《大学物理教程》郭振平主编第十章 机械振动和机械波

第十章 机械振动和机械波

一、基本知识点

机械振动：物体在平衡位置附近的往复运动叫做。

胡克定律: 弹簧弹性力F 的大小与位移x 的大小成正比，而且F 的方向与位移方向相反，即

F kx =-

式中，k 为弹簧的劲度系数。具有这种性质的力称为线性回复力。

简谐振动的运动学方程:

cos()x A t ωϕ=+

式中A 为振幅，表示振动物体离开平衡位置的最大位移的绝对值；()t ωϕ+是决定简谐振动状态的物理量，称为在t 时刻振动的相位，单位是弧度()rad ；ϕ为初相位，是0t =时刻

的相位；ω=

角频率。 简谐振动的动力学方程:

22

20d x x dt

ω+=

简谐振动的频率：振动物体在单位时间内完整振动的次数，单位是赫兹()Hz 。 简谐振动的周期：振动物体完成一次完整振动所经历的时间，单位是秒()s 。 关系：周期T 是频率ν的倒数；ω=2πν=2π/T

简谐振动物体的速度:

sin()cos()2

dx A t A t dt πυωωϕωωϕ=

=-+=++ 简谐振动物体的加速度:

22222cos()cos()d x

a A t x A t dt

ωωϕωωωϕπ==-+=-=++

振幅：

A = 初相位：

arctan

x υϕω-= 式中，0x 为t=0时刻的初始位移，0υ为t=0s 时刻的初始速度。

旋转矢量法: 用一个旋转矢量末端在一条轴线上的投影点的运动来表示简谐振动的方

法。以简谐振动的平衡位置O 作为x 轴的坐标原点，自O 点出发作一矢量A

（其长度等于

简谐振动振幅A ）。设0t = 时刻，矢量A 与x 轴所成的角等于初相位ϕ。若矢量A

以角速度ω（其大小等于简谐振动角频率ω）匀速绕O 点逆时针旋转，则在任一时刻矢量A

末端在x 轴上的投影点P 相对原点的位移为cos()x A t ωϕ=+，显然，P 在x 轴上做简谐振动。如图10-1所示。

cos()x A t ωϕ=+

图10-1 简谐振动的旋转矢量法

弹簧振子的弹性势能：

222211

cos ()22

p E kx mA t ωωϕ==+

弹簧振子的动能：

222211

sin ()22

k E m mA t υωωϕ=

=+ 系统的总机械能：

221

2

p k E E E mA ω=+=

表明总机械能总量守恒。

两个同方向、同频率简谐振动的合成:

设两个在同一直线上的同频率的简谐振动，以平衡位置为坐标原点，在任一时刻t 的位移分别为

111cos()x A t ωϕ=+ 222cos()x A t ωϕ=+

合振动的位移：

12x x x =+=1122cos()cos()A t A t ωϕωϕ+++

cos()x A t ωϕ=+

合振动的初相位:

1122

1122

sin sin tan cos cos A A A A ϕϕϕϕϕ+=

+

合振动的振幅：

A =

（1）

当两个分振动同相时，即212,0,1,2,k k ϕϕπ-==±± ，则合振动的振幅有

最大值为max 12A A A =+；

（2）

当两个分振动反相时，即()2121,0,1,2,k k ϕϕπ-=+=±± ，则合振动的

振幅有最小值为min 12A A A =-；

（3）

当两个分振动既不是同相，也不是反相时，合振动的振幅介于最大值

max 12A A A =+与最小值min 12A A A =-之间，即其取值范围为1212A A A A A +≥≥-。

两个同方向、不同频率简谐振动的合成：

设角频率1ω和2ω非常接近，振动方程分别为

11cos()x A t ωϕ=+

和

22cos()x A t ωϕ=+

合振动为

121221

21cos()cos()2cos

cos 2

2x x x A t A t A t t ωϕωϕωωωωϕ=+=+++-+⎛⎫=+ ⎪

⎝⎭

拍：合振动振幅时强时弱，周期性缓慢变化的现象。 拍频：

211

T ννν=

=-拍

机械波：机械振动在弹性媒质中的传播过程。 横波：质点振动方向与波的传播方向垂直的波。 纵波：振动方向和波的传播方向相互平行的波。 波线：波沿着某一方向传播所画的射线。

波面：在传播过程中任一时刻相位相同的点所组成的面。也叫波阵面或同相面。 波前：波源开始振动后，离波源最远的波面。 球面波：波阵面是球面的波。 平面波：波阵面是平面的波。

波长：波在传播过程中，沿同一波线上相位差为2π的两个相邻质点的距离。用λ表示，单位是m 。

波数：在2π的长度内含有的完整波的数目，记作k ，2k π

λ

=

。

周期：波前进一个波长距离所需要的时间，用T 来表示，单位是s 。波动的周期等于波源振动的周期。

频率：在单位时间内波动所传播的完整波的数目。波的频率等于周期的倒数，用ν表示，单位是Hz 。

波速：振动状态在介质中的传播速度，即某一振动状态（振动相位）在单位时间内传播的距离，用u 表示，单位是m/s 。