3--配方法化二次型为标准型
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情形2 二次型中不含平方项，只含有 xi xj 的项，此时先作可逆线性 变换
xi yi y j , x j yi y j , xk yk , k i, j.
将二次型化为含平方项的二次型，再按情形1中介绍的方法做。
2 1 2 2
1.求一可逆变换将该二次型化为标准形; 2. f ( x1 , x2 , x3 ) 1是什么曲面 ?
1. f ( x1 , x2 , x3 ) x x2 8x3 4 x1 x3 4 x2 x3
2 1 2 2
( x1 2 x3 ) 2 ( x2 2 x3 ) 2 y12 y2 2 .
y1 x1 2 x3 , y2 x2 2 x3 , y x . 3 3
x1 y1 2 y3 , x2 y2 2 y3 , x y . 3 3
1 0 2 C 0 1 2 . 0 0 1
||Y||2=YTY=(QX)T(QX)=XTQTQX=XTX=||X||2.
注：配方法化二次型为标准形一般有两种情形：
情形1 二次型中含有平方项，如含有 x12，此时先集中含有 x1 的项， 对 x1 配成完全平方，再集中含有 x2 的项，对 x2 配成完全平方，如 此继续下去，直到化为标准形。
2 2
2.由 A E 0 A的特征值为1 0, 2 1, 3 9.
在正交变换下，可将 f 1化为 y2 9 y3 1.
为椭圆 柱面。
正交变换保持向量长度不变,只有在正交变换下将二次 型化为标准形，才能确定它所表示的曲面类型。 注：设 Y=QX，Q为正交矩阵，则有
x1 y1 y2 2 y3 , 1 1 2 C 0 1 2 . x2 y2 2 y3 , 0 0 1 x y . 3 3
例2 : 设二次型f ( xபைடு நூலகம் , x2 , x3 ) x x2 8x3 4 x1 x3 4 x2 x3 ,
2 x1 x2） 2 x 2 5 x3 4 x 2 x 3
2 2 2
2 2
2 （x1 x2） x2 2 5x32 4 x2 x3
（x1 x2） （x2 2 x3） x3 y12 y2 2 y32
y1 x1 x2 , y2 x2 2 x3 , y x . 3 3
配方法化二次型为标准形
例1: 用配方法化二次型为标准形, 并求可逆变换矩阵。
解 : f ( x1 , x2 , x3 ) x12 2 x2 2 5x32 2 x1 x2 4 x2 x3
2 （x1
f ( x1 , x2 , x3 ) x12 2 x22 5x32 2 x1 x2 4 x2 x3.
xi yi y j , x j yi y j , xk yk , k i, j.
将二次型化为含平方项的二次型，再按情形1中介绍的方法做。
2 1 2 2
1.求一可逆变换将该二次型化为标准形; 2. f ( x1 , x2 , x3 ) 1是什么曲面 ?
1. f ( x1 , x2 , x3 ) x x2 8x3 4 x1 x3 4 x2 x3
2 1 2 2
( x1 2 x3 ) 2 ( x2 2 x3 ) 2 y12 y2 2 .
y1 x1 2 x3 , y2 x2 2 x3 , y x . 3 3
x1 y1 2 y3 , x2 y2 2 y3 , x y . 3 3
1 0 2 C 0 1 2 . 0 0 1
||Y||2=YTY=(QX)T(QX)=XTQTQX=XTX=||X||2.
注：配方法化二次型为标准形一般有两种情形：
情形1 二次型中含有平方项，如含有 x12，此时先集中含有 x1 的项， 对 x1 配成完全平方，再集中含有 x2 的项，对 x2 配成完全平方，如 此继续下去，直到化为标准形。
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2.由 A E 0 A的特征值为1 0, 2 1, 3 9.
在正交变换下，可将 f 1化为 y2 9 y3 1.
为椭圆 柱面。
正交变换保持向量长度不变,只有在正交变换下将二次 型化为标准形，才能确定它所表示的曲面类型。 注：设 Y=QX，Q为正交矩阵，则有
x1 y1 y2 2 y3 , 1 1 2 C 0 1 2 . x2 y2 2 y3 , 0 0 1 x y . 3 3
例2 : 设二次型f ( xபைடு நூலகம் , x2 , x3 ) x x2 8x3 4 x1 x3 4 x2 x3 ,
2 x1 x2） 2 x 2 5 x3 4 x 2 x 3
2 2 2
2 2
2 （x1 x2） x2 2 5x32 4 x2 x3
（x1 x2） （x2 2 x3） x3 y12 y2 2 y32
y1 x1 x2 , y2 x2 2 x3 , y x . 3 3
配方法化二次型为标准形
例1: 用配方法化二次型为标准形, 并求可逆变换矩阵。
解 : f ( x1 , x2 , x3 ) x12 2 x2 2 5x32 2 x1 x2 4 x2 x3
2 （x1
f ( x1 , x2 , x3 ) x12 2 x22 5x32 2 x1 x2 4 x2 x3.