第9章 电磁场理论

第九章电磁场理论
本章前言
◆本章学习目标
理解感生电场和位移电流的概念，理解麦克斯韦电磁场理论和麦克斯韦方程组的积分形式。

◆本章教学内容
1、位移电流，全电流的安培环路定理。

2、麦克斯韦电磁场理论的基本思想。

3、麦克斯韦方程组的积分形式。

◆本章重点
麦克斯韦电磁场理论的基本思想和麦克斯韦方程组的积分形式。

◆本章难点
位移电流与传导电流的异同及其物理本质。

§9.1 全电流定律
9.1.1 位移电流假设及其本质
在前面的知识点中我们知道，稳恒电流激发的稳恒磁场满足安培环路定律。

现在我们讨论安培环路定律用于非稳恒磁场所遇到的问题。

下图(a)、(b)分别表示一个平板电容器充电和放电时的情况。

我们注意到，由于电路中有电容器，所以不论是充电或放电，在同一时刻通过电路中导体上任何截面的传导电流依然相等，但在电容器两极板之间传导电流I中断。

也即是说，对于图(a)中以闭合曲线
L为边界的S1和S2两个曲面来说，电流I只穿过曲面S1而不穿过曲面S2。

现在在回路L上使用安培环路定律。

(a)充电时(b)放电时
位移电流
对S1而言，由于穿过S1的电流为I，我们得到
但对S2而言，由于穿过S1的电流为0，我们得到
显然，在同一个回路上磁场环流不同，在理论上是相互矛盾。

在稳恒情况下正确的安培环路定理，在非稳恒情况下就不正确了。

麦克斯韦注意到，在考虑对安培环路定律进行修正时，矛盾的原因在于非稳恒情况下电流的不连续性，即穿过曲面S1的电流为I而穿过曲面S2的电流为零。

设想一下，如果我们能在电容的两板之间寻求到一个物理量，其大小和方向都等于电流I，再假设这个物理量能如同电流一样激发磁场，那么电流就能借助于这个物理量而实现连续，而上式的右端就应该是这个物理量，因为它也等于I，于是矛盾将不再出现。

至于这个假设的真实性的问题，即它是否真正能如同电流一样激发磁场，我们可以期待于实验的验证。

下面我们来寻求这个等于I的物理量。

在上图中，电容器中虽无电流通过，但在充电和放电的过程中，电容器极板间的电场会随着极板上电量的变化而随时间变化。

从电场变化的方向来看，在充电时（见图(a)），电场加强，电位移矢量随时间的变化率的方向向右与场的方向一致，也与导线中电流方向一致；当放电时（见图(b)），电场减小，的方向向左与场的方向相反，但仍与导线中电流方向一致。

这提示我们，中断的电流是否可以由电场的变化率来接替？能否借助于变化的电场来实现电流的连续性。

考虑图(a)所示情况，我们把S1和S2组成一个闭合曲面S。

按电流的连续性方程(即电荷守恒定律)，通过S面流出的电流应等于单位时间内S面内电量q的减少：
指向曲面外法线方向。

麦克斯韦假设，静电场高斯定理对于变化电场依然成立
将上式两边对时间求导：
再将其代入电流的连续性方程得
由于和j都具有相同的量纲。

据此，麦克斯韦创造性地提出一个假说：变化的电场可以等效成一种电流，称为位移电流。

并定义
为位移电流密度，即电场中某点的位移电流密度等于该点电位移矢量随时间的变化率，而
为位移电流，即通过电场中某截面的位移电流等于位移电流密度在该截面上的通量。

为便于上述问题的分析，把电流连续性方程改写为
按位移电流的定义，此表明，流入闭合曲面S的电流(即通过图(a)中截面S1的电流I)等于流出闭合曲面的位移电流(即通过截面S2的位移电流)，我们看到，电流通过位移电流实现了连续。

麦克斯韦进而假设，在磁效应方面位移电流与传导电流等效，即它们都按同一规律在周围空间激发磁场。

其本质表明：变化电场也要产生磁场。

位移电流与传导电流还是有区别的。

传导电流是电荷的定向运动，位移电流是变化电场的等效；传导电流要产生焦耳热，位移电流则没有。

9.1.2 全电流定律
一、全电流
由连续性方程可以看到，在交变电流中传导电流I和位移电流各自并不连续，但它们的和是连续的。

我们定义传导电流I和位移电流相加的和称为全电流。

显然，全电流总是连续的。

二、全电流定律
由于位移电流产生磁场的规律是被假设为与传导电流一样的，因此麦克斯韦以全电流代替传导电流，对安培环路定律进行修正，把它从稳恒磁场推广到非稳恒的情况，并得到
上述结论称为全电流定律。

全电流定律完全解释了前一个知识点中碰到的问题。

三、实验验证
麦克斯韦位移电流假设提出后，经过大量的理论和实践，都证明全电流定律是普遍成立的，它适用于任意的电场和磁场。

这意味着，变化的电场也能在周围空间激发一个磁场，其激发的规律和电流激发磁场的规律完全相同。

例如，若空间没有传导电流，只有变化的电场，则全电流定律为
它表示一个变化电场与它激发的磁场的关系。

和我们讨论过一个变化的磁场与它激发的感生电场的关系
比较，可以发现电场和磁场的相互激发遵
从相似的规律。

上面两个关系式表明，磁场H 的方向与位移电流密度方向之间的关系
(就象磁场与传导电流密度方向之间的关系一样)服从右手螺旋关系，而感生电场E 与磁场变化率的方向服从左手螺旋关系 (如图)。

如同在电磁感应中所指出的那样，负号表示表示电磁场在相互激发过程中遵从能量守恒定律。

变化的电场和变化的磁场
在讨论传导电流和位移电流的分布的时候，也应注意到它们的区别。

根据位移电流的定义，在电场中每一点只要有电位移的变化，就有相应的位移电流密度存在，因此不仅在电介质中，就是在导体，甚至真空中也可以产生位移电流。

但在通常情况下，电介质中的电流主要是位移电流，传导电流可忽略不计，而在导体中的电流，主要是传导电流，位移电流可以忽略不计。

至于在高频电流的场合，由于电场的变化率很快，导体内的位移电流就不可忽略了。

【例1】有一半径为R=3.0cm的圆形平行平板空气电容器，现对该电容器充电，充电电路上的传导电流，若略去电容器的边缘效应，求(1)两极板间的位移电流和位移电流密度；(2)两极板间离开轴线的距离r=2.0cm的点P处的磁感强度。

【解】
(1)两极板间的位移电流就等于电路上的传导电流。

电容器内两极板间的电场可视为均匀电场，位移电流是均匀分布的，位移电流密度为。

(2)在图上以轴上一点为圆心，r为半径作一平行于两极板平面的圆形回路。

由全电流定律有
其中为穿过圆形回路的全电流。

由于电容器内两极板间没有传导电
流，所以；穿过回路的位移电流为
考虑到极板间磁场强度H对轴线的对称性，故在圆形回路上各点的H的大小均相同，其方向均与回路上各点相切，于是，H沿上述圆形回路的积分为
即
另外，考虑到电容器两极板间为空气，且略去边缘效应，所以有。

于是可得两极板间与轴线相距为r的点P处的磁感强度为
将已知量代入上式，距轴线为r的点P处的磁感强度的值为
§9.2 麦克斯韦方程组
9.2.1 麦克斯韦电磁场理论的基本思想
在提出了感生电场假设和位移电流假设之后，麦克斯韦对电磁规律又进行了细致的分析和高度的概括、总结。

由感生电场假设和位移电流假设可以知道，变化的磁场要产生感生电场，变化的电场也要产生磁场。

即在一般情况下，电场和磁场都是变化的，它们将相互激发，因而它们是不可分割的、统一的整体称为电磁场。

单独的静电场和单独的稳恒磁场都只是电磁场的特殊情况。

在一般情况下，电场和磁场只是电磁场的分量。

麦克斯韦电磁场统一的思想和理论后来被赫兹发
现的电磁波完全证实。

在前面的知识点中学习的有关电场和磁场的理论都可以纳入一个统一的电磁场理论来处理。

下一个知识点我们将讨论这个统一的电磁场理论。

9.2.2 麦克斯韦方程组的积分形式
麦克斯韦根据他自己提出的电磁场统一思想，以及他的两个著名假设最终得到了电磁场理论统一数学表达，这就是麦克斯韦方程组。

下面我们来讨论这个方程组。

在电磁场中，电场分量由两个部分叠加而成。

一是电荷产生的静电场，二是变化磁场产生的感生电场。

磁场分量也是由两个部分叠加而成。

运动电荷（电流）产生的稳恒磁场和变化电场产生的磁场。

对于静止电荷激发的静电场和稳恒电流激发的稳恒磁场，它们满足如下的一些基本方程：
1、静电场的高斯定理
2、静电场的环路定理
3、磁场的高斯定理
4、安培环路定理
如果考虑到感生电场和变化电场产生的磁场，则上面的静电场的环路定理应修改为
显然，这对静电场和有旋电场都能成立。

安培环路定理应修改为全电流定律
其它方程不需要修改都适用于一般电磁场中的电场和磁场分量。

于是电磁场所满足的四个基本方程为
上述四个方程称为麦克斯韦方程组（积分形式）。

式中的电场量、为电荷激发的电场和涡旋电场的总电场，磁场量、为传导电流和位移电流激发的总磁场。

从方程组我们还可以看到，在电磁场中的电场和磁场是相互联系的、不可分割的。

电磁场的所有特性都可以由上述四个方程来确定。

在有介质存在时，E、B都和介质的性质有关，要完整地说明宏观电磁现象，除了上述四个方程外，还要加上下面三个关系式，对各向同性均匀电介质有
其中第一个和第二个式子是电位移矢量和磁场强度的定义式，第三个式子是欧姆定律的微分形式。

如果再加上电磁力的基本规律，则麦克斯韦的电磁场理论就已经成就为一个非常完备的理论体系。

从麦克斯韦方程组可以看出，在相对稳定的情况下，即只存在电荷和稳恒电流时，麦克斯韦方程组表现为静电场和稳恒磁场所遵从的规律。

这时，电场和磁
场都是静态的，它们之间没有联系。

而在运动的情况下，即当电荷在运动，电流也在变化时，麦克斯韦方程组描述了变化着的电场和磁场之间的紧密关系。

变化的电场要激发一个有旋磁场，变化的磁场又会激发一个有旋电场，电场和磁场就以这种互激的形式在同一空间相互依存并形成一个统一的整体，这才是真正意义上的电磁场。

可以证明，电磁场一旦产生，即使场源电荷及电流不存在了，这种互激依然可以随着时间的流逝而在空间无限地伸延。

在距离电荷和电流很远的空间，电磁场最终是以波动的形式在传播着，这就是电磁波。

电磁波的波速，经麦克斯韦的计算，正好等于光速，于是麦克斯韦断言，光也是一种电磁波。

光和电磁场在麦克斯韦理论中的统一，使得经典电磁学的发展到达顶峰，成为麦克斯韦最辉煌的成就。

自此，电磁学已成为一门可与牛顿力学并立的完备的科学理论（经典物理）。

本章小结
一、位移电流
位移电流密度
位移电流
全电流
全电流永远是连续的。

二、全电流定律
变化的电场能在周围空间激发一个磁场，其激发的规律和电流激发磁场的规律完全相同。

三、麦克斯韦方程组。