第2章刚体和流体力学(1-3)(中南大学物理)

描述刚体整体的运动用角量最方便。

角速度
角速度方向规定为沿轴方向， 指向用右手螺旋法则确定。
r
v
其角量和线量的关系：
角加速度
加速转动
方向一致
减速转动
方向相反
其角量和线量的关系：
一 、刚体的转动动能
定义J为刚体对给定轴的转动惯量(moment of inertia) 刚体绕定轴转动时转动动能等于刚体的转动惯 量与角速度平方乘积的一半---刚体的转动动能. 比较：
解：飞轮制动时有角加速度
fr
N
0
外力矩是摩擦阻力矩，角加速度为负值。

例3. 如图所示，两物体1和2的质量分别为m1与m2， 滑轮的转动惯量为J,半径为 r 。 （1）如物体2与桌面间的摩擦系数为μ，求系统的加速 度 a 及绳中的张力 T1 与 T2（设绳子与滑轮间无相对猾 动）； （2）如物体2与桌面间为光滑接触，求系统的加速 度 a 及绳中的张力 T1与 T2。
半径为R）

三、转动定律
作用在刚体上的轴的力矩 (1)
O r d

P
F
转动平面
力矩的大小等于力在作用点的切向分量与力的作 用点到转轴Z的距离的乘积。
如果有几个外力矩作用在刚体上
积分得

刚体定轴转动的转动定律
刚体转动定律可由牛顿第二定律直接导出 Z dF和 df 为合外力和合内力.
M
v 2gh
(1)

① 求碰撞后瞬间盘的 0=？ 碰撞 t 极小，对 m +盘系统，冲力远大于重力，故重力 对O力矩可忽略，角动量守恒： mvR cos J o 1 2 2 2 J MR + mR 2 mR 2 由 (1)(2)(3) 得 ： o 2 gh cos 2R (2)
系数μ= 0.4，飞轮的质量全部分布在轮的外周上。尺 寸如图所示。）（教材p115、2-5） 0.5m
0.75m
F
闸瓦
d
ω

解： J = mR 2= 60×(0.25)2 3.75kg.m2 =
l1
N
l2
F
f 1000 t =0 ω0 = 2 n= 2 × π π N 60 =104.7 r/s f t =5 ω =0 ω ω 0 0 104.7 20.9 r/s2 a= = = t 5 F ( l 1 + l 2) N l 1= 0 R = J a = m NR N = Ja f mR l1 J a F= mR = 314N l1 + l2
定轴转动：各质元均作圆周
转轴
运动，其圆心都在一条固定 不动的直线（转轴）上。
O’
O
刚体的一般运动
既平动又转动：质心的平动加绕质心的转动

二、描述刚体定轴转动的物理量
角位移

P P X

X X
转动平面
转轴
参考 方向
Q
各质元的线速度、加速度一般不同，
但角量（角位移、角速度、角加速度）都相同
m2
T2 T1
m1

T2 m1 a m2 m 2g T1 m 1g m 1g T 1 = m 1a a =r a N m 2g = 0 T 2 f = m 2a f = m N = m m 2g T 1r T 2 r = J a m 1g m m 2g 解得： a =m m J r2 1+ 2+ m 1g ( m 2+m m 2 + J r 2 ) T1 = m 1+ m 2 + J r 2 m 2g ( m 1+m m 1 + m J r 2) T2 = m 1+ m 2 + J r 2

Z Z
r
R
dZ
O
X
Y

平行轴定理
前例中JC表示相对通过质心的轴的转动惯量， JA表示相对通过棒端的轴的转动惯量。两轴 平行，相距L/2。可见：
推广上述结论，若有任一轴与过质心的轴平 行，相距为d，刚体对其转动惯量为J，则有： J＝JC＋md2。
这个结论称为平行轴定理。

右图所示刚体对经过棒 端且与棒垂直的轴的转动惯 量如何计算？(棒长为L、球
子弹对棒的反作用力对棒的 冲量矩为：
M
因,
由两式得
v0
m
v

另解： 利用系统总角动量守恒
M
v0
m
v

如图示已知： M =2 m ， h ， =60o m为粘土块的质量 例2 求：①碰撞后瞬间盘的 0 ？
② p转到x 轴时盘的 =? ?
解： m下落：
1 mgh mv2 2
解：(1)
N
f
T2
T1
(2) m = 0
（物体2与桌面间为光滑接触时）
m 1g a=m m J r2 1+ 2+ m 1g (m 2+ J r 2 ) T1 = m 1+ m 2 + J r 2 m 1m 2g T2 = m 1+ m 2 + J r 2

例4、一根长为L、质量为m的均匀细直棒，其一端 有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转 动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆角时的 角量
对于质量元连续分布的刚体，其转动惯量可写成:
其中ri是质量元到转轴的距离。 刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质元的质量 与这一质元到转轴的距离平方的乘积之总和。 在国际单位制中其单位为千克· 2（kg· 2）。 米 m
与转动惯量有关的因素： •刚体的质量
•转轴的位置
•刚体的形状
实质与转动惯量有关的 只有两个因素。形状即质量 分布，与转轴的位置结合决 定转轴到每个质元的矢径。
d
z
分解为作用在质量元dm 上的切向力和法向力:
O
df r

dF
n dF
dF
dm
和 将切向分量式两边同 乘以r，变换得
转动平面

对等式左边积分得到外力矩
其中，
(为什么？）
角加速度对所有质量元都相等
所以 问：那么法向分量情况？ (注意：法向分量通过转轴，对轴不产生力矩) 写成矢量形式
艺术美、人体美、物理美相互结合

Ⅱ当滑冰、跳水、体操运 动员在空中为了迅速翻转 也总是曲体、减小转动惯 量、增加角速度。当落地 时则总是伸直身体、增大 转动惯量、使身体平稳地。

ω
花样滑冰运动 员通过改变身体姿 态即改变转动惯量 来改变转速.
ω

例1、如图所示,一质量为m的子弹以水平速 度射入一静止悬于顶端长棒的下端,穿出后速 度损失3/4,求子弹穿出后棒的角速度。（已 知棒长为l,质量为M.） 解:以f代表棒对子弹的阻力,对子弹有:
------叫做角动量定理（或动量矩定理）

若J 改变,则
转动动能与角动量的关系:
二 、角动量守恒定律及其应用 当物体所受的合外力矩为零时,物体的角动量 保持不变.这一结论称为角动量守恒定律. 角动量守恒定律的两种情况：
1、转动惯量保持不变的单个刚体。

2、转动惯量可变的物体
F
F
实际中的一些应用 Ⅰ、芭蕾舞演员的高难动作
解：棒下摆为加速过程，外 力矩为重力对O的力矩。 棒 上取质元dm,当棒处在下摆 角时，该质量元的重力对轴 的元力矩为
O

dm
gdm

O

dm
重力对整个棒的合力矩为
gdm
代入转动定律，可得


四、 力矩的功
式中
力矩做功是力做功的角量表达式.
力矩的瞬时功率

五、刚体定轴转动的动能定理
3、如何计算刚体的转动惯量？ 4、刚体定轴转动动能如何确定？ 5、什么叫刚体定轴转动定律？
如何应用转动定律解题？

刚体: 在外力作用下形状和大小保持不变的物体.
即各质点间的相对位置永不发生变化的质点系。
一、刚体的平动和转动 平动：用质心运动讨论
刚体在运动中，其上任意两点的连线始终保持平行。

转动：（分对点、对轴转动） （只讨论定轴转动）
细绳，绳的一端固定在滑轮边上，
M0 g
R
另一端挂一质量为ｍ的物体而下垂。
忽略轴处摩擦，求物体ｍ由静止下
落高度ｈ时的速度和此时滑轮的角
速度。

解：
R
M0 g

例2、一个飞轮的质量为69kg，半径为
0.25m,正在以每分1000转的转速转动。现 在要制动飞轮，要求在5.0秒内使它均匀 减速而最后停下来。摩擦系数为0.2。求 闸瓦对轮子的压力N为多大？ F 0
1
2R
（ 60 o）
.
g 2
(h + 4 3R)
由转动定律：
M 力矩 J

1 2
M 力矩 J
而： M 力 矩 mgR （粘土的重力矩），
J
2 mR
2
+ mR
2
2 mR
2

mgR 2 mR
2

g 2R

例题3. 飞轮的质量为60kg，直径为0.50m， 转速为1000r／min，现要求在 5s内使其制 动，求制动力 F 。（假定闸瓦与飞轮之间的摩擦
(3) (4)
②求 p点转到x 轴时盘的 =？，=？ 对 m+ M+ 地球系统，只有重力做功， E守恒， 令 P 、x 轴重合时 E P =0 。
则：
mgR sin +
1 2
J
2 0

1 2
J