第2章刚体和流体力学(1-3)(中南大学物理)

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二. 转动惯量
对于质量元连续分布的刚体,其转动惯量可写成:
其中ri是质量元到转轴的距离。 刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质元的质量 与这一质元到转轴的距离平方的乘积之总和。 在国际单位制中其单位为千克· 2(kg· 2)。 米 m
与转动惯量有关的因素: •刚体的质量
•转轴的位置
•刚体的形状
实质与转动惯量有关的 只有两个因素。形状即质量 分布,与转轴的位置结合决 定转轴到每个质元的矢径。
线分布
面分布
体分布
例题
1、求质量为m、半径为R的均匀圆环的转动惯 量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。 解: O
J是可加的,所以若为薄圆筒 (不计厚度)结果相同。
R
dm

2、求质量为m、半径为R、厚为l 的均匀圆盘的 转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。 解:取半径为r宽为dr的薄圆环,
可见,转动惯量与l无关。所以,实心圆柱对 其轴的转动惯量也是mR2/2。
d
z
分解为作用在质量元dm 上的切向力和法向力:
O
df r

dF
n dF
dF
dm
和 将切向分量式两边同 乘以r,变换得
转动平面

对等式左边积分得到外力矩
其中,
(为什么?)
角加速度对所有质量元都相等
所以 问:那么法向分量情况? (注意:法向分量通过转轴,对轴不产生力矩) 写成矢量形式
角动量定理 或角动量守恒定律解题?

一、 刚体的角动量定理
刚体绕定轴转动时,各质元某一瞬时均以相 同的角速度绕该定轴作圆周运动.
刚体对某定轴的角动量等于刚体对此轴的转动惯量 与角速度的乘积.(角动量又叫做动量矩)

刚体转动定律的另一种形式
刚体所受的外力矩等于刚体角动量对时间的变化率。
冲量矩,又叫角冲量. 外力矩对系统的冲量矩(角冲量)等于角动量的增量.
描述刚体整体的运动用角量最方便。

角速度
角速度方向规定为沿轴方向, 指向用右手螺旋法则确定。
r
v
其角量和线量的关系:
角加速度
加速转动
方向一致
减速转动
方向相反
其角量和线量的关系:
一 、刚体的转动动能
定义J为刚体对给定轴的转动惯量(moment of inertia) 刚体绕定轴转动时转动动能等于刚体的转动惯 量与角速度平方乘积的一半---刚体的转动动能. 比较:
子弹对棒的反作用力对棒的 冲量矩为:
M
因,
由两式得
v0
m
v

另解: 利用系统总角动量守恒
M
v0
m
v

如图示已知: M =2 m , h , =60o m为粘土块的质量 例2 求:①碰撞后瞬间盘的 0 ?
② p转到x 轴时盘的 =? ?
解: m下落:
1 mgh mv2 2
3、求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同 轴的转动惯量。 解:取如图坐标,dm=dx
A L B X
A L/2
C
L/2
B X

4. 求一质量为m的均匀实心球对其一条直径 为轴的 转动惯量。 Z Z
r
R
dZ
解: 一球绕Z轴旋转,离 球心Z高处切一厚为dz的 薄圆盘。其半径为 Y
O
X
其体积: 其质量: 其转动惯量:
定轴转动:各质元均作圆周
转轴
运动,其圆心都在一条固定 不动的直线(转轴)上。
O’
O
刚体的一般运动
既平动又转动:质心的平动加绕质心的转动

二、描述刚体定轴转动的物理量
角位移

P P X

X X
转动平面
转轴
参考 方向
Q
各质元的线速度、加速度一般不同,
但角量(角位移、角速度、角加速度)都相同
(3) (4)
②求 p点转到x 轴时盘的 =?,=? 对 m+ M+ 地球系统,只有重力做功, E守恒, 令 P 、x 轴重合时 E P =0 。
则:
mgR sin +
1 2
J
2 0

1 2
J
2
(5)

由 (3)(4)(5) 得:


gh 2R
2
cos +
2
g R
sin
------叫做角动量定理(或动量矩定理)

若J 改变,则
转动动能与角动量的关系:
二 、角动量守恒定律及其应用 当物体所受的合外力矩为零时,物体的角动量 保持不变.这一结论称为角动量守恒定律. 角动量守恒定律的两种情况:
1、转动惯量保持不变的单个刚体。

2、转动惯量可变的物体
F
F
实际中的一些应用 Ⅰ、芭蕾舞演员的高难动作
v 2gh
(1)

① 求碰撞后瞬间盘的 0=? 碰撞 t 极小,对 m +盘系统,冲力远大于重力,故重力 对O力矩可忽略,角动量守恒: mvR cos J o 1 2 2 2 J MR + mR 2 mR 2 由 (1)(2)(3) 得 : o 2 gh cos 2R (2)
系数μ= 0.4,飞轮的质量全部分布在轮的外周上。尺 寸如图所示。)(教材p115、2-5) 0.5m
0.75m
F
闸瓦
d
ω

解: J = mR 2= 60×(0.25)2 3.75kg.m2 =
l1
N
l2
F
f 1000 t =0 ω0 = 2 n= 2 × π π N 60 =104.7 r/s f t =5 ω =0 ω ω 0 0 104.7 20.9 r/s2 a= = = t 5 F ( l 1 + l 2) N l 1= 0 R = J a = m NR N = Ja f mR l1 J a F= mR = 314N l1 + l2
3、如何计算刚体的转动惯量? 4、刚体定轴转动动能如何确定? 5、什么叫刚体定轴转动定律?
如何应用转动定律解题?

刚体: 在外力作用下形状和大小保持不变的物体.
即各质点间的相对位置永不发生变化的质点系。
一、刚体的平动和转动 平动:用质心运动讨论
刚体在运动中,其上任意两点的连线始终保持平行。

转动:(分对点、对轴转动) (只讨论定轴转动)
解:飞轮制动时有角加速度
fr
N
0
外力矩是摩擦阻力矩,角加速度为负值。

例3. 如图所示,两物体1和2的质量分别为m1与m2, 滑轮的转动惯量为J,半径为 r 。 (1)如物体2与桌面间的摩擦系数为μ,求系统的加速 度 a 及绳中的张力 T1 与 T2(设绳子与滑轮间无相对猾 动); (2)如物体2与桌面间为光滑接触,求系统的加速 度 a 及绳中的张力 T1与 T2。
半径为R)

三、转动定律
作用在刚体上的轴的力矩 (1)
O r d

P
F
转动平面
力矩的大小等于力在作用点的切向分量与力的作 用点到转轴Z的距离的乘积。
如果有几个外力矩作用在刚体上
积分得

刚体定轴转动的转动定律
刚体转动定律可由牛顿第二定律直接导出 Z dF和 df 为合外力和合内力.
M
细绳,绳的一端固定在滑轮边上,
M0 g
R
另一端挂一质量为m的物体而下垂。
忽略轴处摩擦,求物体m由静止下
落高度h时的速度和此时滑轮的角
速度。

解:
R
M0 g

例2、一个飞轮的质量为69kg,半径为
0.25m,正在以每分1000转的转速转动。现 在要制动飞轮,要求在5.0秒内使它均匀 减速而最后停下来。摩擦系数为0.2。求 闸瓦对轮子的压力N为多大? F 0
1
2R
( 60 o)
.
g 2
(h + 4 3R)
由转动定律:
M 力矩 J

1 2
M 力矩 J
而: M 力 矩 mgR (粘土的重力矩),
J
2 mR
2
+ mR
2
2 mR
2

mgR 2 mR
2

ห้องสมุดไป่ตู้
g 2R

例题3. 飞轮的质量为60kg,直径为0.50m, 转速为1000r/min,现要求在 5s内使其制 动,求制动力 F 。(假定闸瓦与飞轮之间的摩擦

注意 1。只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布
的刚体,才能用上式 体的转动惯量。 积分计算出刚
2。对于质量元不连续(离散型)分布的 刚体,其转动惯量可写成和式

刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质元的质 量与这一质元到转轴的距离平方的乘积之总和。 质量为线分布 dm dl 其中、、分 别为质量的线密 质量为面分布 dm ds 度、面密度和体 质量为体分布 dm dV 密度。
刚体定轴转动的动能定理 合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体 转动动能的增量。

六 、包括刚体的系统的场中机械能守恒定律
若在刚体转动过程中,只有重力做功,其他非保 守内力不做功,则刚体在重力场中机械能守恒.

例5、一根长为l、质量为m的均匀细直棒,其一端 有一固定的光滑水平轴,另一端固定一质量为 m的 小球,(小球半径R<<l .)因而棒可以在竖直平面 内转动。最初棒静止在水平位置,求棒由此下摆角 时的角加速度和角速度。(06年) (请与例题4比较) 解:棒下摆有角的过程中, 只有棒和小球的重力矩做功, 因此系统的机械能守恒。 设最初棒静止的水平位置 为零势点。
第二章 刚体和流体力学
• 本章要求掌握的基本内容
●刚体运动的描述
●转动惯量的定义及其量的计算
●刚体定轴转动定律及其应用
●刚体的角动量定理(即动量矩定理)及其守恒定律 ●刚体定轴转动动能定理及其应用

• 本次课要求掌握的基本内容
1、何为刚体?如何描述刚体的运动?
2、什么叫刚体的转动惯量?它的物理意义怎样?
艺术美、人体美、物理美相互结合

Ⅱ当滑冰、跳水、体操运 动员在空中为了迅速翻转 也总是曲体、减小转动惯 量、增加角速度。当落地 时则总是伸直身体、增大 转动惯量、使身体平稳地。

ω
花样滑冰运动 员通过改变身体姿 态即改变转动惯量 来改变转速.
ω

例1、如图所示,一质量为m的子弹以水平速 度射入一静止悬于顶端长棒的下端,穿出后速 度损失3/4,求子弹穿出后棒的角速度。(已 知棒长为l,质量为M.) 解:以f代表棒对子弹的阻力,对子弹有:
m2
T2 T1
m1

T2 m1 a m2 m 2g T1 m 1g m 1g T 1 = m 1a a =r a N m 2g = 0 T 2 f = m 2a f = m N = m m 2g T 1r T 2 r = J a m 1g m m 2g 解得: a =m m J r2 1+ 2+ m 1g ( m 2+m m 2 + J r 2 ) T1 = m 1+ m 2 + J r 2 m 2g ( m 1+m m 1 + m J r 2) T2 = m 1+ m 2 + J r 2

Z Z
r
R
dZ
O
X
Y

平行轴定理
前例中JC表示相对通过质心的轴的转动惯量, JA表示相对通过棒端的轴的转动惯量。两轴 平行,相距L/2。可见:
推广上述结论,若有任一轴与过质心的轴平 行,相距为d,刚体对其转动惯量为J,则有: J=JC+md2。
这个结论称为平行轴定理。

右图所示刚体对经过棒 端且与棒垂直的轴的转动惯 量如何计算?(棒长为L、球


求角加速度:
还有解法?同学们想一想。

另解 由转动定律解:棒下摆为加 速过程,外力矩为棒和小球 的重力对O的力矩。 当棒处 在下摆角时,重力矩和为:

求角速度:

• 本次课要求掌握的基本内容
1、什么叫刚体的角动量?刚体定轴转动的角动量定
理是如何定义的? 2、 什么叫刚体的角动量守恒定律?如何应用刚体的
解:(1)
N
f
T2
T1
(2) m = 0
(物体2与桌面间为光滑接触时)
m 1g a=m m J r2 1+ 2+ m 1g (m 2+ J r 2 ) T1 = m 1+ m 2 + J r 2 m 1m 2g T2 = m 1+ m 2 + J r 2

例4、一根长为L、质量为m的均匀细直棒,其一端 有一固定的光滑水平轴,因而可以在竖直平面内转 动。最初棒静止在水平位置,求它由此下摆角时的 角加速度和角速度。

刚体绕定轴转动时,作用于刚体上的合外力矩 等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积。
刚体定轴转动的转动定律
M=J 与 地位相当
m反映质点的平动惯性,J反映刚体的转动惯性.
力矩是使刚体转动状态发生改变而产 生角加速度的原因。
刚体定轴转动的转动定律的应用
例1、一个质量为M0、半径为R的
定滑轮(当作均匀圆盘)上面绕有
解:棒下摆为加速过程,外 力矩为重力对O的力矩。 棒 上取质元dm,当棒处在下摆 角时,该质量元的重力对轴 的元力矩为
O

dm
gdm

O

dm
重力对整个棒的合力矩为
gdm
代入转动定律,可得


四、 力矩的功
式中
力矩做功是力做功的角量表达式.
力矩的瞬时功率

五、刚体定轴转动的动能定理
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