微分方程的概念
微分方程的基本概念
3．具有初始条件的微分方程： 此类微分方程的特点是给定了某些函数值 ，如 都是给定的数（称为初值） 等，其中 y0 ， y0 y x x y0 ， y x x y0 。此时所求出
0 0
的微分方程的解称为微分方程的特解，不包含任意常数 C 。
注 1：微分方程的特解不包含任意常数 C ，因为此时可利用初始条件将常数 C 变 为确定的数。
例 1：解微分方程
现将初始条件 y x 0 1 代入通解 y x 2 C ，得： 1 02 C ，从而有 C 1 于是，该微分方程的特解为 y x 2 1
注：解具有初始条件的微分方程大致分为两步：求出微分方程的通解（此时无需
理会初始条件） ；代入初始条件求得特解。
第一节 微分方程的基本概念
1．微分方程：微分方程主要处理未知函数、未知函数的导数与自变量间的关系。
例 1：
dy 2 x 为一阶微分方程。 dx
例 2： x
d2y dy x2 4 x 3x 3 为二阶微分方程。 2 dx dx
注：微分方程的阶数等于方程中的导数的最高阶数。 2．微分方程的通解：微分方程中的通解包含任意常数，且任意常数的个数等于 微分方程的阶数。
再将初始条件 y x 1 2 代入 y
于是，该微分方程的特解为 y
先将初始条件 y x 1 3 代入 y x 2 C1 ，得： 3 12 C1 ，从而有 C1 2 于是有 y
x3 x3 C1 x C2 2 x C2 3 3
x3 13 1 2 x C2 ， 得：2 2 1 C2 ， 从而有 C2 3 3 3 x3 1 2x 3 3
d2y 例 2：解微分方程 2 2 x 。 dx
7.1微分方程的概念
例1. 曲线过(0,1),且曲线上每个点处的切线斜率 等于该点的横坐标,求此曲线方程.
初始条件 设曲线方程为 y = y(x), 则 y x,
x2 y xdx c 2
c 1
y | x 0 1
一阶线性 微分方程
x y 1 2
2
通解
特解
一 、 微 分 方 程 的 概 念
如： y
x 1
2 可以确定 y x C 中的C
2
一阶常微方程的初始条件为 y ( x 0 ) y 0 ,其中
x 0 ， y 0 是两个已知数.
y ( x0 ) y0 , 二阶微分方程的初始条件为 . y ( x 0 ) y 0
一 、 微 分 方 程 的 概 念
x 2x y C e C e , y ( 0 ) 0 由初始条件 代入 1 2
得 C1 C2 0 x 2x y C e 2 C e , y ( 0 ) 1 由初始条件 代入 1 2 得 C1 2C2 1.
C1 1 C2 1 于是，满足所给初始条件的特解为
常微分方程. 偏微分方程.
z x y x
y x
dy xy dx
本章内容
一 、 微 分 方 程 的 概 念
例1：下列方程中，哪些是微分方程？哪些不是？
(1) y 4 y 3 y 1
(2) y
d y (4) 2 1 x dx
一 、 微 分 如：以下方程1，2，4是二阶，3是一阶。 方 程 (1) y 4 y 3 y 1 的 概 念 (2) y 2 4 y 3 0
(3)dy cos xdx
d y (4) 2 1 x dx
微分方程的基本概念
解 将 y 1( x2 4) 4
y 1 x 2
代入方程 y' ( x 2 4 ) 2xy
恒等式成立 且满足 y( 0 ) 1 所以 y 1 ( x 2 4 ) 是该初值问题的解
4
微分方程 微分方程的解 微分方程的阶 初始条件 积分曲线
通解 特解
1．试说出下列各微分方程的阶数： （1） x( y ')2 3 yy ' x2 0
（2） xy y xe x 0
（3） y 2xyy x 0 （4） ( x y)dx ( x y)dy 0
2．指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：
（1） y '' y 0
（2） y y2 x2 （3） y' 2 y 0
y 3sin x 4cos x
y 1 x
（1）阻力的大小与下落速度成正比
（2）阻力的大小与下落速度的平方成正比
解 y表示冰雹的速度， y 表示冰雹的下落速度 则
（1）设阻力 f ky(k 0)根据牛顿第二定律建立方程
my mg ky
（2）设阻力 f k( y)2 (k 0) ( y 0)
根据牛顿第二定律建立方程
my mg ky2
而 y ex是特解。
【注】 通解满足两个条件：1) 是解；2) 含有任意常数。
定义9.5 用来确定微分方程通解中任意常数的条件 称为微分方程的初始条件。
一 阶方程的初始条件(或初值条件): y( x0 ) y0 二阶方程的初始条件 y( x0 ) y0 y( x0 ) y0
求微分方程满足某个初始条件的解的问题称为
(2) ( y 3 5xy)dx ( x y)dy 0
(3) xy''' xy'2 y sin x (4) y'''2 y''3 y'4 y e x
数学中的微分方程及其应用
数学中的微分方程及其应用微分方程是一种具有广泛应用的数学方法，它可以描述很多自然现象和工程问题。
微分方程可以求解出一个函数，它的某个导数与函数本身之间的关系。
微分方程的研究既有理论上的意义，也有实际的应用。
下面，我们将探讨微分方程的概念、分类、求解方法以及一些应用。
微分方程的概念微分方程是描述某个函数与其导数之间关系的方程。
例如，dy/dx=2x+1就是一个微分方程，它表示y的导数等于2x+1。
我们可以通过求解这个微分方程，得到y随x的变化规律。
微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两种。
常微分方程是只含有一个自变量的微分方程，例如，dy/dx=2x+1就是一个一阶常微分方程。
而偏微分方程则含有多个自变量，例如，z=f(x,y)的偏导数方程∂z/∂x=2x+1就是一个一阶偏微分方程。
微分方程的求解方法微分方程的求解方法有很多种，常用的方法包括分离变量法、一阶线性微分方程、二阶常系数齐次微分方程等。
下面我们分别介绍这几种方法的基本原理。
（1）分离变量法分离变量法是处理一阶常微分方程中最常用的方法。
它的基本思路是将微分方程的两端分别含有不同的变量，然后分别积分。
例如，dy/dx=2x+1，我们可以将方程两边同时乘以dx，得到dy=(2x+1)dx，然后在两侧分别积分，得到y=x^2+x+C，其中C为积分常数。
（2）一阶线性微分方程一阶线性微分方程的一般形式为dy/dx+P(x)y=Q(x)，其中P(x)和Q(x)均为已知函数。
我们可以通过积分因子法，将线性微分方程化为可求解的形式。
积分因子是一个函数，可以乘到微分方程两侧，使得方程变为可积的形式。
（3）二阶常系数齐次微分方程二阶常系数齐次微分方程的一般形式为y''+by'+cy=0，其中b和c都是常数。
通过求解其特征方程r^2+br+c=0的根，我们可以得到方程的通解，通解的一般形式为y=C1e^(r1x)+C2e^(r2x)，其中C1和C2为积分常数，r1和r2为特征方程的两个根。
微分方程的概念
引例2 解
一曲线通过点 (1, 2，) 且在该曲线上任意一点 M处(x的, 切y)线的斜率
为 ，求曲2x线方程.
设曲线的方程为 y y(x) ，根据导数的几何意义，可知未知函数
y y(x) 应满足关系式
dy 2x dx
此外，函数 y y还(x应) 满足条件
(1) 微分方程 y( x) x1 2，(2) 初始条件
y 2 y ex 的解.
解
由于 y Ce2x 1 ex
3
则 y 2Ce2x 1 ex , y 4Ce2x 1 ex
3
3
代入微分方程 y 2 y ex 得：
4Ce2x 1 ex 2(2Ce2 x 1 ex ) ex 恒成立.
2
dy dx
y
sin
x
dx dt
2
x2
t3
常微分方程
实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的导数(或微分)之间 的关系式.
2、微分方程的阶
微分方程中未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微 分方程的阶.
d x x2 dt
d2 y 2 d y y sin x d x2 d x
⑸ xdy ydx 0
解 ⑴不是微分方程；
⑵不是微分方程；
⑶是1阶微分方程；
⑷是4阶微分方程；
⑸是1阶微分方程.
练习： 试说出下列各微分方程的阶数.
(1) x dy y 1 dx
(2) y2 xy xy 0
(3) x2 y x( y)3 3 0
3
3
所以 y Ce2x 1 ex 是 y 2 y ex 的解.
高等数学第七章第一节微分方程的基本概念课件.ppt
令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标
即 yy 2x 0
y P
Qo xx
引例1 通解:
dy dx
2x
y x1 2
引例2
y x2 C
d2y dx2
0.4
s t0 0 ,
ds dt
t0 20
s 0.2t 2 C1t C2
特解: y x2 1
s 0.2t 2 20t
例1. 验证函数 是微分方程
(C1 , C2为常数 )
的解, 并求满足初始条件
x
t0
A, dx
dt
t00
的特解 .
解:
k 2 (C1 sin kt C2 cos kt ) 这说明 x C1 cos kt C2 sin kt 是方程的解 .
是两个独立的任意常数, 故它是方程的通解.
利用初始条件易得:
故所求特解为
x Acos k t
例2. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q 且线段 PQ 被 y 轴平分, 求所满足的微分方程 .
微分方程的基本概念
含未内容)
分类 偏微分方程
方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程 的阶.
一般地 , n 阶常微分方程的形式是
F (x, y, y,, y(n) ) 0
或 y(n) f (x, y, y,, y(n1) ) ( n 阶显式微分方程)
微分方程的解 — 使方程成为恒等式的函数.
通解 — 解中所含独立的任意常数的个数与方程 的阶数相同.
特解 — 不含任意常数的解, 其图形称为积分曲线.
定解条件 — 确定通解中任意常数的条件.
第十章第一节微分方程的概念
y dx 2 xdx 得
y x 2 C1
2 y dx ( x C1 )dx
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第一节 微分方程的基本概念
2、通解 若微分方程的解中含有独立的任意常数,且 任意常数的个数与微分方程的阶数相同， 则称这样的解 为微分方程的通解 （一般解）。
2 前例中， y 3 x ,
其中x0 , y0为已知常数. 二阶微分方程y f ( x, y, y)的初始条件为 , 其中x0 , y0 , y0 为已知常数. y x x y0 , y x x y0
0 0 0
y x x y0 ,
第一节 微分方程的基本概念
称为 4、初始条件 确定通解中的任意常数的条件， 初始条件， 也称为定值条件。
线斜率等于该点的横坐标平方的3倍,求此曲线的方程. 解： 设所求曲线方程为 y y( x ), dy 2 ① 微分方程 3 x 由导数的几何意义得
因曲线通过点 (1,2), 故 y | x 1 2
dx
② 初始条件 对(1)式求积分, 得 y 3 x 2dx x 3 C ③ 方程通解
n阶线性微分方程的一般形式为 ( n) ( n1) y a1 ( x) y ... an1 ( x) y an ( x) y g( x) （3） 其中a1 ( x),.a2 ( x)...,an ( x)和g( x)均为自变量x的
已知函数。 例： y P ( x ) y Q( x ), y 2 yy 3 y x 2 一阶线性常微分方程 二阶线性常微分方程
微分方程是一门独立的数学学科，有完整的理论体系。 是现代数学的一个重要分支。 本章我们主要介绍微分方程的一些基本概念，几种 常用的微分方程的求解方法，微分方程在经济中的应用。
微分方程的概念
微分方程的概念
微分方程的概念
微分方程是一种数学方程，它描述包括求解的变量在一个或多个变量的函数的变化是如何受到其他变量的影响的。
微分方程的解决方案可以用来描述物理系统中的变化，并且可以用于计算系统动态的行为。
常见的微分方程可以分为两种：常微分方程和非线性微分方程。
常微分方程由一个变量的导数所组成，它通常被用来描述连续的过程，而非线性微分方程则由多个变量和它们的导数组成，它可以用来描述更加复杂的变化系统。
微分方程的解决方案可以通过求导或积分的方式来计算出来。
求导就是求解变量关于另一个变量的增量变化，而积分则是求解变量关于时间或其他变量的总体变化。
微分方程一般是由求解问题的需求而推导出的，它可以用来描述一个系统或变量的动态行为，并有助于我们理解各种复杂的物理现象。
由于微分方程可以用来模拟物理系统的变化，它也是用来设计和分析各种复杂系统的重要工具。
- 1 -。
9.1 微分方程的基本概念
代入上面方程后,使上面方程在 I上为恒等式 ,
则称函数 y ( x)是上面方程在 I 上的解.
如果关系式 ( x, y) 0所确定的隐函数 y ( x)是上面
方程的解, 则称 ( x, y) 0 是方程在区间 I 上的隐式解.
解：设曲线为y y( x),
y 2x
y x2 C 通解
由于曲线通过点(1 , 2), 定解条件
2 12 C, C 1.
曲线为y x2 1.
特解
求特解的步骤： 首先要求出方程的通解； 然后再根据实际情况给出确定通解中n个常数的条件, 称为定解条件； 最后根据定解条件求出满足条件的特解. 由定解条件求特解的问题，称为微分方程的定解问题.
n 阶线性常微分方程的一般形式： y(n) a1( x) y(n1) L an1( x) y an ( x) y f ( x)
不能表示成形如上式 形式的微分方程，统称为非线性方程.
二、微分方程的解
定义9.2 设有n 阶 ( 常 ) 微分方程F ( x, y, y,L , y(n) ) 0 .
定义9.1 含有自变量、未知函数以及未知函数的导数
(或微分)的函数方程称为微分方程.
y xy
y 2 y 3 y e x
z x y x
例 设某地区在 t 时刻人口数量为 P(t), 在没有人员迁入或迁出
的情况下,人口增长率与 t 时刻人口数 P(t)成正比,
dP(t) rP(t) dt
§9.1 微分方程的基本概念
一、微分方程的定义 二、微分方程的解
一、微分方程的定义 引例 设曲线通过点(1 , 2),且其上任一点处的切线斜率等于 该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程. 解：设曲线为y y( x),
微分方程基本概念
differential equation).
例如：
dy 1, dx y xy ( y ),
(1.1) (1.2) (1.3)
( x y)dx ( x y)dy 0,
dx dt f 1 (t , x, y ) , dy f 2 (t , x, y ) dt
注1：判别一个微分方程是否线性，只要看其未知函数及 其各阶导数是否一次的即可，不需要考虑自变量的影响
5. 微分方程的解：
如果把已知函数
或函数矢量
及其导函数代
入相应的微分方程, 使得该微分方程在函数 的定义区间 I 上成为恒等式, 则称这种函数 为微分方程在区间 I 上的(显式)解. 这个区间 I 称为微分方程的解的定义区间.
I 上有恒等式 ( x) f ( x, ( x))
, 在它上面任一点
反之, 如果对于 D 中的任一条光滑曲线
处的切线斜率
刚好就是函数f (x, y) 在该点处的值
则此曲线就是方程的积分曲线.
2. 方向场
在 D 中每一点 ( x, y ) 处画上斜率为 f ( x, y) 的一个“小直线段”,
为该微分方程的阶数;
一般 阶常微分方程可写成如下隐方程形式
( n) F ( x, y, y ,, y ) 0
其中 F 是其变元的已知函数. 但在实际中常常讨论最高阶导数已解出的标准形式
y ( n) f ( x, y, y ,, y ( n1) ).
即方程的左边是未知函数的最高阶导数 (n 阶导数), 而方程的右边 为自变量、未知函数和未知函数低于 n 阶的导数的已知函数.
初值条件是指当自变量在某一给定点时, 未知函数以及它的
微分方程的基本概念与解法
微分方程的基本概念与解法微分方程是数学中的一个重要分支，旨在描述自然界中的各种变化和变化规律。
在数学和其它领域中，微分方程的表述方式和求解方法应用广泛，是研究数学和自然科学必备的基础知识之一。
本文结合一些例子，介绍微分方程的基本概念、分类和解法。
一、微分方程的定义和表示微分方程简单来说是一个含有未知函数及其导数的方程。
我们假设所要研究的函数是y=f(x)，f(x)的n阶导数为y^(n)，则微分方程可表示成以下形式：F(x, y, y', y'',..., y^n)=0，其中y'=dy/dx，y''=d^2 y/dx^2，y^n=d^n y/dx^n。
例如，一阶常微分方程dy/dx=f(x)，则可表示成F(x, y, y')=y'-f(x)=0。
二、微分方程的分类微分方程可分为常微分方程和偏微分方程。
1、常微分方程常微分方程只涉及一个自变量，例如dy/dx=f(x)或y''+p(x)y'+q(x)y=0。
一些常见的常微分方程类型包括：一阶线性方程：dy/dx+p(x)y=q(x)，可用一阶常系数线性微分方程的方法求解；二阶线性齐次方程：y''+p(x)y'+q(x)y=0，可用常系数线性微分方程的方法求解；二阶非齐次方程：y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)，可用常系数非齐次线性微分方程的方法求解。
2、偏微分方程偏微分方程涉及多个自变量，例如p(x,y)∂u/∂x+q(x,y)∂u/∂y=r(x,y)。
该方程式中，u是自变量x和y的函数，偏导数∂u/∂x和∂u/∂y亦为u的函数。
三、微分方程的解法解微分方程可以使用以下方法：1、分离变量法对于一类形如dy/dx=f(x)g(y)的方程，可以通过将方程中的变量分离并进行积分得到其解，即∫(1/g(y))dy = ∫f(x)dx + C，其中C为常数。
微分方程的基本概念和解法
微分方程的基本概念和解法微分方程是数学中非常重要的一种工具。
它是数学中最重要的一个分支之一，也是其他许多学科的基础。
微分方程在物理、化学、工程学、经济学、生物学以及计算机科学等领域都有着广泛的应用。
本文将介绍微分方程的基本概念和解法。
一、微分方程的定义微分方程是用来描述一些量的变化率的方程。
在微分方程中，自变量通常是时间或空间，因变量是需要得到的量。
微分方程通常由一个或多个未知函数及其导数或微分构成。
二、微分方程的类型微分方程可分为常微分方程和偏微分方程两类。
常微分方程是只涉及一个自变量的微分方程。
偏微分方程是涉及到多个自变量的微分方程。
另外，微分方程还可分为一阶微分方程和高阶微分方程两类。
一阶微分方程的未知函数只出现一次导数，高阶微分方程的未知函数出现多次导数。
三、微分方程的解法1.分离变量法分离变量法是求解一阶微分方程的一种常用方法。
假设一个未知函数y是由x的函数所支配的，即y=f(x)。
将y的微分表达式dy表示成dx的函数，然后将各变量分离出来，即得到dy/g(y)=f(x)dx，再将其两边同时积分，即可求出y的解函数。
例如，考虑求解y'=2xy的一般解。
首先将dy=y'dx，将y的微分表达式代入原方程，得到dy=2xydx。
将dy除以y并将dx除以2x，得到dy/y=xdx。
对其两边同时积分，可得ln|y|=x^2+C，其中C为常数。
解出y，得y=±e^(x^2+C)，即为通解。
2.齐次方程法齐次方程也是求解一阶微分方程的一种方法。
若一个一阶微分方程可以化为dy/dx=f(y/x)的形式，则称其为齐次方程。
求解齐次方程的方法为令v=y/x，等价于y=vx，然后对v关于x求导数，即dv/dx=y'x-y/x^2，代入原方程即可得到f(v)dv=vdx。
对其两边同时积分即可得到通解y=Cx^m，其中m为常数。
例如，考虑求解y'=x/2y的一般解。
首先令v=y/x，则y'=v+x dv/dx。
第九章 微分方程
满足y(0)=1,y’(0)=-6的特解为： 的特解为： 满足 的特解为
y=-e2x+2e-2x
9.2 一阶微分方程
一般形式： 一般形式： 常见形式： 常见形式：
F( x, y, y′) = 0
y′ = f (x, y)
. 例4 求方程xydx + (1+ x2 )dy = 0 通解
解 分离变量 两端积分
x 1 dx + dy = 0 2 1+ x y
1 ln(1+ x2 ) + ln y = ln c 2 c 2 为所求通解 ⇒ y 1+ x = C ∴ y =
1+ x
2
已知某商品需求量Q,对价格 例5:已知某商品需求量 对价格 的弹性ε = −0.02 p 已知某商品需求量 对价格p的弹性 ， 且该商品的最大需求量为200，求需求函数 。 且该商品的最大需求量为 ，求需求函数Q。
y′′ + 2 y′ − 3 y = e , (t 2 + x)dt + xdx = 0,
x
∂x
常微分方程
偏微分方程
实质: 含有未知函数的导数(或微分)的等式. 实质: 含有未知函数的导数(或微分)的等式.
2、微分方程的阶: 微分方程的阶: 微分方程中所含的未知函数的导数的最高阶数称 微分方程中所含的未知函数的导数的最高阶数称 最高 为微分方程的阶. 为微分方程的阶.
正规型
一、可分离变量的微分方程 能化成： 能化成：f(x)dx=g(y)dy 的方程 称为可分离变量的微分方程 解法：分离变量，两边直接积分即可。 解法：分离变量，两边直接积分即可。 例1 求解微分方程 (2x −1)dx − dy = 0 的通解 . 解：分离变量，得 (2x-1)dx=dy 分离变量， 此即所求的通解. 两边积分得： 此即所求的通解 两边积分得：y=x2-x+C,此即所求的通解
微分方程的基本概念
微分方程是数学中重要的一个分支，其在物理、工程、经济等领域具有广泛的应用。
微分方程的基本概念包括了方程的定义、解的定义、初值问题以及一阶线性微分方程等。
首先，我们来看微分方程的定义。
微分方程是包含未知函数及其导数或微分的关系式。
它是数学分析的研究对象，用来研究函数在局部上的变化规律。
通常用x来表示自变量，用y表示函数的取值，用y'表示函数y对x的导数。
微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两大类。
接下来，我们来看微分方程的解的定义。
微分方程的解是指满足该方程的函数。
一般来说，微分方程的解不是唯一的，而是存在无穷多个。
例如，对于一阶线性微分方程y'+p(x)y=q(x)，其中p(x)和q(x)是已知函数，可以通过积分的方法求得其解。
解的形式可以是显式解或隐式解，取决于方程的形式和解的表达方式。
然后，我们来看初值问题。
初值问题是指在微分方程中给定一个特定的初值条件，要求求解满足该条件的解。
例如，对于一阶线性微分方程y'+y=0，给定初始条件y(0)=1，可以求解得到解y(x)=e^{-x}。
初值问题在应用领域中具有重要的意义，例如在物理学中，我们常常根据初始条件求解出系统的运动规律。
最后，我们来看一阶线性微分方程。
一阶线性微分方程是最简单和最常见的微分方程形式。
一般来说，一阶线性微分方程可以写作y'+p(x)y=q(x)，其中p(x)和q(x)是已知函数。
我们可以通过积分的方法求解这类方程，即将方程两边同时积分，得到y=∫q(x)e^{-\int p(x)dx}dx+C。
其中C是一个常数，它代表了方程的任意常数。
总结起来，微分方程是数学中重要的一个分支，它可以用来研究函数在局部上的变化规律。
微分方程具有基本的概念，包括方程的定义、解的定义、初值问题以及一阶线性微分方程等。
微分方程在物理、工程、经济等领域具有广泛的应用，例如求解物理系统的运动规律、分析电路的行为、研究经济的增长模式等。
微分方程初步微分方程的基本概念与解法
微分方程初步微分方程的基本概念与解法微分方程是数学中的一个重要分支，它研究的是含有未知函数及其导数的方程。
在实际问题的建模和解决过程中，微分方程起到了至关重要的作用。
本文将介绍微分方程的基本概念和一些解法。
一、微分方程的基本概念微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两大类。
常微分方程是研究只涉及一个自变量的未知函数的方程，而偏微分方程则是研究涉及多个自变量的未知函数的方程。
微分方程的解包括通解和特解两种。
通解是满足方程的所有解的集合，特解是其中的一个解。
通解是通过求解微分方程得到的，而特解可以通过给定初始条件来确定。
二、微分方程的解法1. 可分离变量法可分离变量法是最简单常用的解微分方程的方法。
对于形如dy/dx=f(x)·g(y)的方程，可以将dy/g(y)=f(x)dx两边同时积分得到解。
2. 齐次方程法对于形如dy/dx=f(x,y)/g(x,y)的方程，如果f(x,y)和g(x,y)都是同次齐次函数，即f(kx,ky)=k^n*f(x,y)和g(kx,ky)=k^m*g(x,y)，则可以通过变量代换y=vx得到一个可分离变量的方程。
3. 线性方程法对于形如dy/dx+p(x)y=q(x)的一阶线性方程，可以通过积分因子法求解。
首先求得其积分因子μ(x)=exp[∫p(x)dx]，方程两边同时乘以μ(x)化为可积形式，再对其进行积分得到解。
4. 变化常数法对于形如y'+p(x)y=q(x)e^(-∫p(t)dt)的一阶线性方程，可以通过变化常数法求解。
假设通解为y=(c(x)+∫q(x)e^(-∫p(t)dt)dx)e^∫p(x)dx，其中c(x)为待定的常函数。
5. 微分方程的级数解法级数解法是针对某些特殊的微分方程的一种解法。
通过将未知函数展开为幂级数的形式，将微分方程转化为递归关系式，从而得到解的表达式。
6. 数值解法对于一些无法求得解析解的复杂微分方程，可以通过数值方法来近似求解。
微分方程定义
微分方程定义概念: 微分方程、常微分方程、常微分方程、偏微分方程、阶、解、通解、特解、奇解、定解条件、初值条件微分方程：凡含有未知函数的导数或微分的方程常微分方程：未知函数为一元函数的微分方程.偏微分方程：未知函数为多元函数，同时含有多元函数的偏导数的微分方程阶:微分方程中,未知函数的最高阶导数(或微分)的阶数解:如果某个函数代入微分方程后使其两端恒等,则称此函数为该方程的解通解(general solution):如果微分方程的解所包含独立的任意常数的个数等于方程的阶数,则称此解为方程的通解.（通解并不一定包含方程所有的解）特解(particular solution)：微分方程任一确定的解奇解：不包含在通解中的解定解条件：用来确定微分方程特解的条件。
（微分方程一般具有无数个解，为了确定微分方程的一个特解，必须给出这个解所满足的条件。
）初值条件：如果定解条件是由系统在初始时刻所处的状态给出，则也称这种定解条件为初值条件。
In general,a differential equation is an equation that contains an unknown function and one or more of its derivatives.The order of a differential equation is the order of the highest derivative that occurs in the equation.A function f is called a solution of a differential equation if the equation is satisfied when y=f(x) and its derivatives are substituded into the equation.An nth-order equation has an nth-parameter family of solution.A separable equation is a first-order differential equation in which the expression for dy/dx can be factored as a function of x times a funtion of y. In other words,it can be written in the form dy/dx=g(x)f(y) Homogeneous Equations:The first-order differential equation is homogeous if it can be put in the form y′=f(y/x)(x≠0)A first-order linear differential equation is one that can be put into the form dy/dx+P(x)y=Q(x)To solve the linear differential equation y′+P(x)y=Q(x),multiply both sides by the intergrating factor I(x)=e dx x p)(and integrate both sides.。
微分方程概念
微分方程概念
微分方程是描述自然界中变化率与量的关系的数学工具。
通俗地说，微分方程就是一个含有导数或微分的方程式。
微分方程在自然科学、工程学、经济学等领域中都有广泛的应用。
对于一个未知函数y(x)，如果它的导数（或微分）和自变量x 之间存在某种关系，那么我们就称这个关系为微分方程。
常见的微分方程包括一阶和二阶微分方程，以及高阶微分方程等。
其中，一阶微分方程只涉及到一阶导数或微分，而二阶微分方程则涉及到二阶导数或微分。
解微分方程是找到函数y(x)满足微分方程的过程。
根据微分方程的不同形式和求解方法的不同，可以将微分方程分为多种类型，如可分离变量型、线性型、齐次型、非齐次型、常微分方程、偏微分方程等。
微分方程的研究对于理解自然现象、研究物理规律、优化工程设计等领域都具有重要意义。
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方
用未知函数及其各阶导数在某个特定点的值作为
程
确定通解中任意常数的条件
的 概
初始条件的个数要和阶数相同,才能确定唯一特解;
念 如： y 2 可以确定 y x2 C 中的C x 1
一阶常微方程的初始条件为 y(x0 ) y0,其中
x0， y0 是两个已知数.
二阶微分方程的初始条件为
y(x0 ) y(x0 )
足初始条件 y(0) 0, y(0) 1的特解． 解：yC 1 exC 2e2x, yC 1ex2C 2e2x, yC 1ex4C 2e2x,
将 y, y, y代入方程 y 3y 2y 0左端，得
C 1 e x 4 C 2 e 2 x 3 ( C 1 e x 2 C 2 e 2 x ) 2 ( C 1 e x C 2 e 2 x ) ( C 1 3 C 1 2 C 1 ) e x ( 4 C 2 6 C 2 2 C 2 ) e 2 x 0
一
、 微分方程解的分类：
微 分
（2）特解：
方
确定了通解中任意常数的解。
程 的
y 2 x 方程中
概 念
y x 2 , y x2 1, 都是方程的特解。
问： y x2 1, y x2 C 两者有关系吗？
若给出：y x 1 2 可以代入得出。
一
、 微分方程解的分类：
微 分 （3）初始条件:
所以， y C1ex +C2 e2x 是微分方程的解．又因为这个解 中有两个独立的任意常数，与方程的阶数相同，所以它
是微分方程的通解．
例 1 验证函数 y C1ex C2e2x( C1,C2为任意常数)
为二阶微分方程 y 3y 2y 0的通解，并求该方程满
足初始条件 y(0) 0, y(0) 1的特解． 由初始条件 y(0)0代入 yC 1 exC 2e2x, 得C 1 C 2 0 由初始条件 y(0)1代入 yC 1ex2C 2e2x, 得C 1 2 C 2 1 . 则 C1 1 C2 1 于是，满足所给初始条件的特解为 yexe2x
y0 , y0 .
一
、
微 分 方 程
例1. 曲线过(0,1),且曲线上每个点处的切线斜率等
于该点的横坐标,求此曲线方程.
初始条件
的 概
设曲线方程为 y = y(x), 则 yx, y|x01
念
yxd
xx2 2
c
一阶线性 微分方程
c 1
x2 y 1
2
通解
特解
一
、
微 分
4. 几何意义:
方 程
通解 积分曲线族 特解 积分曲线
(3)dycosxdx
(4)
d2y dx 2
1
x
一
、
微 （三）. 分类
分
方 分类2:微分方程的阶
程 的
微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，
概 称为微分方程的阶.
念 通常，n 阶微分方程的一般形式为
F(x, y, y, , y(n)) = 0，
其中 x 是自变量， y 是未知函数，F(x, y, y, , y(n)) 是已知函数，而且一定含有 y(n).
一
、
微 分
例2：指出下列微分方程的阶数。
方 程
(5)xdxy2dy0 一阶
的 概
(6)y8y4x41 二阶
念
(7)yey x2
一阶
(8)y3yx2y1 二阶
一
、 微
（三）. 分类
分 方
分类3.线性与非线性方程：
程 当微分方程中所含的未知函数及其各阶导数全是一次幂 的 (不含乘积)时，微分方程就称为线性微分方程.
微 分 微分方程解的分类：
必须独立
方 （1）通解：
程 的
y
如果解中含有任意常数C,且个数与阶数相同
概 念
n阶方程通解一般形式: yy(x,c1,c2,,cn)
例如： y y 通解 y C e x
y y 0 通解 yC 1sinxC 2cosx
若： yx2 C1 12C2
y x2 C
此解若为通解，只可能是一阶微分方程的通解。
x2 y2 1 x是自变量，y=y(x)
x2y2z2 1 x,y是自变量，z=z(x,y)
一
、
微 （一）.实例
分方 例Βιβλιοθήκη . 曲线过(0,1),且曲线上每个点处的切线斜率等
程 于该点的横坐标,求此曲线方程.
的 概
设曲线方程为 y = y(x), 则 yx, y|x01
念
yxd
x
x2 2
c
c 1
y x2 1 2
一
、
微
分 如：以下方程1，2，4是二阶，3是一阶。
方
程 的
(1)y4y3y1
概
念 (2)y24y30
(3)dycosxdx
(4)
d2y dx 2
1
x
10
一
、
微 分
例2：指出下列微分方程的阶数。
方 程
(1)x2dx2ydy0
一阶
的 概
(2)yy3ex0
二阶
念 (3)dy 2y dx 一阶
100x
(4 )x y 5 y 3 x y c o s2x三阶
第七章 微分方程
§7.1微分方程的概念
x32x10 3 x12 代数方程
x1什么x是方程？
sinxcosx1
超越方程
x1lnx
上述方程的共同点
作为未知而要求的是一个或几个个特定 的值（称为方程的根或解）
体会到方程论对解决实际问题的作用
设未知量
列方程
求解方程
高等数学中方程的推广
作为未知而要求的不再仅是一个或几个 个特定的值，而是一个函数（称为方程 的根或解）
的
概 念
例:验证 x2 y2 c 是 y x 的通解 y
对 x2 y2 c用隐函数求导法得:
y
x y
故 x2 y2 c是方程的解, 且含有一个任意常数.
通解
例 1 验证函数 y C1ex C2e2x ( C1,C2为任意常数) 为二阶微分方程 y 3y 2y 0的通解，并求该方程满
yy x
y2xy3yex
dy 6 y xy2 dx x
yxyy2
一
、
微 分
(三). 分类
方 分类1:按自变量的个数分
程
的 概
常微分方程.
念
y x
dy xy dx
偏微分方程.
z x y x
本章内容
一
、
微 分
例1：下列方程中，哪些是微分方程？哪些不是？
方
程 的
(1)y4y3y1
概
念 (2)y24y30
一
、 (二). 概念
微 分 1. 微分方程: 含有未知函数的导数或微分的方程.
方 实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数
程 的 概
(或微分)之间的关系式.
如上例中的： y x
dy xy dx
z x y x
念 yxy3yex (t2x)dtxdx0
dy2xdx0 (yxy)dxx2dy0
概 否则为非线性微分方程。 念
yxy3yex y2xy3yex
练习：
一
、 微
（四）、主要问题————求方程的解
分 微分方程的解：
方 程
将函数 y=y(x) 代入方程后使方程恒等,则称之.
的 概
如： y 2 x 方程中
念 y x 2 , y x2 1, y x2 C
都是方程的解
一
、 （四）、主要问题————求方程的解