最新数学分析教案华东师大版第五章导数和微分精编版
[整理]《数学分析》第五章导数与微分
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[整理]《数学分析》第五章导数与微分第五章导数与微分 (计划课时:1 2时)§1 导数的概念 ( 2 时)一．导数的背景与定义：1．背景：曲线的切线、直线运动的瞬时速度. 2.导数的定义: )(0x f '定义的各种形式. )0(f '的定义. 导数的记法.有限增量公式: .0 ),( )(0→?+?'=?x x x x f y 例1 ,)(2x x f = 求). 1 (f '例2 设函数)(x f 在点0x 可导, 求极限 .)3()(lim000hh x f x f h --→3.单侧导数: 定义. 单侧可导与可导的关系. 曲线的尖点.例3 . )(x x f = 考查)(x f 在点0=x 的可导情况.例4 设??<≥-=.0,,0,cos 1)(x x x x x f 讨论)(x f 在点0=x 处的左、右导数与导数.二. 导数的几何意义:可导的几何意义, 导数的几何意义, 单侧导数的几何意义. 例5 求曲线2)(x x f y ==在点) 1 , 1 (处的切线与法线方程.三. 可导与连续的关系:Th1 若函数f 在点0x （左、右）可导，则f 在点0x （左、右）连续.例6 证明函数)()(2x D x x f =仅在点00=x 处可导,其中)(x D 为Dirichlet 函数.四导函数: 函数在区间上的可导性, 导函数, 导函数的记法..)()(lim )(0xx f x x f x f x ?-?+='→?(注意:x sin 等具体函数的导函数不能记为,n si x ' 应记为.)(sin 'x ) 例7 求下列函数的导数：⑴ ,)(nx x f = ⑵x x f sin )(=，⑶x x f a log )(=.五导函数的介值性:1 极值的定义例8 证明: 若,0)(0>'+x f 则),(,000δδ+∈??>?x x x ,有)()(0x f x f <. 2 取极值的必要条件: Th2 (Fermat 定理)3 导函数的介值性:引理 (导函数的介值性)若函数f 在闭区间],[b a 上可导, 且,0)()(<''-+b f a f 则.0)( ),,( ='?∈?ξξf b a ( 证 )Th3 (Darboux 定理)设函数)(x f 在区间],[b a 上可导且)()(b f a f '≠'. 若k 为介于)(a f '与)(b f '之间的任一实数, 则.)( ),,(k f b a ='?∈?ξξ(设),()(a f k b f '<<'对辅助函数kx x f x F -=)()(,应用系4的结果.) ( 证 ) Ex [1]P 94—95 1—9§2 求导法则( 4时)一导数的四则运算法则: 推导导数四则运算公式. (只证“?”和“÷”)例1 .95)(23π+-+=x x x x f 求).(x f '例2 .ln cos x x y = 求.|π='x y ( ). 1π-例3 .122x x y +-=求.dx dy例4 证明: . ,) (1+---∈-='Z n nx xn n( 用商的求导公式证明 ).例5 证明: .csc ) ( ,sec ) (22x ctgx x tgx -='=' 例6 证明:.sec sec xtgx x dxd=. 二反函数的导数: 推导公式并指出几何意义.例8 证明反三角函数的求导公式. ( 只证反正弦 ) Ex [1]P 102 1，2.三复合函数的导数：推导复合函数的求导公式.例9 设,sin 2x y =求y '.例10 设α为实数，求幂函数)0( ≥=x x y α的导数. 解 ().1ln ln -=?=?='='αααααααx xx xeey xx例11 ,1)(2+=x x f 求 )0(f '和). 1 (f ' 例12 ),1ln(2++=x x y 求 .y '例13 ,12xtgy = 求 .y ' 四取对数求导法:例14 设215312)4()2()4()5(++-+=x x x x y , 求 .y '例15 ().s i n ln xx y = 求 .y '例16 设)()(x v x u y =, 其中0)(>x u ,且)(x u 和)(x v 均可导, 求 .y '五基本求导法则与公式:1 基本求导法则.2基本初等函数导数公式. 公式表: [1]P 101.Ex [1]P 102 3，4.§3 参变量函数的导数1 设曲线C 的参变量方程为??≤≤==)().(),(βαψ?t t y t x ,设函数)( ),(t y t x ψ?==可导且,0)(?≠'t ?.)()(t t dx dy ?ψ''=证:(证法一) 用定义证明.（证法二）由,0)(?≠'t ?恒有0)(>'t ?或.0)(<'t ?)( t ??严格单调.( 这些事实的证明将在下一章给出. ) 因此, )(t ?有反函数, 设反函数为x t (1-=?), 有(),)()(1x t y -==?ψψ 用复合函数求导法, 并注意利用反函数求导公式. 就有.)()(t t dtdx dt dydx dt dt dy dx dy ?ψ''==?=例1 .sin ,cos t b y t a x == 求.dxdy2 若曲线C 由极坐标)(θρρ=表示,则可转化为以极角θ为参数的参数方程:====.sin )(sin ,cos )(cos θθρθρθθρθρy x 则.tan )()()(tan )(θθρθρθρθθρ-'+'=dx dy 例2 证明:对数螺线2θρe =上所有点的切线与向径的夹角?为常量. Ex [1]P 105 1，2，3.§4 高阶导数一高阶导数:定义: .)()(lim)(0000xx f x x f x f x ?'-?+'=''→?()().)()( ,)()()1()('=''=''-x f x f x f x f n n 注意区分符号)(0x f ''和().)(0''x f高阶导数的记法.二几个特殊函数的高阶导数:1. 多项式: 多项式的高阶导数. 例1 求幂函数nx y =(n 为正整数)的各阶导数. 例2. 正弦和余弦函数: 计算()) (sin n x 、())(cos n x 、())(sin n kx 、())(cos n kx 的公式.例3． x e 和kxe 的高阶导数：例4．x1的高阶导数：例5))((1b x a x ++的高阶导数：例6 分段函数在分段点的高阶导数：以函数<-≥=.0 ,,0 ,)(22x x x x x f 求)(x f ''为例.三高阶导数的运算性质: 设函数)(x u 和)(x v 均n 阶可导. 则1． ()).()()()(x ku x ku n n =2．()).()()()()()()(x v x u x v x u n n n ±=±3．乘积高阶导数的Leibniz 公式：约定 ).()()0(x u x u =()∑=-=nk k k n k n n x v x u C x v x u 0)()()().()()()( （介绍证法.）例7 ,cos x e y x= 求 .)5(y解 ?====== .10 ,5 ,1352545155505C C C C C C).cos (sin 4)sin cos 5sin 10cos 10sin 5(cos )5(x x e x x x x x x e yx x -=-++--=例8 ),(arctgx f y = 其中)(x f 二阶可导. 求.22dx yd 例9 验证函数x y arcsin =满足微分方程 ) 3 ( .0)12()1()(2)1() 2(2≥=-+--++n y n xy n y x n n n并依此求 ).0()(n y解 .11 ,1122='--='y x xy 两端求导,011 22=-'-''-?xy x y x 即.0)1(2='-''-y x y x 对此式两端求n 阶导数, 利用Leibniz 公式, 有=---+-+-+++)(1)1()(2)1(1)2(2)2()2()1(n n n n n n n n y C xy y C y x C yx .0)12()1()(2)1()2(2=-+--=++n n n y n xy n yx可见函数x y arcsin =满足所指方程. 在上式中令,0=x 得递推公式).(2)2( n n y n y=+注意到 0)0(=''y 和 1)0(='y , 就有k n 2=时, ;0)0()(=n y12+=k n 时, )0(13)32()12()0(2222)(f k k y n '??--= [].!)!12(2 -=k四. 参数方程所确定函数的高阶导数:=''???? ??''=???=)()()(22t t t dtdx dx dy dt d dx y d ??ψ().)()()()()(3t t t t t ??ψ?ψ''''-''' 例6 .sin ,cos t b y t a x == 求.22dx yd 解 .c t g t abdx dy -= .s i n 3222t a b dx y d -== Ex [1]P 109 1—6.§5 微分一微分概念:1. 微分问题的提出: 从求正方形面积增量的近似值入手，引出微分问题.2. 微分的定义:Th1 ( 可微与可导的关系 ).3. 微分的几何意义:二微分运算法则:一阶微分形式不变性. 利用微分求导数. 微商. 例1 已知,cos ln 22x x x y += 求dy 和 .y '例2 已知,)sin(b ax ey += 求dy 和 .y '三高阶微分：高阶微分的定义： ()()=?'='==dx x f d dx x f d dy d y d )()()(2.)())(()(22dx x f dx x f dx dx x f ''=''=?''=n 阶微分定义为1-n 阶微分的微分，即().)()(1n n n ndx x f y dd y d ===-（注意区分符号 )( ),0( ,)(2222x dx d dx dx ==的意义.）例3 已知.)( ,sin )(2 x x u u u f y ====? 求 .2y d以例3为例, 说明高阶微分不具有形式不变性:在例7中, 倘若以u y sin =求二阶微分, 然后代入2x u =, 就有;s i n 4)2(s i n )(s i n )()(s i n22222222dx x x xdx x du u du u y d -=-=-=''= 倘若先把2x u =代入u y sin =, 再求二阶微分, 得到.sin 4cos 2)sin 4cos 2(sin 222222222222dx x x dx x dx x x x x d y d -=-==可见上述两种结果并不相等. 这说明二阶微分已经不具有形式不变性. 一般地, 高阶微分不具有形式不变性.四微分的应用:1. 建立近似公式: 原理: ,dy y ≈? 即 ).)(()()(000x x x f x f x f -'+≈ 特别当00=x 时, 有近似公式.)0()0()(x f f x f '+≈ 具体的近似公式如: x e x nx x x x n +≈+≈+≈1 ,111 ,s i n等. 2. 作近似计算: 原理: .)()()(00.0x x f x f x x f ?'+=?+ 例4 求 97.0 和 3127的近似值.例5 求29sin 的近似值. ( 参阅[1]P 138 E4 ) 3．估计误差：绝对误差估计：,)(0x x f y ?'≈?相对误差估计： ),(ln ln ),0( )(?=>=x f y x f y.)(ln x f d ydyy y =≈?例6（ [1]P 138 E5 ）设已测得一根圆轴的直径为cm 43，并知在测量中绝对误差不超过cm 2.0. 试求以此数据计算圆轴的横截面面积时所产生的误差.4. 求速度: 原理: .)(,)( ),(dtdx x f dt dy dx x f dy x f y '='== 例7 球半径R 以sec 2.0cm 的速度匀速增大.求cm R 4=时,球体积增大的速度. [4]P 124 E53 ⅰ) Ex [1]P 116 1—5.。
数学分析5.5微分(含习题详解)
第五章导数和微分5 微分一、微分的概念定义1：设函数y=f(x)定义在点x0的某邻域U(x0)内. 当给x0一个增量△x，x0+△x∈U(x0)时，相应地得到函数的增量为△y=f(x0+△x)-f(x0). 如果存在常数A，使得△y能表示为△y=A△x +o(△x)，则称函数f在点x0可微，并称上式中的第一项A△x为f在点x0的微分，记作：dy=A△x，或df(x)=A△x.当A≠0时，微分dy称为增量△y的线性主部。
定理5.10：函数f在点x0可微的充要条件是函数f在点x0可导，而且定义中的A=f’(x0).证：先证必要性：若f在点x0可微，则△y=A△x +o(△x)，即=A+o(1)，两边取极限得：f’(x0)==(A+o(1))=A.再证充分性：若f在点x0可导，则f在点x0的有限增量公式为：△y=f’(x0)△x+o(△x)，根据微分的定义，f在点x0可微且有dy=f’(x0)△x.微分的几何意义：(如图)当自变量由x0增加到x0+△x时，函数增量△y= f(x0+△x)-f(x0)=RQ，而微分则是在点P处的切线上与△x所对应的增量，即dy=f’(x0)△x=RQ’，且==f’(x0)=0，所以当f ’(x 0)≠0时，=0. 即当x →x 0时线段Q ’Q 远小于RQ ’。
若函数y=f(x)在区间I 上每一点都可微，则称f 为I 上的可微函数.函数y=f(x)在I 上任一点x 处的微分记作dy=f ’(x)△x ，x ∈I. 特别地，当y=x 时，dy=dx=△x ，则微分也可记为dy=f ’(x)dx ，即 f ’(x)=，可见函数的导数等于函数微分与自变量微分的商。
因此导数也常称为微商。
二、微分的运算法则1、d[u(x)±v(x)]=du(x)±dv(x)；2、d[u(x)v(x)]=v(x)du(x)+u(x)dv(x)；3、d=；4、d(f ◦g(x))=f ’(u)g ’(x)dx ，其中u=g(x)，或dy=f ’(u)du.例1：求y=x 2lnx+cosx 2的微分。
数学分析教案(华东师大版)上册全集1-10章
第一章实数集与函数导言数学分析课程简介( 2 学时 )一、数学分析(mathematical analysis)简介:1.背景: 从切线、面积、计算sin、实数定义等问题引入.322.极限 ( limit ) ——变量数学的基本运算：3.数学分析的基本内容：数学分析以极限为基本思想和基本运算研究变实值函数.主要研究微分(differential)和积分(integration)两种特殊的极限运算,利用这两种运算从微观和宏观两个方面研究函数, 并依据这些运算引进并研究一些非初等函数. 数学分析基本上是连续函数的微积分理论.微积运算是高等数学的基本运算.数学分析与微积分(calculus)的区别.二、数学分析的形成过程：1.孕育于古希腊时期：在我国，很早就有极限思想. 纪元前三世纪, Archimedes就有了积分思想.2.十七世纪以前是一个漫长的酝酿时期,是微积分思想的发展、成果的积累时期.3.十七世纪下半叶到十九世纪上半叶——微积分的创建时期.4.十九世纪上半叶到二十世纪上半叶——分析学理论的完善和重建时期：三、数学分析课的特点:逻辑性很强, 很细致, 很深刻; 先难后易, 是说开头四章有一定的难度, 倘能努力学懂前四章(或前四章的), 后面的学习就会容易一些; 只要在课堂上专心听讲, 一般是可以听得懂的, 但即便能听懂, 习题还是难以顺利完成. 这是因为数学分析技巧性很强, 只了解基本的理论和方法, 不辅以相应的技巧, 是很难顺利应用理论和方法的. 论证训练是数学分析课基本的,也是重要的内容之一, 也是最难的内容之一. 一般懂得了证明后, 能把证明准确、严密、简练地用数学的语言和符号书写出来，似乎是更难的一件事. 因此, 理解证明的思维方式, 学习基本的证明方法, 掌握叙述和书写证明的一般语言和格式, 是数学分析教学贯穿始终的一项任务.有鉴于此, 建议的学习方法是: 预习, 课堂上认真听讲, 必须记笔记, 但要注意以听为主, 力争在课堂上能听懂七、八成. 课后不要急于完成作业, 先认真整理笔记, 补充课堂讲授中太简或跳过的推导, 阅读教科书, 学习证明或推导的叙述和书写. 基本掌握了课堂教学内容后, 再去做作业. 在学习中, 要养成多想问题的习惯.四、课堂讲授方法:1.关于教材及参考书:这是大学与中学教学不同的地方, 本课程主要从以下教科书中取材:[1]华东师范大学数学系编，数学分析，高等教育出版社，2001；[2]刘玉琏傅沛仁编，数学分析讲义，高等教育出版社，1992；[3]谢惠民，恽自求等数学分析习题课讲义，高等教育出版社，2003；[4]马振民，数学分析的方法与技巧选讲，兰州大学出版社，1999；[5]林源渠，方企勤数学分析解题指南，北京大学出版社，2003.2.本课程按[1]的逻辑顺序并在其中取材.本课程为适应教学改革的要求，只介绍数学分析最基本的内容，并加强实践环节，注重学生的创新能力的培养。
数学分析PPT课件第四版华东师大研制 第5章 导数和微分
意一点 x 都有 f 的一个导数 f ( x0 )与之对应, 这就
定义了一个在区间 I 上的函数，称为 f 在 I 上的
导函数，简称导数,
记作
f ( x) 或
dy dx
.
即
f ( x)
lim
D x0
f (x Dx) Dx
f (x),
x I.
(7)
注 这里 dy 仅为一个记号，学了微分之后就会知
(cos
x)
sin D x
lim Dx0
2 Dx
lim sin( x
D x0
Dx) 2
sin
x.
2
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(iii) 由于
a xD x a x a x aD x 1 a x eD x ln a 1
Dx
Dx
Dx
a x ln a eD xln a 1, D x ln a
因此 (a x ) a x ln a lim eDxlna 1 a x ln a . 特别有 Dx0 Dx ln a
记 为切线与 x 轴正向的夹角，则
f (x0) = tan .
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由此可知, f (x0) 0 说明 是锐角; f (x0) 0 说
明 是钝角; f x0 0 说明 0 ( 切线与 x 轴平
行 ).
y
y 0
•
y 0 •
y 0
•
yf (x)
O
x
点击上图动画演示
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证 当 x0 0 时,用归结原理容易证明 f (x) 在点 x0 不连续, 由定理 5.1, f (x) 在点 x0 不可导.
当 x0 = 0 时, 因为 D( x) 1，所以有
华东师范大学本科生数学分析教案
数学分析教案第一章 第一章 实数集与函数§1 实数(一) 教学目的：掌握实数的基本概念和最常见的不等式，以备以后各章应用． (二) 教学内容：实数的基本性质和绝对值的不等式． (1) 基本要求：实数的有序性，稠密性，阿基米德性． (2) 较高要求：实数的四则运算． (三) 教学建议：(1) 本节主要复习中学的有关实数的知识．(2) 讲清用无限小数统一表示实数的意义以及引入不足近似值与过剩近似值的作用．§2 数集.确界原理(一) 教学目的：掌握实数的区间与邻域概念，掌握集合的有界性和确界概念． (二) 教学内容：实数的区间与邻域；集合的上下界，上确界和下确界；确界原理．(1) 基本要求：掌握实数的区间与邻域概念；分清最大值与上确界的联系与区别；结合具体集合，能指出其确界；能用一种方式，证明集合 A 的上确界为 λ．即： ,,λ≤∈∀x A x 且 ,λ<∀a ∃0x 0,x A ∈a >；或 ,,λ≤∈∀x A x 且 ,,00A x ∈∃>∀ε ελ->0x ．(2) 较高要求：掌握确界原理的证明，并用确界原理认识实数的完备性． (三) 教学建议：(1) 此节重点是确界概念和确界原理．不可强行要求一步到位，对多数学生可只布置证明具体集合的确界的习题．(2) 此节难点亦是确界概念和确界原理．对较好学生可布置证明抽象集合的确界的习题．§3 函数概念(一) 教学目的：掌握函数概念和不同的表示方法．(二) 教学内容：函数的定义与表示法；复合函数与反函数；初等函数． (1) 基本要求：掌握函数的定义与表示法；理解复合函数与反函数；懂得初等函数的定义，认识狄利克莱函数和黎曼函数．(2) 较高要求：函数是一种关系或映射的进一步的认识． (三) 教学建议：通过狄利克莱函数和黎曼函数，使学生对函数的认识从具体上升到抽象．§4 具有某些特性的函数(一) 教学目的：掌握函数的有界性，单调性，奇偶性和周期性． (二) 教学内容：有界函数，单调函数，奇函数，偶函数和周期函数． (三) 教学建议：(1) 本节的重点是通过对函数的有界性的分析，培养学生了解研究抽象函数性质的方法．(2) 本节的难点是要求用分析的方法定义函数的无界性．对较好学生可初步教会他们用分析语言表述否命题的方法．第二章 第二章 数列极限§1 数列极限概念(一) 教学目的：掌握数列极限概念，学会证明数列极限的基本方法． (二) 教学内容：数列极限．(1) 基本要求：理解数列极限的分析定义，学会证明数列极限的基本方法，懂得数列极限的分析定义中 ε与 N 的关系．(2) 较高要求：学会若干种用数列极限的分析定义证明极限的特殊技巧． (三)教学建议：(1) 本节的重点是数列极限的分析定义，要强调这一定义在分析中的重要性．具体教学中先教会他们证明 ∞→n lim 01=k n ； ∞→n lim n a 0=；( )1||<a ，然后教会他们用这些无穷小量来控制有关的变量（适当放大但仍小于这些无穷小量）． (2) 本节的难点仍是数列极限的分析定义．对较好学生可要求他们用数列极限的分析定义证明较复杂的数列极限，还可要求他们深入理解数列极限的分析定义．§2 数列极限的性质(一) 教学目的：掌握数列极限的主要性质，学会利用数列极限的性质求数列的极限． (二) 教学内容：数列极限的唯一性，有界性，保号性，保不等式性，迫敛性，四则运算法则和数列的子列及有关子列的定理．(1) 基本要求：理解数列极限的唯一性，有界性，保号性，保不等式性，迫敛性，四则运算法则，并会用其中某些性质计算具体的数列的极限．(2) 较高要求：掌握这些性质的较难的证明方法，以及证明抽象形式的数列极限的方法． (三) 教学建议：(1) 本节的重点是数列极限的性质的证明与运用．可对多数学生重点讲解其中几个性质的证明，多布置利用这些性质求具体数列极限的习题． (2) 本节的难点是数列极限性质的分析证明．对较好的学生，要求能够掌握这些性质的证明方法，并且会用这些性质计算较复杂的数列极限，例如： ∞→n limnn =1，等．§3 数列极限存在的条件(一) 教学目的：掌握单调有界定理，理解柯西收敛准则． (二) 教学内容：单调有界定理，柯西收敛准则．(1) 基本要求：掌握单调有界定理的证明，会用单调有界定理证明数列极限的存在性，其中包括 1lim(1)n n n →∞+存在的证明．理解柯西收敛准则的直观意义．(2) 较高要求：会用单调有界定理证明数列极限的存在性，会用柯西收敛准则判别抽象数列（极限）的敛散性．(三) 教学建议：(1) 本节的重点是数列单调有界定理．对多数学生要求会用单调有界定理证明数列极限的存在性．(2) 本节的难点是柯西收敛准则．要求较好学生能够用柯西收敛准则判别数列的敛散性．第三章 函数极限 1 函数极限概念(一) 教学目的：掌握各种函数极限的分析定义，能够用分析定义证明和计算函数的极限． (二) 教学内容：各种函数极限的分析定义．基本要求：掌握当 0x x →； ∞→x ； ∞+→x ； ∞-→x ； +→0x x ；-→0x x 时函数极限的分析定义，并且会用函数极限的分析定义证明和计算较简单的函数极限．(三) 教学建议：本节的重点是各种函数极限的分析定义．对多数学生要求主要掌握当 0x x →时函数极限的分析定义，并用函数极限的分析定义求函数的极限．§2 函数极限的性质(一) 教学目的：掌握函数极限的性质．(二) 教学内容：函数极限的唯一性，有界性，保号性，保不等式性，迫敛性，四则运算法则．(1) 基本要求：掌握函数极限的唯一性，有界性，保号性，保不等式性，迫敛性，四则运算法则，并会用这些性质计算函数的极限．(2) 较高要求：理解函数极限的局部性质，并对这些局部性质作进一步的理论性的认识． (三) 教学建议：(1) (1) 本节的重点是函数极限的各种性质．由于这些性质类似于数列极限中相应的性质，可着重强调其中某些性质与数列极限的相应性质的区别和联系． (2) 本节的难点是函数极限的局部性质．对较好学生，要求懂得这些局部的 δ（的大小）不仅与 ε有关，而且与点 0x 有关，为以后讲解函数的一致连续性作准备．§3 函数极限存在的条件(一) 教学目的：掌握函数极限的归结原理和函数极限的单调有界定理，理解函数极限的柯西准则．(二) 教学内容：函数极限的归结；函数极限的单调有界定理；函数极限的柯西准则． (1) 基本要求：掌握函数极限的归结，理解函数极限的柯西准则． (2) 较高要求：能够写出各种函数极限的归结原理和柯西准则． (三) 教学建议：(1) 本节的重点是函数极限的归结原理．要着重强调归结原理中数列的任意性． (2) 本节的难点是函数极限的柯西准则．要求较好学生能够熟练地写出和运用各种函数极限的归结原理和柯西准则．§4两个重要的极限(一) 教学目的：掌握两个重要极限： 0lim →x 1sin =x x ； ∞→x lim xx ⎪⎭⎫⎝⎛+11e =．(二) 教学内容：两个重要极限： 0lim →x 1sin =x x； ∞→x limxx ⎪⎭⎫⎝⎛+11e =．(1) 基本要求：掌握 0lim→x 1sin =xx的证明方法，利用两个重要极限计算函数极限与数列极限．(2) 较高要求：掌握 ∞→x lim xx ⎪⎭⎫⎝⎛+11e =证明方法．(三) 教学建议：(1) 本节的重点是与两个重要的函数极限有关的计算与证明．可用方法：1)()(sin lim 0)(=→x x x ϕϕϕ； e x x x =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞→)()()(11lim ψψψ，其中 )(x ϕ、 )(x ψ分别为任一趋于0或趋于∞的函数．(2) 本节的难点是利用迫敛性证明 ∞→x lim xx ⎪⎭⎫⎝⎛+11e =．§5 无穷小量与无穷大量(一) 教学目的：掌握无穷小量与无穷大量以及它们的阶数的概念．(二) 教学内容：无穷小量与无穷大量，高阶无穷小，同阶无穷小，等阶无穷小，无穷大． (1) 基本要求：掌握无穷小量与无穷大量以及它们的阶数的概念． (2) 较高要求：能够写出无穷小量与无穷大量的分析定义，并用分析定义证明无穷小量与无穷大量．在计算及证明中，熟练使用“ o ”与“ O ”． (三) 教学建议：(1) 本节的重点是无穷小量与无穷大量以及它们的阶数的概念． (2) (2) 本节的难点是熟练使用“ o ”与“ O ”进行运算．第四章 第四章 函数的连续性§1 连续性概念(一) 教学目的：掌握函数连续性概念．(二) 教学内容：函数在一点和在区间上连续的定义，间断点的分类．(1) 基本要求：掌握函数连续性概念，可去间断点，跳跃间断点，第二类间断点，区间上的连续函数的定义．(2) 较高要求：讨论黎曼函数的连续性． (三) 教学建议：(1) (1) 函数连续性概念是本节的重点．对学生要求懂得函数在一点和在区间上连续的定义，间断点的 分类．(2) 本节的难点是用较高的分析方法、技巧证明函数的连续性，可在此节中对较好学生布置有关习题．§2 连续函数的性质(一) 教学目的：掌握连续函数的局部性质和闭区间上连续函数的整体性质．(二) 教学内容：连续函数的局部保号性，局部有界性，四则运算；闭区间上连续函数的最大最小值定理，有界性定理，介值性定理，反函数的连续性，一致连续性．(1) 基本要求：掌握函数局部性质概念，可去间断点，跳跃间断点，第二类间断点；了解闭区间上连续函数的性质．(2) 较高要求：对一致连续性的深入理解．(三)教学建议：(1)函数连续性概念是本节的重点．要求学生掌握函数在一点和在区间上连续的定义，间断点的分类，了解连续函数的整体性质．对一致连续性作出几何上的解释．(2)(2)本节的难点是连续函数的整体性质，尤其是一致连续性和非一致连续性的特征．可在此节中对较好学生布置判别函数一致连续性的习题．§3 初等函数的连续性(一) 教学目的：了解指数函数的定义，掌握初等函数的连续性．(二) 教学内容：指数函数的定义；初等函数的连续性．(1) 基本要求：掌握初等函数的连续性．(2) 较高要求：掌握指数函数的严格定义．(三)教学建议：(1) 本节的重点是初等函数的连续性．要求学生会用初等函数的连续性计算极限．(2) 本节的难点是理解和掌握指数函数的性质．第五章导数和微分§1 导数的概念(一) 教学目的：掌握导数的概念，了解费马定理、达布定理．(二) 教学内容：函数的导数，函数的左导数，右导数，有限增量公式，导函数．(1) 基本要求：掌握函数在一点处的导数是差商的极限．了解导数的几何意义，理解费马定理．(2) 较高要求：理解达布定理．(三) 教学建议：(1) 本节的重点是导数的定义和导数的几何意义．会用定义计算函数在一点处的导数．(2) 本节的难点是达布定理．对较好学生可布置运用达布定理的习题．§2 求导法则(一) 教学目的：熟练掌握求导法则和熟记基本初等函数的求导公式．(二) 教学内容：导数的四则运算，反函数求导，复合函数的求导，基本初等函数的求导公式．基本要求：熟练掌握求导法则和熟记基本初等函数的求导公式．(三) 教学建议：求导法则的掌握和运用对以后的学习至关重要，要安排专门时间督促和检查学生学习情况．§3 参变量函数的导数(一) 教学目的：掌握参变量函数的导数的求导法则．(二) 教学内容：参变量函数的导数的求导法则．基本要求：熟练掌握参变量函数的导数的求导法则．(三) 教学建议：通过足量习题使学生掌握参变量函数的导数的求导法则．§4高阶导数(一) 教学目的：掌握高阶导数的概念，了解求高阶导数的莱布尼茨公式．(二) 教学内容：高阶导数；求高阶导数的莱布尼茨公式．(1)基本要求：掌握高阶导数的定义，能够计算给定函数的高阶导数．(2) 较高要求：掌握并理解参变量函数的二阶导数的求导公式．(三) 教学建议：(1) 本节的重点是高阶导数的概念和计算．要求学生熟练掌握．(2) 本节的难点是高阶导数的莱布尼茨公式，特别是参变量函数的二阶导数．要强调对参变量求导与对自变量求导的区别．可要求较好学生掌握求参变量函数的二阶导数．§5 微分(一) 教学目的：掌握微分的概念和微分的运算方法，了解高阶微分和微分在近似计算中的应用．(二) 教学内容：微分的概念，微分的运算法则，高阶微分，微分在近似计算中的应用．(1) 基本要求：掌握微分的概念，微分的运算法则，一阶微分形式的不变性．(2) 较高要求：掌握高阶微分的概念．(三) 教学建议：(1) 本节的重点是掌握微分的概念，要讲清微分是全增量的线性主部．(2) 本节的难点是高阶微分，可要求较好学生掌握这些概念．第六章微分中值定理及其应用§1 拉格朗日定理和函数的单调性(一) 教学目的：掌握罗尔中值定理和拉格朗日中值定理，会用导数判别函数的单调性．(二) 教学内容：罗尔中值定理；拉格朗日中值定理．(1) 基本要求：掌握罗尔中值定理和拉格朗日中值定理，会用导数判别函数的单调性．(2) 较高要求：掌握导数极限定理．(三) 教学建议：(1)(1)本节的重点是掌握罗尔中值定理和拉格朗日中值定理，要求牢记定理的条件与结论，知道证明的方法．(2)(2)本节的难点是用拉格朗日中值定理证明有关定理与解答有关习题．可要求较好学生掌握通过设辅助函数来运用微分中值定理．§2 柯西中值定理和不定式极限(一) 教学目的：了解柯西中值定理，掌握用洛必达法则求不定式极限． (二) 教学内容：柯西中值定理；洛必达法则的使用．(1) 基本要求：了解柯西中值定理，掌握用洛必达法则求各种不定式极限．(2) 较高要求：掌握洛必达法则 0型定理的证明．(三) 教学建议：(1) (1) 本节的重点是掌握用洛必达法则求各种不定式极限．可强调洛必达法则的重要性，并总结求各 种不定式极限的方法． (2) 本节的难点是掌握洛必达法则定理的证明，特别是 ∞∞型的证明．§3 泰勒公式(一) 教学目的：理解带佩亚诺余项和带拉格朗日余项的泰勒公式、麦克劳林公式．(二) 教学内容：带佩亚诺余项和带拉格朗日余项的泰勒公式、麦克劳林公式及其在近似计算中的应用．(1) 基本要求：了解带佩亚诺余项和带拉格朗日余项的泰勒公式、麦克劳林公式，熟记六个常见函数的麦克劳林公式． (2) 较高要求：用泰勒公式计算某些 0型极限．(三) 教学建议：(1) 本节的重点是理解带佩亚诺余项和带拉格朗日余项的泰勒公式、麦克劳林公式． (2) 本节的难点是掌握带佩亚诺余项和带拉格朗日余项的泰勒公式、麦克劳林公式的证明．对较好学生可要求掌握证明的方法． §4函数的极值与最大(小)值(一) 教学目的：掌握函数的极值与最大(小)值的概念． (二) 教学内容：函数的极值与最值．(1) 基本要求：掌握函数的极值的第一、二充分条件；学会求闭区间上连续函数的最值及其应用．(2) 较高要求：掌握函数的极值的第三充分条件． (三) 教学建议：教会学生以函数的不可导点和导函数（以及二阶导数）的零点（稳定点）分割函数定义域，作自变量、导函数（以及二阶导数）、函数的性态表，这个表给出函数的单调区间，凸区间，极值．这对后面的函数作图也有帮助．§5 函数的凸性与拐点(一) 教学目的：掌握函数的凸性与拐点的概念，应用函数的凸性证明不等式． (二) 教学内容：函数的凸性与拐点．(1) 基本要求：掌握函数的凸性与拐点的概念，应用函数的凸性证明不等式．(2) 较高要求：运用詹森不等式证明或构造不等式，左、右导数的存在与连续的关系． (三) 教学建议：(1) 教给学生判断凸性的充分条件即可，例如导函数单调． (2) 本节的难点是运用詹森不等式证明不等式．§6 函数图象的讨论(一) 教学目的：掌握函数图象的大致描绘．(二) 教学内容：作函数图象．(1) 基本要求：掌握直角坐标系下显式函数图象的大致描绘．(2) 较高要求：能描绘参数形式的函数图象．(三)教学建议：教会学生根据函数的性态表，以及函数的单调区间，凸区间，大致描绘函数图象．第七章实数的完备性§1关于实数集完备性的基本定理(一)教学目的：掌握区间套定理和柯西判别准则的证明，了解有限覆盖定理和聚点定理(较熟练运用致密性定理)．(二)教学内容：区间套定理、柯西判别准则的证明；聚点定理；有限覆盖定理．(1) 基本要求：掌握和运用区间套定理、致密性定理．(2)较高要求：掌握聚点定理和有限覆盖定理的证明与运用．(三) 教学建议：(1)(1)本节的重点是区间套定理和致密性定理．教会学生在什么样情况下应用区间套定理和致密性定理以及如何应用区间套定理和致密性定理．(2) 本节的难点是掌握聚点定理和有限覆盖定理．教会较好学生如何应用聚点定理和有限覆盖定理．§2 闭区间上的连续函数性质的证明(一) 教学目的：证明闭区间上的连续函数性质．(二) 教学内容：闭区间上的连续函数有界性的证明；闭区间上的连续函数的最大(小)值定理的证明；闭区间上的连续函数介值定理的证明；闭区间上的连续函数一致连续性的证明．(1)(1)基本要求：掌握用有限覆盖定理或用致密性定理证明闭区间上连续函数的有界性；用确界原理证明闭区间上的连续函数的最大(小)值定理；用区间套定理证明闭区间上的连续函数介值定理．(2) 较高要求：掌握用有限覆盖定理证明闭区间上的连续函数的有界性和一致连续性．(三) 教学建议：(1) 本节的重点是证明闭区间上的连续函数的性质．(2) 本节的难点是掌握用有限覆盖定理证明闭区间上的连续函数的一致连续性以及实数完备性的六大定理的等价性证明，对较好学生可布置这方面的习题．第八章不定积分§1不定积分的概念与基本积分公式(一) 教学目的：掌握原函数的概念和基本积分公式(二) 教学内容：原函数的概念；基本积分公式；不定积分的几何意义．基本要求：熟练掌握原函数的概念和基本积分公式．(三) 教学建议：(1) 不定积分是以后各种积分计算的基础，要求熟记基本积分公式表．(2) 适当扩充基本积分公式表．§2 换元积分法与分部积分法(一) 教学目的：掌握第一、二换元积分法与分部积分法．(二) 教学内容：第一、二换元积分法；分部积分法．基本要求：熟练掌握第一、二换元积分法与分部积分法．(三) 教学建议：(1) 布置足量的有关换元积分法与分部积分法的计算题．(2) 总结分部积分法的几种形式：升幂法，降幂法和循环法．§3 有理函数和可化为有理函数的不定积分(一) 教学目的：会计算有理函数和可化为有理函数的不定积分．(二) 教学内容：有理函数的不定积分；三角函数有理式的不定积分；某些无理根式的不定积分．(1) 基本要求：有理函数的不定积分；三角函数有理式的不定积分；某些无理根式的不定积分．(2) 较高要求：利用欧拉代换求某些无理根式的不定积分．(三) 教学建议：(1) 适当布置有理函数的不定积分，三角函数有理式的不定积分，某些无理根式的不定积分的习题．(2) 本节的难点是利用欧拉代换求某些无理根式的不定积分，可要求较好学生掌握．第九章定积分§1 定积分的概念(一) 教学目的：引进定积分的概念．(二) 教学内容：定积分的定义．基本要求：掌握定积分的定义，了解定积分的几何意义和物理意义．(三) 教学建议：要求掌握定积分的定义，并了解定积分的几何意义．§2 牛顿-莱布尼茨公式(一) 教学目的：熟练掌握和应用牛顿-莱布尼茨公式．(二) 教学内容：牛顿-莱布尼茨公式．(1) 基本要求：熟练掌握和应用牛顿-莱布尼茨公式．(2) 较高要求：利用定积分的定义来处理一些特殊的极限．(三) 教学建议：(1) 要求能证明并应用牛顿-莱布尼茨公式．(2) 利用定积分的定义来处理一些特殊的极限是一个难点，对学习较好的学生可布置这种类型的题目．§3 可积条件(一) 教学目的：理解定积分的充分条件，必要条件和充要条件．(二) 教学内容：定积分的充分条件和必要条件；可积函数类(1) 基本要求：掌握定积分的第一、二充要条件．(2) 较高要求：掌握定积分的第三充要条件．(三) 教学建议：(1) 理解定积分的第一、二充要条件是本节的重点，要求学生必须掌握．(2) 证明定积分的第一、二、三充要条件是本节的难点．对较好学生可要求掌握这些定理的证明以及证明某些函数的不可积性．§4定积分的性质(一) 教学目的：掌握定积分的性质．(二) 教学内容：定积分的基本性质；积分第一中值定理．(1) 基本要求：掌握定积分的基本性质和积分第一中值定理．(2) 较高要求：较难的积分不等式的证明．(三) 教学建议：(1) 定积分的基本性质和积分第一中值定理是本节的重点，要求学生必须掌握并灵活应用．(2) 较难的积分不等式的证明是本节的难点．对较好学生可布置这方面的习题．§5 微积分学基本定理(一) 教学目的：掌握微积分学基本定理．(二) 教学内容：变上限的定积分；变下限的定积分；微积分学基本定理；积分第二中值定理，换元积分法；分部积分法；泰勒公式的积分型余项．(1) 基本要求：掌握变限的定积分的概念；掌握微积分学基本定理和换元积分法及分部积分法．(2) 较高要求：掌握积分第二中值定理和泰勒公式的积分型余项．(三)教学建议：(1) 微积分学基本定理是本节的重点，要求学生必须掌握微积分学基本定理完整的条件与结论．(2) 积分第二中值定理和泰勒公式的积分型余项是本节的难点．对较好学生要求他们了解这些内容．第十章定积分的应用§1平面图形的面积(一) 教学目的：掌握平面图形面积的计算公式．(二) 教学内容：平面图形面积的计算公式．(1) 基本要求：掌握平面图形面积的计算公式，包括参量方程及极坐标方程所定义的平面图形面积的计算公式．(2) 较高要求：提出微元法的要领．(三) 教学建议：(1)本节的重点是平面图形面积的计算公式，要求学生必须熟记并在应用中熟练掌握．(二) 教学内容：无穷积分；瑕积分．基本要求：掌握无穷积分与瑕积分的定义与计算方法．(三) 教学建议：讲清反常积分是变限积分的极限．(2) 领会微元法的要领．§2 由平行截面面积求体积(一) 教学目的：掌握由平行截面面积求体积的计算公式(二) 教学内容：由平行截面面积求体积的计算公式．基本要求：掌握由平行截面面积求体积的计算公式．(三) 教学建议：(1) 要求学生必须熟记由平行截面面积求体积的计算公式并在应用中熟练掌握．(2) 进一步领会微元法的要领．§3 平面曲线的弧长与曲率(一) 教学目的：掌握平面曲线的弧长与曲率(二) 教学内容：平面曲线的弧长与曲率的计算公式．(1) 基本要求：掌握平面曲线的弧长计算公式．(2) 较高要求：掌握平面曲线的曲率计算公式．(三) 教学建议：(1) 要求学生必须熟记平面曲线的弧长计算公式．(2) 对较好学生可要求他们掌握平面曲线的曲率计算公式．§4 旋转曲面的面积(一) 教学目的：掌握旋转曲面的面积计算公式．(二) 教学内容：旋转曲面的面积计算公式．基本要求：掌握求旋转曲面的面积的计算公式，包括求由参数方程定义的旋转曲面的面积；掌握平面曲线的曲率的计算公式．(三) 教学建议：要求学生必须熟记旋转曲面面积的计算公式，掌握由参数方程定义的旋转曲面的面积．§5 定积分在物理中的某些应用(一) 教学目的：掌握定积分在物理中的应用的基本方法．(二) 教学内容：液体静压力；引力；功与平均功率．(1) 基本要求：要求学生掌握求液体静压力、引力、功与平均功率的计算公式．(2) 较高要求：要求学生运用微元法导出求液体静压力、引力、功与平均功率的计算公式．(三) 教学建议：要求学生必须理解和会用求液体静压力、引力、功与平均功率的计算公式．十一章反常积分§1反常积分的概念(一) 教学目的：掌握反常积分的定义与计算方法．。
数学分析教案(华东师大版)导数和微分
数学分析教案（华东师大版）导数和微分一、教学目标1. 理解导数的定义和几何意义；2. 掌握导数的计算法则；3. 学会应用导数解决实际问题，如求函数的极值、单调区间等；4. 理解微分的概念及其应用。
二、教学内容1. 导数的定义与几何意义引入极限的概念，说明导数是函数在某一点的切线斜率；解释导数表示函数在某一点的瞬时变化率；借助几何图形，展示导数表示切线的斜率。
2. 导数的计算法则幂函数、指数函数、对数函数的导数；三角函数的导数；复合函数的导数（链式法则）；反函数的导数；高阶导数。
3. 应用导数解决实际问题求函数的极值；判断函数的单调性；求解曲线的切线方程；应用导数解决物理、经济等领域的实际问题。
4. 微分的概念与计算引入微分的概念，说明微分表示函数在某一点的增量；掌握微分的计算法则，如乘法法则、幂函数的微分等；应用微分求解函数的增量。
三、教学方法1. 采用讲授法，系统地介绍导数和微分的概念、计算法则及应用；2. 借助图形和实例，直观地展示导数和微分的几何意义；3. 引导学生通过练习，巩固所学知识，提高解题能力；4. 鼓励学生提问、讨论，提高课堂互动性。
四、教学准备1. 教案、教材、课件等教学资源；2. 投影仪、黑板、粉笔等教学工具；3. 练习题及答案。
五、教学评价1. 课堂提问：检查学生对导数和微分概念、计算法则的理解；2. 课后作业：评估学生对课堂所学知识的掌握程度；3. 章节测试：检测学生对导数和微分知识的综合运用能力。
六、教学内容5. 利用导数研究函数的极值与单调性定义极值的概念，介绍第一类和第二类极值；利用导数判断函数的单调区间；求解函数的极值点和单调区间。
6. 洛必达法则与极限的计算引入洛必达法则，解释其在极限计算中的应用；演示洛必达法则的具体操作步骤；练习使用洛必达法则计算极限。
七、教学内容7. 高阶导数与隐函数求导定义高阶导数，介绍高阶导数的计算法则；引入隐函数的概念，讲解隐函数求导的方法；举例说明隐函数求导的应用。
5-5——华东师范大学数学分析课件PPT
v( x)d u( x) u( x)dv( x) v2(x)
函数 f 在点 x0 可微的充要条件是 f 在点 x0 可
导, 且 d f ( x) x x0 f ( x0)Δ x .
证 (必要性) 如果 f 在点 x0 可微, 据 (1) 式有
于是
Δy A o(1). Δx
f
(
x0
)
lim
Δ x 0
Δ Δ
y x
lim ( A o(1)) A ,
Δ x 0
(4) 式的写法会带来不少好处, 首先可以把导数看
成函数的微分与自变量的微分之商, 即
d y f ( x) ,
(5)
dx
所以导数也称为微商. 更多的好处将体现在后面
积分学部分中.
数学分析 第一章 实数集与函数
高等教育出版社
§5 微分
微分的概念
微分的 运算法则
高阶微分
微分在近似计算 中的应用
例1 d(x ) x 1 dx ;
d (sin x) cos x dx ; d (a x ) a x ln a dx .
数学分析 第一章 实数集与函数
高等教育出版社
§5 微分
微分的概念
微分的运算法则
微分的 运算法则
高阶微分
微分在近似计算 中的应用
由导数与微分的关系,可方便得出微分运算法则: 1. d (u( x) v( x)) du( x) dv( x); 2. d(u( x)v( x)) v( x)du( x) u( x)dv( x);
Δ S ( x x)2 x2 2x x ( x)2 由两部分组成 :
Δ x 的线性部分 2xΔx 和 Δ x 的高阶部分( Δ x)2. 因
数学分析课件华东师大版
数学分析课件华东师大版
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目录
• 引言 • 数学分析基础 • 导数与微分 • 积分学 • 无穷级数 • 多元函数微积分
01
引言
课程简介
01
数学分析是数学专业的一门基础 课程，主要研究实数、函数、极 限、连续性、可微性和积分等概 念及其性质。
02
通过学习数学分析，学生可以掌 握数学的基本原理和方法，培养 逻辑思维能力、抽象思维能力和 解决问题的能力。
总结词
理解无穷级数的定义和性质是掌握无穷级数的基础。
详细描述
无穷级数是数学分析中的一个重要概念，它是由无穷多个数按照一定的规则排列组成的数列。无穷级数具有一些 重要的性质，如线性性质、可加性、可乘性和收敛性等。这些性质在无穷级数的运算和证明中有着广泛的应用。
无穷级数的收敛性判别法
总结词
掌握无穷级数的收敛性判别法是判断无穷级数收敛性的关键。
定积分的计算
牛顿-莱布尼兹公式
分部积分法
牛顿-莱布尼兹公式是计算定积分的常 用方法，它通过求不定积分的原函数 （即不定积分），然后利用原函数计 算定积分。
分部积分法是另一种计算定积分的方 法，通过将两个函数的乘积进行求导 ，将定积分转化为容易计算的积分。
换元法
换元法是一种常用的计算定积分的方 法，通过改变定积分的积分变量或积 分区间，将复杂的积分转化为容易计 算的积分。
极限的性质
极限具有唯一性、局部有界 性、局部保序性、迫近性等 性质。
连续函数的性质
连续函数具有局部有界性、 局部保序性、迫近性等性质 。
偏导数与全微分
偏导数的定义
如果一个函数在某个点的某个 自变量的偏导数存在，则称该 函数在该点关于该自变量可偏
《数学分析》第五章导数和微分1
《数学分析》第五章导数和微分1《数学分析》第五章导数和微分1导数和微分是数学分析中非常重要的概念。
导数以及微分的概念不仅在数学中有着广泛的应用，而且在物理、经济、工程等各个学科中都起着关键的作用。
本章首先介绍导数的概念和性质。
导数是描述函数变化快慢的指标，它衡量了函数在其中一点附近的变化率。
直观地说，如果函数在其中一点附近呈现出逐渐增大的趋势，那么该点的导数将是正值；如果函数在其中一点附近呈现出逐渐减小的趋势，那么该点的导数将是负值。
导数的符号和数值都能够揭示出函数局部性质的特点。
导数的计算通常使用极限的概念。
通过定义极限，我们可以精确地计算出函数在其中一点的导数值。
导数的定义以及计算方法是数学分析中的重要内容，对于理解函数的变化规律以及解决实际问题有着重要的帮助。
接下来，本章详细介绍了一阶导数和高阶导数的概念。
一阶导数是函数变化最基本的指标，它描述了函数在其中一点的瞬时变化率；而高阶导数则描述了函数变化率的变化率，它们在一阶导数的基础上进一步深化了对函数性质的研究。
导数和微分在实际问题中有着丰富的应用。
通过导数和微分可以解决各种数学建模中的问题，如最大值、最小值的求解、函数图形的研究、曲线的切线和法线的求解等等。
导数和微分在物理学、经济学、工程学等应用领域也有着广泛的运用，如速度和加速度的求解、最优化问题的分析等。
在本章的最后，还介绍了一些与导数和微分相关的基本定理，如费马定理、罗尔定理、拉格朗日中值定理等。
这些定理是导数和微分性质的重要推论，它们在数学分析和应用领域中起着重要的作用。
总之，导数和微分是数学分析中重要的概念，它们具有广泛的应用价值。
通过深入学习导数和微分的概念、性质和计算方法，我们可以更好地理解函数的特性、求解实际问题，为数学和应用科学的发展做出贡献。
2.许寿裳,王薄清.数学分析[M].高等教育出版社,2024.。
§5.5 微分 数学分析(华师大 四版)课件 高教社ppt 华东师大教材配套课件
0()f x '*点击以上标题可直接前往对应内容微分从本质上讲是函数增量中关于自变量增量的如果给边长x 一个增量, 正方形面积的增量Δx 的线性部分和的高阶部分( )2.Δx 2Δx x Δx Δx 此时, 当边长x 增加一个微小量时,可用Δx Δx ΔS 微分的概念222Δ()2()S x x x x x x =+∆-=∆+∆由两部分组成:设一边长为x 的正方形, 它的面积S = x 2是x 的函线性部分, 请先看一个具体例子.数.后退前进目录退出因的线性部分来近似.由此产生的误差是一个关于的高阶无穷小量Δx2(Δ),x即以为边长的小正方形(如图).Δx2xΔx x2Δx定义500Δ(Δ)()y f x x f x =+-可以表示成ΔΔ(Δ),(1)y A x o x =+设函数0(),().y f x x U x =∈并称为 f 在点处的微分, 记作ΔA x 0x 其中A 是与无关的常数, 则称函数f 在点0x Δx 由定义, 函数在点处的微分与增量只相差一个0x 关于的高阶无穷小量,而是的线性函数.Δx d y Δx ,d 0x A y x x ∆==()(2).d 0x A x f x x ∆==或更通俗地说, 是的线性近似.Δy d y 如果增量可微,定理5.10Δ(1).ΔyA o x=+于是00d ()()Δ.x x f x f x x ='=导, 且证(必要性)如果在点可微, 据(1) 式有f 0x 0Δ0Δ()lim Δx yf x x →'=即在点可导, 且f 0x 0().f x A '=函数在点可微的充要条件是在点可f f 0x 0x Δ0lim ((1)),x A o A →=+=(充分性) 设在点处可导,f 0x 0Δ()Δ(Δ),y f x x o x '=+00d ()Δ.x x yf x x ='=且f 则由的有限增量公式说明函数增量可Δy 表示为的线性部分,与关于的高x ∆0()Δf x x 'Δx 所以在点可微,f 0x 阶无穷小量部分之和.(Δ)o x 定理5.1000d ()()Δ.x x f x f x x ='=导, 且函数在点可微的充要条件是在点可f f 0x 0x0Δx x+xyO()y f x =Δyd y0x P RQ Q '∙∙∙∙Δ,y RQ =它是点P 处切线相在点的增量为f 0x d ,y RQ '=而微分是应于的增量.Δx 当很小时,两者之差相比于|Δd |y y Q Q '-=|Δ|x |Δ|x 将是更小的量(高阶无穷小).微分概念的几何解释:更由于0Δ0Δ0Δd limlim()0,Δx x y y Q Qf x xRQ →→'-'=='故若0()0,f x '≠Δ0lim 0.x Q Q RQ →'='这说明当d ()Δ,,(3)y f x x x I '=∈的高阶无穷小量.QQ 'RQ '还是Δ0,x →时若函数在区间上每一点都可微,则称是上f I f I 它既依赖于,也与有关.Δx x ()f x I 在上的微分记为的可微函数.则得到0Δx x+xyO()y f x =Δyd y0x P RQ Q '∙∙∙∙d ()d ,.(4)y f x x x I '=∈(4) 式的写法会带来不少好处, 首先可以把导数看所以导数也称为微商. 习惯上喜欢把写成,于是(3) 式可改写成Δx d x d d Δ.y x x ==这相当于的情形,此时显然有y x =d (),d yf x x '=(5)积分学部分中.成函数的微分与自变量的微分之商, 即更多的好处将体现在后面d (sin )cos d ;x x x =d()ln d .x xa a a x =1d()d ;x xx ααα-=例12()()d ()()d ()3.d ;()()u x v x u x u x v x v x v x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭4.d (())()()d ,().f g x f u g x x u g x ''==其中由导数与微分的关系,可方便得出微分运算法则:1.d (()())d ()d ();u x v x u x v x ±=±2.d(()())()d ()()d ();u x v x v x u x u x v x =+d ()d ,u g x x '=由于故运算法则4 又可以写成微分的运算法则d ()d .y f u u '=解2222ln d()d(ln )sin d()x x x x x x =+-2(2ln 12sin )d .x x x x =+-它在形式上与(4)式完全一样, 不管是自变量还u 例2 求的微分.22ln cos y x x x =+这个性质称为“一阶微分形式不变性”.是中间变量( 另一个变量的可微函数) 上式都成立.22d d(ln cos )y x x x =+22d(ln )d(cos )x x x =+2222d(cos )sin d()2sin d x x x x x x =-=-这里在的计算中, 用了一阶微分形式不变性.例3 求的微分.123e ++=x x y 解3213d e d(21)x x y x x ++=++3221(32)e d .x x x x ++=+§5 微分微分的概念微分的运算法则微分在近似计算中的应用高阶微分或写作22d ()d ,y f x x ''=称为f 的二阶微分.d(d )d(()Δ)y f x x '=()ΔΔ()d(Δ)f x x x f x x '''=⋅+则当f 二阶可导时, d y 关于x 的微分为若将一阶微分d ()Δy f x x '=仅看成是的函数, x 注由于与x 无关, 因此x 的二阶微分Δx d(Δ)x =三者各不相同, 不可混淆.2()()f x x ''=∆2()(d ).f x x ''=d(d )x x 2d =,0=22d (d ),x x =它与2d()2d x x x=高阶微分22d ()d ;(6)y f x x ''=当x 是中间变量((),())y f x x t ϕ==时, 二阶微分依次下去, 可由阶微分求n 阶微分:1n -对的n 阶微分均称为高阶微分. 2n ≥当x 是自变量时,的二()y f x =阶微分是为高阶微分不具有形式不变性.)d (d d 1y y n n -=(1)1d(()d )n n f x x --=()()d .n n f x x =22()d ()d .(7)f x x f x x '''=+()2d d ()d y f x x '=()d d ()d(d )f x x x f x x '''=+例422()sin ,(),d .y f x x x t t y ϕ====设求解法一2 () (), sin ,x t y f x y t ϕ===先将代入得.0d 2=x 而当x 为自变量时,它比(6) 式多了一项2()d ,f x x '()x t ϕ=当时,由(6) 得22d ()d x t t ϕ''=不一定为0,22cos ,y t t '=于是.sin 4cos 2222t t t y -=''22222d (2cos 4sin )d .y t t t t =-解法二依(7) 式得222d ()d ()d y f x x f x x'''=+22sin d cos d x x x x =-+2222..sin (2d )cos 2d t t t t t =-+2222(2cos 4sin )d .t t t t =-2()d f x x '如果将漏掉就会产生错误.22d ()d x t tϕ''=§5 微分微分的概念微分的运算法则高阶微分微分在近似计算微分在近似计算中的应用1.函数值的近似计算000(Δ)()()Δ.(8)f x x f x f x x '+≈+000()()()().(9)f x f x f x x x '≈+-(9) 式的几何意义是当x 与x 0充分接近时, 可用点0Δ()Δ(Δ),y f x x o x '=+由于由此得Δd .y y ≈记, 即当时，0Δx x x =+0x x ≈故当很小时, 有Δx (8) 式可改写为中的应用公式(9) 分别用于sin x , tan x , ln(1+x ), e x ( x 0= 0 ), ,sin x x ≈,tan x x ≈(),1ln x x ≈+.1e x x +≈例5 试求sin 33o 的近似值( 保留三位有效数字).解π,60x ∆=由公式(9) 得到处的切线近似代替曲线, 这种线性近00(,())P x f x 可得近似计算公式( 试与等价无穷小相比较):似的方法可以简化一些复杂的计算问题.,606sin 33sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ππ 0()sin ,,6f x x x π==取sin33sin cos 6660πππ⎛⎫⎛⎫≈+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0.545≈2.误差的估计0|Δ|||,x x x x δ=-≤设数x 是由测量得到的, y 是由函数经过()y f x =如果已知测量值x 0 的误差限为,即x δ算得到的y 0= f (x 0) 也是y = f (x ) 的一个近似值. 差, 实际测得的值只是x 的某个近似值x 0. 由于测量工具精度等原因, 存在测量误计算得到.由x 0计000().(11)||()yx f x y f x δδ'=则当x δ很小时, 量y 0 的绝对误差估计式为:相对误差限则为0|()|y x f x δδ'=称为y 0 的绝对误差限,而的0y 0()()y f x f x ∆=-0()f x x '≈∆0().x f x δ'≤33001π38792.39cm ,6V d =≈201π2V d d δδ=解以d 0 = 42,0.05d δ=计算的球体体积和误差估绝对误差限和相对误差限.计分别为:203001π21||π6V d d V d δδ=⨯‰.03 3.57d d δ=≈例6 设测得一球体直径为42cm, 测量工具的精度为0.05cm. 试求以此直径计算球体体积时引起的2π420.052=⨯⨯3138.54cm ;≈。
【史上最强】华东师范大学《数学分析》第四第五版上下册精讲精练
【史上最强】华东师范大学《数学分析》第四第五版上下册精讲精练华东师范大学《数学分析》第四版和第五版是数学专业本科生必修的课程。
数学分析是数学的基础课程之一，是学习数学专业的必备课程之一。
这两个版本的教材涵盖了微积分、级数和函数的基本概念、性质和理论。
下面我将结合个人的学习经验，给大家分享一些学习该教材的技巧和注意事项，以及重要概念的精讲精练。
一、学习技巧和注意事项1. 学好基础知识。
数学分析是建立在微积分基础之上的，因此在学习本课程之前，要先学习高等数学中的微积分部分。
这样可以更好地理解和掌握数学分析的内容。
2. 理解和掌握公式和定理。
数学分析中有很多重要的公式和定理，如极值定理、中值定理、费马定理等。
在学习时，要重视这些公式和定理的理解和掌握，并能熟练地运用它们来解决问题。
3. 培养良好的数学思维。
数学分析是一门具有很强的逻辑性和抽象性的学科，因此要善于拓展思维、培养逻辑思维能力，并多做一些题目来提高解决问题的能力。
4. 注意语言的表达。
数学分析中涉及到很多概念、符号和定理，因此在学习时要注意语言的准确性和表达能力，避免产生歧义。
5. 做好笔记和复习。
在学习数学分析时，要做好笔记，记录下重要概念、公式和定理，方便以后查阅和复习。
同时，要经常回顾已学知识，加强记忆和巩固。
二、重要概念的精讲精练1. 极限在数学分析中，极限是一个非常重要的概念。
它表示自变量在接近某个特定值时，函数取值的趋势。
简单来说，就是函数在某一点的极限值，通常用lim f(x)表示。
在计算极限时，通常需要用到极限计算法则，如代数运算法则、夹逼准则、洛必达法则等。
其中，洛必达法则是计算难度较大的一种方法，需要掌握其具体使用方法。
例如，计算以下极限：lim (3x^2 + 1) / x, x -> 0应用洛必达法则，可得：lim (6x) / 1x -> 0= 0因此，该极限的值为0。
2. 导数和微分导数和微分是微积分的核心概念，也是数学分析的重要内容。
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案05
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案05第五章 导数和微分习题§5.1导数的概念1、已知直线运动方程为2510t t s +=，分别令01.0,1.0,1=∆t ，求从t=4至t t ∆+=4这一段时间内运动的平均速度及时的瞬时速度。
2、等速旋转的角速度等于旋转角与对应时间的比，试由此给出变速旋转的角速度的定义。
3、设4)(,0)(0='=x f x f ，试求极限xx x f x ∆+∆→∆)(lim 00。
4、设⎩⎨⎧<+≥=,3,,3,)(2x b ax x x x f 试确定的a,b 值，使f在x=3处可导。
5、试确定曲线y x ln =上哪些点的切线平行于下列直线：（1）;1-=x y （2）32-=x y6、求下列曲线在指定点P 的切线方程与法线方程：（1）).1,0(,cos )2();1,2(,42p x y p x y ==7、求下列函数的导函数： ⎩⎨⎧<≥+==,0,1,0,1)()2(;)()1(3x x x x f xx f8、设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=,0,0,0,1sin )(x x xx x f m（m 为正整数），试问：（1）m 等于何值时,f 在x=0连续；（2）m 等于何值时,f 在x=0可导； （3）m 等于何值时,f '在x=0连续。
9、求下列函数的稳定点：(1)f(x)=sinx-cosx ；(2)x x x f ln )(-=。
10、设函数f 在点0x 存在左右导数，试证明f 在点0x 连续。
11、设0)0()0(='=g g ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠=,0,0,0,1sin )()(x x xx g x f求)0(f '。
12、设f 是定义在R 上的函数，而且对任何Rxx ∈21,，都有)()()(2121x f x f x x f =+。
若1)0(='f ，证明对任何R x ∈，都有)()(x f x f ='。
《数学分析》第五章导数和微分
函数的增量问题
微分的概念
导数的概念
求导数与微分的方法,叫做微分法.
研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做微分学.
导数与微分的联系:
★
★
导数与微分的区别:
思考题
思考题解答
说法不对. 从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部而得到的，导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限，它们是完全不同的概念.
练 习 题
练习题答案
202X
感谢各位的观看
汇报人姓名
5 微分
Байду номын сангаас
一、问题的提出
实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.
再例如,
既容易计算又是较好的近似值
问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?
二、微分的定义
(微分的实质)
定义
由定义知:
三、可微的条件
定理 证 必要性
(2) 充分性
例1
解
四、微分的几何意义
M N T ） 几何意义:(如图) P
五、微分的求法
基本初等函数的微分公式
求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分.
函数和、差、积、商的微分法则
例2
解
例3
解
六、微分形式的不变性
结论： 微分形式的不变性
例4
解
例3
解
例5
解
在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使等式成立.
七、小结
微分学所要解决的两类问题:
第五章微分学基本定理及导数应用
+
例 9 把函数 展开成具 Peano 型余项的 Maclaurin 公式 ，并与
的
相应展开式进行比较.
解
;
.பைடு நூலகம்
而
.
五.Taylor 公式应用举例:
- 12 -
《数学分析》讲义 1. 证明 是无理数: 例 10 证明 是无理数. 证 把 展开成具 Lagrange 型余项的 Maclaurin 公式, 有
《数学分析》讲义
第五章 微分学基本定理及导数应用
教学目的： 1.掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打好坚实的理论基础； 2.熟练掌握洛比塔法则，会正确应用它求某些不定式的极限； 3.掌握泰勒公式，并能应用它解决一些有关的问题； 4.使学生掌握运用导数研究函数在区间上整体性态的理论依据和方法，能根 据函数的整体性态较为准确地描绘函数的图象； 5.会求函数的最大值、最小值，了解牛顿切线法。 教学重点、难点： 本章的重点是中值定理和泰勒公式，利用导数研究函数单调性、极值与凸性； 难点是用辅助函数解决问题的方法。
Th 3 设函数 和 在闭区间 和 在 内不同时为零, 又
上连续, 在开区间
内可导,
则在
内至少存在一点
使
.
证 分析引出辅助函数 上满足 Rolle 定理的条件,
. 验证
在
必有
, 因为否则就有
同时为零”矛盾.
Cauchy 中值定理的几何意义.
（三）中值定理的简单应用:
1. 证明中值点的存在性
.这与条件“ 和 在
是常值函数.
(证明
3. 证明不等式:
例 6 证明不等式:
时,
, 其中 是正常 ).
.
数学分析教案(华东师大版)导数和微分
数学分析教案（华东师大版）：导数和微分第一章：导数概念1.1 引入导数的概念解释导数的定义：函数在某一点的导数是其在该点的切线斜率。
强调导数的重要性：导数可以描述函数在某一点的局部性质，如增减性、凹凸性等。
1.2 导数的计算讲解导数的计算方法：常数函数的导数为0；幂函数的导数为其指数乘以底数的指数减1；指数函数的导数为底数；对数函数的导数为1除以函数的底数；三角函数的导数分别为各自的导数公式。
1.3 导数的应用解释导数的应用：求函数的极值：导数为0的点可能是极值点，通过二阶导数判断；求函数的单调区间：导数大于0表示函数递增，导数小于0表示函数递减；求曲线的切线方程：利用导数求出切点坐标和切线斜率，写出切线方程。
第二章：微分2.1 微分的概念解释微分的定义：微分是导数的一个局部线性逼近，表示函数在某一点的增量与自变量的增量之比。
强调微分的重要性：微分可以用来近似计算函数在某一点的增量，简化计算。
2.2 微分的计算讲解微分的计算方法：利用导数计算微分：微分等于函数在该点的导数乘以自变量的增量；微分的性质：微分是无穷小量，具有线性、齐次性和对称性。
2.3 微分的应用解释微分的应用：近似计算函数在某一点的增量：利用微分公式，将自变量的增量代入计算；求曲线的切线：利用微分求出切点坐标和切线斜率，写出切线方程；微分方程的求解：通过微分方程描述物理、化学等现象的规律，求解未知函数。
第三章：导数和微分的进一步应用3.1 洛必达法则介绍洛必达法则：当函数在某一点的导数为0时，可以通过求导数的极限来判断该点是否为极值点。
3.2 罗尔定理介绍罗尔定理：如果函数在某一区间内有两个不同的点处的导数相等，则在这两点之间存在一个点，使得函数在该点处的导数为0。
3.3 泰勒公式介绍泰勒公式：将函数在某一点附近展开为多项式，可以用来近似计算函数在该点附近的值。
第四章：高阶导数4.1 高阶导数的定义解释高阶导数的定义：函数的n阶导数是其导数的导数，即导数的导数直到第n 次。
数学分析教案华东师大版
数学分析教案华东师大版一、教学目标通过本课程的学习，学生应该能够：1.熟悉数学分析的基本概念和基本原理；2.掌握数学分析中的常用方法和技巧；3.培养数学分析的思维方式和解决问题的能力；4.培养学生的数学思维和创造性思维。
二、教学内容本教案主要包括以下内容：1.函数、极限与连续性–函数的定义和性质–极限的定义和性质–连续函数的定义和性质–极限存在的判定方法–无穷小量与无穷大量2.一元函数的微分学–导数的定义和性质–导数的几何意义和物理意义–某类函数的导数–高阶导数与导数的运算法则–隐函数与参数方程的求导公式3.一元函数的积分学–积分的定义和性质–函数的原函数与不定积分–定积分的定义和性质–定积分的计算方法–积分中值定理4.多元函数的微分学–多元函数的定义和性质–多元函数的极限和连续性–偏导数和全微分–隐函数与参数方程的求导公式–多元函数的极值与最值问题5.多元函数的积分学–重积分的定义和性质–二重积分的计算方法–三重积分的计算方法–曲线与曲面的面积与弧长–应用于物理和几何的多重积分三、教学方法1.讲授法：通过讲解基本概念和原理，逐步引导学生掌握数学分析的基本知识；2.示例法：通过实际例子和问题，帮助学生理解和应用数学分析的方法和技巧；3.探究法：引导学生通过自主思考和探索，培养解决问题的能力和创造性思维；4.实践法：通过实际应用和实验，帮助学生将数学分析知识应用到实际问题中。
四、教学工具在教学过程中，我们将使用以下工具：1.教材：华东师大版《数学分析》教材；2.黑板和白板：用于讲解和演示数学分析的概念和方法；3.计算器：用于计算和验证数学分析中的计算步骤；4.电脑和投影仪：用于展示教材、图片和视频资料；5.实验器材：用于进行一些实际应用和实验。
五、教学评价为了评价学生的学习效果和掌握程度，我们将采用以下方式进行评价：1.平时成绩：包括作业完成情况、课堂参与度等；2.期中考试：对学生的理论知识和基本应用进行考核；3.期末考试：对学生的综合应用和解决问题能力进行考核；4.实验报告和小组项目：对学生的实践能力和团队合作能力进行考核；5.学习笔记和讨论记录：对学生的学习态度和思维能力进行考核。
数学分析第五版上册教学设计 (2)
数学分析第五版上册教学设计一、教学目标1.了解数学分析的基本概念与思想方法；2.掌握导数与微分的概念和基本运算方法；3.掌握极值与最值的定义和求解方法；4.掌握反函数的概念和性质；5.掌握泰勒公式和幂级数的概念及其应用。
二、教学内容1. 导数与微分1.1 导数的概念、几何意义和基本运算法则； 1.2 微分的概念及其计算； 1.3 高阶导数的概念及其运算； 1.4 隐函数及其导数的计算。
2. 极值与最值2.1 极值和最值的定义； 2.2 寻找函数的最大值和最小值； 2.3 约束条件下寻找函数的最大值和最小值。
3. 反函数3.1 反函数的定义和性质； 3.2 反函数的求导； 3.3 隐函数与反函数的联系和区别。
4. 泰勒公式和幂级数4.1 泰勒公式的定理和应用； 4.2 幂级数的概念和收敛判别法；4.3 幂级数的求和。
三、教学方法1.课堂教学以讲授为主，讲解基本概念和思想方法，强调基础知识的掌握；2.强化例题演练环节，通过大量的例题和练习题的讲解，提高学生的应用能力；3.采用探究式教学，拓展学生的思维能力，培养学生的自主学习能力；4.合理运用多媒体教学技术，增强教学效果。
四、教学进度安排教学内容授课学时数导数与微分10极值与最值 6反函数 4泰勒公式和幂级数 6综合应用 4总计30五、教学资源准备1.数学分析第五版上册教材；2.多媒体教学设备；3.电脑、投影仪、音响设备；4.教学PPT、应用题、练习题。
六、教学评价方法1.课堂讨论、问答、练习题；2.期中、期末考试；3.学生评教。
七、教学效果与反思教学效果评价本教学设计设置了多个评估点，如课堂互动、期中、期末考试以及学生评教等。
对教学效果进行全面评估，及时发现问题并进行调整。
反思总结教学设计需要反思，及时总结教学过程中的问题并进行优化。
同时，教师需要及时反馈学生的学习情况，了解学生的学习态度和学习周期。
并在教学过程中积极与学生沟通，调整教学策略，提高学生的学习热情和能力。
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2020年数学分析教案华东师大版第五章导数和微分精编版第五章导数和微分教学目的：1.使学生准确掌握导数与微分的概念。
明确其物理、几何意义，能从定义出发求一些简单函数的导数与微分；2.弄清函数可导与可微之间的一致性及其相互联系，熟悉导数与微分的运算性质和微分法则，牢记基本初等函数的导数公式，并熟练地进行初等函数的微分运算；3.能利用导数与微分的意义解决某些实际问题的计算。
教学重点、难点：本章重点是导数与微分的概念及其计算；难点是求复合函数的导数。
教学时数：16学时§ 1 导数的概念（4学时）教学目的：使学生准备掌握导数的概念。
明确其物理、几何意义，能从定义出发求一些简单函数的导数与微分，能利用导数的意义解决某些实际应用的计算问题。
教学要求：深刻理解导数的概念，能准确表达其定义；明确其实际背景并给出物理、几何解释；能够从定义出发求某些函数的导数；知道导数与导函数的相互联系和区别；明确导数与单侧导数、可导与连续的关系；能利用导数概念解决一些涉及函数变化率的实际应用为体；会求曲线上一点处的切线方程。
教学重点：导数的概念。
教学难点：导数的概念。
教学方法：“系统讲授”结合“问题教学”。
一、问题提出：导数的背景.背景：曲线的切线；运动的瞬时速度.二、讲授新课：1.导数的定义: 定义的各种形式. 的定义. 导数的记法.有限增量公式:例1 求例2 设函数在点可导, 求极限2.单侧导数: 定义. 单侧可导与可导的关系. 曲线的尖点.例3考查在点的可导情况.3.导数的几何意义:可导的几何意义, 导数的几何意义, 单侧导数的几何意义.例4求曲线在点处的切线与法线方程.4.可导与连续的关系:5.导函数:函数在区间上的可导性, 导函数, 导函数的记法.注意:等具体函数的导函数不能记为应记为6.费马定理及达布定理§ 2 求导法则（4学时）教学目的：熟悉导数的运算性质和求导法则，牢记基本初等函数的导数公式，并熟练进行初等函数的导数运算。
教学要求：熟练掌握导数的四则运算法则，复合函数的求导法则；会求反函数的导数，并在熟记基本初等函数导数公式的基础上综合运用这些法则与方法熟练准确地求出初等函数的导数。
教学重点：导数的四则运算法则、复合函数求导法则、反函数求导法；教学难点：复合函数求导法则及复合函数导数的计算。
教学方法：以问题教学法为主，结合课堂练习。
一、复习引新：复习导数的概念等知识，并由此引入新课.二、讲授新课：（一）. 基本初等函数求导推导基本初等函数的求导公式.（二）.导数的四则运算法则: 推导导数四则运算公式.(只证“”和“”) 例1 求例2 求 (例3 求例4 证明: ( 用商的求导公式证明 ).例5 证明:例6 证明: .例7 求曲线在点处的切线方程.（三）. 反函数的导数:推导公式并指出几何意义.例8 证明反三角函数的求导公式. ( 只证反正弦 )（四）. 复合函数求导法——链锁公式：例9 设为实数，求幂函数的导数.解例10求和例11求例12 求§ 3.参变量函数的导数（2学时）教学目的：熟悉含参量函数的求导法则，并熟练进行此类函数的导数运算。
教学要求：会求由参数方程所给出的函数的导数，并注意与其它法则的综合应用。
教学重点：含参量方程的求导法则。
教学难点：含参量函数导数的计算。
教学方法：以问题教学为主，结合练习。
一.复习：导数公式及其运算法则.二.讲授新课：1.参变量函数的导数公式：设函数可导且证（法一）用定义证明.（法二）由恒有或严格单调. ( 这些事实的证明将在下一章给出. ) 因此, 有反函数, 设反函数为), 有用复合函数求导法, 并注意利用反函数求导公式. 就有例1. 设求2.取对数求导法:例2. 设求例3.设求例4. 设求3..抽象函数求导:例5.求和例6若可导, 求.§ 4 高阶导数（2学时）教学目的：了解高阶导数的定义，熟悉高阶导数的计算。
教学要求：掌握高阶导数与高阶微分的定义，会求高阶导数与高阶微分。
能正确理解和运用一阶微分的形式不变性，并与高阶微分清楚地加以区分。
教学重点：高阶导数（微分）的计算。
教学难点：高阶导数（微分）的计算。
教学方法：以问题教学为主，结合练习。
一. 高阶导数:定义:注意区分符号和以函数为例介绍高阶导数计算方法.高阶导数的记法.二. 几个特殊函数的高阶导数:1.多项式: 多项式的高阶导数.例1求和.2. 正弦和余弦函数:计算、、、的公式.3．和的高阶导数：4．的高阶导数：5．的高阶导数：6．分段函数在分段点的高阶导数：以函数求为例.三. 高阶导数的运算性质: 设函数和均阶可导. 则1．2．3．乘积高阶导数的Leibniz公式：约定（介绍证法.）例2求解例3求解例4其中二阶可导. 求例5验证函数满足微分方程并依此求解两端求导即对此式两端求阶导数, 利用Leibniz公式, 有可见函数满足所指方程. 在上式中令得递推公式注意到和, 就有时,时,四. 参数方程所确定函数的高阶导数:例6 求解§5 微分（2学时）教学目的：1. 准确掌握微分的概念，明确其几何意义，能从定义出发求一些简单函数的导数与微分。
2. 弄清可导与可微之间的一致及其相互关系，熟悉微分的运动性质和微分法则，牢记基本的初等函数的微分公式，并熟练进行初等函数的微分运算。
3. 能利用微分的几何意义等解决一些实际应用的计算问题。
教学要求：1. 清楚地理解函数在一点的微分的定义，并给出其几何解释；能从定义出发求某些简单函数的微分、能熟练运用基本微分表和微分运算公式求初等函数的微分。
2. 明确函数在一点可导性与一点可微之间的一致性，并会利用导数为微分、利用微分求导数。
会应用微分的实际意义解决某些计算问题。
教学重点：微分的定义、计算、可导与可微的关系教学难点：运用微分的意义解决实际问题一.微分概念:1.微分问题的提出: 从求的近似值入手, 通过[1]P133例和可导函数的情况, 引出微分问题.几个数据: ,( 查表得 )2.微分的定义:3.微分的计算和几何意义:Th ( 可微与可导的关系 ).例1求和二. 微分运算法则: [1]P112 法则1—4 . 只证2.一阶微分形式不变性. 利用微分求导数. 微商.例2求和例3求和三．微分的应用:1.建立近似公式: 原理: 即特别当时, 有近似公式具体的近似公式如:等.2. 作近似计算: 原理:例4求和的近似值.例5求的近似值.3．估计误差：绝对误差估计：相对误差估计：例6（ [1]P138 E5 ）设已测得一根圆轴的直径为，并知在测量中绝对误差不超过. 试求以此数据计算圆轴的横截面面积时所产生的误差.4. 求速度:原理:例7球半径以的速度匀速增大. 求时, 球体积增大的速度.四．高阶微分：高阶微分的定义：阶微分定义为阶微分的微分，即注意区分符号的意义.例7求以例7为例, 说明高阶微分不具有形式不变性:在例7中, 倘若以求二阶微分, 然后代入, 就有倘若先把代入, 再求二阶微分, 得到可见上述两种结果并不相等. 这说明二阶微分已经不具有形式不变性. 一般地, 高阶微分不具有形式不变性.习题课（2学时）一、理论概述：二、范例讲析：（一）. 可导条件:例1 设在点的某邻域内有证明在点可导.例2 设函数在点可导, 则在点不可导.例3 设函数定义在区间内, 试证明: 在点可导的充要条件是存在内的函数（仅依赖于和. 使在点连续且适合条件并有证设存在, 定义易验证函数在点连续, 且设又在点连续. 则有即存在且（二）. 求导数或求切线:例4求和参阅[4]P92 E11.例5 求例6 求解设其中为的多项式. 注意到对任何正整数则有对有例7抛物线方程为求下列切线:⑴过点( 该点在抛物线上 ) ( )⑵过点. (该点不在抛物线上 ) ( 和)（三）曲线的吻接: 曲线的吻接及其解析表达.例8设确定、和的值，使函数在点可导. )（四）. 奇、偶函数和周期函数的导函数：例9可导奇函数的导函数是偶函数. ( 给出用定义证和用链导公式证两种证法)例10设是偶函数且在点可导, 则.证即由存在，简提可导周期函数的导函数为周期函数, 且周期不变.（五）. 关于可导性的一些结果:1. 若是初等函数, 则也是初等函数. 在初等函数的定义域内, 导函数不存在的点是函数的不可导点. 例如函数的定义域是, 但导函数在点没有定义, 因此点是函数的不可导点.2.存在仅在一点可导的函数. 例如该函数仅在点可导.3.存在处处连续但处处不可导的函数.。