基本动态系统分析

复述RC并联回路方程式：
T
dV dt
V
Vf
解为： V / Vf 1 et / T
电压V从零开始，呈指数规律上升至V=Vf 。T为正值，当V由初 始偏离时，V总是趋向于达到平衡点Vf 。
由此可得出结论，如果系统时间常数为正，系统是动态稳定的， 可以推广到机电系统的所有线性一阶微分方程中。
由于这些系统的物理常数如m、K、L、C、R等都是正的，因此
第三章 基本动态系统分析
为了能够帮助大家进一步了解和掌握动态系统的分析， 有必要通过对最基本的动态系统的分析和讨论去帮助大 家总结和掌握以前所学过的一些知识，并且能够系统将 一些分析方法和规律应用于实际的复杂系统分析中。
通过对绪论中所提到的“五步建模法”进一步总结 概括，我们认为对一个动态问题的解决方法一般可以经 过以下一些步骤：
对式：
C dV V i dt R
同样变换为：
dV T dt V Vf
T RC Vf iR
令：V f IRSint
则方程变换为：T dV V IRSint
dt
对于系统地稳态解，我们假定其解为：
V DSin(t ) ASint BCost
带入上式得：
TAωAωCt TBSint ASint BCost IRSint
在 这 种 情 况 下 ， 变 量 可分 离 ， 得 ：
dV
dV dt
T dt V f V
Vf V T
得 ：
V
dV
t dt t
0 Vf V 0 T T
取 积 分 得 到 一 自 然 对 数形 式 ：
ln(V f
V
)
V 0
t T
lnV f
ln(V f
V
)
t T
V ln(
f
V
)
-
t
Vf
T
Vf
这样，必须总结一下系统元件的初始条件情况，对突然变化时 的元件特性作一总结：
（1） 惯性元件如质量、惯量、电容和液容等，其跨越变量不 可能产生突变，除非受到无穷大的通过变量作用。
（2）感性元件如弹簧、电感和液感等，其通过变量不可能产 生突变，除非加上一个无穷大的跨越变量。
（3）耗能元件的通过变量和跨越变量能否产生突变不确定， 需要考虑该元件在回路的相邻元件特性。
一、用纯系统元件来建立系统元件的模型
1、主要集中元件特性
作为一个集中元件，它的主要特性一是要求其通过变量和跨越 变量在低变化率情况下来确定的，此外，主要特性取决于加在元件 上的约束。
2、寄生或次要元件的特性
寄生或次要元件的影响总是伴随着集中元件特性而产生的，当 次要影响是不希望的影响时，用“寄生”来表示次要的影响。例如 一个电感线圈中存在的电阻，一个弹簧中的质量就是寄生元件。
电容储能为：
EC
1 CV 2 2
电阻功率为： dER V 2 dt R
系统输入功率为：dEi iV dt
功率为：dEC CV dV
dt
dt
又能量守恒定律：ddEt i
dEC dt
dER dt
得： iV CV dV V 2 dt R
即得： i C dV V dt R
4、初始条件 在知道系统方程后，求解系统方程还需要知道系统的初始条件。
v
v
1.0
us ( t )
t
图3-8 函数用一系列阶跃变化表示
0
t
图3-9 单位阶跃函数
单位阶跃函数用下式描述：
us ( t ) 0 us ( t ) 1
(t 0) (t 0)
仍 然 考 虑RC并 联 回 路 ， 其 系 统 方 程为 ：
dV T dt V V f
(t 0时 ，V 0)
具有相同的电流。
F
m
1
C
2
质量和阻尼的连接有如
图3-5a的并联（两个元件具
a
有相同的速度）和如图3-5b 的串联（两个元件具有相
F 1C
2
m
3
同的力）。
b
图3-5 质量和阻尼的连接
2、动态系统的主导关系
系统分析时，利用简单的理想化系统元件，它们的方程式已知 的，当这些元件互相连接是，要满足两个重要的条件，这两个条件 叫做相容性和连续性。
即 : V IR Sin( t ) 1 T 22
arctg( T )
6、线性一阶系统的动态特性 （1）对阶跃输入的稳态响应
研究阶跃输入，一方面是由于许多物理现象类似于阶跃变化， 另一方面，任何输入函数都可以用一系列小的阶跃变化来表示（如 图3-8）。图3-9表示单位阶跃函数，幅值为1，函数用us(t)表示。
m Ti
mg
图3-3 单摆系统
第二节 建立系统方程
这里讨论最简单的两个元件组成的动态系统，以引出一些基本 概念和解决问题的思路。
一、两个理想元件的连接
电阻和电容有两 种接法，如图3-4a的 并联，两个元件具有
C
i
1RFra Baidu bibliotek
ic
i
iR 2
1
R2C 3
iR
ic
相同的电压；如图34b的串联，两个元件
a
b
图3-4 电阻和电容的并联和串联
5、一阶线性系统的求解
（1）RC并联回路阶跃响应
考虑式：
C dV V i dt R
（t 0时 ，V 0）
简化为： T dV dt
V
Vf
T RC，V f iR
假 设 系 统 加 上 一 个 突 变电 流 源 （ 阶 跃 函 数 ）
i 0， V f 0
（t 0）
i I， V f IR V （t 0）
因此，在系统分析时，要用到以下的几个条件：
（1）描述元件特性的元件方程，
（2）跨越变量的相容性条件，
（3）通过变量的连续性条件。
跨越变量的相容性：要求多个元件串联时，在连接点处的跨
越变量相等，多个元件串联时的端点的跨越变量等于每个元件两端 的跨越变量的总和。在机械系统中，相容性的概念是限制运动的几 何约束；在电路中，要求封闭回路各元件压降之和为零（基尔霍夫 电压定律）。
例如图3-6的RC并联电路系统，系统方程为：
i C dV V dt R
当i是给定的时间函数，则V就是要求解的时间函数，为此，我
们要知道V在t=0时的值。
假定在接通电路电流前，V=0，由于 iC
C
dV dt
，故V在t=0+
时不可能立即改变，除非 iC无穷大。因而，当接通有限的电流时，
电压V不会突变。
上 式 如 在 所 有 时 间 成 立， 则 正 弦 和 余 弦 项 的 系数 之 和 要 为 零
即 ： TA B 0
-TA A IR 解上二元方程得：
IR A 1 T 22 有 ： DCosφ A
TIR B 1 T 22 DSinφ -B
得 到: tg T
D IR 1 T 22
由理想机械和电气元件组成的任何一阶系统的时间常数都是正的。 所有的理想元件有着共同的特性，即储能或耗能，这类元件叫做无 源元件，仅含无源元件的网络则叫做无源网络。由于一阶系统的时 间常数总是正值，故永远是稳定的。
7、多个元件的动态系统
由于系统元件越多，微分方程将越复杂，可能出现多阶微分方 程。
（1）一阶系统
相 容 性 ：V12 VC VR V 连 续 性： i iC iR
元 件 方 程 ：理 想 电 容 iC
C
dVc dt
于是系统方程为：
i C dV V dt R
理想电阻 iR
VR R
C ic
i
i
1 R iR 2
图3-6 RC并联电路
（2）能量法获得系统方程 对于图3-6的RC并联电路系统，其中：
当系统加上一个正弦输入后，输出不会马上成正弦变化，当瞬 态响应在经历了四倍时间常数的时间后逐渐减弱至零，然后系统呈 稳态正弦变化。这是我们着重研究的稳态响应。
（3）稳定性
一个系统在不受到扰动时，能无限保持现有状态，叫做平衡。 如果一个系统在受到扰动后，能够回到它的初始平衡状态，则这个 平衡状态便是稳定的。或者说，系统在有输入作用时，能够稳定在 新的平衡位置，那么这个系统是稳定的。
如果系统中只有一个储能元件，则系统仍然是一阶的。如下图 所示的系统，系统只有一个储能元件。列出方程：
相 容 性 ：v v12 v20
F
连 续 性: Fc2 Fc1 Fk F
C1 C2
元 件 特 性 方 程:
K
阻 尼C1 : Fc1 C1v12
弹 簧K : dFk dt
Kv12
阻 尼C2 : Fc2 C2v20 F
时间（t） 0
输出量（ V / Vf 1 et / T）
0
T
0.632
2T
0.865
3T
0.950
4T
0.982
5T
0.993
67
0.998
可见，尽管输出量达到稳态值需要无穷长的时间，但只需几个 时间常数的时间就十分接近稳态值。
（2）对于正弦输入的稳态响应
周期函数是一种十分常见的输入形式，正弦函数是最简单的周 期函数，任何周期函数都可以用傅立叶级数展开，因此，系统对于 正弦输入的响应成为度量系统性能的重要依据。
v 将以上各式联立可得输出 20的输出方程为
(C1
C2)
dv20 dt
Kv2
C1 dv dt
Kv
当以F为系统输出量时，则有
dF
dv
(C1 C2 ) dt KF C2 (C1 dt Kv)
该动态系统有两个时间常数
T1 (C1 C2 ) K 则上式可写为如下形式
通过变量的连续性：表示在一个多元件系统中，通过变量的
守恒。例如在一个电路或一个机械网络中的电流或力是守恒的，相 当于基尔霍夫电流定律。
对于一个系统，在考虑到相容性和连续性要求时，利用元件的 基本关系（基本方程）就可以建立动态系统的方程式。
3、系统方程的确定
（1） 对于图3-6所示的系统，建立方程。
3、非线性
在实际装置中常常存在的非线性会影响元件作为集中元件的特
性。例如一个机械装置的主特性是弹簧，在加载和卸荷均很缓慢时，
力和位移关系会出现图3-1所示的各种情况。又如一个机械传动装置
的一对齿轮，由于齿轮间隙等原因造成的空程现象（图3-2）。
位移
位移
位移
θ2
力
(a) 非线性弹簧
力
力
(b) 磁滞
(c) 爬行
首先是要剖析复杂系统的组成，画出系统示意图
（网络连接图）；
其后是根据不同系统元件的相似性，用统一的数学
表达式来描述不同的物理单元或系统组成，根据其连接 图建立系统数学模型；
最后是求解系统数学表达式，即找出系统中个输入
量和输出量及其他所需确定参数的关系。
第一节 系统剖析
当一个系统被定义后，其中的一个实际的物理单元或系统组成 的动态特征往往不能完全由理想元件的方程准确地描述出来，受到 工作条件以及几何约束等因素的影响，因此，在确定系统元件（剖 析系统）时，是否能够接近实际系统，取决于建模的技巧和工程知 识。计算结果的准确性和有用程度取决于模型是否接近实际系统的 特征。另一方面，也要避免不必要的复杂性，首先，随着复杂程度 提高，花费急剧上升；其次，多余的复杂性，反而模糊了主要因素 的影响。任何系统最好的模型，是能以可能最简单的形式，提供所 需的有用信息。
V
-t
e T
Vf
-t
-t
V
V V f (1- e T ) IR (1- e T )
图3-7为输出V的时间响应。
t
图3-7 RC并联电路阶跃响应
（2）RC并联回路正弦输入解
对RC并联回路，长时间加上一个稳定的正弦激励（i=ISinωt）， 则系统会处于一种稳定的状态，这种稳定的状态就是系统变量以输 入量同样频率做周期性的变化。
可建立系统方程：
Ti(t)
mgSinθ0(t)
L
mL2
θ0(t)
这是一个非线性方程，根据Taylor级
数展开得：
Sinθ0
θ0
θ03 3!
θ
5 0
5!
当 0 很小时，高阶小数可以忽略，
0
则：
Sinθ0 θ0
非线性系统方程可简化成线性系统方程
mL2 θ0 (t) mgL θ0(t) Ti(t)
dt 0
T
T RC C
这个结果与当总电流通过电容C时的基本方程是一致的。当电
压V增加，开始有电流通过电阻R，最后，输出电压达到稳定值，这
时，所有电流通过R，C上的电流为零。
从t=0时的Vf /T到t=∝时的零值，电压变化率均匀降低。我们将
参数T叫做系统的时间常数，表征系统对扰动响应的快慢。
表3-1 输出量在各个时刻的比值
图3-1 弹簧的非线性
0
θ1
图3-2 齿轮副空程
用线性关系近似地表示系统特性的原因是因为分析起来比非线 性简单。但如果非线性影响较大或者我们必须要考虑它对系统的影 响，就不能再用线性关系近似了。
举例介绍微分方程的线性化：
如图3-3所示的单摆系统，Ti (t) 为输入力矩、0 (t)为输出摆角、
m为小球质量、L为摆长。
V f iR T RC
V
输 入 为 阶 跃 函 数 时 ：V f R us ( t )
则 系 统 解 为:
t
V Vf (1 e T
)
t
当输入阶跃电流信号时，电压V=0，不会突变，通过电阻上的
电流为零，所有电流通过电容C。则在t=0+时，V的变化率为：
dV V f V V f iR i