应用镜像法计算磁场强度

版社 , 198819 第 3 版 。
[ 2 ] 四川大学《高等数学》人民教育出版社 197818
第 1 版。
[ 3 ] 樊映川等《高等数学讲义》人民教育出版社 , 196417 第 2 版 。
15
参考文献
[ 1 ] 郭硕鸿 , 电动力学 , 北京 : 人民教育出版社 , 1979 。 [ 2 ] 阚仲元 , 电动力学教程 , 北京 : 高等教育出版社 , 1979 。
( 上接第 12 页)
活泼的物理背景 , 数学内容结合物理图象使之寓意
1
其中 : 量;
z (x ,y) ∫ z2 (x ,y)
A , 根据电动力学教材[ 1] , A 的值为 : A =- (
μ R1 0 I )e Ln 2π R0 z
( 3)
其中 , R 1 = 垂直距离 。
( x - a) 2 + ( y - b) 2 是空间一点 P 到导线的垂直距离 , R 0 为矢势值的零点 P0 到导线的
那么 , 图 1 中的无限长载流直导线和它的镜像电流产生的矢势 AT 为 :
-
( y + b) e x - ( x - a) e y ( x - a) 2 + ( y + b) 2
-
( y - b) e x - ( x + a) e y } ( x + a) 2 + ( y - b) 2 =-
2π
I
{[
y - b ( x - a) 2 + ( y - b) 2 [
+
y + b ( x + a) 2 + ( y + b) 2 +
-
y + b ( x - a) 2 + ( y + b) 2 x - a ( x - a) 2 + ( y + b) 2
-
y - b ] ex ( x + a) 2 + ( y - b) 2 x + a ]e ( x + a) 2 + ( y - b) 2 y
x - a ( x - a) 2 + ( y - b) 2
x + a ( x + a) 2 + ( y + b) 2
) , 其面上有感应面电流 , 面电流的分布由磁场 H 的切向分量的不连续性给定 。 对于理想导体 (σ → ∞
14
周炳卿 富 宏 邢同海/ 应用镜像法计算磁场强度 根据 ( 1) 式 , 得磁化电流密度 :
i z x = - Hx ( y = 0) = -
[ 1 ] 同济大学数学教研室《高等数学》高等教育出
x 方向各处的平板片质量相加 , 即得到物体块 Ω 的
质量 。 按着以上作法 , 在原有几何意义的基础上将质 量概念贯穿于积分问题之中 , 可使该部分教材的思 路流畅 , 从而在定积分 , 二重积分的层层启发下 , 使三重积分的计算公式水到渠成 , 同时给出了生动
AT = A1 + A2 + A3 + A4
μ μ μ μ R1 R2 R3 R4 0 I 0 I 0 I 0 I )e + ( )e - ( )e + ( )e Ln Ln Ln Ln 2π R 01 z 2π R 02 z 2π R 03 z 2π R 04 z μ μ R1 R3 R 01 R 03 0 I 0 I )e + ( )e =- ( Ln Ln 2π R2 R4 z 2π R 02 R 04 z
H=
=
( 5)
1 μ 0
×A T
5 ATz 1 5 ATz e — e μ 0 5y x 5x y
=-
I ( y - b) e x - ( x - a) e y π{ ( x - a) 2 + ( y - b) 2 2
+
( y + b) e x - ( x + a) e y ( x + a) 2 + ( y + b) 2
1
z (x ,y) ∫ z2 (x ,y) f
1
( x , y , z) dz — — — x处, x方
向单位厚度平板片的质量 ;
x y (x) z (x ,y) ∫ — — 将 x2 dx ∫ y2 (x) dy ∫ z2 (x ,y) f ( x , y , z ) dz — 1 1 1
参考文献
(1 ,内蒙古教育学院 邮编 010010 2 ,内蒙古人民警察学校)
内容摘要 应用镜像法计算无限大直角导体平面附近的载流长直导线的磁场强度 , 并计算磁化电流 密度 。结果表明 ,毕奥 - 萨伐尔定律和磁标势法不易求解的问题 ,应用镜像法却非常简单 。 关 键 词 镜像法 ,矢势 ,磁场强度
1999 年 12 月
内蒙古教育学院学报 ( 自然科学版)
Joumal of Inner Mongolia college of Education ( Naturl Scienec Edition)
Dec11999 Vol112 No14
第 12 卷 第4期
应用镜像法计算磁场强度
周炳卿1 富 宏2 邢同海1
1 1 Ib — π ( x - a) 2 + b2 ( x + a) 2 + b2
( 7)
总电流为 :
Iz x =
∫ i dx Ib = π∫ ( x 0
zx +∞
+∞
1
a)
2
0
+ b
2
—
1
( x + a) 2 + b2
dx
=
Ib π π ・b ( 8)
=- I
恰好等于镜像电流 。 同理 , 可计算得 I z y = - I , 也恰好等于镜像电流 。 根据 ( 6) 式 , 画出磁力线图 , 如图 2 所示 。 靠近线电流处 , 自 场机占优势 , 磁力线近似是一个圆 。 在理想导体平面附近 , 磁力 线近似平行于导体平面 。 本文计算了无限大理想直角导体平面附近的载流长直导线的磁场 , 对于类似的其它问题 , 例如对于无 限大夹角为α的导体平面附近的长载流直导 线的磁场强度 , 同样可以用镜像法进行计算 , 而且比用磁标势 法要简单得多 。 图 2 磁力线图
[ 中图分类号 ] O44113 [ 文献标识码 ] Awk.baidu.com [ 文章编号 ] 1008 - 7451 ( 1999) - 04 - 0013 - 03
11 引言
用镜像法计算点电荷的电场强度 , 在各种电动力学教材中都有论述 [ 1 ] [ 2 ] 。但对电流产生的磁场 , 大都 用毕奥 — 萨伐尔定律或磁标势法进行计算 。用毕奥 — 萨伐尔定律计算磁场强度时 , 如果电流附近存在磁介 质 , 由于磁介质中存在磁化电流 , 使得这样空间的磁场不易求得 。用磁标势法计算 , 由于需要求解满足边 界条件的拉普拉斯方程 , 因而同样非常繁杂 。 本文采用镜像法计算无限大直角导体平面附近的截流长直导线产生的磁场 , 并计算了磁化电流密度 。
= —(
( 4)
其中 , R 1 = R 3 =
( x - a) 2 + ( y - b) 2 , R 2 = ( x + a) 2 + ( y + b) 2 , R 4 =
( x - a) 2 + ( y + b) 2 , ( x + a) 2 + ( y - b) 2 。
分别是空间一点 P 到各个导线的垂直距离 , R 01 , R 02 , R 03 , R 04 为矢势值的零点 P0 到各个导线的垂直距 离。 把 R 1 , R 2 , R 3 , R 4 的上述表达式代入 ( 4) 式 , 得 :
13
周炳卿 富 宏 邢同海/ 应用镜像法计算磁场强度 对 上述边界条件 , 对于理想导体 , 可以通过在 ( a , - b) 点 , ( - a , b) 点处放置镜像电流 - I 和在 ( - a , - b) 点放置镜像电流 I 来满足 。 如图 1 所示 。
31 磁场强度的计算
要计算空间任一点 P 的磁场强度 H, 通过计算矢势 A , 由矢势 A 即可求得 。 一根无限长载流直导线的矢势
μ 0 I [ ( x - a) 2 + ( y - b) 2 ] ・ [ ( x + a) 2 + ( y + b) 2 ] L n{ 2 2 2 2 } ez + Cez 4π [ ( x - a) + ( y + b) ] ・ [ ( x + a) + ( y - b) ] μ R 01 R 03 0 I 这里 , C = π L n 为常数 , 它和矢势的零点选择有关 。 2 R 02 R 04 于是 , 其磁场 H 为 :
f ( x , y , z ) dz — — — ( x , y)
显明 。反之 , 物理课程也因得心应手地运用数学而 效益倍增 。作者在同时进行物理和数学的教学实践 中深深感到 : 跨学科的教学研究势在必行 !
处 , 单位截面 y2 ( x , y) - y1 ( x , y) 直杆段的质
y (x) ∫ y2 (x) dy
AT = =2 2 1/ 2 2 2 1/ 2 μ 0 I [ ( x - a) + ( y - b) ] ・ [ ( x + a) + ( y + b) ] L n{ 2 2 1 / 2 2 2 1/ 2 } ez + Cez 2π [ ( x - a) + ( y + b) ] ・ [ ( x + a) + ( y - b) ]
21 镜像电流的选取
) , 在其中距离两平面分别为 a 和 b 有一无限大的直角理想导体平面 (σ → ∞
处 , 放置一沿 z 轴方向无限延伸的线电流 I , 如图 1 所示 。 根据稳定磁场的边界条 件:
n ×( H2 - H1 ) = i
或 H2 t - H1 t = i N 图 1 无限大直角理想 导体平面附近电流 I 的 镜像电流的选取
n ×( B2 - B1 ) = 0
( 1)
或 B 2 n - B 1 n
( 2)
在理想导体中 , B 与 H 都必须为零 , 根据 ( 2) 式 , 交界面上的 B ( 也就是 H) 的
法向分量必须连续 , 因此在靠近理想导体平面附近 B 的法向分量也为零 。 而根据 ( 1) 式 , B 的切向分量在有面 电流 i 时是不连续的 , 因此在靠近理想导体平面的附近 , H 的切向分量不为零 。