第三章 微分形式的基本方程

B3.2.3 应力场(4-1)
B3.2.3 应力场 1.运动粘性流体中的应力状态
与作用力的大小、方向、作用面方位有关
用过该点三个坐标 面上三组表面力分
量唯一确定
一点的表面 应力
应力状态
应力矩阵

pxx
τxy
τx
z



P


τ
y
x
pyy
τ
y
z




τ
z
x
τzy
pz
z
与流体元体 积成正比
体积力
B3.2.1 体积力和表面力(2-2)
2.表面力
短程力
通过接触面 作用
压强 粘性切应力
与表面面积 和方位有关
表面力
表面力定义：作用在单位平面面积元上的短程力。
pn
( x, y,z,t )

lim
δA0
δ Fs δA
（注意：δ Fs 和 pn不一定与δ A 垂直）
n——面积元外法线单位矢
血液循环理论——流体连续性原理的胜利
血液循环图
B3.1.2 微分形式的连续性方程(2-1)
B3.1.2 微分形式的连续性方程
边长为dx,dy,dz的长方体控制体元，δt 内x方向净流出的质量

ρ
u

(
ρ
u)
dx

dydzδt

ρ
udydzδ
t

(
ρ
u)
dxdydzδ
t

x

x

δAx 上的应力分量为 p xxτ, xyτ, xz δAy 上的应力分量为 τyx,p yyτ, yz δAz 上的应力分量为 τzxτ, zy,p zz
τ xy τ yx τ xz τ zx τ yz τ zy
B3.2.3 应力场(4-2)
作用在外法矢沿x轴向的面积元dAx上三个应力分量如图示 作用在任意方位 n(nx,ny,nz ) 面元上的表面应力
B3.2 作用在流体元上的力 B3.2.1 体积力和表面力
1.体积力
长程力
穿越空间作用 到流体元上
万有引力 电磁力 惯性力
单位质量流体上的体积力 f (x , y ,z ,t) l i m δ Fb δ τ0 ρ δ τ
单位体积流体上的体积力
ρ f l i m δ Fb δ τ0 δ τ
单位时间单位体积内
x，y，z方向净流出质量为
ρ u
x
,
ρ v ,
y
因密度变化引起的质量减少为 ρ
t
ρ w
z
由质量守恒定律
ρu ρv ρw ρ
x y z
t
B3.1.2 微分形式的连续性方程(2-2)
ρ t


ρu
x


ρv
y


ρw
z

ρ t


(ρ
v
)

0
用场量公式并运用质点导数概念，微分形式连续性方程为
Dρ Dt

ρv
0
或改写为：
v 1 Dρ ρ Dt
左边代表一点邻域内流体体积的相对膨胀速率，右边代表密度
相对减少率。连续性方程适用于任何同种流体。
不可压缩流体连续性方程
应力矩阵表示为
p 0

0

σx

τxy
τx
z


P


0

p
0



τ
y
x
σy
τ
y
z


0
0

p



τ
z
x
τzy

σz

压强矩阵 偏应力矩阵
v
2cxy (x2 y2 )2 dy

f
(x)

cx x2 y2

f
(x)
讨论：当f(x) = 0，表示位于原点的点涡流动；
当f(x) = U，表示点涡流叠加y方向速度为U的均流；
本例说明对不可压缩流动，任一点的各速度分量不能是任意的, 而是受到（B3.1.11）式制约的。
B3.2.1 体积力和表面力(2-1)
B3.2.3 应力场(4-4)
3.应力的常用表达式 运动粘性流体中的(平均)压强
p


1 3

pxx

pyy

pzz

在法向应力中把压强分离出来
pxx p σ x
p yy p σ y
pzz p σz
σx ,σ y ,σz 为附加法向应力分量（与流体元线应变率有关）
p n τ n τ n p
nz
x xz
y yz
z zz
B3.2.3 应力场(4-3)
2.静止流体中的应力状态
无切应力
静止流体的应力状态
只有法向应力
pxx pyy pzz pnn p
p 0 0
P


0
p
0

0 0 p
结论：静止流体中一点的应力状态只用一个标量静压强p表示.

px
x
τxy
τ
x
z



Pn

n
P
=
(nx
,
ny
,
nz

)
τ
y
x
pyy
τ
y
z





τ
z
x
τzy
pz
z

表面应力的分量式
p n p n τ n τ
nx
x xx
y yx
z zx
p n τ n p n τ ny x xy y yy z zy
v 0
[例B3.1.2] 不可压缩流动连续性方程
已知：不可压缩流体平面流动
求： v
u


x2
cy
y2
解： 由不可压缩流动连续性方程的二维形式
（C为常数）
v u v 0 x y
（B3.1.11）
可得
v u 2cxy y x (x2 y2 )2
－n——面积元内法线单位矢
pn p- n
B3.2.2 重力场
B3.2.2 重力场 在直角坐标系的重力场中
fx 0, fy 0, fz g
源自文库
f g k π
π gz
称为重力势，代表单位质量流体具有的重力势能
fx


π x
,
fy


π y
,
fz


π z
18世纪，达朗贝尔推导不可压缩流体微分形式连续性方程
B3.1.1 流体运动的连续性(2-2)
17世纪哈维：血液循环理论
• 解剖发现：从心脏到动脉末端血液单向
流动，从静脉末端到心脏也 是单向流动
• 定量测量：每小时流出心脏血液245kg • 大胆预言：从动脉到静脉再回心脏 • 45年后发现：毛细血管的存在
B3.1.1 流体运动的连续性原理(2-1)
B3.1 微分形式的质量守恒方程 B3.1.1 流体运动的连续性原理 质量守恒在易变形的流体中的体现——流动连续性。 • 不可压缩流体流进控制体的质量应等于流出控制体的质量，
称其为流体运动的连续性原理。
• 历史上对连续性的认识 古 代，漏壶、水流计时
16世纪，达·芬奇指出河水流速与河横截面积成反比 17世纪，哈维发现人体血液循环理论