第六章杆件的应力应变分析
工程力学中的应力-应变分析如何进行？
工程力学中的应力-应变分析如何进行？工程力学中的应力应变分析如何进行？在工程力学的领域中，应力应变分析是一项至关重要的工作。
它不仅帮助我们理解材料在受力时的行为，还为工程设计和结构安全性评估提供了关键的依据。
那么，应力应变分析究竟是如何进行的呢？要进行应力应变分析，首先得清楚什么是应力和应变。
简单来说，应力是材料内部单位面积上所承受的力，而应变则是材料在受力作用下发生的相对变形。
我们先来看应力。
应力可以分为正应力和切应力。
正应力是垂直于作用面的应力分量，比如一根杆子受到拉伸，其横截面上的应力就是正应力。
切应力则是平行于作用面的应力分量，像轴在扭转时，其横截面上就会产生切应力。
计算应力时，需要明确受力的情况和作用面的面积。
以简单的拉伸为例，如果一个杆子受到的拉力为 F，横截面积为 A，那么正应力就等于 F/A。
但实际情况往往复杂得多，可能涉及到不均匀的受力分布或者复杂的几何形状。
接下来谈谈应变。
应变分为线应变和角应变。
线应变表示长度的相对变化，比如杆子在拉伸时长度的增加量与原长的比值就是线应变。
角应变则反映了角度的变化，常见于物体的扭转或剪切变形。
为了准确测量应变，通常会使用各种应变测量仪器，比如电阻应变片。
这些仪器能够将微小的应变转化为电信号，从而实现测量和记录。
在实际的工程问题中，应力和应变之间存在着一定的关系，这就是材料的本构关系。
不同的材料具有不同的本构关系，比如线性弹性材料遵循胡克定律，即应力与应变成正比；而对于塑性材料，其应力应变关系则更加复杂。
要进行应力应变分析，第一步是确定结构的受力情况。
这包括外力的大小、方向和作用点，以及内部约束力的分布。
通过对结构进行力学建模，可以将复杂的实际结构简化为便于分析的力学模型。
然后，根据所选的力学模型，运用相应的力学原理和公式来计算应力和应变。
这可能涉及到材料力学中的拉伸、压缩、弯曲、扭转等各种基本变形的理论，以及结构力学中的静定和超静定结构的分析方法。
杆件的应力
σ
B A
D
C
E
O
ε
1. 弹性阶段 OAB：这一阶段可分为：斜直线 和微弯曲 ：这一阶段可分为：斜直线OA和微弯曲
线AB，该段范围内，试件变形是弹性的，卸载后变形可完全恢复。 ，该段范围内，试件变形是弹性的，卸载后变形可完全恢复。 去外力后变形完全消失的性质称为弹性
σ
D
B A
C
E
O
ε
1.OB段：弹性阶段 段
一、薄壁圆筒的扭转 等厚度的薄壁圆筒,平均半径为 壁厚为 等厚度的薄壁圆筒 平均半径为 r,壁厚为 t
壁厚t<<r
m 薄壁圆筒扭转试验
m
预先在圆筒的表面画上等间距 的纵向线和圆周线， 的纵向线和圆周线，从而形成 一系列的正方格子。 一系列的正方格子。 观察到的现象 圆周线保持不变； 圆周线保持不变；纵向线发生倾斜 设想 薄壁圆筒扭转后，横截面保持为大小均无改变的平面， 薄壁圆筒扭转后，横截面保持为大小均无改变的平面，相邻 两横截面绕圆筒轴线发生相对转动。 两横截面绕圆筒轴线发生相对转动。
标准试件 标距 l，通常取 l
= 5d
或l
= 10 d
夹头
夹头
液压式万能试验机 活塞
油管
活动试台
底座
低碳钢——含碳量在0.3%以下的碳素钢。 (I)低碳钢Q235(A3钢)试件的拉伸图：
（P— ∆L) 曲线——拉伸图 P
D B A
C
E
O
∆l
P
σ
P A
∆l
ε ∆l
l
（Ⅱ）低碳钢 Q 235 的应力—应变图（ σ−ε ）曲线
二、剪应力互等定理
纯剪切：单元体上只有 剪应力而无正应力。
第6章 杆件应力应变分析(建筑力学)
6.1.2 应力状态的描述 一、空间应力状态的描述 6个截面，每个面上3个应 力分量，共18个应力分量 根据作用力与反作用力定律， 18个应力分量可减少为9个
注意：符号的规定 截面的外法线和坐 标轴正向相同，则 这个截面的应力分 量就以坐标轴的正 方向为正，以坐标 轴的负方向为负； 剪应力互等定律—在受力构件内过一点相互垂直的两个 微面上，垂直于两微面交线的剪应力大小相等，方向相 向或相背。 空间一点应力状态：
ρθ = s
ε=
y
250 750 = ρ= = θ π /3 π
s
σ = Eε
ρ
σ =E
y
ρ
= Ey
π
750
6.5.3 横力弯曲分析 横截面上存在剪力时 的弯曲称为剪切弯曲 或横力弯曲 （1）横力弯曲时梁中各点的应力状态 （2）梁横力弯曲时横截面上的正应力计算 适用条件： l / h > 5 （3）矩形截面梁横截面上的剪应力计算
试验观察
平截面假设的两条推论： 1）梁内任意一点有， γ xy = γ xz = 0 2）梁纵向应变沿横截面高度是线性分布的 中性轴-中性层与横 截面的交线，垂直于 横截面的对称轴 若取：梁的轴线为x轴 横截面的对称轴为y轴
dx ρ= dθ
中性轴为z轴
ydθ y ΔAB B ' B εx = = = = AB O1O2 O1O2 ρ
15 × 103 × 0.2 × 0.15 × (0.1 + 0.075) = = 0.189MPa 1 0.2 × × 0.2 × 0.53 12
* FQ ( x )S z
bI z
§6.6 杆件强度验算 强度理论是关于材料失效现象主要原因的假说 材料失效破坏现象的两种类型 （1）屈服失效 材料出现不可恢复的塑性变形而失效 （2）断裂失效 材料无明显的变形而突然断裂
建筑学教学大纲——建筑力学
《建筑力学》课程教学大纲课程编码：学时：32学分：4适用专业：建筑学开课部门：一、课程的性质与任务《建筑力学》是建筑学专业学生必修的专业基础课。
它以高等数学、物理学为基础，通过本课程的学习，培养学生具有初步对建筑工程问题的简化能力，一定的力学分析与计算能力，是学习有关后继课程和从事专业技术工作的基础。
通过学习本课程，培养学生具有一般结构受力分析的基本能力；熟练掌握静力学的基本知识；掌握静定结构的内力和位移计算；掌握基本杆件的强度、刚度、稳定性计算；基本掌握简单超静定结构的内力的计算。
通过学习《建筑力学》可以有效培养学生逻辑思维能力，促进学生综合素质的全面提高。
三、实践教学的基本要求无课程的基本教学内容及要求第1章绪论1.教学内容（简要概括本章的主要教学内容）1.1 建筑力学的使命1.2 建筑力学的任务1.3 建筑力学的基本内容和作用1.4 怎样欣赏建筑力学这门学科2.重点与难点重点：无难点：无3.课程教学要求本章主要介绍了建筑三要素和建筑力学的使命，建筑力学的任务以及建筑力学的基本内容和作用。
通过本章的学习，同学们对建筑力学有初步的认识和了解。
第2章静力学基础1.教学内容（简要概括本章的主要教学内容）2.1力的概念2.2静力学的定律和原理2.3力系的分类和简化2.4静力分析·平面力系的平衡条件2.5空间力系的平衡条件2.6本章小结2.重点与难点重点：平面力系的平衡条件难点：平面任意力系向平面内任意一点的简化3.课程教学要求理解力的基本概念、基本公理、力偶及力偶矩矢、力的平移定理以及一般力系的简化。
通过本章的学习，要求掌握力在坐标轴上的投影和力矩关系定理，会进行一般力系的简化计算，并能对平面力系的平衡问题进行求解。
第3章建筑结构的类型和结构计算简图1.教学内容（简要概括本章的主要教学内容）3.1常见建筑结构的类型3.2结构计算简图3.3结构受力分析图3.4本章小结2.重点与难点重点：约束的简化、结构受力分析图的绘制难点：结构受力分析图3.课程教学要求本章主要介绍了建筑结构的分类、结构的计算简图、建筑荷载的简化和计算、约束的简化和约束力以及结构受力分析图的绘制。
材料力学第五版课件 主编 刘鸿文 第六章 动荷载·交变应力
解：1）求最大静应力和静变形
Q
( ) s st max
=
QL Wz
QL3 D st = 3EI
l
2）计算动荷系数
Kd =
v2 gD st
3）计算最大正应力
(s d )max
=
Kd (s st )max
=
Kd
QL Wz
内容小结
动响应=Kd × 静响应
1、构件有加速度时动应力计算
（1）直线运动构件的动应力
Kd = 1+
1+ 2h D st
= 1+ 1+ 2h ×EA
Ql
l
3）计算冲击应力
sd
=
kds st =
Q+ A
(Q )2 Q Q
h
【例6-4】圆截面直杆长度为6m，截面直径d=300mm，杆件材
料的杨氏模量E=10GPa，重物重5kN，从h=1m处自由落下。
1、求最大应力。 2、在木柱上端垫20mm厚的橡皮，杨氏模量E=8MPa。最大正 应力为多少？
1998年6月3日，德国艾舍德高速列车脱轨事故中的车轮轮缘疲劳断口
三.什么是疲劳？
只有承受交变应力作用的条件下，疲劳才发生；
三.什么是疲劳？
疲劳破坏起源于高应力或高应变的局部；
a. 静载下的破坏，取决于结构整体；
b. 疲劳破坏由应力或应变较高的局部开始，形成损伤 累积，导致破坏发生；
Q
h
解：
1、
D st =
Ql = EA
5创103 6? 103 10创103 1 创3.14 3002
=
4.25? 10- 2(mm)
4
2h
钢管的应力分析和变形计算
钢管的应力分析和变形计算钢管是一种常用的建筑材料，它具有高强度、抗压性能强等特点，在建筑工程中扮演着重要的角色。
而在使用钢管时，钢管所承受的力量会导致钢管产生应力和变形，因此对钢管的应力分析和变形计算是非常重要的。
一、钢管的应力分析钢管所承受的力量主要有压力、弯曲力和剪切力等。
在这些力量的作用下，钢管内部会产生应力。
为了保证钢管的安全工作，需要进行应力分析。
1. 压力的作用当钢管受到垂直于其轴线方向作用的力时，钢管内部会产生等大反向的应力。
假设钢管受到的压力为P，钢管直径为d，钢管壁厚度为t，钢管的应力σ可以按以下公式计算：σ=P/(πd*t)2. 弯曲力的作用当钢管受到弯曲力作用时，钢管的弯曲应力最大。
在这种情况下，可采用莫尔-库伦公式来计算钢管的应力，公式如下：σ=M*y/I其中，M为弯曲力矩，y为点到钢管中心轴线的距离，I为钢管截面惯性矩。
3. 剪切力的作用当钢管受到剪切力作用时，钢管产生剪切变形并产生剪切应力，采用最大剪切应力理论进行计算可得：τ=F/(2A)其中，F为作用于钢管上的剪切力，A为钢管的横截面积。
二、钢管的变形计算钢管受到力量作用时，其会产生变形。
变形计算是为保证钢管在受力的过程中不超过允许变形量所必需的计算。
1. 弹性变形计算钢管在受到作用力时会产生弹性变形。
当钢管的受力时限制在弹性范围内，可采用胡克定律进行弹性变形的计算。
假设当钢管受力后变形量为ΔL，弹性模量为E，作用力为P，则弹性变形量可按照以下公式进行计算：ΔL=PL/(AE)2. 塑性变形计算当钢管受到的力量超出了材料所能承受的弹性极限后，钢管会产生塑性变形。
而塑性变形后的钢管形状难以计算，因此在进行变形计算时通常采用杆件理论进行处理。
杆件理论根据杆件的几何形状、材料和作用力进行杆件弯曲变形和剪切变形的计算，由于钢管直径较小，通常将钢管视为杆件。
在杆件弯曲变形计算中，采用冯·米塞斯的应变能理论和极大应力原理进行计算；在杆件剪切变形计算中，采用科西桥公式进行计算，同时应注意剪应力不应超出材料的剪切强度。
变截面圆杆轴向拉压时的应力分析
变截面圆杆轴向拉压时的应力分析在工程结构设计和力学分析中，经常会涉及到圆杆的轴向拉压情况。
变截面圆杆轴向拉压时，需要进行应力分析来评估其强度和稳定性。
本文将从变截面圆杆的应变分析、应力分析及强度评估三个方面进行详细阐述。
首先，我们来看变截面圆杆的应变分析。
对于一个轴向受拉力F作用下的圆杆，根据拉伸应变的定义，应变ε=△L/L，其中△L为杆件拉伸后的长度增量，L为杆件的初始长度。
对于直径为d1、d2的两个不同截面的圆杆，它们的初始长度相同，即L1=L2=L。
假设两个不同截面的圆杆受到相同的拉伸力F，根据应变的定义，应变ε1=△L1/L,ε2=△L2/L。
由于△L1和△L2相同，所以ε1和ε2的大小仅取决于截面直径的大小。
当杆截面直径越大，即d1>d2时，应变ε1>ε2，即在截面直径较大的地方应变更大，而在截面直径较小的地方应变较小。
这说明在变截面圆杆的拉伸过程中，截面直径较大的地方应变较大，即应力集中。
接下来，我们来探讨变截面圆杆的应力分析。
根据胡克定律，杆件内的应力与应变成正比。
对于同一截面的圆杆，内部各点的应力大小相同，在轴向拉伸的情况下，圆杆通过截面的轴向拉力均等。
然而，在变截面圆杆的轴向拉压过程中，不同截面处的应力是不同的。
如上述应变分析中所述，截面直径较大的地方应变更大，那么根据胡克定律，截面直径较大的地方应力也更大。
因此，在截面直径较大的地方，应力集中，容易产生应力集中现象。
这就要求我们在杆件设计时，要尽量避免或减小应力集中的情况。
最后，我们来评估变截面圆杆的强度。
材料的抗拉强度是指材料能够承受的最大拉伸力。
当变截面圆杆的拉力超过了材料的抗拉强度时，杆件就会发生塑性变形或断裂。
根据材料力学的知识，破坏材料的拉伸强度与截面面积成正比，而与截面形状无关。
因此，在设计变截面圆杆时，要根据材料的抗拉强度选择适当的截面面积，以确保杆件在拉伸过程中不发生塑性变形或断裂。
综上所述，变截面圆杆的应力分析是评估其强度和稳定性的重要步骤。
第二篇第六章（第十章）应力状态与强度理论
第⼆篇第六章（第⼗章）应⼒状态与强度理论第⼗章应⼒状态与强度理论第⼀节概述前述讨论了构件横截⾯上的最⼤应⼒与材料的试验许⽤应⼒相⽐较⽽建⽴了只有正应⼒或只有剪应⼒作⽤时的强度条件。
但对于分析进⼀步的强度问题是远远不够的。
实际上，不但横截⾯上各点的应⼒⼤⼩⼀般不同，即使同⼀点在不同⽅向的截⾯上，应⼒也是不同的。
例.直杆轴向拉伸(压缩时)斜截⾯上的应⼒.上例说明构件在复杂受⼒情况下，最⼤应⼒并不都在横截⾯上，从⽽需要分析⼀点的应⼒状态。
⼀、⼀点的应⼒状态凡提到“应⼒”，必须指明作⽤在哪⼀点，哪个（⽅向）截⾯上。
因为不但受⼒构件内同⼀截⾯上不同点的应⼒⼀般是不同的。
即使通过同⼀点不同（⽅向）截⾯上应⼒也是不同的。
⼀点处的应⼒状态就是指通过⼀点不同截⾯上的应⼒情况的总和。
或者说我们把过构件内某点所有⽅位截⾯上应⼒情况的总体称为⼀点的应⼒状态。
下图为通过轴向拉伸构件内某点不同（⽅向）截⾯上的应⼒情况。
⽽本章就是要研究这些不同⽅位截⾯上应⼒随截⾯⽅向的变化规律。
并以此为基础建⽴复杂受⼒(既有正应⼒，⼜有剪应⼒)时的强度条件。
⼆、⼀点应⼒状态的描述1、微元法：在⼀般情况下，总是围绕所考察的点作⼀个三对⾯互相垂直的微正六⾯体，当各边边长充分⼩并趋于零时，六⾯体便趋于宏观上的“点”，这种六⾯体称为“微单元体”，简称“微元”。
当微元三对⾯上的应⼒已知时，就可以应⽤截⾯法和平衡条件，求得过该点任意⽅位⾯上的应⼒。
因此，通过微元及其三对互相垂直的⾯上的应⼒情况，可以描述⼀点的应⼒状态。
上图为轴向拉伸杆件内围绕m点截取的两种微元体。
根据材料的连续均匀假设以及整体平衡则局部平衡即微元体也平衡的原则，微元体（代表⼀个材料点）各微⾯上应⼒特点如下：（1）各微⾯上应⼒均匀分布；（2）相互平⾏的两个侧⾯上应⼒⼤⼩相等、⽅向相反；（3）互相垂直的两个侧⾯上剪应⼒服从剪切互等定律。
（在相互垂直的两个平⾯上，剪应⼒必然成对存在，且⼤⼩相等，两者都垂直于两个平⾯的交线，⽅向则共同指向或共同背离这⼀交线。
理论力学中的杆件受力分析与应力计算与设计
理论力学中的杆件受力分析与应力计算与设计杆件受力分析与应力计算是理论力学中的重要内容，它在工程设计和结构分析中起着至关重要的作用。
本文将介绍杆件受力分析的基本原理和方法，并探讨应力计算与设计中的一些关键问题。
一、杆件受力分析1. 弹性力学基本原理杆件受力分析的基础是弹性力学的基本原理。
根据胡克定律，杆件的应力与应变成正比。
而根据伯努利梁理论，杆件上的变形与施加的力和几何形状有关。
通过这些基本原理，可以推导出杆件受力分析的基本方程。
2. 杆件的静力学平衡在进行杆件受力分析时，需要根据静力学平衡条件，即力的平衡和力矩的平衡。
通过平衡条件，可以得到各个支点的受力情况，并进一步计算出杆件上各点的内力和外力。
3. 杆件的弯曲和剪切应力杆件在受力时会发生弯曲和剪切的变形，从而引起内力的产生。
根据梁的弯曲理论和材料的力学性质，可以计算出杆件在不同位置的弯曲和剪切应力。
这对于杆件的设计和选择材料具有重要意义。
二、应力计算与设计1. 杆件的选择和尺寸计算在进行杆件的应力计算与设计时，首先需要选择合适的杆件类型和材料。
不同杆件类型和材料的强度和刚度不同，因此需要根据具体情况进行选择。
同时，还需要计算出杆件的尺寸，以满足设计要求和使用条件。
2. 杆件的极限强度和安全系数在进行杆件设计时，需要考虑到杆件的极限强度和安全系数。
极限强度是指杆件能够承受的最大力或应力，而安全系数是指杆件的实际强度与设计所要求的强度之间的比值。
通过合理选择安全系数，可以保证杆件在使用过程中的安全性。
3. 杆件的疲劳和稳定性设计杆件在长期使用过程中会受到疲劳和稳定性的影响。
在进行杆件设计时，需要考虑到疲劳和稳定性的问题，并进行相应的计算和分析。
通过合理设计杆件的结构和选择合适的材料，可以提高杆件的疲劳寿命和稳定性。
三、杆件设计中的一些关键问题1. 材料的选择和力学性质杆件的设计离不开材料的选择和力学性质的了解。
不同材料具有不同的力学性质，如强度、刚度、韧性等。
工程力学杆件的应力
1.变形几何关系
观察到下列现象:
(1)各圆周线的形状、大小以及两圆周线间的距离没有 变化
(2)纵向线仍近似为直线, 但都倾斜了同一角度γ
（3）表面方格变为菱形。
31
• 平面假设： • 变形前为平面的横截面变形后仍为平面，它
像刚性平面一样绕轴线旋转了一个角度。
g
32
g
g
d
g dx rd
• 梁的平面假设：
梁的各个横截面在变形后仍保持为平面，并 仍垂直于变形后的轴线，只是横截面绕某一 轴旋转了一个角度。
46
• 单向受力假设：假设各纵向纤维之间互不挤 压。于是各纵向纤维均处于单向受拉或受压 的状态。
由平面假设得到的推论：
梁在弯曲变形时，上面部分纵向纤维缩短，下 面部分纵向纤维伸长，必有一层纵向纤维既 不伸长也不缩短,保持原来的长度，这一纵向 纤维层称为中性层。
86.6 MPa
17
二 圣维南原理
当作用在杆端的轴向外力，沿横截面 非均匀分布时，外力作用点附近各截面的 应力，也是非均匀分布的。但圣维南原理 指出，力作用于杆端的分布方式，只影响 杆端局部范围的应力分布，影响区的轴向 范围约离杆端1~2个杆的横向尺寸。
此原理已为大量试验与计算所证实。
用与外力系静力等效的合力代替原力系， 除在原力系作用区域内有明显差别外，在 离外力作用区域稍远处，上述代替影响非 常微小，可以略而不计。
所以，在梁的横截面上一般既有 正应力，又有 剪应力
43
弯曲切应力：梁弯曲时横截面上的切应力 弯曲正应力：梁弯曲时横截面上的正应力 基本变形：拉压；扭转；弯曲 组合变形：
对称弯曲：梁至少有一个纵向对称面，且外力作用在对称面 内，此时变形对称于纵向对称面，在这种情况下的变形形式 称为对称弯曲。
第六章弯曲变形分析
第六章 弯曲变形分析梁是机械与工程结构中最常见的构件。
本章内容包括梁的内力、平面弯曲中横截面上的正应力和切应力分布规律，以及梁的变形计算。
6.1 梁的内力● 梁的概念当杆件受到矢量方向垂直于轴线的外力或外力偶作用时，其轴线将由直线变为曲线，如图6–1(a)。
以轴线变弯为主要特征的变形形式称为弯曲，凡是以弯曲变形为主的杆件，工程上称为梁，如车辆的轮轴、房屋的梁及桥梁等。
在分析计算中，通常用梁的轴线代表梁，如图6–1(b)。
在工程实际中，大多数梁都具有一个纵向对称面；而外力也作用在该对称面内。
在这种情况下，梁的变形对称于纵向对称面，且变形后的轴线也在对称图6–1 梁 图6–2 对称弯曲图6–3 梁的约束 图6–4 三类静定梁面内，即所谓的对称弯曲，如图6–2。
它是弯曲问题中最基本、最常见的情况。
本章只讨论梁的对称弯曲。
图6–3表示了梁的三种常见约束形式及相应的约束力：可动铰支座(图6–3(a))，固定铰支座(图6–3(b))和(平面)固定端约束(图6–3(c))。
在以上三种约束方式下，有三种常见的梁形式，如图6–4所示。
图6–4(a)为简支梁，两端分别为固定铰支座和活动铰支座；图6–4(b)为悬臂梁，一端固定端约束，一端自由；图6–4(b)为外伸梁，它是具有一个或两个外伸部分的简支梁。
这三种梁都是静定梁。
作用在梁上的外载荷，常见的有集中力偶M (图6–5(a))、分布载荷q (图6–5(b))和集中力F (图6–5(c))。
在实际问题中，q 为常数的均布载荷较为常见。
● 梁的剪力与弯矩在4.2中已经介绍了求杆件内力的通用方法，即截面法。
具体到梁，其内力分量为剪力和弯矩，规定当剪力相对于横截面的转向为顺时针为正，使杆件发生上凹下凸的弯矩为正，如图4–5(b)和(c)。
例6–1：如图6–6所示悬臂梁，受均布载荷q ，在B 点处受矩为2qa M =的力偶作用，试绘梁的剪力图与弯矩图。
解：设固定端的约束力和约束力偶为C R 和C M ，则由平衡方程00=-=∑qa R F C y ，qa R C =05.102=--⋅=∑C C M qa qa a m ，221qa M C = 以杆件左端为坐标原点，以B 为分界面，将梁分为AB 和BC 两段。
材料力学应力状态
2
y
2
x
y
2 xy
J12 4
J2
R2
sin
2 0
xy
R
c os 2 0
(
x
R
y
)
/
2
x
y
2
R cos(2
20 )
R sin(2 20 )
x
2
y
2
2
R2
x
2
y
2
2 xy
6.2 平面应力状态
H ( , )
B
O
yx
y E
2
R
2
C 2 0
( x y ) / 2 x
y
y yx n
40
30 z
( MPa )
80
x
z 30MPa (主应力) x 80MPa y 40MPa
(1)求主应力
xy 40MPa
~m ~m
ax in
x
y
2
x
2
y
2
2 xy
104.72 15.28
(MPa)
1 104 .72MPa 2 15.28MPa 3 30MPa
3
2
-30 O 15.28
( 3 1)( 3 2 )
2 n
(
n
2
2
3
)
2
2
3
(
n
2
2
3
)
2
2
3
0
n
2
2
3
2
2 n
2
2
3
2
O
c1
3 2
c2 c3
机械零件的应力应变分析
§3－3机械零件的应力应变分析一、拉（压）杆应力应变分析（一）应力分析前面应用截面法，可以求得任意截面上内力的总和，现在进一步分析横截面上的应力情况，首先研究该截面上的内力分布规律，内力是由于杆受外力后产生变形而引起的，我们首先通过实验观察杆受力后的变形现象，并根据现象做出假设和推论；然后进行理论分析，得出截面上的内力分布规律，最后确定应力的大小和方向。
现取一等直杆，拉压变形前在其表面上画垂直于杆轴的直线和（图3-28）。
拉伸变形后，发现和仍为直线，且仍垂直于轴线，只是分别平行地移动至和。
于是，我们可以作出如下假设：直杆在轴向拉压时横截面仍保持为平面。
根据这个“平面假设”可知，杆件在它的任意两个横截面之间的伸长变形是均匀的。
又因材料是均匀连续的，所以杆件横截面上的内力是均匀分布的，即在横截面上各点处的正应力都相等。
若杆的轴力为，横截面积为,,于是得：???????????????????????? (3－2)这就是拉杆横截面上正应力的计算公式。
当为压力时，它同样可用于压应力计算。
规定拉应力为正，压应力为负。
例3－3? 图3-29（a）为一变截面拉压杆件，其受力情况如图示，试确定其危险截面。
解? 运用截面法求各段内力，作轴力图[图3-29（b）]：段：????????? 段：段：???????? 段：根据内力计算应力，则得：段：????????? 段：段：最大应力所在的截面称为危险截面。
由计算可知，段和段为危险截面。
（二）、拉（压）杆的变形杆件受轴向拉力时，纵向尺寸要伸长，而横向尺寸将缩小；当受轴向压力时，则纵向尺寸要缩短，而横向尺寸将增大。
设拉杆原长为，横截面面积为(图3-30)。
在轴向拉力P作用下，长度由变为，杆件在轴线方向的伸长为, 。
实验表明，工程上使用的大多数材料都有一个弹性阶段，在此阶段范围内，轴向拉压杆件的伸长或缩短量，与轴力和杆长成正比，与横截面积成反比。
即，引入比例常数则得到：??????????????????? （3－3）这就是计算拉伸（或压缩）变形的公式，称为胡克定律。
第六章杆件的应力应变分析
纵向变形
l l1 l
横向变形
b b1 b
正负号规定：伸长为正， 2.线应变
缩短为负。
l l l 纵向应变 纵向应变 纵向应变 l l l b b b 横向应变 横向应变 横向应变 b b b 拉伸时 , 为正 , 为负， 拉伸时 , 为正 , 为负， 拉伸时, 为正, 为负，压缩时 , 为负 , 为正。 压缩时 , 为正 永远正负相反 压缩时 , 为负 为负, , 为正. . 与 与 永远正负相反 与 永远正负相反。
建筑力学与建筑结构 教学课件
第五章 杆件的应力应变分析 教学内容：﹡应力与应变的概念
﹡轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变
﹡材料拉伸和压缩时的力学性能
2
﹡材料强度的确定及轴向受力构件的强度条件 ﹡梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件 ﹡应力状态与强度理论
基本要求：理解应力与应变的概念；掌握轴向拉（压）杆的
应力与变形计算；了解材料在拉伸和压缩时的力学性能；了解材 料强度的确定方法；掌握轴向受力构件的强度验算；掌握梁的正 应力、剪应力强度条件及其应用；了解应力状态与强度理论。
3
10KN
10KN
A=10mm2
哪个杆先破坏?
A=100mm2
100KN
100KN
4
应力—
分布内力在截面上某点的集度
应 力 的 概 念
第二节 轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变
17
圣 文 南 原 理
力作用于杆端方式不同，只会使与杆端距离不大于杆 的横向尺寸的范围内受到影响。
第二节 轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变
18
应
第六章 杆的强度计算
zP
i
2 y
z
yP iz2
y
令 = 0，中性轴上点的坐标为y0和z0，有
1
zP
i
2 y
z0
yP iz2
y0
0
end
1
zP
i
2 y
z0
yP iz2
y0
0
此时的中性轴为一不通过形心 的直线，其在y,z轴上的截距分别为
ay
iz2 yP
az
iy2 zP
中性轴和力的作用点必分居截面形心的两侧， D1 处压应力最大
end
例6-2 铸铁托架，其尺寸如图。今已知其形心坐标 yC = 52mm，惯性矩
Iz=7.63710mm.设铸铁的许用应力[ ]+ =40MPa, [ ]- =120MPa，试按m-m
处的截面尺寸确定其所能承受的最大载荷P 。
解： 由于[ ]+ ≠[ ]- ，故应分别计算
截面的抗拉和抗压截面系数。
end
工程实际中，通常均采用假定计算法，即： ①一方面对联接件的受力和应力分布进行某些简化和作出假定，
从而计算出各部分的名义应力； ②另一方面又对同类联接件进行破坏试验并用同样的计算方法由
破坏载荷确定出材料的名义极限应力； ③再根据实践的经验，针对各种具体情况规定适当的安全系数以
得到材料的许用应力。
z0 I y
变形平面和荷载平面就不重合
end
最大正应力在距离中性轴最远处
D2
max
P
L
c
osj
Iz
y1
s in j
Iy
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（3）拉断时应力、变形 较小。
（4）σ － ε关系近似服从胡克定律，并以割线的斜率作为
弹性模量。
b 120 130 MPa
0.4 ~ 0.5%
第三节 材料在拉伸和压缩时的力学性能
四、材料压缩时的力学性能 1.低碳钢压缩时的力学性能
36
F
( 1 ) p、e、 s、E 与拉伸时相同。
（2）低碳钢压缩,愈压愈扁,无法得到压缩的强度极限。
解 （1）计算各杆的轴力
N２ N１
y0
N2 sin 300 60 0
N2 120kN拉力
x 0 N1 120cos300 0
大小不足以反映构件的强度）
m
平均应力
pm
P A
B
当 B 点面的积应收力缩为到：B点时，p
lim
A0
P A
dP dA
m
P
正应力
p
剪应力
单位： A
Pa （N/m2)、
σ--与截面垂直的法向分量，T--与截面相切的切向分量 MPa （KN/mm2)
第一节 应力与应变的概念
8
应力的特征： （1）应力是在受力物体的某一截面某一点处的定义，因此， 讨论应力必须明确是在哪个截面上的哪一点处。 （2）在某一截面上一点处的应力是矢量。 （3）整个截面上各点处的应力与微面积dA之乘积的合成， 即为该截面上的内力。
符号规则： a角：从x轴逆时针转至斜截面的外法线方向为正， 反
之为负。 正应力：拉为正，压为负。 剪应力：剪应力绕所研究部分顺时针转
为正，反之为负。
第二节 轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变
24
五、轴向拉（压）杆的变形
1.纵（横）向变形
P
P
l
l1
b1 纵向变形
b
bb1
横向变形
l l1 l
b b1 b
１．拉伸图－应力应变图
第三节 材料在拉伸和压缩时的力学性能
31
e
P I II Ⅲ Ⅳ f
e b f
b
b
ac
e P
a c s
o
拉伸图
l
第I阶段ob （弹性阶段） 第II阶段bc（屈服阶段）
第Ⅲ阶段ce（强化阶段） 第Ⅳ阶段ef（局部变形阶段）
o
应力应变图
P — 比例极限 e — 弹性极限
E tan
2.截面设计
已知： Ndmax 和 fd，求 A。 A Nd max fd
3.确定承载能力
已知：A 和 fd，求 Ndmax
N d max fd A
第四节 材料强度的确定及轴向受力构件的强度条件 40
〔例3-6〕 已知一钢木构架如图所示，AB为木杆，BC为钢制圆 杆，受荷载P=60kN ，AB杆横截面面积A1=10000mm2，BC杆横 截面面积A2=600mm2，木材的强度设计值为fd1=12MPa，钢材的 强度设计值为fd2=215MPa，校核各杆的强度。
第二节 轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变
25
3.泊松比
一般在0.1－0.5之间。
4.虎克定律 l Pl A
l Pl EA
N P
l Nl EA
N E l Al E
E --弹性模量，是材料本身的特性
虎克定律的另一表达式
- -
E
第二节 轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变
26
〔例3-5〕图示一钢制阶梯杆，各段横截面面积AAB=ACD=300mm2， ABC=200mm2，钢的弹性模量E=200GPa。试求杆的总变形。
斜截面
450
2
45；0
m a x
2
3）当 9时0，
纵向截面 900 0 。 900 0
结论：①轴向拉压杆件的最大正应力发生在杆的横截面上。 (α=0)
②极值最大的剪应力发生在与杆轴线成450角的斜截面上，且最大剪应力是最
大正应力的一半。
第二节 轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变
23
、、的正负号规定：
p
第一节 应力与应变的概念
9
二、应变
1.线应变 u x
长度增量或构件的变形 单元未产生变形之前的原长
k
l
P
若杆件是非均匀伸长的，则X方向的
变形比率集度为：
C
lim x
A0
u x
du dx
C
y D
D C
D
x
2.角应变
D
A
B B A
B
x u z x
C
D
B
直角的改变量称角应变，用γ表示。
A B
第二节 轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变
1.31MPa max
第二节 轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变
22
四、轴向拉（压）杆斜截面上的应力
n
m P
P
p
A
cos
P
A
n
m
P
p
p
P cos
A
0
cosLeabharlann p cos 0 cos2
P
p
p
sin
1 2
0
sin 2
1）当 时0，
2）当 4时5，
0 横截面 00 max 0 ； 00
第三节 材料在拉伸和压缩时的力学性能
28
b b
L
压缩试件
圆形截面试件：
1 h 3 d
正方形截面试件：
1 L 3 b
第三节 材料在拉伸和压缩时的力学性能
29
2．试验条件和设备 试验条件：常温 、静载。 试验设备：液压式万能试验机、电子万能试验机。
第三节 材料在拉伸和压缩时的力学性能
30
二、低碳钢拉伸时的力学性能
b
0.2
o
ε
0.2%
无明显屈服阶段的，规定以塑 性应变s=0.2%所对应的应力作为 名义屈服极限，记作0.2
第三节 材料在拉伸和压缩时的力学性能
35
铸铁拉伸时的力学性能 与钢的区别：碳、硅含量高，硫、磷杂质多
（铁碳合金）
（1）应力－应变关系微弯 曲线，没有直线阶段；
（2）没有屈服阶段和“颈 缩”现象，只有一个强度 指标σb; （强度极限）
14
二、轴力与轴力图 1.轴力
2.轴力图
m
N
P
P
m
m
P
N
m
轴力值＝截面一侧所有外力的代数和。
外力P与截面外法线方向相反产生正轴力，反之为负。
第二节 轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变
15
〔例3-1〕 一等直杆，在图示受力情况下，试作其轴力图。
1.5kN
2kN
A
C
解： 1.5 +
2.5kN
2kN
D
B
2
+
建筑力学
第六章 杆件的应力应变分析
2
主要内容：﹡应力与应变的概念 ﹡轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变 ﹡材料拉伸和压缩时的力学性能 ﹡材料强度的确定及轴向受力构件的强度条件 ﹡梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件 ﹡应力状态与强度理论
3
10KN
10KN
A=10mm2
100KN
哪个杆先破坏?
100KN A=100mm2
4
应力—
分布内力在截面上某点的集度
应 力 的 概 念
5
应力就是单位面积上的内力
请
上述说法并不准确！
注
工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布。
意 集度的定义不仅准确而且重要，因为“ 破坏”
或“ 失效”往往从内力集度最大处开始。
6
应力的量纲为［力］／［长度］2
应
力
应力的单位为Pa(帕), 1 Pa=1N／m2
10
一、轴向拉（压）的概念
受力特点：外力或其合力的作用线沿杆轴。 变形特点：主要变形为轴向伸长或缩短。
F
FF
F
拉杆
压杆
第二节 轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变
11
工程实例
桥梁
第二节 轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变
12
工程实例
第二节 轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变
13
工程实例
第二节 轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变
的 在工程实际中常采用的单位:
量
纲
kPa 、MPa和 GPa
和
1 kPa = 1×103Pa （
单
11PMa=Pa1N=/1mN2)／mm2 =
位
1×106Pa
1 GPa = 1×109Pa=103 MPa
第一节 应力与应变的概念
7
一、应力
应力是受力构件某一截面上一点处的内力集度（密集程度）。
（如粗杆与细杆，都承受拉力P，但P增加时，显然是细杆先断裂，说明内力
（4）根据“圣文南原理”，除加力点附近及杆件面积突然 变化处不能应用外，应力集中区以外的横截面上仍能应用。
（5）横截面必须是由同一种材料组成而不能是由两种或两 种以上的材料组成。
第二节 轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变
18
圣 文 南 原 理
力作用于杆端方式不同，只会使与杆端距离不大于杆 的横向尺寸的范围内受到影响。
N A
σ的符号规定：拉应力为正， 压应力为负。
第二节 轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变
17
max
N max A
正应力计算公式的适用条件：
（1）外力（或其合力）必须通过横截面形心，沿杆件轴线 作用。
（2）在平面假设成立的前提下，不论材料在弹性还是弹塑 性范围均适用。
（3）尽管公式在等直杆条件下推出，但可近似推广到锥度 α≤200的变截面直杆；