 2
n
y
2 n
.
定理对于任意n元实二次型f(x1, x2, , xn ) X T AX (AT A),都存在正交变换X=QY化f为
令
y1
y2
x1
x2 x2
x x3
3
y3 x3
即
x1 x2
y1 y2
y2 y3
x3 y3
1 1 0 C 0 1 1 1 0

配方法化二次型为标准型

配方法化二次型为标准型方法化二次型为标准型的步骤如下：1. 首先，判断二次型的矩阵是否为对称矩阵。

若不是对称矩阵，则进行对称化处理。

2. 对称化处理：对于二次型$Q(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{A}\boldsym bol{x}$，若矩阵$\boldsymbol{A}$不是对称矩阵，则可以构造对称矩阵$\boldsymbol{B}$，使得$\boldsymbol{A}=\frac{1}{2}(\boldsymbol{B}+\boldsymbol{B}^T)$。

这样，二次型可表示为$Q(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^T(\frac{1}{2}\boldsymbol {B}+\frac{1}{2}\boldsymbol{B}^T)\boldsymbol{x}$。

3. 根据对称性质，可以知道对称矩阵可以进行正交对角化，即存在正交矩阵$\boldsymbol{P}$，使得$\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}=\boldsymbol{D}$。

这里，$\boldsymbol{D}$为对角矩阵，其对角元素为特征值，即$\boldsymbol{D}=\text{diag}(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n)$。

4. 将二次型进行变量替换，令$\boldsymbol{y}=\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{x}$，则有$\boldsymbol{x}=\boldsymbol{P}\boldsymbol{y}$，代入二次型得到$Q(\boldsymbol{y})=\boldsymbol{y}^T(\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P})\boldsymbol{y}=\boldsymbol {y}^T\boldsymbol{D}\boldsymbol{y}$。

化二次型为标准形的方法

编号2009011146毕业论文（2013 届本科）论文题目：化二次型为标准形的方法学院：数学与统计学院专业：数学与应用数学班级： 2009级本科（1）班作者姓名：王瑜指导教师：完巧玲职称：副教授完成日期： 2013 年 05 月 07 日目录陇东学院本科生毕业论文（设计）诚信声明 (1)０引言 (1)1矩阵及二次型的相关概念 (1)1．1矩阵的相关概念 (1)1．2二次型的相关概念 (2)2化二次型为标准形的方法 (3)2．1配方法 (3)2．2初等变换法（合同变换法） (5)2．3正交变换法 (6)2．4雅可比法 (8)2．5MATLAB法 (12)3 小结 (14)参考文献 (15)英文摘要 (15)致谢 (16)陇东学院本科生毕业论文（设计）诚信声明本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文（设计），是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。

对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。

本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。

作者签名：二O一年月日化二次型为标准形的方法王瑜完巧玲（陇东学院数学与统计学院甘肃庆阳 745000 ）摘要：化二次型为标准形的方法通常有配方法、初等变换法、正交变换法、雅可比法、MATLAB 法等方法，这五种方法各有长处.本文通过对这些方法的归纳整理，使人们在解题时根据其特点和要求选取最佳方法，以达到简明快速的目的．关键词：二次型；标准形；初等变换；正交变换；雅可比.０引言二次型是高等代数的重要内容之一，二次型的基本问题是化二次型为标准形．二次型化为标准形的理论来源于解析几何中二次曲线、二次曲面的化简问题，其理论应用也非常广泛．将二次型化为标准形往往是困惑学生的一大难点问题，而且它在各个领域都有非常重要的应用，因此探索将实二次型化为标准形的方法有重要的理论与应用价值．实数域P 上的二次型可通过配方法、初等变换法、正交变换法、雅可比法、MATLAB 法等方法将其化为标准形．对于配方法或初等变换法即用非奇异变换py x =将其化为21i ni i y d ∑=（d i 为实数）的形式，然而这种方法不易求出矩阵P ，下面将介绍几种特殊方法，能够快速将原二次型化为标准形，并求出P ，使问题简化．下面首先介绍有关概念，再分别讨论二次型化为标准形的方法．1 矩阵及二次型的相关概念1．1 矩阵的相关概念定义]1[1.1.1 设V 是数域F 上的一个向量空间，V 中满足下列两个条件的向量组{n ααα,,,21 }叫做V 的一个基．i ) n ααα,,,21 线性无关；ii ) V 的每个向量都可以由n ααα,,,21 线性表示．定义]1[2.1.1 设{n ααα,,,21 }和{n βββ,,,21 }是n 维向量空间V 的两个基．那么向量βj，n j ,,2,1 =，可以由n ααα,,,21 线性表示．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=n nn n n n nn n n a a a a a a a a a αααβαααβαααβ 22112222112212211111，作一个n 阶矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a T212222111211则矩阵T 叫做由基{n ααα,,,21 }到基{n βββ,,,21 }的过渡矩阵．定义]3[3.1.1 如果n 阶实方阵A 满足E A A T =即(1-=A A T 或E AA T =)，则称A 为正交矩阵．定义]5[4.1.1二次型的矩阵n n ij a A ⨯=)(，若记111a =∆，222112112a a a a =∆，，nnn nn a a a a1111=∆ ，则称1∆，2∆，，n ∆为其顺序主子式．1．2 二次型的相关概念定义]2[1.2.1 设P 是一个数域，以P 中的数作系数的1x ，2x ，，n x 的二次齐次多项式221211112121313112222323(,,...,)22...22...n n n f x x x a x a x x a x x a x x a x a x x =++++++++222...n n a x x +2nn n a x +称为数域P 上的一个n 元二次型，简称二次型.注：(1)这里非平方项的系数采用ij a 2主要为了后面矩阵表示方便． (2)实数域上的n 元二次型为实二次型;复数域上的n 元二次型为复二次型. (3)如果二次型中只含有变量的平方项，即12(,,...,)n f x x x =221122d x d x +2...n n d x ++称为标准形的二次型．简称标准形.定义]5[2.2.1 设V 是数域P 上一个线性空间，),(βαf 是V 上一个二元函数，即对V 中任意两个向量α、β，根据f 都唯一地对应于P 中一个数),(βαf ．如果),(βαf 有下列性质： 1) ),(),(),(22112211βαβαββαf k f k k k f +=+2) ),(),(),(22112211βαβαβααk f k k k f +=+其中1212,,,,,αααβββ是V 中任意向量，21,k k 是P 中任意数，则称),(βαf 为V 上的一个双线性函数．例如：欧氏空间V 的内积是V 上双线性函数．定义]5[3.2.1 设),(βα=f 线性空间V 上的一个双线性函数，如果对V 中任意两个向量βα,都有 ),(),(αββαf f =，则称),(βαf 为对称双线性函数．定义]5[4.2.1 设),(βαf 是数域P 上n 维线性空间V 上的一个双线性函数．12n ,,...,εεε是V 的一组基，则矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=),(),(),(),(1111n n n n f f f f A εεεεεεεε叫做),(βαf 在12n ,,...,εεε下的度量矩阵．结论：双线性函数是对称的，当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是对称矩阵．2 化二次型为标准形的方法2．1 配方法用配方法化二次型为标准形关键是消去交叉项，分如下三种情形处理：情形]4[1 如果二次型),...,,(21n x x x f 含某文字例如1x 的平方项，即011≠a ，则集中二次型中含1x 的所有交叉项，然后与21x 配方，并作非退化线性变换)(12212121111P c x y x y x c x c x c y j nn nn ∈⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+++=得),...,(2211n y y g y d f +=，其中),...,(2n y y g 是2y ，…n y 的二次型．对),...,(2n y y g 重复上述方法直到化二次型f 为标准形为止．情形]4[2 如果二次型),...,,(21n x x x f 不含平方项，即0=ii a (n i ,...,2,1=)，但含某一个)(0j i a ij ≠≠，则可先作非退化线性替换 ),;,...,2,1(j i k n k y x y y x y y x kk j i j j i i ≠=⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=把f 化为一个含平方项2i y 的二次型，再用情形1的方法化为标准形．情形]3[3 若011211====n a a a ,由对称性013121====n a a a ．此时j i ni nj ij x x a f ∑∑===22是1-n 元二次型，由归纳假设,它能用可逆线性变换化为标准形．例]2[1.1.2用配方法化下列二次型为标准形(ⅰ)3231212322212162252),...,,(x x x x x x x x x x x x f n +++++=； (ⅱ)32312121622),...,,(x x x x x x x x x f n -+=．解（ⅰ）先集中所含1x 的项并配方，得32232232121652)(2x x x x x x x x f +++++=322322322321652)()(x x x x x x x x x ++++-++=233222232144)(x x x x x x x +++++=令 ⎪⎩⎪⎨⎧==++=.,,33223211x y x y x x x y 即 ⎪⎩⎪⎨⎧==--=.,,33223211y x y x y y y x 得上式右端除第一项外已不再含1y ，继续配方．可得23221)2(y y y f ++=令 ⎪⎩⎪⎨⎧=+==.,2,3332211y z y y z y z )1( 即 ⎪⎩⎪⎨⎧=-==.,2,3332211z y z z y z y )2(得标准形 2221z z f +=所用的可逆线性变换为 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-=.,2,333223211z x z z x z z z x )3(注：此题中它的标准形为2221z z f +=，它还是三元二次型，只是23z 的系数为零；所做的线性变换)2(必须有33z y =项，否则不是非退化线性变换．（ⅱ）因为f 中不含平方项而含21x x 乘积项，故令 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=.,,33212211y x y y x y y x )1(代入二次型，得 3213212121)(6)(2))((2y y y y y y y y y y f --++-+=323122218422y y y y y y +--=再按情形1的方法配方 232322316)2(2)(2y y y y y f +---=令 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=,,2,33322311y z y y z y y z )2( 即 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=,,2,33322311z y z z y z z y )3(则二次型化为 232221622z z z f +-=将式)1(代入式)3(，得可逆线性变换 ⎪⎩⎪⎨⎧=--=++=.,,33332123211z x z z z x z z z x2．2 初等变换法（合同变换法）我们知道可逆矩阵可以表示为有限个初等矩阵1P ，2P ，…，m P 的乘积，即m m P P EP P P P C ......2121== )1.2.2(把上式代入式D AC C T =，得 D P P AP P P P m TTTm =......2112 )2.2.2(式)2.2.2(表明，对对称矩阵A 施行m 次初等行变换及相同的m 次初等列变换，A 就变为对角矩阵D ．而式)1.2.2(表明对单位矩阵E 施行上述的初等列变换，E 就变为可逆矩阵C ．这种利用矩阵的初等变换求可逆矩阵C 及对角矩阵D ，使得A 与D 合同的方法称为初等变换法．因此可得利用初等变换法化二次型为标准形的步骤如下：第一步：写出二次型f 的矩阵A ，并构造n n ⨯2矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛E A ；第二步：对A 进行初等行变换和同样的初等列变换化为矩阵D ，此时D AC C T =；第三步：写出可逆线性变换CY X =化二次型为标准形DY Y f T =．这个方法可示意如下：⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C D E A E A 换只进行其中的初等列变对和初等列变换进行同样的初等行变换对例]6[1.2.2用初等变换把二次型3231213213),,(x x x x x x x x x f -+=经过非退化（可逆）线性变换化成标准形，并写出所作的非退化线性变换．解 ),,(321x x x f 的矩阵是⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=023212302121210A ，用矩阵的初等行、列变换法，有−−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⨯++211212)21(10001100102312302112111001000102321230211212110010001023212302121210rr c c r r E A−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------−−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------+++-⨯313121100021102111101410101100021102110111410101100011001023114101211)21(c c r r c c ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----100121112111101410001−−−→−+-⨯32)4(r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---100121112113001410001−−−→−+-⨯32)4(c c ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---100121132113000410001因此，1001004003D ⎛⎫⎪⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=10012113211C 令CY X =．其中 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321x x x X ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321y y y Y 得232221321341),,(y y y x x x f +-=所做的非退化（可逆）线性变换CY X =，则 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+=+-=.,21,32133********y x y y y x y y y x2．3 正交变换法对于任一n 阶实对称矩阵A ，一定存在正交矩阵T ，使得 Λ=-AT T 1其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=Λn λλλ21这里1λ，2λ，…n λ 是A 的n 个特征值．注意到T 是正交矩阵，所以Λ==-AT T AT T T 1定理]3[1.3.2（主轴定理）对于任意一个n 元实二次型AX X x x x f T n =),...,,(21 一定能找到一个正交线性替换TY X =，把它变成标准形2222211...n n y y y λλλ+++ 其中1λ，2λ，…n λ是实对称矩阵A 的全部特征值，正交矩阵T 的n 个列向量恰为A 的对应特征值1λ，2λ，…n λ的标准正交特征向量．用正交变换法化二次型为标准形的步骤归纳如下：第一步：写出二次型f 的矩阵A ；第二步:求出A 的特征值，得1λ，2λ，…n λ；第三步：求出对应的特征向量；第四步：将特征向量作施密特正交变换，得到正交的特征向量；第五步：将正交的特征向量单位化；第六步：将这些单位化向量排成矩阵，得到正交矩阵Q ，这时Λ=='-AQ Q AQ Q 1其中Λ是对角矩阵，它由A 的特征值构成，即),...,(21n diag λλλ=Λ，写得时候要注意与特征向量的顺序一致；第七步：写出可逆线性变换QY X =，则有 2222211...n n y y y f λλλ+++= 因此只要求出特征根，二次型的标准形也就求出来了．正交变换更具实用性．例]3[1.3.2 用正交变换化二次型-+++=21232221214552),...,,(x x x x x x x x f n323184x x x x -为标准形，并写出所用的正交变换．解二次型的矩阵为222254245A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭．因为 )10()1()det(2--=-λλλA E ，所以A 的特征值为121==λλ，103=λ可求得对应的特征向量分别为1210ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2201ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，3122ξ-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭将1ξ，2ξ正交化 11210ηξ-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，212211125,4,51ξηηξηηη⎛⎫⎪⎪〈〉 ⎪=-⋅= ⎪〈〉 ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭再将1η，2η，3ξ单位化10ψ⎛ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，2ψ=，3132323ψ⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ 于是正交变换1122331323203x y x y x y ⎛⎫- ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭化二次型为 23222110y y y f ++=2．4 雅可比法设V 是数域P 上一个n 维线性空间，取定V 的一组基12n ,,...,εεε，令α=∑=ni ii x 1ε，β=∑=ni i i y 1ε，T n x x X ),,(1 =，T n y y Y ),,(1 =，那么给定一个F 上的n 元二次型AX X T （其中A 是n 阶对称矩阵），则由A 可以定义一个V 上对称双线性函数),(βαf =AY X T ，其中⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=),(),(),(),(1121n n n n f f f f A εεεεεεεε．反之亦然．在固定的基12n ,,...,εεε下，二次型AX X T 和对称双线性函数),(βαf =AY X T 是互相唯一确定的（都是由A 确定的）．这种方法的中心问题是：对在V 的基12n ,,...,εεε下有二次型AX X T 确定的对称双线性函数),(βαf =AY X T ，满足条件0),(=j i f ηη，对),...,2,1,(n j i j i =≠设{1n ,...,ηη}是V 的另一组基，而n n ij b B ⨯=)(=)),((j i f ηη是),(βαf 关于这个基的矩阵，又设n n ij c C ⨯=)(是由基12n ,,...,εεε到基1n ,...,ηη的过渡矩阵，即∑==nj j ij i c 1εη，n i ,...,2,1= 那么 AC C B T =即一个双线性函数关于V 的两个基的两个矩阵是合同的．在n R 中，从一个基12n ,,...,εεε出发，利用施密特正交化方法，可以构造一个与之等价的正交基1n ,...,ηη．该方法的实质就是设 111121212221122,,.n n n nn n c c c c c c ηεηεεηεεε=⎧⎪=+⎪⎨⎪⎪=+++⎩然后用待定系数法求使得0),(=j i f ηη（其中j i ≠，n j i ,...,2,1,=）的系数ij c ．是否能构造如下形式的基1n ,...,ηη：111121212221122,,.n n n nn n c c c c c c ηεηεεηεεε=⎧⎪=+⎪⎨⎪⎪=+++⎩使得0),(=j i f ηη，对),...,2,1,(n j i j i =≠解将j jj j j j c c c εεεη+++= 2211代入),(j i f ηη得),(),(2211j jj j j i j i c c c f f εεεηηη+++==),(),(),(221j i jj i j i i j f c f c f c εηεηεη+++ ，所以，若对任意的i 及j i <有0),(=j i f ηη，则对i j <，也有0),(=j i f ηη，又因双线性函数),(βαf 是对称的，则对i j >，有0),(),(==i j j i f f ηηηη，即1n ,...,ηη是所求的基。

线性代数14.配方法化二次型、正定二次型

1 2
x3）2 +（2 x2
+x3）2 +（
-
52）x32
当 5， f 正定;
2
规范形为 f z12 z22 z32
当 5，f 半正定;
2
规范形为 f z12 z22
当 5， f 不定;
2
规范形为 f z12 z22 -z32
例6.3.3 设A是n阶正定矩阵, 证明A1, A, Ak (k为正整数)都是正定矩阵.
(x1 2x2 2x3)2 2(x2 x3)2 5x32
令： yy12
x1
2
x2 x2
2x3 x3
y3
x3
y1 1 2 2 x1
即：
y2
0
1
1
x2
y3 0 0 1 x3
x1 1 2 2 1 y1
从而： x2
0
1
1
y2
x3 0 0 1 y3
故该实二次型的正惯性指数p 2,
负惯性指数q 0
秩r p q 2 规范形为h(z) z12 z22.
6.3 定性分类
定义6.3.1 设有二次型 f xT Ax ，其中 A 为实对称矩阵,
若对任意非零向量 x ，总有：（1）f xT Ax 0，则称 f xT Ax 为正定二次型，并称 A 为正定矩阵；（2）f xT Ax 0，则称 f xT Ax 为半正定二次型，并称 A 为半正定矩阵；（3）f xT Ax 0，则称 f xT Ax 为负定二次型，并称 A 为负定矩阵；（4）f xT Ax 0，则称 f xT Ax 为半负定二次型，并称 A 为半负定矩阵；
A正定 A的各阶顺序主子式均大于零
A负定 A的奇数阶顺序主子式均为负，

线代课件§6用配方法化二次型成标准形

4. 配方
最后，我们对每一项进行配方，得到 $(x-g)^2 = D - g^2$，$(y-f)^2 = D f^2$ 和 $(z-h)^2 = D h^2$。
证明步骤详解
1. 引入配方法
2. 展开式子
这一步是为了将二次型转化为一个更易于处理的形式，通过引入 $g, f, h$ 和 $D$，使得二次型可以更容易地被配方。
证明结论总结
• 通过上述的证明过程，我们证明了二次型 $f(x,y,z) = ax^2 + by^2 + cz^2 + 2gx + 2fy + 2fz$ 可以被配方法化为标准形 $f(x,y,z) = a(x-g)^2 + b(y-f)^2 + c(z-h)^2 + D$。
05
配方法化二次型成标准形的应用
配方法简介
01
配方法的定义：通过配方将二次型转化为完全平方的形式，从而将其化为标准形的方法。
02
配方法的步骤
03
1. 将二次型中的每一项写成平方项与线性项之和。
04
2. 将二次型中的平方项组合成完全平方项。
05
3. 将二次型中的线性项与完全平方项相加，得到标准形。
06
配方法的适用范围：适用于任何实数域上的二次型，尤其在实数域上的一元二次方程求解中有广泛应用。
理解了二次型标准形在解决实际问题中的应用价值。
对未来研究的展望
深入研究其他化二次型为标准形的方法，如三角分解法、正交变
换法等。
探索二次型标准形在各个领域的应用，如物理学、工程学、经济
学等。
进一步研究二次型标准形与矩阵理论之间的关系，以及其在矩阵分解和特征值计算等领域的应用。

怎么化二次型为标准型

怎么化二次型为标准型首先，我们需要了解什么是二次型。

二次型是指具有下面形式的多项式：\[ Q(x_1, x_2, \cdots, x_n) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij}x_ix_j \]其中，$a_{ij}$是常数，$x_1, x_2, \cdots, x_n$是变量。

当然，这里的$a_{ij}$可以是任意实数，而不一定是对称矩阵。

接下来，我们来看怎么将二次型化为标准型。

首先，我们需要进行配方法，即将二次型中的平方项配方成完全平方的形式。

具体来说，对于二次型中的每一项$a_{ij}x_ix_j$，我们可以将它配方成$(\alpha_ix_i + \beta_jx_j)^2$的形式，其中$\alpha_i, \beta_j$是待定系数。

通过适当的选取$\alpha_i, \beta_j$，我们可以将二次型中的所有平方项都配方成完全平方的形式。

然后，我们将配方法后的二次型写成矩阵的形式。

具体来说，我们可以将二次型表示成矩阵的形式：\[ \mathbf{x}^T A \mathbf{x} \]其中，$\mathbf{x} = [x_1, x_2, \cdots, x_n]^T$，$A$是一个对称矩阵，它的对角线上的元素是二次型中的平方项的系数，非对角线上的元素是二次型中的交叉项的系数的一半。

接下来，我们需要对矩阵$A$进行对角化。

对称矩阵可以通过正交相似变换对角化，即存在正交矩阵$P$，使得$P^TAP$是一个对角矩阵。

这个对角矩阵的对角线上的元素就是二次型的标准型的系数。

最后，我们将对角化后的矩阵重新表示成二次型的形式，就得到了二次型的标准型。

总结一下，化二次型为标准型的步骤主要包括配方法、矩阵表示、对称矩阵对角化和重新表示成二次型的过程。

这些步骤需要运用到线性代数中的许多知识，包括矩阵的运算、特征值和特征向量、正交矩阵等内容。

化二次型为标准形的方法

化二次型为标准形的方法内容摘要:高等代数作为我们数学专业的一门重要的基础课。

它以线性空间为背景，以线性变换为方法，以矩阵为工具，着重研究线性代数的问题。

二次型式多元二次函数，其内容本属于函数的讨论范围，然而二次型用矩阵表示之后，用矩阵方法讨论函数问题，使得二次型的问题变得更加简洁明确，二次函数的内容也更加丰富多彩。

而我们要讨论的是如何化二次型为标准形，也就是用矩阵方法把对称矩阵合同与对角矩阵。

二次型是高等代数的重要内容之一，二次型的基本问题是要寻找一个线性替换把它变成平方项，即二次型的标准形。

下面介绍了一些化二次型为标准形的方法：配方法，交变换法，初等变换法，雅可比方法，偏导数法关键词：二次型线性替换矩阵标准形导言：二次型的理论来源于解析几何中二次曲线、二次曲面的化简问题。

二次型是学中的一个极其重要的问题，这个问题不仅在数学上，而且在物理学，工程学，经济学领域都有广泛的应用。

在研究时为了研究的方便，我们经常要化二次型为标准形。

我们知道，任一二次型和某一对称矩阵是相互唯一确定的，而任一实对称矩阵都可以化为一对角矩阵，相应的以实二次型都可以化为标准形，以下就是化二次型为标准形的几种方法，通过典型例题，体会二次型问题时的多样性和灵活性。

化二次型为标准形的方法一．配方法配方法是解决这类问题时另一个常用方法，通过观察对各项进行配方，其实质就是运用非退化的线性替换。

使用配方法化二次型为标准形时，最重要的是要消去像()i j x x i j ≠这样的交叉项，其方法是利用两数的平方和公式和两数的平方差公式逐步的消去非平方项并构造新的平方项。

定理:数域P 上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和2221122...n n d x d x d x +++的形。

1.如果二次型含有i x 的平方项，那么先把含有i x 的乘积项集中，然后再配方，再对其余的项同样进行，直到都配成平方项为止，写出前面过程所经过的所有非退化的线性替换，就将二次型化为标准形了。

化二次型为标准型的方法

在二次曲面的研究中也有类似的情况。

（1）的左端是一个二次齐次多项式。

从代数的观点看，所谓化标准方程就是用变量的线性替换（2）化简一个二次齐次多项式，使它只含平方项。

二次齐次多项式不但在几何中出现，而且数学的其他分支以及物理、力学中也常会碰到。

现在就来介绍它的一些最基本的性质。

如果ij c 0≠，那么线性替换（4）就称为非退化的。

在讨论二次型时，矩阵是一个有力的工具，因此把二次型与线性替换用矩阵来表示。

二次型化为标准型的三种方法

f
(x1, x2,..., xn )
a11
x121
2x1
a12 a11
x2
...
a1n a11
xn
a
x2
22 2
...
2a2n xn2
配方
...... ann xn2
a11 x1
a12 a11
x2
...
a1n a11
xn
2
1
a11
a12x2 a13x3 ... a1n xn
x1
x1
xxx2222xxx3332222xxx22222x344xx32去324掉4xx2配x2 3x方3 后多出来的项
x1 x2 x3 2 x2 2x3 2.
令
y1 y2
x1 x2 x2 2x3
x3
x1 x2
y1 y2 y2 2 y3
y3
y3 x3
x3 y3
例1 化二次型 f x12 2 x22 5 x32 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3
为标准形,并求所用的变换矩阵.
解
含有平方项
含有 x1的项配方
f x12 2x22 5x32 2x1 x2 2x1 x3 6x2 x3
x12 2x1 x2 2x1 x3 2x22 5x32 6x2 x3
B
1
2. 若二次型中不含有平方项，但是 aij 0
(i j),则先作可逆线性变换
2x1x2
2x1x 3
2x
2 2
4x2x3
x
2 3
化为标准形
解:配方化简
x12
2x1x2
2x1x3
2x
2 2
4x2x3

用配方法和初等变换法化化二次型为标准形

例题
1 0 0
1 2 1
得
PT
2
1
0
，则
P
0
1
1 ，所用可逆变换为 x Py ，即
1 1 1
0 0 1
x1 x2
y1
2 y2 y2
y3 y3
，，
x3
y3 ，
将 f 化为标准形 f y12 3y22 ．
1.3 标准二次型化为规范二次型
定义
若标准二次型中的平方项系数只有 0，-1 和 1，则该二次型称为规范二次型．
，，即
x1 x2
y1
2
y2 y2
y3 y3
，，将
f
化为标准形
f
y12
3y22 ，所用变换矩阵
y3
x3 ， x3
y3
1 2 1
为
P
0
1
1 ．
0 0 1
1.1 用配方法化二次型为标准形
例题
例 3 用配方法求二次型 f x1x2 x2x3 的标准形，并写出相应的可逆线性变换．
[ (x1 2x2 x32 ) 42x2 2x3 4x2 x3 ] 2 x2 2 x2 x3 22 x3
(x1 2x2 x32) 32x2 6x2 x3 32 x3
(x1 2x2 x3 )2 3(x2 x3 )2 ．
令
y1 y2
x1
2 x2 x2
x3 x3
，得
f
的标准形为
f
z12
z22 ．
因此，所用的可逆线性变换为
x1 1
x2
1
x3 0
1 1 0
1
0
01
0 0

3--配方法化二次型为标准型

情形2 二次型中不含平方项，只含有 xi xj 的项，此时先作可逆线性变换
xi yi y j , x j yi y j , xk yk , k i, j.
将二次型化为含平方项的二次型，再按情形1中介绍的方法做。
f ( x1 , x2 , x3 ) x12 2 x22 5x32 2 x1 x2 4 x2 x3.
2 x1 x2 2
2 （x1 x2） x2 2 5x32 4 x2 x3
（x1 x2）（x2 2 x3） x3 y12 y2 2 y32
1 0 2 C 0 1 2 . 0 0 1
2 2
2.由 A E 0 A的特征值为1 0, 2 1, 3 9.
在正交变换下，可将 f 1化为 y2 9 y3 1.
为椭圆柱面。
正交变换保持向量长度不变,只有在正交变换下将二次型化为标准形，才能确定它所表示的曲面类型。注：设 Y=QX，Q为正交矩阵，则有
y1 x1 x2 , y2 x2 2 x3 , y x . 3 3
x1 y1 y2 2 y3 , 1 1 2 C 0 1 2 . x2 y2 2 y3 , 0 0 1 x y . 3 3
2 1 2 2
( x1 2 x3 ) 2 ( x2 2 x3 ) 2 y12 y2 2 .
y1 x1 2 x3 , y2 x2 2 x3 , y x . 3 3
x1 y1 2 y3 , x2 y2 2 y3 , x y . 3 3
正交变换保持向量长度不变只有在正交变换下将二次型化为标准形才能确定它所表示的曲面类型

化二次型为标准形的常用方法

化二次型为标准形的常用方法我折腾了好久化二次型为标准形这事儿，总算找到点门道。

我一开始真的是瞎摸索啊。

首先我试过配方法。

就好比你整理东西，把散的、乱的慢慢凑成规整的形状一样。

这个方法就是针对二次型的式子，通过配方把它转化成像平方和的形式，这样就变成标准形了。

我记得有一次二次型是那种有交叉项而且系数挺复杂的式子，我就开始一个变量一个变量的配。

但是我当时犯了一个错，就像是搭积木搭错了一块似的，我弄错了配方的顺序，结果得到了一个超级复杂还不对的结果。

后来我就明白了，配方的时候得先从某个合适的变量开始，而且每一步都要仔细计算。

不过配方法有些时候虽然能做出来，但是计算量可能会很大很大，就像你要搬一座小山一样费劲。

然后我又学了正交变换法。

这个方法可就有点高大上了，它跟线性代数里的好多概念都有关系。

咱们得先求二次型矩阵的特征值和特征向量。

求特征值就像是在找一把特殊的钥匙，特征向量就是这把钥匙打开的门后面藏着的宝藏一样。

但是求的时候真的得细心，像是我有一次计算矩阵乘法的时候就抄错了一个数，最后特征值全错了。

求出来特征值和特征向量之后呢，还得把特征向量正交单位化，这个过程就像训练一群士兵整齐地站队一样。

不过这个方法虽然步骤多，但是它有个好处，通过正交变换得到的标准形是唯一的，这就很厉害啦。

我还试过拉格朗日配方法，这跟前面说的配方法有点像，但是又不完全一样。

它是比较系统地在做配方这件事。

它有个规则，就是要按照变量的顺序依次去处理，这样虽然可能呆板一点，但是不容易出错。

不过我对这个方法掌握得还不是特熟练，有时候还是会转不过弯来。

我觉得吧，要化二次型为标准形，首先你得把这些基础的方法多练练。

就像走路，你得一步一步走稳了才能走得远。

遇到复杂的式子不要害怕，就从你最熟悉的变量或者方法开始下手。

还有计算的时候千万千万要仔细，一个小错误就可能让最后的结果南辕北辙哦。

再就是多做一些例子，每做一个例子就像是打一场小仗，打完仗要总结经验，这样下次遇到类似的“敌人”就能轻松应对啦。