天津市塘沽区紫云中学2014年高中数学 1.1.1 正弦定理课件(二)新人教A版必修5

研一研·问题探究、课堂更高效
1.1.1（二）
问题探究一 问题 1
已知两边及其中一边的对角， 判断三角形解的个数
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在△ABC 中，已知 a，b 和 A，若 A 为直角，讨论三
角形解的情况．(请完成下表) 关系 式 a≤ b a＞b
图形
解的 个数
无
解
一
解
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1.1.1（二）
问题2 在△ABC中，已知a，b和A，若A为钝角，讨论三角 形解的情况．(请完成下表) 关系 式 a≤b a＞b
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图形
解的 个数
无解
一解
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1.1.1（二）
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问题3 在△ABC中，已知a，b和A，若A为锐角，讨论三角 形解的情况．(请完成下表) 关 a＝bsin A bsin A＜a＜b a≥ b 系 a＜bsin A 式
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角，一钝角) (锐角) a>b 一解(锐角)
1.1.1（二）
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2.判断三角形的形状，最终目的是判断三角形是否是特殊三 角形，当所给条件含有边和角时，应利用正弦定理将条件统 一为“边”之间的关系式或“角”之间的关系式．
1.1.1（二）
1.1.1 正弦定理(二)
【读一读学习要求，目标更明确】 1．熟记正弦定理的有关变形公式． 2． 探究三角形面积公式的表现形式， 能结合正弦定理解与面 积有关的斜三角形问题． 3．能根据条件，判断三角形解的个数． 【看一看学法指导，学习更灵活】 1．已知两边及其中一边对角解三角形，其解不一定唯一，应 注意运用大边对大角的理论判断解的情况． 2． 判断三角形形状时， 不要在等式两边轻易地除以含有边角 的因式，造成漏解．
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∴bcos A＝acos B. 由正弦定理得 2Rsin Bcos A＝2Rsin Acos B， ∴sin Acos B－cos Asin B＝0，sin(A－B)＝0. ∵A、B 为△ABC 的内角，
∴0<A<π，0<B<π，－π<A－B<π. ∴A－B＝0，即 A＝B. 故△ABC 为等腰三角形．
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跟踪训练3
1.1.1（二）
已知方程x2－(bcos A)x＋acos B＝0的两根之积
等于两根之和，且a、b为△ABC的两边，A、B为两内角， 试判断这个三角形的形状．
解 设方程的两根为 x1、x2，
x1＋x2＝bcos A， 由韦达定理得 x1x2＝acos B，
图 形
解 的 个 数
无解
一解
两解
一解
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问题探究二 三角形的面积公式
1.1.1（二）
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1 1 问题1 当△ABC为锐角三角形时，证明S△ABC＝ absin C＝ bcsinA 2 2 1 ＝ acsin B. 2 证明 作 AD⊥BC，垂足为 D，
则 AD＝AB· sin B，又 AD＝AC· sin C，
练一练·当堂检测、目标达成落实处
4．不解三角形，判断下列三角形解的个数． (1)a＝5，b＝4，A＝120° ； (2)a＝9，b＝10，A＝60° ；
1.1.1（二）
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(3)c＝50，b＝72，C＝135° . b 4 3 3 解 (1)sin B＝ sin 120° ＝ × < ，所以三角形有一解． a 5 2 2 b 10 3 5 3 3 5 3 (2)sin B＝ sin 60° ＝ × ＝ ，而 < <1， a 9 2 9 2 9 5 3 所以当 B 为锐角时，满足 sin B＝ 的角有 60° <B<90° ， 9
⇔sin 2A＝sin 2B ⇔2A＝2B 或 2A＋2B＝π π ⇔A＝B 或 A＋B＝ . 2 ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．
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1.1.1（二）
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小结 条件是边角混合关系式，应用正弦定理化边为角，再 由角的关系判断三角形的形状．
得∠A>∠B， ∴∠B＝30° ，故∠C＝90° ，
由勾股定理得 c＝2.
( B )
A．1
B． 2
D. 3
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1.1.1（二）
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例2 在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对 π B 2 5 边，若a＝2，C＝ ，cos ＝ ，求△ABC的面积S. 4 2 5 3 2 B 解 cos B＝2cos 2 －1＝5， 4 故 B 为锐角，sin B＝ . 5 3π 7 2 所以 sin A＝sin(π－B－C)＝sin 4 －B＝ 10 . asin C 10 由正弦定理得 c＝ ＝ ， sin A 7 1 1 10 4 8 所以 S△ABC＝ acsin B＝ ×2× × ＝ . 2 2 7 5 7
当 B＝120° 时，C＝30° ，c＝a＝2 3.
所以 B＝60° ，C＝90° ，c＝4 3或 B＝120° ，C＝30° ，c＝2 3.
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1.1.1（二）
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小结 已知三角形两边和其中一边的对角，解三角形时，首 先求出另一边的对角的正弦值，根据该正弦值求角时，需对 角的情况加以讨论．
∴csin B＝bsin C， 1 1 1 ∴S△ABC＝2BC· AD＝2acsin B＝2absin C. 1 1 同理 S△ABC＝2bcsin A＝2acsin B.
1 1 1 所以 S△ABC＝ absin C＝ bcsin A＝ acsin B. 2 2 2
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D
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1.1.1（二）
跟踪训练1 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、 b、c，已知A＝60° ，a＝ 3，b＝1，则c等于 C. 3－1 a b 解析 由正弦定理sin A＝sin B，
3 1 可得sin 60° ＝sin B， 1 ∴sin B＝ ， 2 故∠B＝30° 或 150° .由 a>b，
1 1 问题2 当△ABC为钝角三角形时，S△ABC＝ absin C＝ bcsinA 2 2 1 ＝ acsin B. 2
证明 不妨设 B 为钝角，如图所示，过 A 作 CB 边上的高线 AD， 则 AD＝AB· sin∠ABD＝AB· sin(180° －B) ＝ABsin B＝csin B.
又 AD＝AC· sin C＝bsin C，
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填一填·知识要点、记下疑难点
1.1.1（二）
1．正弦定理：
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a b c ＝ ＝ ＝2R 的常见变形： sin A sin B sin C (1)sin A∶sin B∶sin C＝ a∶b∶c ；
a＋b＋c a b c (2) ＝ ＝ ＝ ＝ 2R ； sin A sin B sin C sin A＋sin B＋sin C (3)a＝ 2Rsin A ，b＝ 2Rsin B ，c＝ 2Rsin C ； b a c (4)sin A＝ 2R ，sin B＝ 2R ，sin C＝ 2R . 1 1 1 casin B bcsin A absin C 2．三角形面积公式：S＝ 2 ＝ 2 ＝ 2
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1.1.1（二）
1．在△ABC 中，a＝2，A＝30° ，C＝45° ，则△ABC 的面积 S△ABC 等于 A. 3＋1 C. 3＋2
解析
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( A ) B. 3－1 D. 3－2
asin B 2×sin 105° b＝ sin A ＝ sin 30° ＝ 6＋ 2，
典型例题 例1
解
1.1.1（二）
已知一三角形中a＝2 3 ，b＝6，A＝30° ，判断三角形
a＝2 3，b＝6，a<b，A＝30° <90° .
是否有解，若有解，解该三角形．
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又因为 bsin A＝6sin 30° ＝3，a>bsin A，
所以本题有两解，由正弦定理得：
bsin A 6sin 30° 3 sin B＝ a ＝ ＝ 2 ，故 B＝60° 或 120° . 2 3 当 B＝60° 时，C＝90° ，c＝ a2＋b2＝4 3；
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1.1.1（二）
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2π 1 3．在△ABC中，b＝1，c＝ 3，C＝ ，则a＝________. 3 `` 解析 由正弦定理，得 3 1 ＝ ， 2π sin B sin 3 1 ∴sin B＝ . 2
∵C 为钝角，∴B 必为锐角，
π π ∴B＝ ，∴A＝ . 6 6 ∴a＝b＝1.
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例3
1.1.1（二）
在△ABC中，已知a2tan B＝b2tan A，试判断△ABC的
形状．
解 设三角形外接圆半径为 R，则 a2tan B＝b2tan A
a2sin B b2sin A ⇔ ＝ cos B cos A 4R2sin2Asin B 4R2sin2Bsin A ⇔ ＝ cos B cos A ⇔sin Acos A＝sin Bcos B
1 2 ∴S△ABC＝2absin C＝(·当堂检测、目标达成落实处
1.1.1（二）
75° 2．在△ABC 中，AC＝ 6，BC＝2，B＝60° ，则 C＝_____.
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