高等数学(同济大学版) 课程讲解 1.2数列的极限

课时授课计划课次序号：02 一、课题：§1.2 数列的极限二、课型：新授课三、目的要求：1.理解数列极限的概念；2.了解收敛数列的性质.四、教学重点：数列极限的定义.教学难点：数列极限精确定义的理解与运用.五、教学方法及手段：启发式教学，传统教学与多媒体教学相结合．六、参考资料：1.《高等数学释疑解难》，工科数学课程教学指导委员会编，高等教育出版社；2.《高等数学教与学参考》，张宏志主编，西北工业大学出版社．七、作业：习题1–2 3（2）（4），5八、授课记录：九、授课效果分析：第二节 数列的极限复习1. 函数的概念与特性，复合函数与反函数的概念，基本初等函数与初等函数；2. 数列的有关知识.极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的．例如，我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法——割圆术，就是极限思想在几何学上的应用．设有一圆，首先作内接正六边形，把它的面积记为1A ；再作内接正十二边形，其面积记为2A ；再作内接正二十四边形，其面积记为3A ；循此下去，每次边数加倍，一般地把内接正126-⨯n 边形的面积记为()n A n N ∈．这样，就得到一系列内接正多边形的面积：，，，，，， n A A A A 321它们构成一列有次序的数．当n 越大，内接正多边形与圆的差别就越小，从而以n A 作为圆面积的近似值也越精确．但是无论n 取得如何大，只要n 取定了，n A 终究只是多边形的面积，而还不是圆的面积．因此，设想n 无限增大（记为∞→n ，读作n 趋于无穷大），即内接正多边形的边数无限增加，在这个过程中，内接正多边形无限接近于圆，同时n A 也无限接近于某一确定的数值，这个确定的数值就理解为圆的面积．这个确定的数值在数学上称为上面这列有次序的数（所谓数列），，，，，， n A A A A 321当∞→n 时的极限．在圆面积问题中我们看到，正是这个数列的极限才精确地表达了圆的面积．在解决实际问题中逐渐形成的这种极限方法，已成为高等数学中的一种基本方法，因此有必要作进一步的阐明．一、 数列极限的定义1. 数列的概念定义1 如果函数f 的定义域f D =N ={1，2，3，…}，则函数f 的值域f （N ）={f （n ）｜n ∈N }中的元素按自变量增大的次序依次排列出来，就称之为一个无穷数列，简称数列，即f （1），f （2），…，f （n ），…．通常数列也写成x 1，x 2，…，x n ，…，并简记为{x n }，其中数列中的每个数称为一项，而x n =f （n ）称为一般项或通项．对于一个数列，我们感兴趣的是当n 无限增大时，x n 的变化趋势． 以下几个均为数列：1，12，23，…，1n n-，... （1） 2，4，6，...，2n ， (2)1，0，1，…，11+(1)n n--， (3)1，12-，13，...，1(1)n n --， (4)2，2，2，...，2， (5)2. 数列的极限当n 无限增大时，若数列的项x n 能与某个常数a 无限地接近，则称此数列收敛，常数a称为当n 无限增大时该数列的极限，如数列（1），（4），（5）均为收敛数列，它们的极限分别为1，0，2．但是，以上这种关于收敛的叙述是不严格的，我们必须对“n 无限增大”与“x n 无限地接近a ”进行定量的描述，让我们来研究数列（4）．取0的邻域U (0, ε)．1. 当ε=2时，数列（4）的所有项均属于U (0,2)，即n ≥1时，x n ∈U (0,2)．2. 当0.1ε=时，数列（4）中除开始的10项外，从第11项起的一切项x 11，x 12，…，x n ，…均属于(0,0.1)U ，即n ＞10时，(0,0.1)n x U ∈．3. 当0.0003ε=时，数列（4）中除开始的3333项外，从第3334项起的一切项x 3334，x 3335，…，x n ，…均属于(0,0.0003)U ，即n ＞3333时，(0,0.0003)n x U ∈．如此推下去，无论ε是多么小的正数，总存在N （N 为大于1ε的正整数），使得n ＞N 时， ｜x n -0｜=1(1)0n n---=1n ≤1N ＜ε， 即1(1)n n x n--=∈U (0, ε)． 一般地，对数列极限有以下定义．定义2 若对任何ε＞0，总存在正整数N ，当n ＞N 时，|x n -a |< ε，即(,)n x U a ε∈，则称数列{x n }收敛，a 称为数列{x n }当n →∞时的极限，记为lim n n x →∞=a 或 x n →a （n →∞）． 若数列{x n }不收敛，则称该数列发散．注 定义中的正整数N 与ε有关，一般说来，N 将随ε减小而增大，这样的N 也不是惟一的．显然，如果已经证明了符合要求的N 存在，则比这个N 大的任何正整数均符合要求，在以后有关数列极限的叙述中，如无特殊声明，N 均表示正整数．此外，由邻域的定义可知，(,)n x U a ε∈等价于｜x n -a ｜＜ε．“数列{x n }的极限a ”的几何解释：将常数a 及数列x 1,x 2,x 3,…,x n ,…在数轴上用它们的对应点表示出来，再在数轴上作点a 的ε邻域，即开区间(a -ε, a +ε)，如图1-33所示．图1-33因不等式 |x n -a |<ε 与不等式 a -ε<x n <a +ε 等价，所以当n >N 时，所有的点x n 都落在开区间(a -ε, a +ε)内，而只有有限个点（至多只有N 个点）在这区间以外．为了以后叙述的方便，这里介绍几个符号，符号“∀”表示“任取”、“对于所有的”或“对于每一个”；符号“∃”表示“存在”；符号“m ax {X }”表示数集X 中的最大数；符号“min{X }”表示数集X 中的最小数．例1 证明 1lim2nn →∞=0．证∀ε＞0(不妨设ε<1)，要使102n -=12n ＜ε，只要2n＞1ε，即n ＞（ln 1ε）/ln2． 因此，∀ε＞0，取N =［（ln1ε）/ln2］，则当n ＞N 时，有102n -＜ε．由极限定义可知1lim2nn →∞=0．例2 证明 1πlimcos4n n n →∞=0． 证 由于1πcos 04n n -=1πcos 4n n ≤1n ，故∀ε＞0，要使1πcos 04n n -＜ε，只要1n＜ε，即n ＞1ε． 因此，∀ε＞0，取N =1ε⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则当n ＞N 时，有1πcos04n n -＜ε．由极限定义可知 1πlim cos4n n n →∞=0． 用极限的定义来求极限是不太方便的，在以后的学习中，我们将逐步介绍其他求极限的方法．二、收敛数列的性质1. 唯一性定理1 若数列收敛，则其极限唯一．证 假设数列{x n }收敛，但极限不唯一：lim n n x →∞=a ，lim n n x →∞=b ，且a ≠b ，不妨设a ＜b ，由极限定义，取ε=2b a -，则∃N 1＞0，当n ＞N 1时，｜x n -a ｜＜2b a-，即 32a b -＜x n ＜2a b+, （6） ∃N 2＞0，当n ＞N 2时，｜x n -b ｜＜2b a-,即 2a b +＜x n ＜32b a-, (7) 取N =m ax {N 1,N 2},则当n ＞N 时,(6)、(7)两式应同时成立，显然矛盾．该矛盾证明了收敛数列{x n }的极限必唯一．2. 有界性定义3 设有数列{x n }，若∃M ∈R ，M ＞0，使对一切n =1，2，…，有｜x n ｜≤M ，则称数列{x n }是有界的，否则称它是无界的．对于数列{x n },若∃M ∈R ，使对n =1，2，…，有x n ≤ M ，则称数列{x n }有上界；若∃M ∈R ，使对n =1，2，…，有x n ≥M ，则称数列{x n }有下界．显然，数列{x n }有界的充要条件是{x n }既有上界又有下界．例3 数列211n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭有界；数列{n 2}有下界而无上界；数列{-n 2}有上界而无下界；数列{(1)1nn --}既无上界又无下界．定理2 若数列{ x n }收敛，则数列{x n }有界．证 设lim n n x →∞=a ，由极限定义，∀ε＞0，且ε＜1，∃N ＞0，当n ＞N 时，｜x n -a ｜＜ε＜1，从而｜x n ｜＜1+｜a ｜．取M =m ax {1+｜a ｜,｜x 1｜,｜x 2｜,…,｜x N ｜}，则有｜x n ｜≤M 对一切n =1，2，3，…，成立，即{ x n }有界．定理2 的逆命题不成立，例如数列{(1)n-}有界，但它不收敛．3. 保号性定理3 若lim n n x →∞=a ，a ＞0（或a ＜0），则∃N ＞0，当n ＞N 时，x n ＞0（或x n ＜0）．证 设a ＞0，由极限定义 ，对ε=2a ＞0，∃N ＞0，当n ＞N 时，｜x n -a ｜＜2a， 即2a ＜x n ＜32a ，故当n ＞N 时，x n ＞2a＞0． 类似可证a ＜0的情形．推论 设有数列{x n }，∃N ＞0，当n ＞N 时，0n x ≥(或0n x ≤)，若lim n n x →∞=a ，则必有a ≥0( 或a ≤0 )．推论中，若x n ＞0(或x n ＜0)，我们只能推出a ≥0(或a ≤0),而不能推出a ＞0（或a ＜0）．例如1n x n=＞0,但lim n n x →∞=lim n →∞1n =0．4. 收敛数列与其子列的关系定义4 在数列{x n }中保持原有的次序自左向右任意选取无穷多个项构成一个新的数列，称它为{x n }的一个子列．在选出的子列中，记第一项为1n x ，第二项为2n x ，…，第k 项为k n x ，…，则数列{x n }的子列可记为{k n x }．k 表示k n x 在子列{k n x }中是第k 项，n k 表示k n x 在原数列{x n }中是第n k 项．显然，对每一个k ，有n k ≥k ；对任意正整数h ，k ，如果h ≥k ，则n h ≥n k ；若n h ≥n k ，则h ≥k由于在子列{k n x }中的下标是k 而不是n k ，因此{k n x }收敛于a 的定义是：∀ε＞0，∃K ＞0，当k ＞K 时，有｜k n x -a ｜＜ε．这时，记为lim k n k x →∞=a ．定理4 若lim n n x →∞=a ，则{ x n }的任何子列{k n x }都收敛，且都以a 为极限．证 由lim n n x →∞=a ，∀ε＞0，∃N ＞0，当n ＞N 时，有｜x n -a ｜＜ε．今取K =N ，则当k ＞K 时，有n k ＞n K =n N ≥ N ，于是｜k n x -a ｜＜ε．故有 lim k n k x →∞=a ．定理4用来判别数列{x n }发散有时是很方便的．如果在数列{x n }中有一个子列发散，或者有两个子列不收敛于同一极限值，则可断言{x n }是发散的．例4 判别数列πsin,N 8n n x n ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭的收敛性． 解 在{x n }中选取两个子列：8πsin ,N 8k k ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭，即8π16π8πsin ,sin ,sin ,888k ⎧⎫⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎨⎬⎩⎭;()164πsin ,N 8k k +⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭，即()164π20πsin ,sin ,88k +⎧⎫⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎨⎬⎩⎭． 显然，第一个子列收敛于0，而第二个子列收敛于1，因此原数列πsin8n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭发散． 课堂总结1.数列极限的定义：lim 0,,n n n x a N n N x a εε→∞=⇔∀>∃>-<当时，； 2.收敛数列的性质：唯一性、有界性、保号性、收敛数列与其子列的关系．。